教學目標：
1、從操作活動中理解因數與倍數的意義，會判斷一個數不是另一個數的因數或倍數。
2、培養學生抽象、概括與觀察思考的能力，滲透事物之間相互聯繫，相互依存的辨證唯物主義觀點。
3、培養學生的合作意識、探索意識，以及熱愛數學學習的情感。
教學重點：
理解因數和倍數的意義
教學難點：
因數和倍數等概念間的聯繫和區別。
教學過程：
一、認識因數與倍數，預習反饋
1、反饋主題圖，根據主題圖的不同情況寫出乘法算式和除法算式。
反饋：
1×12=122×6=123×4=1212×1=126×2=124×3=1212÷1=1212÷2=612÷3=412÷12=112÷6=212÷4=3
2、觀察並回答。
（1）這三組乘法、除法算式中，都有什麼共同點？
（2）像這樣的乘除法算式中的三個數之間還有另一種説法，你想知道嗎？
（3）這樣的三個數，我們也可以怎樣説？（2和6是12的因數），請大家也像這樣把其餘的兩組數也説一説。
請看教材12頁，2和6與12的關係還可以怎麼説？
（4）也就是説2和6與12的關係是因數和倍數的關係，這幾組數中，誰和誰還有因數和倍數的關係？
（5）提問：能不能説12是12的因數呢？
（6）小結：上面這三組算式中，我們知道：1、2、3、4、6、12都是12的因數。
3．討論：23÷4＝5……3，提問：23是4的倍數嗎？為什麼？
誰能舉一個算式例子，並説説誰是誰的倍數，誰是誰的因數？
4．討論：0×3 0×10 0÷3 0÷10
提問：通過剛才的計算，你有什麼發現？
5．注意：（1）為了方便，在研究因數和倍數的時候，我們所説的數一般指的是整數，但不包括0。（2） 這節課我們研究因數與倍數的關係中所説的因數不是以前乘法算式名稱的“因數”，兩者不能搞混淆。
二、鞏固新知
1．下面每一組數中，誰是誰得因數，誰是誰得倍數？
16和2 4和24 72和8 20和5
2．下面得説法對嗎？説出理由。
（1）48是6的倍數
（2）在13÷4＝＝3……1中，13是4的倍數
（3）因為3×6＝18，所以18是倍數，3和6是因數。
3．在36、4、9、12、3、0這些數中，誰和誰有因數和倍數關係。
4、完成P15第2題
學生自己獨立完成，講評時讓學生説一説，是怎麼想的？
三、思維訓練
1、判斷
（1）12的因數有：1、2、3、4、6、12。
（2）整數32的因數共有4個。
（3）自然數a的最大因數是a，最小因數是1。
（4）一個數的因數都小於這個數。
2．遊戲。記住自己的學號，聽老師説要求，符合要求的同學請舉手。
（1）（ ）是4的倍數 （2）（ ）是60的因數
（3）（ ）是5的倍數 （4）（ ）是36的因數
四、課後小結：
五、佈置作業
一、教學過程：
（一）動手操作，感受並認識因數與倍數。
1、老師和同學們都在課前準備了幾個小正方形，如果用這些小正方形拼成一個長方形，可以怎麼拼？（讓學生獨立拼擺）
2、全班交流，請學生上黑板拼一拼，拼法用乘法算式表示出來。
指出：有三種拼法，列出三個不同的乘法算式，今天我們研究的內容就藏在着三個算式中。
3、教師選擇一個算式指出4×3=12，4是12的因數，12是4的倍數，看這個算式還可以説：誰是誰的因數？誰是誰的倍數嗎？
4、揭示課題：倍數和因數。
5、看其他兩個算式，你還能説什麼嗎？你覺得哪個算式給你的感覺有些特別？
6、自己寫一個乘法算式，讓你的同桌説一説誰是誰的因數，誰是誰的倍數，選一些特殊的例子：如0×8=0的形式16÷2=8。辨析：能不能説16是倍數，2是因數。
7、完成想想做做（1）。
8、完成想想做做（2）。（交流：應付元數與4元有什麼關係？省略號表示什麼意思？從這個省略好你知道了什麼？）
9、想想做做（3）。（從中發現了什麼？24有那些因數？最大的是幾？最小的是幾？）
（二）找倍數和因數。
1、找一個數的倍數（讓學生自己在紙上寫，然後交流：你是怎麼找的？）
提問：
（1）3的最小的倍數是幾？最大的呢？
（2）3的倍數有無數個，那麼該怎麼表示？
2、完成試一試。
反思：怎樣找一個數的倍數比較方便？一個數的倍數最小是幾？找得到最大的倍數嗎？
3、找一個數的因數。
先讓學生獨立找36的因數，再進行交流。
提問：36最小的因數是幾？最大的呢？怎樣找才能保證不重複不遺漏？對好的方法及時的給以肯定。
完成試一試
4、提問：15的最小因數是幾？最大的因數是幾？16呢？你有什麼發現？
5、鞏固練習：
（1）4的倍數有：
（2）25以內4的倍數有：
（3）30的因數有：
（4）15的因數有：
（三）課堂小結：略。
（四）作業佈置：
1、6的倍數有：
2、7的倍數有：
3、100以內9的倍數有：
4、24的因數有：
5、11的因數有：
二、教學反思：
本節課重點圍繞“理解倍數和因數的含義，能按要求找出一個數的倍數和因數”進行教學。在寫一個數的倍數和因數時，要讓學生經歷探索的過程，在相互交流時，得出最優的方法，在探索倍數和因數的規律時，既不能讓學生毫無目的的去探究，也不能把這個結論直接告訴學生。
