勾股定理教案

目錄

正文

第一篇：《勾股定理》教案

學英語報社http://全新課標理念，優質課程資源 ·勾股定理

·教學目標

知識目標: 掌握勾股定理的幾種證明方法，能夠熟練地運用勾股定理由直角

三角形的任意兩邊求得第三邊．

能力目標: 通過探究勾股定理的發現與證明，滲透數形結合的思想方法，增

強邏輯思維能力，操作探究能力和培養學生的探索精神和合作交

流的能力.

情感目標: 通過對勾股定理的探索，培養學生對數學問題孜孜以求的探究精

神和科學態度.通過了解我國古代在勾股定理研究方面的成就，

激發熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思想感情．

·教學重點從具體的圖形得出直角三角形的邊與邊的關係,探討勾股定理的證

明與應用.

·教學難點勾股定理的證明，勾股定理在實際生活中的應用.

·教學方法啟發、合作交流和直觀演示.

·教學過程:

一、創設情境，引入新課

問題1: 隨着社會的進步，人類的發展，人們渴望對地球以外的世界了

解更多.許多科學家正在試探着尋找“外星人”，人們為了取得與外星人的聯繫，想了很多方法.我國偉大數學家華羅庚教授也曾提出：若要溝通兩個不同星球的信息交往，最好利用太空飛船帶上一副數形關係圖，併發射到太空中去.

⑴你知道這副圖是什麼嗎？

⑵這副圖藴含了怎樣的道理？

(目的:通過此情境的創設，能較快調動學生的學習興趣，激發學生的探究慾望，為課程的學習創設了情緒準備.)

二、動手操作，初步體驗

出示問題1中的數形關係圖（如圖1）：這副圖是由一個

直角三角形和以直角三角形三邊為邊的三個正方形構成的.

直角三角形三邊有怎樣的關係，我們不妨從直角邊分別

為3、4的特殊直角三角形開始研究.

請同學們在已經拿到的一張畫有圖1的紙上，量一量斜

邊的長度，猜一猜三條邊長的關係（目的：設計這個直角三角形的邊長分別為：3，4，5.學生易

發現三邊關係為32?42?52.通過學生的動手實踐讓學生初步體

驗到：直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方.這樣做也能

培養學生的操作能力，使學生體會到“數學好玩”.）

優課軒資源網http://未經授權，本站資源禁止用於任何商業目的第 1 頁 共 6 頁 圖1

緊接着再問學生：我們是通過測量的方式發現了直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方或者説兩小正方形的面積和大正方形的面積.這種做法往往並不可靠，我們能否證出兩直角邊為3、4的直角三角形斜邊是5.

（目的：數學需要合情推理，但也要邏輯證明.通過此問題證明過程，關鍵是這裏滲透了面積法的證明思想.）

三、自主探索、發現新知

為了解決好這個問題我們不妨把圖19.2置於方格圖中，計算大正方形的面積等於25.於是讓學生計算大正方形的面積，但大正方形r的面積不易求出，可引導學生利用網格對大正方形嘗試割或補兩種方法解決.

1(3?4)2?4??3?4?25.方法一：將圖2補成圖3，則要求正方形的面積為：2

因此直角邊分別為3、4的直角三角形斜邊是5即32?42?52.

1方法二：將圖2補成圖4，則要求正方形的面積為：4??3?4?1?25.2

因此直角邊分別為3、4直角三角形斜邊是5即32?42?52.

（目的：在方格圖中利用割補的思想通過計算面積的方法證明了直角邊分別為3、4的直角三角形斜邊是5即32?42?52.為探索一般的直角三角形也有兩直角邊的平方和等於斜邊的平方以及證明它的成立做好鋪墊.）

此時老師提出問題：對於這個直角三角形滿足兩直角邊的平方和等於斜邊的平方，那麼對於任何一個直角三角形都有這種關係嗎？

通過以上探索，相信有學生能用文字語言概括猜想出一般的結論：直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方.符號表示為a2?b2?c2（a、b是直角邊，c是斜邊.）.

教師要鼓勵這位同學講的好，敢於猜想是一種難能可貴的數學素養，這位同學用精確的語言敍述了直角三角形三邊的關係，那麼這一結論是否正確，怎樣論證？

（目的：在學生的數學學習過程中，既要學會證明又要學會猜想；既要學會演繹推理又要學會合情推理.鼓勵學生在討論的基礎上大膽猜想，能培養學生的探索創新精神.）

老師用多媒體將圖2的方格線隱去得圖5，設rt?acb直角邊為a,b

及斜邊

c，試證明a2?b2?c2.

通過與學生的合作交流，只要證明出斜邊上的正方形的面積，等於兩直角邊上的正方形的面積和即可.有前面的證明過程，學生可以想到通過割補利用面積法進行證明.這個地方要留夠充足的時間讓學生討論交流，證好的同學請上台來解釋他是如何證明的.

