藉助生活中的實例理解有理數的意義，體會負數引入的必要性和有理數應用的廣泛性
一、教學目標
知識與技能
1．理解單項式及單項式係數、次數的概念。
2．會準確迅速地確定一個單項式的係數和次數。
過程與方法
通過小組討論、合作學習等方式，經歷概念的形成過程，培養學生自主探索知識和合作交流能力。
情感態度與價值觀
初步培養學生觀察、分析、抽象、概括等思維能力和應用意識。
二、重點難點
重點
列單項式表示數量關係，單項式及其係數、次數的意義。
難點
列單項式表示數量關係。
三、學情分析
本節課是研究整式的起始課，它是進一步學習多項式的基礎，因此對單項式有關概念的理解和掌握情況，將直接影響到後續學習。要注重分析，亦即在剖析單項式結構時，藉助反例練習，抓住概念易混淆處和判斷易出錯處，強化認識，幫助學生理解單項式係數、次數，為進一步學習新知做好鋪墊。
四、教學過程設計
問題設計師生活動設計意圖
[活動1]
舉世矚目的青藏鐵路於20xx年7月1日建成通車，實現了幾代中國人夢寐以求的願望。青藏鐵路是世界上海拔最高、線路最長的高原鐵路。青藏鐵路線上，在格爾木到拉薩之間有一段很長的凍土地段。列車在凍土地段的行駛速度是100千米/時，在非凍土地段的行駛速度可以達到120千米/時，請根據這些數據回答問題：
列車在凍土地段行駛時，2小時能行駛多少千米？3小時呢？t小時呢？
提問：字母表示數有什麼意義？
學生獨立思考，嘗試解決
解答：
1002=200千米
1003=300千米
100t=100t千米
我們用含字母t的式子100t表示路程。用字母表示數後，可以用含有字母的式子把數量關係簡明地表達出來，更適合一般規律的表達。
從學生已有的數學經驗和現實問題情境出發，感受用字母表示數的意義。
以青藏鐵路為引例，對學生進行愛國主義教育的德育滲透。
一、等式的概念和性質
1、等式的概念，用等號“=”來表示相等關係的式子，叫做等式。 在等式中，等號左、右兩邊的式子，分別叫做這個等式的左邊、右邊。等式可以是數字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的運算律、運算法則。
2、等式的類型楷體五號
（1）恆等式：無論用什麼數值代替等式中的字母，等式總能成立。如：數字算式 。
（2）條件等式：只能用某些數值代替等式中的字母，等式才能成立。方程 需要 才成立。
（3）矛盾等式：無論用什麼數值代替等式中的字母，等式都不能成立。如 ， 。
注意：等式由代數式構成，但不是代數式。代數式沒有等號。體五號
3、等式的性質五號
等式的性質1：等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，所得結果仍是等式。若 ，則 ；
等式的性質2：等式兩邊都乘以（或除以）同一個數（除數不能是0）或同一個整式，所得結果仍是等式。若 ，則 ， 。
注意：
（1）在對等式變形過程中，等式兩邊必須同時進行。即：同時加或同時減，同時乘以或同時除以，不能漏掉某一邊。
（2）等式變形過程中，兩邊同加或同減，同乘或同除以的數或整式必須相同。
（3）在等式變形中，以下兩個性質也經常用到：
①等式具有對稱性，即：如果 ，那麼 。
②等式具有傳遞性，即：如果 ， ，那麼 。黑體小四
二、方程的相關概念黑體小四
1、方程，含有未知數的等式叫作方程。 注意：定義中含有兩層含義，即：方程必定是等式，即是用等號連接而成的式子；方程中必定有一個待確定的數即未知的字母。二者缺一不可。楷體五號
2、方程的次和元 方程中未知數的最高次數稱為方程的次，方程中不同未知數的個數稱為元。楷體五號
3、方程的已知數和未知數楷體五號