先出示一些具體的數，從這些具體的數的基礎上進行探究，起到了較好的效果。在探究一個數的因數的方法時，先在前面孕伏着除法中也有倍數和因數，為探究一個數的因數埋下了伏筆。這個方法要比倍數的方法難一些，教師要有耐心，把學生的方法全部板書在黑板上，然後通過比較，發現商也是這個數因數，又發現一個數的因數，是成隊出現的，所以怎樣做到既不重複，又不遺漏，就要有序思考，與前面學過的找規律的方法有機地聯繫在一起。
教學內容：
教學目標：
1 讓學生理解倍數和因數的意義，掌握找一個非零自然數的倍數與因數的方法，發現一個非零自然數的倍數和因數中最大的數、最小的數以及一個非零自然數的倍數與因數個數的特徵。
2 讓學生初步意識到可以從一個新的角度，即倍數和因數的角度來研究非零自然數的特徵及其相互關係，培養學生觀察、分析與抽象概括的能力，體會數學學習的奇妙，對數學產生好奇心。
教學重點：理解倍數和因數的意義。
教學難點：從倍數和因數的意義出發，尋找一個非零自然數的倍數與因數。
教學過程：
一、直接導入
師：自然數是我們在數的王國中認識的第一種數，今天我們將從一個特定的角度，即倍數和因數的角度來研究自然數的特徵及其相互關係。（板書課題：倍數和因數）
[評析：課始直接進入主題，揭示本節課新知識研究的方向，使學生產生探究新知的心理需求。]
二、教學倍數和因數的意義
（屏幕出示12個完全相同的正方形）
師：用這12個完全相同的正方形，能拼出一個長方形嗎？（生：能）你能用一道乘法算式，表示你拼出的長方形嗎？
生：我可以拼出一個3×4的長方形。
師：你們猜猜看，這會是一個什麼樣的長方形？
生：每排擺3個正方形，擺4排；或每排擺4個正方形，擺3排。（課件演示學生所猜的長方形，並讓學生明白這兩種拼法其實是相同的）
生：我還可以拼出一個2×6的長方形。
生：我還可以拼出一個1×12的長方形。（師問法同上，略）
師：同學們可別小看這三道算式，今天我們學習的內容，就將從研究這三道乘法算式拉開帷幕。
[評折：準確把握學生的學習起點，讓學生根據所列乘法算式猜想可能拼成的長方形，大屏幕隨之展示學生猜想的長方形，更加激起學生的求知慾。]
師：根據3×4=12，我們可以説（屏幕出示）：12是3的倍數，12也是4的倍數；3是12的因數，4也是12的因數。
師：同學們一起來讀一讀，感受一下。
師：你讀懂了些什麼？（引導學生感知什麼是倍數、什麼是因數，即倍數和因數的意義；明白在乘法算式中，積就是兩個乘數的倍數，兩個乘數就是積的因數）
師：請你從6×2=12和12×1=12這兩道算式中任選一題，用上面的話説一説。
師（出示18÷3=6）：誰是誰的倍數？誰是誰的因數？為什麼？
生：因為18/3=6可以改寫成3×6=18，所以18是3和6的倍數，3和6是18的因數。（引導學生明白根據乘除法的互逆關係，在除法算式中也可以説誰是誰的倍數、誰是誰的因數）
屏幕出示：4是因數，24是倍數。
師：這句話對嗎？（讓學生理解倍數和因數是兩個數之間的相互依存關係，必須説誰是誰的倍數、誰是誰的因數）
師：我們再看屏幕上這三道乘法算式(1×12=12、2×6=12、3×4=12)，善於觀察的同學一定發現在這三道乘法算式中。我們其實已經找到了12的所有因數，你知道都有哪些嗎？（引導學生説一説）
屏幕出示一組數：36、4、9、0、5、2。
師：請你從這組數中任選兩個數，用倍數和因數的關係來説一説。（生可能會選36和4、36和9、4和2這幾組數）
設疑：
（1）為什麼不選0呢？（讓學生理解倍數和因數是針對非零的自然數）（屏幕演示將“0”去掉）
（2）為什麼不選5呢？（例如36和5，因為找不到一個自然數和5相乘能得到36，或者36除以5有餘數）（屏幕演示將“5”去掉）
（3）去掉了0和5，剩下的這些數和36有什麼關係呢？（它們都是36的因數，或36是它們的倍數；當然，36也是36的因數，36也是36的倍數）
[評析：倍數和因數意義的學習層次分明。(1)猜想：由1 2個完全相同的正方形拼成一個長方形的不同拼法，得出三道乘法算式。根據3×4=12這道算式中三個數的關係，讓學生初次感知倍數和因數的意義。(2)拓展：根據除法算式中“存在一個自然數等於兩個自然數乘積”這一條件，揭示除法算式中依然存在着倍數和因數的關係，拓展了對倍數與因數意義的理解。(3)深化：探索並感知倍數和因數的相互依存關係。“從一組數中任選兩個數”説意義的訓練，鞏固與深化了對倍數和因數意義的理解。]
三、探討找一個數的因數的方法
1 師：在剛才這組數(36、4、9、0、5、2)中，2、4、9和36都是36的因數。除了這些，36的因數還有嗎？（生一個一個地舉例）這樣一個一個雜亂無序地找，你們覺得這種方法好嗎？（生：不好！）不好在哪兒呢？
生：容易漏掉或重複。
師：你們有沒有什麼好辦法，能一個不落地將36的所有因數都找到呢？同學們可以獨立完成這個任務，也可以同桌的兩位同學合作完成。如果你全部找到了，就請將36的所有因數寫在練習紙上。同時將你找因數的方法寫在橫線的下方。（教師巡視，學生討論交流）
展示學生的作品，學生可能出現的答案有：
（1）根據1×36=36、2×18=36……分別得出1、36、2、18、3、12、4、9、6等數都是36的因數；
（2）利用36÷1=36,36÷2=18……也可以得出1、36、2、18、3、12、4、9、6等數都是36的因數。
