教學目標
1、知識與技能目標
學會觀察圖形，勇於探索圖形間的關係，培養學生的空間觀念．
2、過程與方法
（1）經歷一般規律的探索過程，發展學生的抽象思維能力．
（2）在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數學建模的思想．
3、情感態度與價值觀
（1）通過有趣的問題提高學習數學的興趣．
（2）在解決實際問題的過程中，體驗數學學習的實用性．
教學重點：
探索、發現事物中隱含的勾股定理及其逆及理，並用它們解決生活實際問題．
教學難點：
利用數學中的建模思想構造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實際問題．
教學準備：
多媒體
教學過程：
第一環節：創設情境，引入新課（3分鐘，學生觀察、猜想）
情景：
如圖：在一個圓柱石凳上，若小明在吃東西時留下了一點食物在B處，恰好一隻在A處的螞蟻捕捉到這一信息，於是它想從A處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎麼走最近？
第二環節：合作探究（15分鐘，學生分組合作探究）
學生分為４人活動小組，合作探究螞蟻爬行的最短路線，充分討論後，彙總各小組的方案，在全班範圍內討論每種方案的路線計算方法，通過具體計算，總結出最短路線。讓學生髮現：沿圓柱體母線剪開後展開得到矩形，研究“螞蟻怎麼走最近”就是研究兩點連線最短問題，引導學生體會利用數學解決實際問題的方法：建立數學模型，構圖，計算．
學生彙總了四種方案：
（１） （２） （3）（4）
學生很容易算出：情形（１）中A→B的路線長為：AA’+d，情形（２）中A→B的路線長為：AA’+πd／2所以情形（１）的路線比情形（２）要短．
學生在情形（３）和（４）的比較中出現困難，但還是有學生提出用剪刀沿母線AA’剪開圓柱得到矩形，前三種情形A→B是折線，而情形（４）是線段，故根據兩點之間線段最短可判斷（４）最短．
如圖：
（１）中A→B的路線長為：AA’+d;
（２）中A→B的路線長為：AA’+A’B>AB;
（３）中A→B的路線長為：AO+OB>AB;
（４）中A→B的路線長為：AB.
得出結論：利用展開圖中兩點之間，線段最短解決問題．在這個環節中，可讓學生沿母線剪開圓柱體，具體觀察．接下來後提問：怎樣計算AB？
在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得，若已知圓柱體高為12c，底面半徑為3c，π取3，則。
第三環節：做一做（7分鐘，學生合作探究）
教材23頁
李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直於底邊AB，但他隨身只帶了捲尺，
（1）你能替他想辦法完成任務嗎？
（2）李叔叔量得AD長是30釐米，AB長是40釐米，BD長是50釐米，AD邊垂直於AB邊嗎？為什麼？
（3）小明隨身只有一個長度為20釐米的刻度尺，他能有辦法檢驗AD邊是否垂直於AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？
第四環節：鞏固練習（10分鐘，學生獨立完成）
1．甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險，某日早晨8：00甲先出發，他以6/h的速度向正東行走，1小時後乙出發，他以5/h的速度向正北行走．上午10：00， 甲、乙兩人相距多遠？
2．如圖，台階A處的螞蟻要爬到B處搬運食物，它怎麼走最近？並求出最近距離．
3．有一個高為1.5米，半徑是1米的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分為0.5米，問這根鐵棒有多長？
第五環節 課堂小結（3分鐘，師生問答）
內容：
1、如何利用勾股定理及逆定理解決最短路程問題？
第六 環節：佈置作業（2分鐘，學生分別記錄）
內容：
作業：1．課本習題1．5第1，2，3題．
要求：A組（學優生）：1、2、3
B組（中等生）：1、2
C組（後三分之一生）：1
板書設計：
教學反思：
教學課題：勾股定理的應用
教學時間（日期、課時）：
教材分析：
學情分析：
教 學目標：
能運用勾股定理及直角三角形的判定條件解決實際問題。
在運用勾股定理解決實際問題的過程中，感受數學的“轉化” 思想（把解斜三角形問題轉化為解直角三角形的問題），進一步發展有條理思考和有條理表達的能力，體會數學的應用價值。
教學準備
《數學學與練》
集體備課意見和主要參考資料
頁邊批註
教學過程
一、新課導入
本課時的教學內容是勾股定理在實際中的應用。除課本提供的情境外，教學中可以根據實際情況另行設計一些具體情境，也利用課本提供的素材組織數學活動。比如，把課本例2改編為開放式的問題情境：