已知數：一般是具體的數值，如 中（ 的係數是1，是已知數。但可以不説）。5和0是已知數，如果方程中的已知數需要用字母表示的話，習慣上有等表示。
未知數：是指要求的數，未知數通常用 、、等字母表示。如：關於 、的方程 中， 、、是已知數， 、是未知數。楷體五號
4、方程的解 使方程左、右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解。楷體五號
5、解方程 求得方程的解的過程。
注意：解方程與方程的解是兩個不同的概念，後者是求得的結果，前者是求出這個結果的過程。
6、方程解的檢驗楷體要驗證某個數是不是一個方程的解，只需將這個數分別代入方程的左邊和右邊，如果左、右兩邊數值相等，那麼這個數就是方程的解，否則就不是。黑體小四
三、一元一次方程的定義體小四
1、一元一次方程的概念 只含有一個未知數，並且未知數的最高次數是1，係數不等於0的方程叫做一元一次方程，這裏的“元”是指未知數，“次”是指含未知數的項的最高次數。楷體五號
2、一元一次方程的形式楷體五號
標準形式： （其中 ， ， 是已知數）的形式叫一元一次方程的標準形式。
最簡形式：方程 （ ， ， 為已知數）叫一元一次方程的最簡形式。
注意：(1)任何一元一次方程都可以轉化為最簡形式或標準形式，所以判斷一個方程是不是一元一次方程，可以通過變形為最簡形式或標準形式來驗證。如方程 是一元一次方程。如果不變形，直接判斷就出會現錯誤。
（2）方程 與方程 是不同的，方程 的解需要分類討論完成。黑體小四
四、一元一次方程的解法
1、解一元一次方程的一般步驟五號
（1）去分母：在方程的兩邊都乘以各分母的最小公倍數。 注意：不要漏乘不含分母的項，分子是個整體，含有多項式時應加上括號。
（2）去括號：一般地，先去小括號，再去中括號，最後去大括號。 注意：不要漏乘括號裏的項，不要弄錯符號。
（3）移項：把含有未知數的項都移到方程的一邊，不含未知數的項移到方程的另一邊。 注意：①移項要變號；②不要丟項。
（4）合併同類項：把方程化成 的形式。 注意：字母和其指數不變。
（5）係數化為1：在方程的兩邊都除以未知數的係數 ，得到方程的解 。 注意：不要把分子、分母搞顛倒。體五號
2、解一〈ＷＷＷ．〉元一次方程常用的方法技巧 解一元一次方程常用的方法技巧有：整體思想、換元法、裂項、拆添項以及運用分式的恆等變形等。
3、關於x的方程 ax b 解的情況 ⑴當a 0時，x ⑵當a ，b 0時，方程有無數多個解 ⑶當a 0，b 0時，方程無解
練習1、等式的概念和性質
1、下列説法不正確的是
A.等式兩邊都加上一個數或一個等式，所得結果仍是等式。
B.等式兩邊都乘以一個數，所得結果仍是等式。 C.等式兩邊都除以一個數，所得結果仍是等式。
D.一個等式的左、右兩邊與另一個等式的左、右兩邊分別相加，所得結果仍是等式。
2、根據等式的性質填空。
（1） ，則 ； (2) ，則 ；
（3） ，則 ； (4) ，則 。
練習2、方程的相關概念
1、列各式中，哪些是等式？哪些是代數式，哪些是方程？
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；
⑦ ；⑧ ；⑨ 。
2、判斷題。
（1）所有的方程一定是等式。
（2）所有的等式一定是方程。
（3） 是方程。
（4） 不是方程。
（5） 不是等式，因為 與 不是相等關係。
（6） 是等式，也是方程。
（7）“某數的3倍與6的差”的含義是 ，它是一個代數式，而不是方程。
練習3、一元一次方程的定義
1、在下列方程中哪些是一元一次方程？哪些不是？説明理由：
(1)3x+5=12; (2) + =5; (3)2x+y=3; (4)y2+5y-6=0; (5) =2.