在寫法上，可能出現的答案為1、36、2、18、3、12、4、9、6（一對一對地寫），或按照從小到大的順序寫，即1、2、3、4、6、9、12、18、36。然後引導學生比較這兩種寫法的不同。將方法優化：運用除法算式一對一對地找一個數的因數更為簡便，並且不重複、不遺漏，做到答案的完整性；在寫的時候，可以一頭一尾地寫，這樣可以做到答案的有序性。（板書：有序、完整）
2 探討一個數的因數的特徵。
課件出示12的因數、15的因數和36的因數。（從小到大排列）
學生觀察、討論下面的問題（課件出示問題）：一個非零自然數的因數的個數是有限的還是無限的？一個非零自然數的最大因數是幾？一個非零自然數的最小因數是幾？
課件出示描述一個非零自然數的因數的特徵的表格（如下），學生討論、交流後再反饋。
師（小結）：一個非零自然數的最大因數是它本身，最小因數是1，因數的個數是有限的。
[評析：找一個數的因數是本節課的教學難點。教學中，教師調整教材的編排順序，先學習找一個數的因，數，通過置疑“一個個地找36的因數，這種方法好嗎？不好在哪”，啟發學生根據因數的意義和乘除法的互逆關係，有序地找出36的所有因數，並及時優化方法。同時，引導學生自主探索，在觀察中發現一個數的因數的有關特徵，最後進行總結，培養了學生解決問題的能力。]
四、探討找一個數的倍數的方法
1 師：我們已經掌握瞭如何有序地、完整地找出一個非零自然數的所有因數的方法。如果讓你找出一個數的所有倍數，你會找嗎？（生：會）那麼，我們就一起來找找3的倍數。（學生試着找出3的倍數，教師巡視，對有困難的學生給予幫助）
2 師：你是怎樣有序地、完整地找出3的倍數的？
生：用3分別乘1、2、3……得出3的倍數。
生：用3依次地加3得到3的倍數。
師：你認為哪種方法能更迅速地找出3的倍數？（學生討論交流）
師：3的倍數能找得完嗎？（生：找不完）那麼，可以怎樣表示3的倍數的個數呢？（生：用省略號表示）（相機板書：3、6、9、12、15……）
3 寫出30以內5的倍數。（做在練習紙上）
4 課件出示3的倍數、4的倍數、5的倍數，讓學生從最大倍數、最小倍數、倍數的個數三個方面去描述一個數的倍數的特徵（見下表）。
師（小結）：一個非零自然數的最小倍數是它本身，沒有最大的倍數，所以倍數的個數是無限的。
[評析：藉助學習一個數的因數的方法，以此為基礎，讓學生自主探索找一個數的倍數的方法。在探索交流中，優化尋找一個數的倍數的方法，獲得一個數的倍數的特徵。]
五、組織遊戲，深化認識
師：這節課，我們通過三道乘法算式與倍數和因數進行了兩次的親密接觸。第一次的接觸，讓我們瞭解了倍數與因數的意義；第二次的接觸，通過找一個數的倍數和因數，我們瞭解了一個數的倍數和因數的特徵。通過這兩次的親密接觸，相信 同學們對於今天所學的知識，已經有了比較深刻的理解。下面，就讓我們輕鬆片刻。一起來玩一個特別好玩的遊戲，感興趣嗎？
遊戲——請到我家來做客
（每位學生的手中，都有一張寫有該名學生的學號卡片）
課件演示並配有話外音：春天來了，濃濃的春天氣息讓森林裏好客的小動物們，紛紛拿出自己最珍貴的食物款待大家。
（1）屏幕上出現了可愛的小狗向同學們走來（配音）：24的因數是我的朋友。如果你卡片上的數是24的因數，歡迎你，我的朋友！（卡片上的數若符合要求，就請這位學生站起來）
（2）屏幕上出現了笨笨的小豬向同學們揮手（配音）：我邀請的朋友是5的倍數，喜歡我，就快快來吧！
（3）瞧！可愛的小貓咪也來了。（屏幕上出現了俏皮、可愛的小貓咪）配音：如果你卡片上的數是1的倍數，請來我家做客吧！
（每位學生卡片上的數都符合要求，所以全班學生都站了起來）
師：小貓咪這麼好客，老師也想去她家做客。你們來為老師想一個符合要求的數，好嗎？（生答略）
師：是不是所有的自然數都可以呢？
生：除了0。
屏幕出示：所有非零自然數都是1的倍數。
（4）配音：威嚴的老虎來了！它請的朋友很特別，它是所有非零自然數的因數。這個數是幾呢？（生討論交流）
屏幕出示：只有1才符合要求，因為1是所有非零自然數的因數。
六、挑戰自我，拓展昇華
師：雖然我們只合作了這短短的三十分鐘，但老師已經深深感到我們這個班的同學非常聰明，不僅善於觀察，而且愛動腦筋，所以老師特別準備了一個富有挑戰性的節目想考考大家，你們敢不敢接受挑戰？（生：敢！）
挑戰——你猜、我猜、大家猜I（屏幕演示動畫標題）
規則：下面每組數，去掉一個數，剩下的數便是其中一個數的倍數或因數。你能找出這個數嗎？
(1)20、5、4、3。
答案：去掉3（屏幕演示隱去“3”），剩下的數是20的因數，或20是它們的倍數。
(2)4、12、18、3。
答案有兩種：一是去掉18（屏幕演示隱去“18”），剩下的數便是12的因數，或12是它們的倍數；二是去掉4（屏幕演示隱去“4”），剩下的數便是3的倍數。
[評析：設計遊戲環節，對整節課的知識點進行總結深化，並引導每位學生參與其中，積極主動地思考本節課所學的知識，教學過程真實、有效。]
七、全課總結
師：通過今天這節課的學習，你有什麼收穫？你們學得開心嗎？玩得開心嗎？其實。數學就是這麼簡單而有趣，讓我們每天都樂在其中！
總評：