方案一：，用三個與rt?acb一樣的直角三角形將圖5中斜邊上的正方形補

1成圖6，則s?c2?(a?b)2?4?ab.化簡整理得到a2?b2?c2. 2

方案二：用三個與rt?acb一樣的直角三角形將圖5中斜邊上的正方形割成

1圖7，則s=c2?(a?b)2?4?ab.化簡整理得到a2?b2?c2.

aa-b bc圖7 圖6

教師介紹：我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的稱為股，斜邊稱為弦.圖7稱為“弦圖”，最早是由三國時期的數學家趙爽在為《周髀算經》作法時給出的.圖19.2.8是在北京召開的2014

年國際數學家大會（icm－2014）的會標，其圖案正是“弦圖”，

它標誌着中國古代的數學成就.

此時，教師極力誇讚學生已成功探索出5000多年前人類歷史

上的一個重大發現，真是太偉大了！a2?b2?c2，

這就是赫赫有名的勾股定理（板書課題）.接着用多媒體展

示勾股定理的歷史. 圖19.2.8

勾股定理史話

勾股定理從被發現到現在已有五千年的歷史.遠在公元

前三千年的巴比倫人就知道和應用它了.我國古代也發現了

這個定理.據《周髀算經》記載，商高（公元前1120年）關

於勾股定理已有明確的認識，《周髀算經》中有商高答周公

的話：“勾廣三，股修四，徑隅五.”同書中還有另一位學者陳子（公元前六七世紀）與榮方（公元前六世紀）的一段對話：“求邪（斜）至日者，以日下為勾，日高為股，勾、股各自乘，並而開方除之，得邪至日”（如圖所示），即

邪至日＝2＋股2.

這裏陳子已不限於“三、四、五”的特殊情形，而是推廣到一般情況了. 人們對勾股定理的認識，經歷過一個從特殊到一般的過程，其特殊情況，在世界很多地區的現存文獻中都有記載，很難區分這個定理是誰最先發明的.國外一般認為這個定理是畢達哥拉斯學派（pythagoras，公元前580~前500）首先發現的，因而稱為畢達哥拉斯定理.

勾股定理曾引起很多人的興趣，世界上對這個定理的證明方法很多.1940年盧米斯（is）專門編輯了一本勾股定理證明的小冊子――《畢氏命題》，作者收集了這個著名定理的370種證明，其中包括大畫家達?芬奇和美國總統詹姆士????阿?加菲爾德（james abram

garfield,1831~1881）的證法.

美國總統詹姆士??阿?加菲爾德的證法如下：

1112s梯形＝a+b）＝a2?ab?b2,222如圖：因為 111s梯形?2?ab?c2?ab?c2.222a

b所以a2?b2?c2.

勾股定理是一條古老而又應用十分廣泛的定理.例如從勾股定理出發逐漸發展了開平方、開立方；用勾股定理求圓周率.據説4000多年前，中國的大禹曾在治理洪水的過程中利用勾股定理來測量兩地的地勢差.勾股定理以其簡單、優美的形式，豐富、深刻的內容，充分反映了自然界的和諧關係.人們對勾股定理一直保持着極高的熱情，僅定理的證明就多達四百多種，甚至著名的大物理學家愛因斯坦也給出了一個證明.中國著名數學家華羅庚在談論到一旦人類遇到了“外星人”，該怎樣與他們交談時，曾建議用一幅反映勾股定理的數形關係圖來作為與“外星人”交談的語言.這充分説明了勾股定理是自然界最本質、最基本的規律之一，而在對這樣一個重要規律的發現和應用上，中國人走在了前面.方案三（教師介紹歐幾里得證法） 證明：證明：在rt△abc的三邊上向外各作一個正方

形（如圖8），

作cn⊥de交ab於m，那麼正方形被分成兩個矩形．連結cd和kb． ∵由於矩形adnm和△adc有公共的底ad和相等的高， ∴ｓ矩形adnm＝2ｓ△adc

又∵正方形achk和△abk有公共的底ak和相等的高，

∴ｓ正方形achk＝2ｓ△abk

在△adc和△abk中

∵ad＝ab，ac＝ak，∠cad＝∠kab

∴△adc≌△abk

由此可得ｓ矩形adnm＝ｓ正方形achk 同理可證

圖8

ｓ矩形benm＝ｓ正方形bcgf

∴ｓ正方形abed＝ｓ矩形adnm＋ｓ矩形benm＝ｓ正方形achk＋ｓ正方形bcgf

即a2?b2?c2.

