勾股定理證明方法
勾股定理的種證明方法(部分)
【證法1】(梅文鼎證明)
做四個全等的直角三角形,設它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的一個多邊形,使d、e、f在一條直線上。過c作ac的延長線交df於點p.
∵d、e、f在一條直線上,且rtδgef≌rtδebd,
∴∠egf=∠bed,
∵∠egf+∠gef=90°,
∴∠bed+∠gef=90°,
∴∠beg=180º―90º=90º。
又∵ab=be=eg=ga=c,
∴abeg是一個邊長為c的正方形。
∴∠abc+∠cbe=90º。
∵rtδabc≌rtδebd,
∴∠abc=∠ebd.
∴∠ebd+∠cbe=90º。
即∠cbd=90º。
又∵∠bde=90º,∠bcp=90º,
bc=bd=a.
∴bdpc是一個邊長為a的正方形。
同理,hpfg是一個邊長為b的正方形。
設多邊形ghcbe的面積為s,則
,
∴。
【證法2】(項明達證明)
做兩個全等的直角三角形,設它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a),斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形。把它們拼成如圖所示的多邊形,使e、a、c三點在一條直線上。
過點q作qp‖bc,交ac於點p.
過點b作bm⊥pq,垂足為m;再過點
f作fn⊥pq,垂足為n.
∵∠bca=90º,qp‖bc,
∴∠mpc=90º,
∵bm⊥pq,
∴∠bmp=90º,
∴bcpm是一個矩形,即∠mbc=90º。
∵∠qbm+∠mba=∠qba=90º,
∠abc+∠mba=∠mbc=90º,
∴∠qbm=∠abc,
又∵∠bmp=90º,∠bca=90º,bq=ba=c,
∴rtδbmq≌rtδbca.
同理可證rtδqnf≌rtδaef.
【證法3】(趙浩傑證明)
做兩個全等的直角三角形,設它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a),斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形。把它們拼成如圖所示的多邊形。
分別以cf,ae為邊長做正方形fcji和aeig,
∵ef=df-de=b-a,ei=b,
∴fi=a,
∴g,i,j在同一直線上,
∵cj=cf=a,cb=cd=c,
∠cjb=∠cfd=90º,
∴rtδcjb≌rtδcfd,
同理,rtδabg≌rtδade,
∴rtδcjb≌rtδcfd≌rtδabg≌rtδade
∴∠abg=∠bcj,
∵∠bcj+∠cbj=90º,
∴∠abg+∠cbj=90º,
∵∠abc=90º,
∴g,b,i,j在同一直線上,
【證法4】(歐幾里得證明)
做三個邊長分別為a、b、c的正方形,把它們拼成如圖所示形狀,使h、c、b三點在一條直線上,連結
bf、cd.過c作cl⊥de,
交ab於點m,交de於點
l.
∵af=ac,ab=ad,
∠fab=∠gad,
∴δfab≌δgad,
∵δfab的面積等於,
δgad的面積等於矩形adlm
的面積的一半,
∴矩形adlm的面積=。
同理可證,矩形mleb的面積=。
∵正方形adeb的面積
=矩形adlm的面積+矩形mleb的面積
∴,即。
勾股定理的別名
勾股定理,是幾何學中一顆光彩奪目的明珠,被稱為“幾何學的基石”,而且在高等數學和其他學科中也有着極為廣泛的應用。正因為這樣,世界上幾個文明古國都已發現並且進行了廣泛深入的研究,因此有許多名稱。
我國是發現和研究勾股定理最古老的國家。我國古代數學家稱直角三角形為勾股形,較短的直角邊稱為勾,另一直角邊稱為股,斜邊稱為弦,所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年,據記載,商高(約公元前1120年)答周公曰“勾廣三,股修四,經隅五”,其意為,在直角三角形中“勾三,股四,弦五”。因此,勾股定理在我國又稱“商高定理”。在公元前7至6世紀一中國學者陳子,曾經給出過任意直角三角形的三邊關係即“以日下為勾,日高為股,勾、股各乘並開方除之得邪至日。
在法國和比利時,勾股定理又叫“驢橋定理”。還有的國家稱勾股定理為“平方定理”。
在陳子後一二百年,希臘的著名數學家畢達哥拉斯發現了這個定理,因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達哥拉斯”定理。為了慶祝這一定理的發現,畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈,因此這個定理又有人叫做“百牛定理”。
前任美國第二十屆總統加菲爾德證明了勾股定理(1876年4月1日)。
證明
這個定理有許多證明的方法,其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。路明思(elishascottloomis)的pythagoreanproposition一書中總共提到367種證明方式。