2、已知 是關於 的一元一次方程，求 的值。
3、已知方程 是關於x的一元一次方程，則m=_________
4、已知方程 是一元一次方程，則 ； 。
練習4、一元一次方程的解與解法
1)一元一次方程的解 一)、根據方程解的具體數值來確定
1、若關於x的方程 的解是 ，則代數式 的值是_________。
2、若 是方程 的一個解，則 。
3、某同學在解方程 ，把 處的數字看錯了，解得 ，該同學把 看成了 。
二)、根據方程解的個數情況來確定楷體五號
1、關於 的方程 ，分別求 ， 為何值時，原方程：
（1）有唯一解；(2)有無數多解；(3)無解。
2、已知關於 的方程 有無數多個解，那麼 ， 。
3、已知方程 有兩個不同的解，試求 的值。
三)、根據方程定解的情況來確定楷體五號
1、若 ， 為定值，關於 的一元一次方程 ，無論 為何值時，它的解總是 ，求 和 的值。
2、當 取符合 的任意數時，式子 的值都是一個定值，其中 ，求 ， 的值。
五號
四)、根據方程整數解的情況來確定楷體五號
1、已知 為整數，關於 的方程 的解為正整數，求 的值。
2、已知關於 的方程 有整數解，那麼滿足條件的所有整數 =
3、若方程 有一個正整數解，則 取的最小正數是多少？並求出相應方程的解。
號
五)、根據方程公共解的情況來確定
1、若 和 是關於 的同解方程，則 的值是 。
2、已知關於 的方程 ，和方程 有相同的解，求這個相同的解。
3、已知關於 的方程 僅有正整數解，並且和關於 的方程 是同解方程。若 ， ，求出這個方程可能的解。
2)一元一次方程的解法 一)、基本類型的一元一次方程的解法
1、解方程：(1) (2) - =1- (3)
二)、分式中含有小數的一元一次方程的解法楷體五號
1、解方程：(1) (2)
（3） (4)
三)、含有多層括號的一元一次方程的解法體五號
1、解方程：(1) (2) (3)
四)、一元一次方程的技巧解法
1、解方程：(1) (2)
（3） (4)
一、填空題。（每小題3分，共24分）
1、已知4x2n-5+5=0是關於x的一元一次方程，則n=_______.
2、若x=-1是方程2x-3a=7的解，則a=_______.
3、當x=______時，代數式 x-1和 的值互為相反數。
4、已知x的 與x的3倍的和比x的2倍少6，列出方程為________.
5、在方程4x+3y=1中，用x的代數式表示y，則y=________.
6、某商品的進價為300元，按標價的六折銷售時，利潤率為5%，則商品的標價為____元。
7、已知三個連續的偶數的和為60，則這三個數是________.
8、一件工作，甲單獨做需6天完成，乙單獨做需12天完成，若甲、乙一起做，則需________天完成。
二、選擇題。（每小題3分，共30分）
9、方程2m+x=1和3x-1=2x+1有相同的解，則m的值為。
A.0 B.1 C.-2 D.-
10、方程│3x│=18的解的情況是。
A.有一個解是6 B.有兩個解，是±6
C.無解 D.有無數個解
11、若方程2ax-3=5x+b無解，則a，b應滿足。
A.a≠ ，b≠3 B.a= ，b=-3
C.a≠ ，b=-3 D.a= ，b≠-3
12、解方程 時，把分母化為整數，得。
A、B、C、D、
13、在800米跑道上有兩人練中長跑，甲每分鐘跑300米，乙每分鐘跑260米，兩人同地、同時、同向起跑，t分鐘後第一次相遇，t等於。
A.10分 B.15分 C.20分 D.30分
14、某商場在統計今年第一季度的銷售額時發現，二月份比一月份增加了10%，三月份比二月份減少了10%，則三月份的銷售額比一月份的銷售額。
