1、引言
勾股定理是國中數學中非常重要的一個定理[1]。它很好地解釋了直角三角形中三條邊之間的數量關係，對於幾何學當中有關直角三角形的計算機證明問題，利用勾股定理往往能夠迎刃而解，使學生快速掌握解決方法。同時，在日常生活及工作當中，勾股定理的應用也非常廣泛。因此，在國中數學教學過程中，充分利用好勾股定理這一有效手段進行解題顯得尤為重要。筆者結合多年的教學經驗，利用勾股定理，對國中數學當中的“線段求長問題”、“求角問題”、“證明垂直問題”及“實際問題”進行了分析與探究，希望以此能夠為國中數學教學提供有效依據。
2、勾股定理在線段問題中的應用
在國中數學中，一些“線段求長”問題使用常規方面解決常表現的較為棘手，而使用勾股定理往往能夠得以有效解決。例題1：如圖1，在三角形ABC中，已知：∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的三個頂點分別位於相互平行的三條直接l1、l2、l3上，並且l1與l2之間的距離為2，l2,與l3之間的距離為3，求AC的長度。解：過A作l3的垂線交l3於D，過C作l3的垂線交l3於E，由已知條件：∠ABC＝90°，AB＝BC，得：Rt△ABD與Rt△BEC全等；所以，AD＝BE＝3，DB＝CE＝5；進而得：AB2＝BC2＝32＋52＝9＋25＝34；在直角三角形ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝68，所以：AC=217姨
3、勾股定理在求角問題中的應用
在國中數學當中，有些求角問題使用常規方法難以解決，而使用勾股定理則能夠很快地解決。因此，將在求角問題中充分應用勾股定理便有着實質性的作用[2]。例題2：如圖2，在等邊△ABC中，有一點P，已知PA、PB、PC分別等於3、4、5，試問∠APB等於多少度？解：把△APC繞着點A旋轉，旋轉至△ABQ，讓AB和AC能夠重合；此時，AP＝AQ＝3，BQ＝PC＝5，，∠PAQ＝∠BAC＝60°；所以，△PAQ是等邊三角形；所以，PQ＝3；在三角形PBQ當中，PB、BQ分別等於4、5，所以，三角形PBQ是直角三角形，其中∠BPQ＝90°；所以，∠APB＝∠BPQ＋∠APQ＝90°+60°＝150°。
4、勾股定理在證明垂直問題中的應用
在國中數學當中，一些證明垂直的問題如果利用勾股定理進行求解，那麼將能夠達到事半功倍的效果。下面筆者結合有關證明垂直問題的題型展開討論。例題3：如圖3所示，已知AB＝4，BC＝12，CD＝13，DA＝3，AB⊥AD，證明：BC⊥BD[3]。證明：由已知條件AB⊥AD可知，在三角形ABD中，∠BAD＝90°；因為AD、AB分別為3、4，由勾股定理可知：BD2＝AB2＋AD2＝32＋42，求得：BD＝5，又因為BD2＋BC2＝52＋122＝132＝CD2；因此，三角形DBC為直角三角形，其中∠CBD＝90°；所以，BC⊥BD。
5、勾股定理在實際問題中的應用
對於勾股定理，還能夠解決實際問題，並且這些實際問題都是在日常生活中可以看到的。例題4：一棵小樹高為4米，現有小鳥A停留在樹梢上，此時小鳥B停留在高20米的一棵大樹樹梢上發出友好的叫聲，已知大樹與小樹的距離為12米，如果小鳥A以4m/s的速度飛往大樹樹梢，試問：小鳥A至少需要多長時間才能夠與小鳥B在一起？解：如圖4，根據題乾的已知條件可知，AC＝16m，BC＝12m，由勾股定理得：AB2＝AC2＋BC2＝162＋122，求得AB＝20m；所以，小鳥A所需時間為20/4＝5秒。筆者認為，利用勾股定理解決實際問題，需要弄清題意，進而對題目中所涉及的直角三角形找出來，然後結合勾股定理進行求解[4]。在例題4中，最主要的步驟便是依照題意，結合勾股定理，然後畫出大樹與小樹之間的直角三角形，在充分利用已知條件的基礎上，便能夠使問題有效解決。
6、結語