本節課的教學特色是嚴謹靈活、細膩奔放。在“因數和倍數”概念的學習過程中，重視師生情感的交流，注重每個學生的發展，較好地體現了“教師有效引導下學生自主探索”這一教學策略。
1、意義教學引導學生自主構建。
在多次的實踐教學中，發現用12個完全相同的小正方形拼出一個長方形。對於四年級的學生來説非常容易。教材這樣安排的目的，在於幫助學生有意識地感受1和12、2和5、3和4這幾組數之間的有機聯繫。
本課中，倍數和因數的意義教學分三個層次：
1、藉助三個問題讓學生通過想像及大屏幕的直觀演示，引導學生得出三道乘法算式，同時介紹倍數和因數的含義。
2、通過除法算式找因倍關係。
3、滲透倍數和因數的相互依存性。
2、合理組織教材，將找一個數的因數及其特徵教學提前。
尋找一個數的因數是本節課的教學難點，學生往往滿足於答案的尋找，而忽視尋找過程中的思考策略及思維方法。
教學中，教師出示一組數，如36、4、9、0、5、2，讓學生從這組數中任選兩個數，用倍數和因數的關係來説一説。
最後設疑：
（1）為什麼不選O呢？（讓學生理解倍數和因數是針對非零的自然數）
（2）為什麼不選5呢？（如36和5，因為找不到一個自然數和5相乘能得到36，或者36除以5有餘數）
（3）去掉了0和5，剩下的這些數和36有什麼關係呢？（它們都是36的因數，或36是它們的倍數）
這樣的改變，既達到預定目的，又為學習找因數做了鋪墊，引發了學生尋找36的因數的濃厚興趣。在引導學生自主探索一個數的因數的特徵時，教師讓學生帶着問題去觀察討論：每一個非零自然數的因數的個數是有限的還是無限的？一個非零自然數的最大因數是幾？一個非零自然數的最小因數是幾？以上安排，降低了學生的學習難度。
3、尋找一個數的因數和倍數的方法讓學生自己生成。
在尋找一個數的因數和倍數的過程中。教師將學生推向發現與探索的前台。
尋找一個數的倍數和因數。方法不是惟一的。教師在肯定各種方法合理性的同時，及時引導學生進行溝通，尋找它們的共同點和聯繫，進而比較各種方法之間的優劣，遴選最優方法，提升思維效率。
4、增強遊戲中數學思維的含量。
知識在遊戲中深化，在挑戰中昇華。
本節課以“有效引導下自主探索”為教學策略。以三道乘法算式為線索，以教材文本為依託，以有梯度的遊戲活動展開對知識的深化鞏固，並適時、適量引入多媒體輔助教學，將諸多細小的認知活動歸整在一個探究性的課堂自主研究活動中。通過自主觀察、交流發現、共同分享，引領學生經歷“研究與發現”的真實過程。課尾遊戲的運用，激發了學生的學習熱情，讓學生以愉快的心情和良好的體驗融入學習活動中，培養了學生用數學眼光看待遊戲的意識，大大降低了學生對數學概念學習的枯燥體驗。
教學內容：
蘇教版國小數學四年級（下冊）第70-72頁。
教學目標：
1、使學生結合乘、除法運算初步認識倍數和因數的含義，探索求一個數的倍數和因數的方法。
2、使學生在探索的過程中，進一步體會數學知識之間的內在聯繫，提高數學思考的水平。
3、增強學生學習數學的興趣，感受到成功的快樂。
教學重點：
理解倍數和因數的含義，探索並掌握找一個數的倍數和因數的方法。
教學難點：
理解倍數和因數的含義及倍數和因數的相互依存關係。
教學準備：
學生：每人準備12個同樣大小的正方形。教師：課件
教學過程：
一、認識倍數和因數
1、提出活動要求：每一桌的同學合作，用12個同樣大小的正方形拼成一個長方形，想想有幾種不同的擺法，並用乘法算式把不同的擺法表示出來。看看哪桌的同學最快完成。
2分組操作活動，師巡視指導。
3、指名彙報，出示課件，全班交流。彙報時是引導學生根據“每排擺幾個”“擺了幾排”這兩個問題説出三種不同的乘法算式。師提示:每排擺5個，能擺幾排，明確只有這三種擺法。
4、教學“倍數”和“因數”的概念。
（1）結合4×3=12，説明12是4的倍數，12也是3的倍數，4和3都是12的因數。並板書。
（2）齊讀這三句話，板書課題：倍數和因數
（3）指名看式子説。
（4）請學生根據6×2=12和12×1=12兩道算式，照樣子説
一説哪個數是哪個數的倍數？哪個數是哪個數的因數？
追問：如果説12是倍數，3是因數，可以嗎？為什麼？
明確：倍數和因數都是指兩個數之間的關係，是相互依存的。
教師指出閲讀底註明確：為了方便，我們在研究倍數和因數時，所説的數一般指不是0的自然數。不是0的自然數，0要考慮嗎？那從什麼數開始。如1、2、3、4、5、6、7、8、9……在小數和分數等其他數中就也沒有倍數和因數的説法了。（可根據具體的算式説明，如0×3=0，1.5×2=3。）
（5）練習：“想想做做”第1題。每位同學都各選一個乘法算式同桌之間互相説一説，
三、探索找倍數和因數的方法
1、探索找一個數的倍數的方法
（1）提出問題：什麼樣的數會是3的倍數呢？明確：3的倍數是3與一個數相乘的積。你能找到多少個3的倍數？先讓學生獨立思考，再組織交流。
（2）啟發：誰能按從小到大的順序有條理的説出3的倍數？根據什麼樣的乘法算式？明確：可以按從小到大的順序，依次用1、2、3、4……與3相乘，每次乘得的積都是3的倍數。同時板書：
3×1=(3)3×2=（6）……
追問：能把3的倍數全部説完嗎？應該怎樣表示3的倍數有哪些呢？
根據學生的回答課件演示：3的倍數有3、6、9、12、15……