A.增加10% B.減少10% C.不增也不減 D.減少1%
15、在梯形面積公式S= (a+b)h中，已知h=6釐米，a=3釐米，S=24平方釐米，則b=（ ）釐米。
A.1 B.5 C.3 D.4
16、已知甲組有28人，乙組有20人，則下列調配方法中，能使一組人數為另一組人數的一半的是。
A.從甲組調12人去乙組 B.從乙組調4人去甲組
C.從乙組調12人去甲組 D.從甲組調12人去乙組，或從乙組調4人去甲組
17、足球比賽的規則為勝一場得3分，平一場得1分，負一場是0分，一個隊打了14場比賽，負了5場，共得19分，那麼這個隊勝了場。
A.3 B.4 C.5 D.6
18、如圖所示，在甲圖中的左盤上將2個物品取下一個，則在乙圖中右盤上取下幾個砝碼才能使天平仍然平衡？
A.3個 B.4個 C.5個 D.6個
三、解答題。（19，20題每題6分，21，22題每題7分，23，24題每題10分，共46分）
19、解方程：2(x-3)+3(2x-1)=5(x+3)
20、解方程：
21、如圖所示，在一塊展示牌上整齊地貼着許多資料卡片，這些卡片的大小相同，卡片之間露出了三塊正方形的空白，在圖中用斜線標明。已知卡片的短邊長度為10釐米，想要配三張圖片來填補空白，需要配多大尺寸的圖片。
22、一個三位數，百位上的數字比十位上的數大1，個位上的數字比十位上數字的3倍少2.若將三個數字順序顛倒後，所得的三位數與原三位數的和是1171，求這個三位數。
23、據瞭解，火車票價按“ ”的方法來確定。已知A站至H站總里程數為1500千米，全程參考價為180元。下表是沿途各站至H站的里程數：
車站名 A B C D E F G H
各站至H站
里程數(米) 1500 1130 910 622 402 219 72 0
例如：要確定從B站至E站火車票價，其票價為 =87.36≈87(元)。
（1）求A站至F站的火車票價（結果精確到1元）。
（2）旅客王大媽乘火車去女兒家，上車過兩站後拿着車票問乘務員：“我快到站了嗎？”乘務員看到王大媽手中的票價是66元，馬上説下一站就到了。請問王大媽是在哪一站下的車（要求寫出解答過程）。
24、某公園的門票價格規定如下表：
購票人數 1~50人 51~100人 100人以上
票 價 5元 4.5元 4元
某校七年級甲、乙兩班共103人（其中甲班人數多於乙班人數）去遊該公園，如果兩班都以班為單位分別購票，則一共需付486元。
（1）如果兩班聯合起來，作為一個團體購票，則可以節約多少錢？
（2）兩班各有多少名學生？（提示：本題應分情況討論）
四、課堂引入
我們知道，數是人們在實際生活和生活需要中產生，並不斷擴充的、人們由記數、排序、產生數1，2，3，…；為了表示“沒有物體”、“空位”引進了數“0”，測量和分配有時不能得到整數的結果，為此產生了分數和小數、
在生活、生產、科研中經常遇到數的表示與數的運算的問題，例如課本第2頁至第3頁中提到的四個問題，這裏出現的新數：-3，-2，-2.7%在前面的實際問題中它們分別表示：零下3攝氏度，淨輸2球，減少2.7%、
（1）、像-3，-2，-2.7%這樣的數（即在以前學過的0以外的數前面加上負號“－”的數）叫做負數、而3，2，+2.7%在問題中分別表示零上3攝氏度，淨勝2球，增長2.7%，它們與負數具有相反的意義，我們把這樣的數（即以前學過的0以外的數）叫做正數，有時在正數前面也加上“＋”（正）號，例如，+3，+2，+0.5，+ ，…就是3，2，0.5， ，…一個數前面的“＋”、“－”號叫做它的符號，這種符號叫做性質符號
（2）、中國古代用算籌（表示數的工具）進行計算，紅色算籌表示正數，黑色算籌表示負數