（目的：在勾股定理的發現過程中，充分鼓勵學生不同的拼圖方法得出不同的驗證方法，幫助學生自主建構新知識.另外要介紹學生所拼的圖7就是古代的弦圖，也是在北京召開的2014年國際數學家大會的會標，進一步激發學生的成就感.讓學生充分體驗到探索創新所帶來的成功的喜悦.）

四、應用新知、解決問題

例1如圖19.2.4，將長為5.41米的梯子ac斜靠在牆上，bc長為2.16米，

求梯子上端a到牆的底端b的距離ab.（精確到0.01米）

解 在rt△abc中,∠abc=90゜,bc=2.16, ca=5.41,

根據勾股定理得

ab?ac2?bc2?5.412?2.162

≈4.96（米）

答：梯子上端a到牆的底端b的距離約為4.96米. 圖

19.2.4例2 （趣味剪紙）如圖兩個邊長分別為4個單位和3

個單位的正方形連在一起的“l”形紙片，請你剪兩刀，再將所得到的圖形拼成正方形.

（目的：本段內容主要通過教師啟發引導，學生共同探究完成，一方面讓學生感受解決問題的愉悦與強烈的成就感，培養學生動手能力和學習興趣以及加強對勾股定理的理解.另一方面讓學生知道：（1）勾股定理應用的前提條件（在直角三角形中）；（2）已知直角三角形的兩邊會用勾股定理求第三邊.）

五、自我評價、形成知識

⑴這節課我的收穫是.

⑵我感興趣的地方是.

⑶我想進一步研究的問題是.

（目的：通過這幾個問題，可以很好的揭示學生新建立的不同的認知結構，也體現了不同的人學數學有不同的收穫.把學習的權利交給學生，使學生體驗做數學的樂趣.同時，把探究陣地從課堂延伸到課外，有利於充分挖掘學生的潛能.）

六、作業

⑴課本p104習題19.2 1，2，3

⑵通過上網，搜索有關勾股定理的知識：如（1）勾股定理的歷史；（2）勾股定

理的證明方法；（3）勾股定理在實際生活中的應用等.然後寫一篇以勾股定理為

主題的小論文.

（目的：鞏固勾股定理，進一步體會定理與實際生活的聯繫.促進學生學知識，用知識的意識.新課程標準提倡課題學習（研究性學習），通過課題學習與研究更多地把數學與社會生活和其他學科知識聯繫起來，使學生進一步體會不同的數學知識以及數學與外界之間的聯繫，初步學習研究問題的方法，提高學生的實踐能力和創新意識.）

· 關於教學設計的幾點説明：

1、這節課是定理課，針對八年級學生的知識結構和心理特徵，本節課我準備以“問題情境-----實驗、猜測-----驗證、證明----實際應用”的模式展開，引導學生從已有的知識和生活經驗出發，提出問題與學生共同探索、討論.讓學生經歷知識的發生、形成與應用的過程，從而更好地理解數學知識的意義.讓學生體會到觀察、猜想、歸納、驗證的思想和數形結合的思想；

2、由於學生的個體差異表現為認知方式與思維策略的的不同，以及認知水平和學習能力的差異，所以在整個教學過程中，我都將尊重學生在解決問題過程中所表現出的不同水平，儘可能讓所有學生都能主動參與，並引導學生在與他人的交流中提高思維水平.在學生回答時，我通過語言、目光、動作給予鼓勵與讚許，發揮評價的積極功能；

3、探索定理採用了面積法，通過用割補兩種方法對直角邊為3、4這一特殊直角三角形的斜邊上的正方形的面積的計算，得到此直角三角形的兩直角邊的平方和等於斜邊的平方.由此自然的過渡到對一般直角三角形三邊關係的研究，當然也自然的用此方法證明了勾股定理.這種方法是認識事物規律的重要方法之一(來源好範 文網：)，通過教學讓學生初步掌握這種方法，對於學生良好思維品質的形成有重要作用，對學生的終身發展也有一定的作用；

4、本課小結也很有新意，通過這短短的幾個問題，可以很好的揭示學生新建立的不同的認知結構，也體現了不同的人學數學有不同的收穫.把學習的權利交給學生，使學生體驗做數學的樂趣.同時，把探究陣地從課堂延伸到課外，有利於充分挖掘學生的潛能。

第二篇：勾股定理教案

一，課題：勾股定理（八年級下冊第十八章——勾股定理）

二，教學類型：新知課

三，教學目的：讓學生了解勾股定理的產生及其內容。

四，教學方法：講解法

五，教學重難點：如何引入勾股定理，如何讓學生理解勾股定理的內容。 六，教具：粉筆，直角三角板，畫好網格的a4紙，正方形彩紙。

七，教學過程：1，引入新課：相傳2500年前，大數學家畢達哥拉斯在朋友家做客時發現家裏的地板放映了直角三角邊的某種數量，請同學們仔細觀察書p72的圖，看是否能發現途中隱藏的玄機？