通過本課題的探究，認識到在國中數學中，對於許多問題可以利用勾股定理進行求解。包括“線段求長問題”、“求角問題”、“證明垂直問題”及“實際問題”等。筆者認為，勾股定理在幾何學當中佔有非常重要的地位，它不僅僅只是一種解決數學問題的定理那麼簡單，它還與我們的日常生活息息相關。在數學教學過程中，學習勾股定理進行解題，不但能夠提高學生解題的效率，而且還能夠讓學生對生活引發思考，從而在學習數學過程中，體會到生活與數學學科的密切聯繫，進一步為數學在生活中的實際應用奠定良機。
勾股定理的小論文
勾股定理及其逆定理揭示了直角三角形三邊的數量關係，體現了“數形統一”的數學思想。勾股定理和它的逆定理不但是解直角三角形的重要依據，而且是各省市會考必考的知識點，同時在實際生活中的應用也十分廣泛。
這裏我們不探索勾股定理的應用，只探索勾股定理的逆定理的應用。筆者在長期的國中數學教學中發現，有許多學生在涉及到判斷三角形的形狀、計算圖形的面積時，還是不知道應該如何利用勾股定理的逆定理來解決問題。由於勾股定理及其逆定理把直角三角形中有一個直角的“形”的特徵，轉化為三邊之間的“數”的關係，也就是把幾何學與代數學有機地結合在一起了。因此，我們應用勾股定理的逆定理抽象出數學方程模型或者進行圖形的轉化是判斷三角形的形狀、計算圖形的面積問題的一種行之有效的方法。在應用勾股定理的逆定理解決問題的時候，一定要讓學生去思考、討論、交流甚至是探究，讓他們經歷解題的過程，最終樹立“數形結合”的數學思想和方法，正如《課標》所説：“它不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和藴含的數學思想方法。”下面，筆者就勾股定理的逆定理的應用談談自己的看法。
一、利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀
例1：已知在三角形中，a、b、c分別是它的三邊，並且a+b=10，ab=18，c=8，判斷三角形的形狀。
分析：由於題目中涉及兩邊之和與兩邊的積，所以先結合完全平方公式得出a2+b2的`值，再檢驗a2+b2與c2的大小，就可以得出相應的結論。
所以，凡是給出三角形的三邊或者邊之間的關係判斷三角形的形狀，都應考慮應用勾股定理的逆定理來進行判斷。
變式訓練：l所示，已知：在△ABC中，AB=13，BC=l0，BC邊上的中線AD=12。求證：△ABC是等腰三角形。
二、利用勾股定理的逆定理與勾股定理結合計算圖形的面積
例2：所示，已知在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AD=12，CD=13。求四邊形ABCD的面積。
分析：由於這是不規則的四邊形，所以不能直接計算面積，可根據題目所給數據特徵，聯想勾股數，先連接AC，轉化成兩個三角形的面積之差，並判斷兩個三角形的形狀，就可以實現四邊形向三角形轉化，得出相應的結論。所以，計算不規則的四邊形的面積，一般要通過構造直角三角形再利用三角形的面積的和或差進行計算。
變式訓練：3所示，已知四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。
以上我們討論了利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀以及利用勾股定理的逆定理與勾股定理結合的方式計算圖形的面積的問題，利用這種方法應該説是一種比較簡捷、有效的方法。我們在引導學生利用勾股定理的逆定理解決實際問題時，一定要讓學生進行變式訓練，並進行一題多解、一題多練，從而達到舉一反三、觸類旁通的目的。同時，我們還要注意發揮學生的主體作用，讓學生主動地去發現問題、探究問題進而解決問題，從而培養學生的思維能力和創新能力。《課標》指出：“教師要處理好講授與學生自主學習的關係，引導學生獨立思考、主動探索、合作交流，使學生理解和掌握基本的數學知識與技能，體會和運用數學思想與方法，獲得基本的數學活動經驗。”讓學生掌握基本的數學知識和基本的數學技能不是最根本的目的，最根本的目的是通過數學學習，訓練學生的思維能力，提高他們的創新性和創造性。