（3）、數0既不是正數，也不是負數，但0是正數與負數的分界數
（4） 、0可以表示沒有，還可以表示一個確定的量，如今天氣温是0℃，是指一個確定的温度；海拔0表示海平面的平均高度。
用正負數表示具有相反意義的量。
（5）、把0以外的數分為正數和負數，起源於表示兩種相反意義的量、正數和負數在許多方面被廣泛地應用、在地形圖上表示某地高度時，需要以海平面為基準，通常用正數表示高於海平面的某地的海拔高度，負數表示低於海平面的某地的海拔高度、例如：珠穆朗瑪峯的海拔高度為8844，吐魯番盆地的海拔高度為-155、記錄賬目時，通常用正數表示收入款額，負數表示支出款額。
（6）、請學生解釋課本中圖1、1-2，圖1、1-3中的正數和負數的含義。
（7）、你能再舉一些用正負數表示數量的實際例子嗎？
（8）、例如，通常用正數表示汽車向東行駛的路程，用負數表示汽車向西行駛的路程；用正數表示水位升高的高度，用負數表示水位下降的高度；用正數表示買進東西的數量，用負數表示賣出東西的數量
1、1 正數和負數 2課時
1、2 有理數 5課時
1、3 有理數的加減法 4課時
1、4 有理數的乘除法 5課時
1、5 有理數的乘方 4課時
第一章有理數 2課時
1、1正數和負數
一、教學目標
1．使學生認識平行線的特徵，能靈活地利用平行線的三個特徵解決問題．
2．繼續對學生進行初步的數學語言的訓練，使學生能用數學語言敍述平行線的特徵，並能用初步的數學語言進行簡單的邏輯推理．
3．使學生理解平移的思想，知道圖形經過平移以後的位置，並能畫出平移後的圖形．
4．通過利用“幾何畫板”所做的數學實驗的`演示等，培養學生的觀察能力，即在圖形的運動變化中抓住圖形的本質特徵，發展學生邏輯思維能力，通過實際問題的解決培養學生分析問題和解決問題的能力．
5．通過課堂設疑，培養學生勇於發現、探索新知識的精神．
6．通過創設問題情境，讓學生親身體驗、直觀感知並操作確認，激發學生自主學習的慾望，使之愛學、會學、學會、會用．
二、教學重點
平行線的三個特徵．
三、教學難點
靈活地利用平行線的三個特徵解決問題．
四、教學過程
老師：同學們，如圖所示，是我們大連的馬欄河，河上有兩座橋：新華橋和光明橋．河的兩岸是兩條平行的公路：黃河路與高爾基路，某測量員在A點測得．如果你不通過測量，能否猜出的度數是多少？
王亮：．
老師：他到底猜得對不對呢？下面我們要先做一個實驗，拿出尺子，畫兩條平行的直線a、b，第三條直線l和這兩條直線相交，標出所得到的角，用量角器量出各個角的度數，觀察當兩直線平行時，各種角有什麼關係．
學生動手按要求做實驗．
老師：將你發現的規律與組內同學進行交流．
學生以小組為單位進行交流與研究．
老師：請每組派一名代表將你們得到的規律寫到黑板上，並結合你畫的圖講解你們組的結論．
第1組學生代表：如果兩直線平行，同位角就相等。
【學習目標】
1、能根據題意用字母表示未知數，然後分析出等量關係，再根據等量關係列出方程。
2、理解什麼是一元一次方程。
3、理解什麼是方程的解及解方程，學會檢驗一個數值是不是方程的解的方法。
【重點難點】
體會找等量關係，會用方程表示簡單實際問題，能驗證一個數是否是一個方程的解。
【導學指導】
一、温故知新
1：前面學過有關方程的一些知識，同學們能説出什麼是方程嗎？
答：叫做方程。
一元一次方程複習
注意：我們在解一元一次方程時，既要學會按部就班（嚴格按步驟）地解方程，又要善於認真觀察方程的結構特徵，靈活採用解方程的一些技巧，隨機應變（靈活打亂步驟）解方程，能達到事半功倍的效果。對於一般解題步驟與解題技巧來説，前者是基礎，後者是機智，只有真正掌握了一般步驟，才能熟能生巧。
