15．1．1 整式
教學目標
1．單項式、單項式的定義．
2．多項式、多項式的次數．
3、理解整式概念．
教學重點
單項式及多項式的有關概念．
教學難點
單項式及多項式的有關概念．
教學過程
Ⅰ．提出問題，創設情境
在七年級，我們已經學習了用字母可以表示數，思考下列問題
1．要表示△ABC的周長需要什麼條件？要表示它的面積呢？
2．小王用七小時行駛了Skm的路程，請問他的平均速度是多少？
結論：
1、要表示△ABC的周長，需要知道它的各邊邊長．要表示△ABC的面積需要知道一條邊長和這條邊上的高．如果設BC=a，AC=b，AB=c．AB邊上的高為h，那麼△ABC的周長可以表示為a+b+c；△ABC的面積可以表示為 ？c?h．
2．小王的平均速度是 ．
問題：這些式子有什麼特徵呢？
（1）有數字、有表示數字的字母．
（2）數字與字母、字母與字母之間還有運算符號連接．
歸納：用基本的運算符號（運算包括加、減、乘、除、乘方與開方）把數和表示數的字母連接起來的式子叫做代數式．
判斷上面得到的三個式子：a+b+c、ch、是不是代數式？（是）
代數式可以簡明地表示數量和數量的關係．今天我們就來學習和代數式有關的整式．
Ⅱ．明確和鞏固整式有關概念
（出示投影）
結論：（1）正方形的周長：4x．
（2）汽車走過的路程：vt．
（3）正方體有六個面，每個面都是正方形，這六個正方形全等，所以它的表面積為6a2；正方體的體積為長×寬×高，即a3．
（4）n的相反數是－n．
分析這四個數的特徵．
它們符合代數式的定義．這五個式子都是數與字母或字母與字母的積，而a+b+c、ch、中還有和與商的運算符號．還可以發現這五個代數式中字母指數各不相同，字母的個數也不盡相同．
請同學們閲讀課本P160～P161單項式有關概念．
根據這些定義判斷4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、ch、這些代數式中，哪些是單項式？是單項式的，寫出它的係數和次數．
結論:4x、vt、6a2、a3、-n、ch是單項式．它們的係數分別是4、1、6、1、-1、．它們的次數分別是1、2、2、3、1、2．所以4x、-n都是一次單項式；vt、6a2、ch都是二次單項式；a3是三次單項式．
問題:vt中v和t的指數都是1，它不是一次單項式嗎？
結論:不是．根據定義，單項式vt中含有兩個字母，所以它的次數應該是這兩個字母的指數的和，而不是單個字母的指數，所以vt是二次單項式而不是一次單項式．
生活中不僅僅有單項式，像a+b+c，它不是單項式，和單項式有什麼聯繫呢？
寫出下列式子（出示投影）
結論:（1）t-5．（2）3x+5y+2z．
（3）三角尺的面積應是直角三角形的面積減去圓的面積，即 ab-3.12r2．
（4）建築面積等於四個矩形的面積之和．而右邊兩個已知矩形面積分別為3×2、4×3，所以它們的面積和是18．於是得這所住宅的建築面積是x2+2x+18．
我們可以觀察下列代數式：
a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.12r2、x2+2x+18．發現它們都是由單項式的和組成的式子．是多個單項式的和，能不能叫多項式？
這樣推理合情合理．請看投影，熟悉下列概念．
根據定義，我們不難得出a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.12r2、x2+2x+18都是多項式．請分別指出它們的項和次數．
a+b+c的項分別是a、b、c．
t-5的項分別是t、-5，其中-5是常數項．
3x+5y+2z的項分別是3x、5y、2z．
ab-3.12r2的項分別是 ab、-3.12r2．
x2+2x+18的項分別是x2、2x、18． 找多項式的次數應抓住兩條，一是找準每個項的次數，二是取每個項次數的最大值．根據這兩條很容易得到這五個多項式中前三個是一次多項式，後兩個是二次多項式．
這節課，通過探究我們得到單項式和多項式的有關概念，它們可以反映變化的世界．同時，我們也到符號的魅力所在．我們把單項式與多項式統稱為整式．
Ⅲ．隨堂練習
1．課本P162練習
Ⅳ．課時小結
通過探究，我們瞭解了整式的概念．理解並掌握單項式、多項式的有關概念是本節的重點，特別是它們的次數．在現實情景中進一步理解了用字母表示數的意義，發展符號感．
Ⅴ．課後作業
1．課本P165～P166習題15．1─1、5、8、9題．
2．預習“整式的加減”．
課後作業：《課堂感悟與探究》
15．1．2 整式的加減（1）
教學目的：
1、解字母表示數量關係的過程，發展符號感。
2、會進行整式加減的運算，並能説明其中的算理，發展有條理的思考及語言表達能力。
教學重點：
會進行整式加減的運算，並能説明其中的算理。
教學難點：
正確地去括號、合併同類項，及符號的正確處理。