2，講解新課：我們能發現，圖中，以等腰直角三角形的兩直角邊為邊長的小正方形面積和，等於以斜邊為邊長的正方形的面積，因此我們大膽提出猜想，等腰直角三角形的三邊之間有特殊關係：斜邊的平方和等於兩直角邊的平方和。見書p73圖。這即是我們的命題一：如果是角三角形的兩直角邊長分變為a，b，斜邊長為c,那麼a^2+b^2=c^2.那麼我們如何驗證命題的正確性呢？請拿出我們的兩張正方形彩紙，按照書上給出的步驟進行摺疊，並把中間的小正方形描畫出來。我們所折出的四個全等三角形中短邊長為a，長直角邊長為b，斜邊長為c，且斜邊長即為新折出的正方形的邊長。原來沒有摺疊前，兩張彩紙的面積一共為a^2+b^2,摺疊後的面積為c^2,但是摺疊前後並沒有改變其面積的大小，因此有a^2+b^2=c^2.這樣命題就等到了驗證。（這種方法是我國古代的數學家趙爽想出來的，同學們是否有其他方法來驗證命題的正確性？）命題一就是我們所説的勾股定理。

3，小結：勾股定理的內容是什麼？驗證勾股定理的方法是什麼？

4，鞏固：我們來研究勾股定理在實際中是如何被利用的。有一個門框，寬3米，高4米，請問有個人拿了五米高的薄木板，請問他能否通過此門？若能應如何通過？若不能請給出理由。（能。運用勾股定理，3^2+4^2=5^2，把木板按照門的對角線放置就能經過此門）

5，作業：書p781，2，5，8題

八，思考：我們知道直角三角形一定滿足勾股定理，那麼滿足勾股定理的三角形一定是直角三角形嗎？你是否能找到滿足勾股定理但不是直角三角形的例子呢？請同學們回家思考，明天給我答案。

第三篇：勾股定理教案

勾股定理

作者：範丹國中 耿佔華

一、素質教育目標

（一）知識教育點

1、用驗證法發現直角三角形中存在的邊的關係。

2、掌握定理證明的基本方法。

（二）能力訓練點

觀察和分析直角三角形中，兩邊的變化對第三邊的影響，總結出直角三角形各邊的基本關係。

（三）德育滲透點

培養學生掌握由特殊到一般的化歸思想，從具體到抽象的思維方法，以及化歸的思想，從而達到從感性認識到理性認識的飛躍；又從一般到特殊，從抽象到具體，應用到實踐中去。

二、教學重點、難點及解決辦法

1、重點：發現並證明勾股定理。

2、難點：圖形面積的轉化。

3、突出重點，突破難點的辦法：《幾何畫板》輔助教學。

三、教學手段 ：

利用計算機輔助面積轉化的探求。

四、課時安排：

本課題安排1課時

五、教學設想：

想培養學生的思維能力，為學生提供一個豐富的思維空間，使學生能夠根據“式，數、形”等不同的結構從不同的角度去分析問解決問題

六、教學過程（略）

第四篇：八年級勾股定理教案

協 議 書

經雙方協議，達成共識。竹園行政村村民劉永會自願同意，將南地伍畝三分（5.3）的責任田，永久轉給本村村民劉永田耕種，南頂大路，北頂小坑，東靠劉紅志，西靠劉永遠。雙方同意，永不反悔，誰反悔誰負責全部責任。此地可埋人。（不包括劉永會糧補資金）雙方糧補資金仍舊歸各自所有。

協議人：

證明人:

2014年11月20日

第五篇：18.1勾股定理教學教案

18.1勾股定理教學教案

【教學目標】

1、體驗勾股定理的探索過程並理解勾股定理反映的直角三角形三邊之間的數量關係.

數學思考：

2、讓學生經歷“觀察—猜想—歸納—驗證”的數學過程，並體會數形結合和由特殊到一般的思想方法.

3、在探索勾股定理的過程中，讓學生體驗解決問題方法的多樣性，培養學生的合作交流意識和探索精神．通過獲得成功的經驗和克服困難的經歷，增進數學學習的信心.

4、在勾股定理的探索過程中，發展合情推理能力，體會數形結合的思想．瞭解勾股定理的文化背景，體驗勾股定理的探索過程．

5、通過拼圖活動，體驗數學思維的嚴謹性，發展形象思維．在探究活動中，學會與人合作並能與他人交流思維的過程和探究結果．

【教學重點與難點】

教學重點：（1）探索和驗證勾股定理. （2）通過數學活動體驗獲取數學知識的感受.

教學難點：在方格紙上通過計算面積的方法探索勾股定理及用拼圖的方法證明勾股定理．

【教具】多媒體課件（演示文稿）.

【教學方法】講授法、討論法.

【教學過程】

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