在學習和應用勾股定理的逆定理過程中，我們可以結合“綜合與實踐”課給學生灌輸“生活數學”的思想。《課標》指出：“‘綜合與實踐’內容設置的目的在於培養學生綜合運用有關的知識與方法解決實際問題，培養學生的問題意識、應用意識和創新意識，積累學生的活動經驗，提高學生解決現實問題的能力。”我們要遵循《課標》的要求和教學理念，靈活地應用勾股定理的逆定理，把勾股定理的逆定理的應用同實際生活緊密地聯繫在一起。我們要讓學生明白：數學知識來源於生活，但又要應用於生活。沒有生活就沒有數學知識，數學知識如果不應用於生活，也就失去了數學知識的價值。
總之，勾股定理的逆定理的應用是十分廣泛的。我們在引導學生應用勾股定理的逆定理時，一定要注意方式、方法，讓學生靈活地掌握和應用。
在這一環節中，我設計了這樣一個情境，多媒體動畫展示，米老鼠來到了數學王國裏的三角形城堡，要求只利用一根繩子，構造一個直角三角形，方可入城，這可難壞了米老鼠，你能幫它想辦法嗎？預測大多數同學會無從下手，這樣引出課題。只有學習了勾股定理的逆定理後，大家都能幫助米老鼠進入城堡，我認為：“大疑而大進”這樣做，充分調動學習內容，激發求知慾望，動漫演示，又有了很強的趣味性，做到課之初，趣已生，疑已質。
本環節要圍繞以下幾個活動展開：
1、算一算：求以線段a,b為直角邊的直角三角形的斜邊c長。
1a=3b=42a=5b=123a=2.5b=64a=6b=8
2、猜一猜，以下列線段長為三邊的三角形形狀
13cm4cm5cm25cm12cm13cm
32.5cm6cm6.5cm46cm8cm10cm
3、擺一擺利用方便筷來操作問題2，利用量角器來度量，驗證問題2的發現。
4、用恰當的語言敍述你的結論
在算一算中學生複習了勾股定理，猜一猜和擺一擺中學生小組合作動手實踐，在問題1的基礎上做出合理的推測和猜想，這樣分層遞進找到了學生思維的最近發展區，面向不同層次的'每一名學生，每一名學生都有參與數學活動的機會，最後運用恰當的語言表述，得到了勾股定理的逆定理。在整個過程的活動中，教師給學生充分的時間和空間，教師以平等的身份參與小組活動中，傾聽意見，幫助指導學生的實踐活動。學生的擺一擺的過程利用實物投影儀展示，在活動中教師關注；
1）學生的參與意識與動手能力。
2）是否清楚三角形三邊長度的平方關係是因，直角三角形是果。既先有數，後有形。
3）數形結合的思想方法及歸納能力。
八年級正是學生由實驗幾何向推理幾何過渡的重要時期，多數學生難以由直觀到抽象這一思維的飛躍，而勾股定理的逆定理的證明又不同於以往的幾何圖形的證明，需要構造直角三角形才能完成，而構造直角三角形就成為解決問題的關鍵，直接拋給學生證明，無疑會石沉大海，所以，我採用分層導進的方法，以求一石激起千層浪。
1.三邊長度為3cm,4cm,5cm的三角形與以3cm,4cm為直角邊的直角三角形之間有什麼關係？你是怎樣得到的？請簡要説明理由？
2.△abc三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2與a,b為直角三角形之間有何關係？試説明理由？
為了較好完成教師的誘導，教師要給學生獨立思考的時間，要給學生在組內交流個別意見的時間，教師要深入小組指導與幫助，並利用實物投影儀展示小組成果，取得階段性成果再探究問題2.這樣由特殊到一般，凸顯了構造直角三角形這一解決問題的關鍵，讓他們在不斷的探究過程中，親自體驗參與發現創造的愉悦，有效的突破了難點。
教學目標：
1、知識目標：
（1）掌握；
（2）學會利用進行計算、證明與作圖；
（3）瞭解有關的歷史。