（3）完成後面的試一試。提醒學生注意有序的思考，並規範的表示出結果。
（4）一個數的倍數的特點。
提問：觀察上面的幾個例子，你發現一個數的倍數有什麼特點？根據學生的交流歸納：一個數的倍數中，最小的是它的本身，沒有最大的倍數，一個數的倍數的個數是無限的。
提問：現在你能很快説出6的最小倍數是多少嗎？10呢？
2、探索找一個數的因數的方法
（1）提出問題：什麼樣的數是36的因數？
學生舉例説明。明確：如果有兩個數相乘的積是36，那麼這兩個數都是36的因數。
板書（）×（）=36
（2）提問：你能找出36的所有因數嗎？啟發：要做到不重複，不遺漏，怎樣才能有條理地找出36的所有因數？
學生試着在練習本上列式找出。
（3）學生彙報交流，根據學生的回答課件演示。
（4）進一步啟發：我們知道除法是乘法的逆運算，根據除法算式，也可以找一個數的因數。根據36÷1=36可以找到1和36……
請同學們看書71頁，完成書上的填空。
（5）完成“試一試”。提醒學生有序的思考，做到不重複，不遺漏。
學生彙報，説説你是怎樣找的。
（6）觀察發現
提問：觀察上面的例子，你發現一個數的因數有什麼特點？
小結：一個數因數的個數是有限的，一個數的因數中，最小的是1，最大的是它本身。
提問：現在你能很快説出18的最小因數和最大因數是多少嗎？25呢？
四、鞏固練習
1、“想想做做”第2題。
組織學生讀題，理解題意。表中每欄的應付元數各是怎樣算出來的？他們都是4的什麼數？你還能説出4的哪些倍數？能把4的倍數全部説完嗎？
2、“想想做做”第3題。
組織學生讀題，理解題意。表中每欄的每排人數是各怎樣算出來的？排數和每排人數都是24的什麼數？
五、全課總結
這節課你學會了什麼？
教學過程：
一、創設情境，引入新課
師：人與人之間存在着許多種關係，你們和你們的媽媽之間是什麼關係……
生、母子、母女關係。
師：我和你們的關係是……
生：師生關係。
師：對，我是你們的老師，你們是我的學生，我們的關係是師生關係。在數學中，數與數之間也存在着多種關係，這一節課，我們一起探討兩數之間的因數與倍數關係。（板書課題：因數與倍數）
二、認識因數與倍數
師：現在我們來研究自然數中數與數之間的關係。請你們用12個小正方形擺成不同的長方形，並根據擺成的不同情況寫出乘法算式。
根據學生的彙報板書：
1×12=12 2×6=12 3×4=12
12÷1=12 12÷2=6 12÷3＝4
師：在這3組乘算式中，都有什麼共同點？
生：第①組每個式子都有1、12這兩個數。
生：第②組每個式子都有2、6、12這三個數。
生：第③組每個式子都有3、4、12這三個數。
師：（指着第②組）像這樣的乘式子中的三個數之間的關係還有一種説法，你們想知道嗎？請看大屏幕
師：2和6與12的關係還可以怎樣説呢？
生：2和6是12的因數，12是2的倍數，也是6的倍數。
師：也就是説，2和12、6的關係是因數和倍數的關係，這幾組算式中，誰和誰還有因數和倍數的關係？
生：3、4和12有因數和倍數關係，3和4是12的因數，12是3和4的倍數。
生：我認為1和12也有因數和倍數關係。1是12的因數，12是1的倍數。
師：可以説12是12的因數嗎？
生：我認為可以，12×1＝12，1和12都是12的因數。
師：説得真好，從上面3組算式中，我們知道1，2，3，4，6，12都是12的因數。
師出示：12÷2=5……2。問：12是2的倍數嗎？為什麼？
生：我認為不是，因為12除以2有餘數。
師：你能舉一個算式，並説説誰是誰的倍數，誰是誰的因數嗎？
生：2×4＝8，2和4是8的因數，8是2和4的倍數。
生：40÷2＝20，40是2和20的倍數，2和20是40的因數。
師出示：0×3 0×10
0÷3 0÷10
通過剛才的計算，你有什麼發現？
生：我發現0和任何數相乘，都等於0。
生：0除以任何一個數都等於0。
生：我補充，0不能作為除數。
師：所以在研究因數和倍數時，我們所説的數一般指整數，不包括0。
生：我有一個疑問，在2×6＝12中，2叫因數是指在算式中它的名稱，而2是12的因數指的是2和12的關係，這兩種説法一樣嗎？
師：這個問題提得好！誰能回答他的問題？
生：我覺得好像不一樣，但不知道為什麼？
生：我認為不一樣，在2×6=12中，2叫因數是指在算式中它的名稱，而2是12的因數指的是2和12的關係。
師：説的真好。這節課我們研究因數與倍數的關係中所説的因數不是以前乘法算式中各部分名稱中的“因數”，兩者可不能混哦！
三、師生交流、合作探究：
1。出示例1：18的因數有哪幾個？
從12的因數可以看得出，一個數的因數不止一個，那麼我們一起找找看18的因數有哪些？
學生嘗試完成並交流彙報，説説你是怎麼找的？（18的因數有：1，2，3，6，9，18）
我們在寫的時候怎樣寫才能做到不遺漏、不重複？
（生：用乘法一對一對找，如1×18＝18，2×9＝18…；用整除的方法，18÷1＝18，18÷2＝9，18÷3＝6，18÷4＝…）
5。小結：我們找了這麼多數的因數，你覺得怎樣找才不容易漏掉？（從最小的自然數1找起，也就是從最小的因數找起，一直找到它的本身，找的過程中一對一對找，寫的時候從小到大寫。）