一架長為10m的梯子斜靠在牆上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m。如果梯子的頂端下滑0.5m，你認為梯子的底端會發生什麼變化？與同學交流 。
創設學生身邊的問題情境，為每一個學生提供探索的空間，有利於發揮學生的主體性；這樣的問題學生常常會從自己的生活經驗出發，產生不同的思考方法和結論（教學中學生可能的結論有：底端也滑動 0.5m；如果梯子的頂端滑到地面 上，梯子的頂端則滑動8m，估計梯子底端的滑動小於8m，所以梯子的頂端 下滑0.5m，它的底端的滑動小於0.5m；構造直角三角形，運用勾股定理計算梯子滑動前、後底端到牆的垂直距離的差，得出梯子底端滑動約0.61m的結論等）；通過與同學交流，完善各自的想法，有利於學生主動地把實際問題轉化為數學問題 ，從中感受用數學的眼光審視客觀世界的樂趣 。
二、新課講授
問題一 在上面的情境中，如果梯子的頂端下滑 1m，那麼梯子的底端滑動多少米？
組織學生嘗試用勾股定理解決問題，對有困難的學生教師給予及時的幫助和指導。
問題二 從上面所獲得的信息中，你對梯子下滑的變化過程有進一步的思考嗎？與同學交流。
設計問題二促使學生能主動積 極地從數學的角度思考實際問題。教學中學生可能會有多種思考、比如，①這個變化過程中，梯子底端滑動的距離總比頂端下滑的距離大；②因為梯子頂端 下滑到地面時，頂端下滑了8m，而底端只滑動4m，所以這個變化過程中，梯子底端滑動的距離不一定比頂端下滑的距離大；③由勾股數可知，當梯子頂端下滑到離地面的垂直距離為6m，即頂端下滑2m時，底端到牆的垂直距離是8m，即底端電滑動2m等。教學中不要把尋找規律作為這個探索活動的目標，應讓學生進行充分的交流，使學生逐步學會運用數學的眼光去審視客觀世界，從不同的角度去思考問題，獲得一些研究問題的經驗和方法、
3、例題教學
課本的例1是勾股定理的簡單應用，教學中可根據教學的實際情況補充一些實際應用問題，把課本習題2.7第4題作為補充例題。通過這個問題的討論，把“32+b2=c2”看作一個方程，設折斷處離地面x尺，依據問題給出的條件就把它轉化為熟悉的會解的一元二次方程32+x2=（10—x）2，從中可以讓學生感受數學的“轉化”思想，進一步瞭解勾股定理的悠久歷史和我國古代人民的聰明才智、
三、鞏固練習
1、甲、乙兩人同時從同一地點出發，甲往東走了4km，乙往南走了6km，這時甲、乙兩人相距__________km。
2、如圖，一圓柱高8cm，底面半徑2cm，一隻螞蟻從點A爬到點B處吃食，要爬行的最短路程（ 取3）是（ ）。
（A）20cm （B）10cm （C）14cm （D）無法確定
3、如圖，一塊草坪的形狀為四邊形ABCD，其中∠B=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m。求這塊草坪的面積。
四、小結
我們知道勾股定理揭示了直角三角形的三邊之間的數量關係，已知直角 三角形中的任意兩邊就可以依據勾股定理求出第三邊。從應用勾股定理解決實際問題中，我們進一步認識到把直角三角形中三邊關係“a2+b2=c2”看成一個方程，只要 依據問題的條件把它轉化為我們會解的方程，就把解實際問題轉化為解方程。
一、學生知識狀況分析
本節將利用勾股定理及其逆定理解決一些具體的實際問題，其中需要學生了解空間圖形、對一些空間圖形進行展開、摺疊等活動。學生在學習七年級上第一章時對生活中的立體圖形已經有了一定的認識，並從事過相應的實踐活動，因而學生已經具備解決本課問題所需的知識基礎和活動經驗基礎。
二、教學任務分析
本節是義務教育課程標準北師大版實驗教科書八年級（上）第一章《勾股定理》第3節。具體內容是運用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題。當然，在這些具體問題的解決過程中，需要經歷幾何圖形的抽象過程，需要藉助觀察、操作等實踐活動，這些都有助於發展學生的分析問題、解決問題能力和應用意識；一些探究活動具體一定的難度，需要學生相互間的合作交流，有助於發展學生合作交流的能力。
三、本節課的教學目標是：
1、通過觀察圖形，探索圖形間的關係，發展學生的空間觀念。
2、在將實際問題抽象成數學問題的過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數學建模的思想。
3、在利用勾股定理解決實際問題的過程中，體驗數學學習的實用性。
利用數學中的建模思想構造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實際問題是本節課的重點也是難點。
四、教法學法
1、教學方法
引導—探究—歸納
本節課的教學對象是八年級學生，他們的參與意識教強，思維活躍，為了實現本節課的教學目標，我力求以下三個方面對學生進行引導：