2、能力目標：
（1）在定理的證明中培養學生的拼圖能力；
（2）通過問題的解決，提高學生的運算能力
3、情感目標：
（1）通過自主學習的發展體驗獲取數學知識的感受；
（2）通過有關的歷史講解，對學生進行德育教育．
教學重點：及其應用
教學難點：通過有關的歷史講解，對學生進行德育教育
教學用具：直尺，微機
教學方法：以學生為主體的討論探索法
教學過程：
1、新課背景知識複習
（1）三角形的三邊關係
（2）問題：（投影顯示）
直角三角形的三邊關係，除了滿足一般關係外，還有另外的特殊關係嗎？
2、定理的獲得
讓學生用文字語言將上述問題表述出來．
：直角三角形兩直角邊 的平方和等於斜邊 的平方
強調説明：
（1）勾――最短的邊、股――較長的直角邊、弦――斜邊
（2）學生根據上述學習，提出自己的問題（待定）
學習完一個重要知識點，給學生留有一定的時間和機會，提出問題，然後大家共同分析討論．
3、定理的證明方法
方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖1所示的正方形。
方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖2所示的正方形，
方法三：“總統”法。如圖所示將兩個直角三角形拼成直角梯形
以上證明方法都由學生先分組討論獲得，教師只做指導。最後總結説明
4、定理與逆定理的應用
例1 已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝ ，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB於D，求CD的長。
解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，BC＝3，由有
∴ ∠2＝∠C
又
∴
∴CD的長是2.4cm
例2 如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝ ，D是BC上任一點，
求證：
證法一：過點A作AE⊥BC於E
則在Rt△ADE中，
又∵AB＝AC，∠BAC＝
∴AE＝BE＝CE
即
證法二：過點D作DE⊥AB於E， DF⊥AC於F
則DE∥AC，DF∥AB
又∵AB＝AC，∠BAC＝
∴EB＝ED，FD＝FC＝AE
在Rt△EBD和Rt△FDC中
在Rt△AED中，
∴
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摘 要：勾股定理又名商高定理，也名畢達哥拉斯定理。從兩千多年前至今都有人在研究，其證明方法多達500種，並且在實際生活中有廣泛應用。在中學階段，勾股定理是幾何部分最重要的定理之一，不僅是教學的重點、難點、考點，而且也是幾何學習的基礎，除此之外，還可以激發學生學習興趣，開拓學生知識面，提升學生思維水平。
關鍵詞：勾股定理 中學生 心理特徵 證明方法 解題思路。
一、勾股定理介紹
在古代中國，數學着作《周髀算經》開頭，記載着一段周公向商高請教數學知識的對話：昔者周公問於商高曰：“竊聞乎大夫善數也，請問昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請問數安從出？”商高答曰：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，並而開方除之，得邪至日”這是中國古代對勾股定理的最早記錄。在《九章算術》中，“勾股術曰：勾股各自乘，並而開方除之，即弦．又股自乘，以減弦自乘，其餘開方除之，即勾．又勾自乘，以減弦自乘，其餘開方除之，即股”。畢達哥拉斯參加一次餐會，餐廳鋪着正方形大理石地磚，他凝視這些排列規則、美麗的方形磁磚，但畢達哥拉斯不只是欣賞磁磚的美麗，而是想到它們和“數”之間的關係，於是拿了畫筆並且蹲在地板上，選了一塊磁磚以它的對角線 為邊畫一個正方形，他發現這個正方形面積恰好等於兩塊磁磚的面積和。這是西方對畢達哥拉斯定理最早的描述。