四、“動腦筋出教室”遊戲課件
五、課堂練習
1、請你來做小法官
（1）4×9=36，所以36是倍數，9是因數（ ）
（2）48是6的倍數。 （ ）
（3）在13÷4=31中，13是4的倍數。 （ ）
（4）6是36的因數。 （ ）
（5）在4x0。5=2中，4和0。5是2的因數。 （ ）
2、細心填一填
（1）、1的因數是（ ）
（2）、一個數的最大因數是24這個數是（）它的最小的因數是（）。
（3）、自然數32有（）個因數，它們是（ ）。
（4）、16的因數有（ ）
（5）、19的因數只有（ ）和（ ）。
3、我最聰明，我來回答
（1）、27的因數有哪些？
（2）、27是哪些數的倍數？
六、課時小結：
本節課大家學習到什麼知識，還有什麼不明白的地方嗎？有什麼疑問請提出來我們共同來解決。
七、板書設計
因數和倍數
1×12=12 12÷1=12
2×6=12 12÷2=6
3×4=12 12÷3=4
因為：a×b=c，（a，b，c都是不為0的整數）
所以：a，b都是c的因數，c是a，b的倍數
教學內容：
《義務教育課程標準實驗教科書數學（五年級下冊）》第12~13頁。
教學目標：
1、從操作活動中理解因數和倍數的意義，會判斷一個數是不是另一個數的因數或倍數。
2、培養學生抽象、概括的能力，滲透事物之間相互聯繫、相互依存的辯證唯物主義觀點。
3、培養學生的合作意識、探索意識，以及熱愛數學學習的情感。
教學重點：
理解因數和倍數的含義。
教學難點：
能準確、全面的求一個數的因數。
教學反思：
教學《因數和倍數》，這是一個非常枯燥的課題，但我巧妙地運用生活中人與人之間的關係，自然引入到數與數之間關係。為了讓學生理解因數和倍數的含意，教學過程中，我立足體現一個“實”字，充分應用多媒體的優點，學生從算式中找出能整除的算式，揭示整除、倍數、因數之間的關係，再通過舉例去驗證倍數與因數之間的聯繫，在推理中“悟”出知識的規律。學生在學習中實實在在經歷了一個探究的過程。“動腦筋出教室”這一遊戲的設計，學生在積極參與探討、質疑、創造的教學活動，既鞏固了知識，又享受了數學思維的快樂。
在授課時，我體驗到了學生的快樂。當學生用自己的學號説整除、因數、倍數之間的關係時，由於像順口溜，很有趣。每個學生都在愉快中學會了這節課的知識。
教學目標:
1、通過動手操作和寫不同的乘法算式，認識倍數和因數。
2、依據倍數和因數的含義和已有的乘除法知識，自主探索並總結找一個數的倍數和因數的方法。
3、在探索中，培養學生抽象，概括的能力，滲透事物之間相互聯繫、相互依存的辯證唯物主義的觀點。
教學重點、難點分析：
由於學生對辨析、理清除盡和整除的關係、整除的兩種讀法等易混淆的概念，使學生明確了一個數是否是另一個數的倍數或因數時，必須是以整除為前提，因數和倍數是相互依存的概念，不能獨立存在。所以本節課的教學我把重點定位於理解因數和倍數的含義。教學難點是自主探索並總結找一個數的倍數和因數的方法。
教學課時：
第一課時
教具學具準備:
1、學生每人準備12個大小完全相同的小正方形，一張寫有自己學號的卡片。
2、教師準備多媒體課件。
一、創設情景，明確探究目標
師：人與人之間存在着許多種關係，我和你們的關係是……
生：師生關係。
師：對，我是你們的老師，你們是我的學生，我們的關係是師生關係。在數學中，數與數之間也存在着多種關係，這一節課，我們一起探討兩數之間的因數與倍數關係。（板書課題：因數與倍數）
1、操作激活。
師：我們已經認識了哪幾類數？
生：自然數，小數，分數。
師：現在我們來研究自然數中數與數之間的關係。請你們用12個小正方形擺成不同的長方形，並根據擺成的不同情況寫出乘、除算式。
2、全班交流。
1×12=12 2×6=12 3×4=12
12×1=12 6×2=12 4×3=12
12÷1=12 12÷2=6 12÷3=4
12÷12=1 12÷6=2 12÷4=3
師：在這3組乘、除法算式中，都有什麼共同點？
生彙報。
師：（指着第②組）像這樣的乘、除法式子中的三個數之間的關係還有一種説法，你們想知道嗎？請看課本p12。
師：2和6與12的關係還可以怎樣説呢？
生：2和6是12的因數，12是2的倍數，也是6的倍數。
師：也就是説，2和12、6的關係是因數和倍數的關係，這幾組算式中，誰和誰還有因數和倍數的關係？
小組合作，交流彙報。
師：説得真好，從上面3組算式中，我們知道1，2，3，4，6，12都是12的因數。
揭示課題：今天我們要根據這些算式研究數學新本領。因數和倍數。
師：你能不能用同樣的方法説説另一道算式？
（指名生説一説）
師：你有沒有明白因數和倍數的關係了？
那你還能找出12的其他因數嗎？
3、舉例內化：
你能寫出一個算式，讓你的同桌找一找因數和倍數嗎？（學生互説，教師巡視找出典型例子）
4、下面的説法對嗎？説出理由。
（1）48是6的倍數。
（2）在13÷4=3……1中，13是4的倍數。
（3）因為3×6=18，所以18是倍數，3和6是因數。
師：第（3）題有兩種不同的意見，請反對意見的同學説説理由。
生：因為沒有説明18是誰的倍數，所以不對。
師：你認為怎樣説才正確呢？