有人會嘗試以三角恆等式(例如:正弦和餘弦函數的泰勒級數)來證明勾股定理,但是,因為所有的基本三角恆等式都是建基於勾股定理,所以不能作為勾股定理的證明(參見循環論證)。
勾股定理的證明方法
緒論
勾股定理是世界上應用最廣泛,歷史最悠久,研究最深入的定理之一,是數學、幾何中的重要且基本的工具。而數千年來,許多民族、許多個人對於這個定理之證明數不勝數,達三百餘種。可見,勾股定理是人類利用代數思想、數學思想解決幾何問題、生活實際問題的共同智慧之結晶,也是公理化證明體系的開端。
第一節 勾股定理的基本內容
文字表述:在任何一個的直角三角形中,兩條直角邊的長度的平方和等於斜邊長度的平方。 數學表達:如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那麼a^2+b^2=c^2 事實上,它是餘弦定理之一種特殊形式。
第二節勾股定理的證明
2.1歐洲
在歐洲,相傳最早證明勾股定理的是畢達哥拉斯,故在歐洲該定理得名畢達哥拉斯定理;又因畢達哥拉斯在證畢此定理後宰殺一百頭牛慶祝,故亦稱百牛定理。
歐洲最早記載這一定理之書籍,屬歐幾里得《幾何原本》。
畢達哥拉斯的證明方法(相傳):
一説採用拼圖法,一説採用定理法。
做8個全等的直角三角形,設它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,再做三個邊長分別為a、b、c的正方形,把它們像左圖那樣拼成兩個正方形。
從圖上可以看到,這兩個正方形的邊長都是a + b,所以面積相等。
a2+b2+4×1/2ab = c2+4×1/2ab ,整理即可得到。
定理法就是幾何原本當中的證法:
設△abc為一直角三角形,其中a為直角。從a點劃一直線至對邊,使其垂直於對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二,其面積分別與其餘兩個正方形相等。
在正式的證明中,我們需要四個輔助定理如下:如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等,則兩三角形全等。形。
2.2 中國
《周髀算經》、《九章算術》當中都有相關問題的記載。
周髀算經的證明方法:
“數之法出於圓方,圓出於方,方出於矩,矩出於九九八十一。故折矩,以為句廣三,股修四,徑隅五。既方之,外半其一矩,環而共盤,得成三四五,兩矩共長二十有五,是謂積矩。”——以矩的兩條邊畫正方形(勾方、股方),根據矩的弦外面再畫一個矩(曲尺,實際上用作直角三角),將“外半其一矩”得到的三角形剪下環繞複製形成一個大正方形,可看到其中有 邊長三勾方、邊長四股方、邊長五絃方 三個正方形。驗算勾方、股方的面積之和,與弦方的面積二十五相等——從圖形上來看,大正方形減去四個三角形面積後為弦方,再是大正方形 減去 右上、左下兩個長方形面積後為 勾方股方之和。因三角形為長方形面積的一半,可推出 四個三角形面積 等於 右上、左下兩個長方形面積,所以 勾方+股方=弦方。 趙爽弦圖或許是中國人最著名的一種證法。
趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”,用形數結合得到方法,給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“勾股圓方圖”中,以弦為邊長得到正方形abde是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2;中間的小正方形邊長為b-a,則
面積為(b-a)2。於是便可得如下的式子:
4×(ab/2)+(b-a)2 = c2;
化簡後便可得:
a2 + b2= c2
亦即:
c=√(a2 + b2)
可見,中國古人主要採取拼圖法進行證明。後來美國總統加菲爾德也曾採用拼圖法,利用面積巧妙的證明了勾股定理,他用了兩個全等的直角三角形拼成一個梯形,利用面積法進行證明,非常巧妙。
2.3 其他方法
最快:射影定理法,利用相似形來證明。
面積思想:利用三角形五心的性質,利用面積來證明。
綜上所述,勾股定理的證明是人類智慧的結晶。
最早對勾股定理進行證明的,是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”,用形數結合得到方法,給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“勾股圓方圖”中,以弦為邊長玫秸?叫蜛BDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2;中間懂得小正方形邊長為b-a,則面積為(b-a)2。於是便可得如下的式子:
4×(ab/2)+(b-a)2=c2
化簡後便可得:
a2+b2=c2
亦即:
c=(a2+b2)(1/2)
稍後一點的劉徽在證明勾股定理時也是用以形證數的方法,劉徽用了“出入相補法”即剪貼證明法,他把勾股為邊的正方形上的某些區域剪下來(出),移到以弦為邊的正方形的空白區域內(入),結果剛好填滿,完全用圖解法就解決了問題。
再給出兩種
1。做直角三角形的高,然後用相似三角形比例做出。
2。把直角三角形內接於圓。然後擴張做出一矩形。最後用一下托勒密定