（1）從創設問題情景入手，通過知識再現，孕育教學過程；
（2）從學生活動出發，順勢教學過程；
（3）利用探索研究手段，通過思維深入，領悟教學過程。
2、課前準備
教具：教材、電腦、多媒體課件。
學具：用矩形紙片做成的圓柱、剪刀、教材、筆記本、課堂練習本、文具。
五、教學過程分析
本節課設計了七個環節、第一環節：情境引入；第二環節：合作探究；第三環節：做一做；第四環節：小試牛刀；第五環節：舉一反三；第六環節：交流小結；第七環節：佈置作業。
1.3勾股定理的應用：課後練習
一、問題引入：
1、勾股定理：直角三角形兩直角邊的________等於________。如果用a，b和c表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那麼________。
2、勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a，b，c滿足________，那麼這個三角形是直角三角形。
1.3勾股定理的應用：同步檢測
1、為迎接新年的到來，同學們做了許多拉花布置教室，準備召開新年晚會，小劉搬來一架高2.5米的木梯，準備把拉花掛到2.4米高的牆上，則梯腳與牆角距離應為（ ）
A、0.7米B、0.8米C、0.9米D、1.0米
2、小華和小剛兄弟兩個同時從家去同一所學校上學，速度都是每分鐘走50米、小華從家到學校走直線用了10分鐘，而小剛從家出發先去找小明再到學校（均走直線），小剛到小明家用了6分鐘，小明家到學校用了8分鐘，小剛上學走了個（ ）
A、鋭角彎B、鈍角彎C、直角彎D、不能確定
3、如圖，是一個圓柱形飲料罐，底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個小圓孔，則一條到達底部的直吸管在罐內部分a的長度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計）範圍是（ ）
A、5≤a≤12 B、5≤a≤13 C、12≤a≤13 D、12≤a≤15
4、一個木工師傅測量了一個等腰三角形木板的腰、底邊和高的長，但他把這三個數據與其它的數據弄混了，請你幫助他找出來，是第（ ）組。
A、13，12，12 B、12，12，8 C、13，10，12 D、5，8，4
1、勾股定理
勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那麼a2＋b2=c2．
即直角三角形兩直角的平方和等於斜邊的平方．
因此，在運用勾股定理計算三角形的邊長時，要注意如下三點：
（1）注意勾股定理的使用條件：只對直角三角形適用，而不適用於鋭角三角形和鈍角三角形；
（2）注意分清斜邊和直角邊，避免盲目代入公式致錯；
（3）注意勾股定理公式的變形：在直角三角形中，已知任意兩邊，可求第三邊長．即c2=a2＋b2，a2=c2－b2，b2=c2－a2．
2．學會用拼圖法驗證勾股定理
拼圖法驗證勾股定理的基本思想是：藉助於圖形的面積來驗證，依據是對圖形經過割補、拼接後面積不變的原理．
如，利用四個如圖1所示的直角三角形三角形，拼出如圖2所示的三個圖形．
請讀者證明．
如上圖示，在圖（1）中，利用圖1邊長為a，b，c的四個直角三角形拼成的一個以c為邊長的正方形，則圖2（1）中的小正方形的邊長為（b－a），面積為（b－a）2，四個直角三角形的面積為4×ab=2ab．
由圖（1）可知，大正方形的面積=四個直角三角形的面積＋小正方形的的面積，即c2=（b－a）2＋2ab，則a2＋b2=c2問題得證．
請同學們自己證明圖（2）、（3）．
3．在數軸上表示無理數
將在數軸上表示無理數的問題轉化為化長為無理數的線段長問題．第一步：利用勾股定理拆分出哪兩條線段長的平方和等於所畫線段（斜邊）長的平方，注意一般其中一條線段的長是整數；第二步：以數軸原點為直角三角形斜邊的頂點，構造直角三角形；第三步：以數軸原點圓心，以斜邊長為半徑畫弧，即可在數軸上找到表示該無理數的點．
二、典例精析
例1如果直角三角形的斜邊與一條直角邊的長分別是13cm和5cm，那麼這個直角三角形的面積是cm2．
分析：欲求直角三角形的面積，已知一直角三角形的斜邊與一條直角邊的長，則求得另一直角邊的長即可．根據勾股定理公式的變形，可求得．
解：由勾股定理，得
132－52=144，所以另一條直角邊的長為12．
所以這個直角三角形的面積是×12×5=30（cm2）．
例2如圖3(1)，一隻螞蟻沿稜長為a的正方體表面從頂點A爬到
頂點B,則它走過的最短路程為()
A．B．C．3aD．分析:本題顯然與例2屬同種類型，思路相同．但正方體的
各稜長相等，因此只有一種展開圖．
解:將正方體側面展開
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