二、中學生心理特徵
中學階段的學生正處於發育的第二高峯期，在生理和心理上都有很大的變化，在心理上的普遍特徵：1.有意注意發展顯着，注意的範圍擴大，穩定性和集中性增強；2.記憶力隨着年齡的增長而增加，對圖片、音頻等感性的記憶較好，對公式、定理等純理論的記憶較差，尤其是數學學科，基礎的理論公式很多，學生很容易記混淆；3.抽象思維的能力有提升，處於形式運算階段，但對事物的思考基本還停留在事物表面，沒有完全形成自主有意識的抽象思維傾向；4.自制力有所提升，他們開始喜歡崇拜有意志力、自控力的人，但是自身的自制力比較薄弱。雖然我並不贊成把學生分為優等生、中等生和差等生，但是在實際的教育中，是存在這樣的分化，並且學生都存在上述的四個普遍特徵，也存在一些差異：學習能力、思維方式、自制力等不同。優等生在各個方面普遍比中等生好，而中等生又普遍比差等生好，我們應該從這些差異點着手，因材施教，激發學習興趣，提升學習能力，引導自主學習，減少學生之間的差異，使學生健康成長，實現自我價值。
三、勾股定理的典型證明方法
勾股定理是全人類文明的一個象徵，也是平面幾何學的一顆明珠，在實際生活中也有廣泛應用。兩千年以來，人們從來沒有停止對勾股定理的研究。據不完全統計，勾股定理的證明方法多達500種，每一種方法都有優點，每一種方法都包含全人類的智慧。但在中學教學中，我們不可能做到面面俱到，只能教給學生一些典型、基礎的證明方法，通過教學引導學生自主學習，自主探索。
説明：第一種證明方法有兩個要點：1.幾何圖形的變化；2.確定等量關係。國中生可以理解這兩個要點，因此，我們可以以探究的形式讓學生自己做，一來可以提高學生自主學習的興趣，二來也符合當下的教育理念——探究學習。對於基礎較薄弱的學生而言，在掌握基本知識點的同時，可以增加他們學習數學的興趣，減少對數學的畏懼情緒，對於基礎較好的學生而言，他們可以通過這種證明方法，自學勾股定理的基本知識。第二、三種方法分別結合了相似三角形和圓的基礎知識點，在教授相似三角形和圓的`相關定理時，提出他們在勾股定理證明中的運用。把前後知識點串聯起來，差等生可以回顧勾股定理，加深理解，激發他們學習的興趣，中等生和優等生可以構建不同知識點之間的聯繫，形成知識體系，提升他們的抽象思維能力，對後繼學習有很大幫助。
四、勾股定理的典型解題思路
本題先通過不變量尋找等量關係，再利用勾股定理求解問題。引導基礎較差的學生通過摺疊尋找圖形中的不變量，建立等量關係，提升其處理數學問題的信心，學會一些數學的基本方法和思維方式；引導基礎較好的學生複習對稱圖形的性質，適當提煉解題思路，構建知識體系。
説明：題目本身很簡單，由題目容易想到勾股數3、4、5，而忽略分類討論。我們應引導學生突破慣性思維，不能過於片面、主觀，應認真仔細省題。國中生對問題有思考，但思考的深度不夠。通過這道題可以告訴學生：突破慣性思維，全面思考問題，不懼怕數學題，使他們願意主動思考數學題。本題運用到分類討論思想，這個思想在數學上的運用十分廣泛。
五、結語
勾股定理是中學階段最重要的定理之一，本文從中學生的心理特徵，以及不同層次的學生的不同學習特點、心理特點出發，立足縮國小生間的層次差異、實現學生自我價值的觀點，討論勾股定理在實際教學中的不同證明方法的教法，和一些典型題型的解題思路，以及如何在教課過程中引導不同層次的學生學習，產生數學學習興趣，構建數學知識體系。
參考文獻：
[1]《周髀算經》[M].文物出版社1980年3月。據宋代嘉靖六年本影印。
[2]《九章算術》[M].重慶大學出版社。10月。
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