生：我認為應該這麼説：18是3和6的倍數，3和6是18的因數。
師強調：在説倍數（或因數）時，必須説明誰是誰的倍數（或因數）。不能單獨説誰是倍數（或因數），也就是説：因數和倍數不能單獨存在。
二、自主探究，找因數和倍數
1、拓展提升，主動建構：
⑴遷移嘗試：請學生試着找出36的所有因數。
⑵交流方法：教師即時捕捉開發學生在課堂上的基礎性教學資源，並及時創生為生成性的教學資源，引導學生在交流中評價，在評價中探究，在發現中建構。預計學生會有這樣幾種情況出現：一是寫得多與少的區別，二是找的方法上的區別。具體表現為：一是無序、沒有方法地寫出了一些，如2，3，6，而且僅此寫出了幾個；二是有順序地用乘法（ ）×（ ）＝36的方法，一對一對地寫出了1，36，2，18，3，12，4，9，6，但沒有按照從小到大的順序寫；三是用除法36÷（ ）＝（ ）的方法想，而且是有順序地從小到大全部寫出： 1，2，3，4，6，9，12，18，36。
⑶啟迪思考：怎樣找才能不重複不遺漏？
小組合作，自主探究，彙報交流。
找一個數的因數時要做到不重複也不遺漏，方法可以有：
用乘法（ ）×（ ）＝36的方法，一對一對地寫；
或者是用除法36÷（ ）＝（ ）的方法想，而且是有順序地從小到大全部寫。
36的因數有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。（板書）
⑷試一試找20的所有因數。
⑸介紹36的因數的另一種寫法----集合
用集合形式寫18的因數
2、創設情境，自主探究：
請學生寫出6的倍數。預計學生在寫6的倍數時，會有這樣幾種情況出現：一是寫得多與少的區別，二是找的方法上的區別。具體表現為：一是無序、沒有方法地寫出了一些，6二是有順序地用乘法口訣寫6，三是用加法的方法，每次遞加6；四是用除法想，（ ）÷6＝1、（ ）÷6＝2、（ ）÷6＝3的方法寫。同時可能還會有學生在教師宣佈時間到的時候會因為6的倍數寫不完而抱怨時間太少。
請寫得又多又快的同學介紹自己的好方法、小竅門。在此基礎上交流評價小結方法。（評價時突出有序思維的策略）
3、遷移內化，自主探究：
⑴嘗試遷移：請學生嘗試遷移，用自己喜歡的方法寫出2的倍數和5，4，7的倍數。
2的倍數有：2，4，6，8，10，12……
5的倍數有：5，10，15，20，25……
⑵引導觀察：請學生觀察以上這些數的倍數，有什麼發現？
（一個數的倍數的個數是無限的，一個數最小的倍數是它本身。）
（3）還記得因數嗎，出示課件
觀察：看一看這些數的因數，你有什麼發現？（36最小的因數是1，最大的是36，……一個數最小的因數是1，最大的因數是它本身。）
三、變式拓展，實踐應用
指導學生做書本“練習二”的第2題和第3題。
四、全課總結
師：今天這節課我們一起學習了“約數和倍數”，你有哪些收穫？
課堂練習：遊戲：“我的朋友在哪裏？”
遊戲規則：
（1）一位同學提出所要找的朋友的要求，例：“我的因數在哪裏？”或“我的倍數在哪裏？”
（2）相應學號的同學站起來，其他同學判斷是否正確。
作業安排：
引導學生根據實際猜老師年齡，給出範圍：老師的年齡既是2的倍數也是5的倍數
教學目標：
1、使學生初步理解倍數和因數的含義，知道倍數和因數相互依存的關係。
2、使學生依據倍數和因數的含義以及已有乘除法知識，通過嘗試、交流等活動，探索並掌握找一個數倍數和因數的方法，能在1—100的自然數中找出10以內某個數的所有倍數，找出100以內某個數的所有因數。
3、使學生在認識倍數和因數以及找一個數的倍數和因數的過程中進一步感受數學知識的內在聯繫，提高數學思考的水平。
教學重點：
理解因數和倍數的含義，知道它們的關係是相互依存的。
教學難點：
探索並掌握找一個數的因數的方法。
教學準備：
12個小正方形片、每個學生的學號紙。
教學過程設計：
一、認識倍數、因數的含義
1、操作活動。
（1）明確操作要求：用12個同樣大的正方形拼成一個長方形。每排擺幾個？擺了幾排？用乘法算式把自己的擺法記錄下來。
（2）整理、交流，分別板書4×3＝1212×1＝126×2＝12
2、通過剛才的學習，我們發現用12個同樣的小正方形可以擺出3種不同的長方形，由此，還得出3道不一樣的乘法算式。4×3=12可以説12是4的倍數，12也是3的倍數；反過來，4和3都是12的因數。
3、今天我們就來研究倍數和因數的知識。
（揭示課題：倍數和因數）
（1）那其它兩道算式，你能説出誰是誰的倍數嗎？你能説出誰是誰的因數嗎？
指名回答後，教師追問：如果説12是倍數，2是因數，是否可以？為什麼？
小結：倍數和因數是指兩個數之間的關係，他們是相互依存的。
（2）出示：20×3=60，36÷4=9。同桌相互説一説誰是誰的倍數？誰是誰的因數？
指出：為了方便，我們在研究倍數和因數時，所説的數都是指不是0的自然數。
二、探索找一個數倍數的方法。
1、從4×3=12中，知道12是3的倍數。3的倍數還有哪些？從小到大，你能找到幾個？同桌交流自己的思考方法。
2、提問：什麼樣的數是3的倍數？你能按從小到大的順序有條理的説出3的倍數嗎？能全部説完嗎？可以怎麼表示？
3、議一議：你發現找3的倍數有什麼小竅門？