解一元一次方程常用的技巧有：
（1）有多重括號，去括號與合併同類項可交替進行
（2）當括號內含有分數時，常由外向內先去括號，再去分母
（3）當分母中含有小數時，可根據xx分數的基本性質xx把分母化成整數
（4）運用整體思想，即把含有未知數的代數式看作整體進行變形
（三）實際問題與一元一次方程
1、用一元一次方程解決實際問題的一般步驟是：
（1）審題，搞清已知量和待求量，分析數量關係。 （審題，尋找等量關係）
（2）根據數量關係與解題需要設出未知數，建立方程；
（3）解方程；
（4）檢查和反思解題過程，檢驗答案的正確性以及是否符合題意，並作答。
2、用一元一次方程解決實際問題的典型類型
（1）數字問題：①數的表示方法：一個三位數的百位數字為a，十位數字是b，個位數字為c則這個三位數表示為xx100a+10b+cxx（其中a、b、c均為整數，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）。
②用一個字母表示連續的自然數、奇數、偶數等規律數。
（2）和、差、倍、分問題：關鍵詞是“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾，增長率，哪個量比哪個量……”
《第三章一元一次方程》精編導學
3.1從算式到方程
【學習目標】
1、知道什麼是方程，什麼是一元一次方程；
2、在實際問題中，能夠找到並利用題中的等量關係列出方程。
【重點難點】
重點1.歸納方程、一元一次方程的概念；
2、分析實際問題中的數量關係，利用其中的相等關係列出方程。
難點：能夠用方程解決一些實際問題。
【學法指導】
自主探究、合作學習
【自主學習，基礎過關】
1、(1)3+b=2b+1 (2)4+x=7
（3） 0.7x=1400 (4)2x-2=6
請大家觀察上面4個式子有什麼共同特點？
從而得到：xxxxxxxxxxxxxxx的等式叫做方程。
2、閲讀課本78頁問題，你能用算術方法解答嗎？試一試。
若設A，B兩地間的路程是x km?則從A地到B地，卡車用了小時，客車用了小時。根據題意，可列出等式嗎？
還有其他的解法嗎？試着改變一種設法。
我的疑惑
【合作探究，釋疑解惑】
1、根據下面實際問題中的數量關係，設未知數列出方程：
①用一根長為48cm的鐵絲圍成一個正方形，正方形的邊長為多少？
②某校女生人數佔全體學生數的52%，比男生多80人，這個學校有多少學生？
③練習本每本0.8元，小明拿了10元錢買了若干本，還找回4.4元。問：小明買了幾本練習本？
小結：像上面①、②、③中列出的。方程，它們都含有xxxxx個未知數(元)，未知數的次數都是xxxxxxx，這樣的方程叫做一元一次方程。
（即方程的一邊或兩邊含有未知數）
【檢測反饋，學以致用】
1、根據條件列出等式：
①比a大5的數等於8：
②某數的30%比它的2倍少34：
③27與x的差的一半等於x的4倍：xxxxxxxxx
④比a的3倍小2的數等於a與b的和：
2、列方程解決實際問題
（1）用一根長24cm的鐵絲圍成一個長方形，使它的長是寬的1.5倍，長方形的長，寬各應是多少？
（2）小芳種了一株樹苗，開始時樹苗高為40釐米，栽種後每週升高約15釐米，大約幾周後樹苗長高到1米？
【總結提煉，知識昇華】
1、學習收穫
2、需要注意的問題
【課後訓練，鞏固拓展】
1、必做題：教科書80頁練習1,2,3,4題；
2、懸賞題（2個優）
雞兔同籠，上有20頭，下有52足，請問雞兔各有多少隻？
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