明確：可以按從小到大的順序，依次用1、2、3……與3相乘，乘得的積就是3的倍數。
4、試一試：你能用學會的竅門很快地寫出2和5的倍數嗎？
生獨立完成，集體交流。注意用……表示結果。
5、觀察上面的3個例子，你發現一個數的倍數有什麼特點？
根據學生的交流歸納：一個數的倍數中，最小的是它本身，沒有最大的倍數，一個數倍數的個數是無限的。
6、做“想想做做”第2題。
學生填表後討論：表中的應付元數是怎麼算的？有什麼共同特點？你還能説出4的哪些倍數？説的完嗎？
二、探索求一個數因數的方法。
1、學會了找一個數倍數的方法，再來研究求一個數的因數。
你能找出36的所有因數嗎？
2、小組合作，把36的所有因數一個不漏的寫出來，看看哪個組挑戰成功。並儘可能把找的方法寫出來。教師巡視，發現不同的找法。
3、出示一份作業：對照自己找出的36的因數，你想對他説點什麼？
4、交流整理找36因數的方法，明確：哪兩個數相乘的積等於36，那麼這兩個數就是36的因數。（一對一對地找，又要按次序排列）
板書：（有序、全面）。正因為思考的有序，才會有答案的全面。
5、試一試：請你用有序的思考找一找15和16的因數。
指名寫在黑板上。
6、觀察發現一個數的因數的特點。
一個數的因數最小是1，最大是它本身，一個數因數的個數是有限的。
7、“想想做做”第3題。
生獨立填寫，交流。觀察表格，表中的排數和每排人數與24有怎樣的關係。
四、課堂總結：學到這兒，你有哪些收穫？
五、遊戲：“看誰反應快”。
規則：學號符合下面要求的請站起來，並舉起學號紙。
（1）學號是5的倍數的。
（2）誰的學號是24的因數。
（3）學號是30的因數。
（4）誰的學號是1的倍數。
思考：
1、倍數和因數是一個比較抽象的知識，教學中讓學生擺出圖形，通過乘法算式來認識倍數和因數。用12個同樣大的正方形拼一個長方形，觀察長方形的擺法，再用乘法算式表示出來，組織交流出現積是12的不同的乘法算式。即：4×3＝122×6＝121×12＝12。根據乘法算式，從學生已有知識出發，學習倍數和因數，初步體會其意義
2、在得出這些乘法算式以後，先根據4×3=12説明12是3和4的倍數，3和4都是12的因數，使學生初步體會倍數和因數的含義。在學生初
步理解的基礎上，再讓他們舉一反三，結合另兩道乘法算式説一説。在這一個環節中，我設計了一個練習。即“根據下面的算式，同桌互相説説誰是誰的倍數，誰是誰的因數”第一個是20×3＝60，根據學生回答後質疑“能不能説3是因數，60是倍數”，從而強調倍數和因數是相互依存的。第二個是36÷4＝9，讓學生根據除法算式説出誰是誰的因數，誰是誰的倍數，並追問：你是怎麼想的？使學生知道把它轉化為乘法算式去説。
在學生有了倍數、因數的初步感受後，再向學生説明：我們在研究倍數和因數時，所説的數一般指不是0的自然數，明確了因數和倍數的研究範圍。
3、P71例一：找3的倍數，先讓學生獨立思考，“你還能再寫出幾個3的倍數？你是怎樣想的？”在學生交流的基礎上，適時提出：什麼樣的數就是3的倍數？你能按照從小到大的順序有條理地説出3的倍數嗎？使學生明確：找3的倍數時，可以按從到大的順序，依次用1、2、3……與3相乘，而每次乘得的積都是3的倍數。在此基礎上，引導學生進一步思考：你能把3的倍數全都説完嗎？從而使學生學會規範地表示一個數的所有倍數，並初步體會到一個數的個數是無限的。隨後，讓學生試着找出2和5的倍數，並正確表達2和5的所有倍數。最後引導學生觀察寫出的3、2和5的所有倍數，發現一個數的倍數的特點，即：一個數的最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數。一個數的倍數的個數是無限的。
4、例二：找36的所有因數，準備讓學生獨立嘗試，但這部分內容對學生來説是個難點，所以我採用了四人小組合作的方式讓學生試着找出36的所有因數。在找36的因數時，無論想乘法算式還是想除法算式，學生一般都從無序到有序，從有重複或遺漏到不重複不遺漏。所以，我在教學時允許他們經歷這樣的過程。先按自己的思路、用自己的方法寫36的因數，能寫幾個就寫幾個，是什麼順序就什麼順序。然後在交流中互相評價，讓他們知道一組一組地找比較方便，可以利用乘法算式，按一個因數從小到大的順序，同時又讓他們掌握按次序地書寫。此外，結合例題和試一試，通過比較和歸納，使學生明確：一個數的因數的個數是有限的，一個數的因數中最小的是1，最大的是它本身。
5、教材P72第2題讓學生解決實際問題在表裏填數，把4依次乘1、2、3、……得出“應付元數”，然後思考下面的問題，可以使學生進一步認識把4依次乘1,2,3,……所得的積，就是4的倍數，進一步理解找倍數的方法。第3題也是解決實際問題填寫表裏的數，並提出問題讓學生思考，使學生明確兩個相乘的數都是它們積的因數，求一個數的所有因數，可以想乘法一對一對地找出來，理解找一個數的因數的方法。
為了提高學生學習興趣，鞏固所學的知識。最後安排了一個遊戲，讓學生在遊戲中進一步練習找一個數倍數或因數的方法。。
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