教學過程：
一、課前練習：
1、填空：整式包括 和
2、單項式 的係數是 、次數是
3、多項式 是 次 項式，其中二次項
係數是 一次項是 ，常數項是
4、下列各式，是同類項的一組是（ ）
（A） 與 （B） 與 （C） 與
5、去括號後合併同類項：
二、探索練習：
1、如果用a 、b分別表示一個兩位數的十位數字和個位數字，那麼這個兩位數可以表示為 交換這個兩位數的。十位數字和個位數字後得到的兩位數為
這兩個兩位數的和為
2、如果用a 、b、c分別表示一個三位數的百位數字、十位數字和個位數字，那麼這個三位數可以表示為 交換這個三位數的百位數字和個位數字後得到的三位數為
這兩個三位數的差為
●議一議：在上面的兩個問題中，分別涉及到了整式的什麼運算？
説説你是如何運算的？
▲整式的加減運算實質就是
運算的結果是一個多項式或單項式。
三、鞏固練習：
1、填空：（1） 與 的差是
（2）、單項式 、、、的和為
（3）如圖所示，下面為由棋子所組成的三角形，
一個三角形需六個棋子，三個三角形需
（ ）個棋子，n個三角形需 個棋子
2、計算：
（1）
（2）
（3）
3、（1）求 與 的和
（2）求 與 的差
4、先化簡，再求值： 其中
四、提高練習：
1、若A是五次多項式，B是三次多項式，則A+B一定是
（A）五次整式 （B）八次多項式
（C）三次多項式 （D）次數不能確定
2、足球比賽中，如果勝一場記3a分，平一場記a分，負一場
記0分，那麼某隊在比賽勝5場，平3場，負2場，共積多
少分？
3、一個兩位數與把它的數字對調所成的數的和，一定能被14
整除，請證明這個結論。
4、如果關於字母x的二次多項式 的值與x的取值無關，
試求m、n的值。
五、小結：整式的加減運算實質就是去括號和合並同類項。
六、作業：第8頁習題1、2、3
15．1．2整式的加減（2）
教學目標：1.會進行整式加減的運算，並能説明其中的算理，發展有條理的思考及其語言表達能力。
2、通過探索規律的問題，進一步符號表示的意義，發展符號感，發展推理能力。
教學重點：整式加減的運算。
教學難點：探索規律的猜想。
教學方法：嘗試練習法，討論法，歸納法。
教學用具：投影儀
教學過程：
I探索練習：
擺第1個“小屋子”需要5枚棋子，擺第2個需要 枚棋子，擺第3個需要 枚棋子。按照這樣的方式繼續擺下去。
（1）擺第10個這樣的“小屋子”需要 枚棋子
（2）擺第n個這樣的“小屋子”需要多少枚棋子？你是如何得到的？你能用不同的方法解決這個問題嗎？小組討論。
二、例題講解：
三、鞏固練習：
1、計算：
（1）（14x3－2x2）＋2（x3－x2） （2）（3a2＋2a－6）－3（a2－1）
（3）x－（1－2x＋x2）+（－1－x2） （4）（8xy－3x2）－5xy－2（3xy－2x2）
2、已知：A=x3－x2－1，B=x2－2，計算：（1）B－A （2）A－3B
3、列方程解應用題：三角形三個內角的和等於180°，如果三角形中第一個角等於第二個角的3倍，而第三個角比第二個角大15°，那麼
（1）第一個角是多少度？
（2）其他兩個角各是多少度？
四、提高練習：
1、已知A＝a2＋b2－c2，B＝－4a2＋2b2＋3c2，並且A＋B＋C＝0，問C是什麼樣的多項式？
2、設A＝2x2－3xy＋y2－x＋2y，B＝4x2－6xy＋2y2－3x－y，若│x－2a│＋
（y＋3）2＝0，且B－2A＝a，求A的值。
3、已知有理數a、b、c在數軸上（0為數軸原點）的對應點如圖：
試化簡：│a│－│a＋b│＋│c－a│＋│b＋c│
小 結：要善於在圖形變化中發現規律，能熟練的對整式加減進行運算。
作 業：課本P14習題1.3：1（2）、（3）、（6），2。
一、教學目標
【知識與技能】
瞭解運用公式法分解因式的意義，會用平方差分解因式；知道提公因式法分解因式是首先考慮的方法，再考慮用平方差分解因式。
【過程與方法】
通過對平方差特點的辨析，培養觀察、分析能力，訓練對平方差公式的應用能力。
【情感態度價值觀】
在逆用乘法公式的過程中，培養逆向思維能力，在分解因式時瞭解換元的思想方法。
二、教學重難點
【教學重點】
運用平方差公式分解因式。
【教學難點】
靈活運用公式法或已經學過的提公因式法分解因式；正確判斷因式分解的徹底性。
三、教學過程
（一）引入新課
我們學習了因式分解的定義，還學習了提公因式法分解因式。如果一個多項式的各項，不具備相同的因式，是否就不能分解因式了呢？當然不是，大家知道因式分解與多項式乘法是互逆關係，能否利用這種關係找到新的因式分解的方法呢？
大家先觀察下列式子：
（1）(x+5)(x-5)=，(2)(3x+y)(3x-y)=，(3)(1+3a)(1-13a)=
他們有什麼共同的特點？你可以得出什麼結論？
（二）探索新知
學生獨立思考或者與同桌討論。
引導學生得出：①有兩項組成，②兩項的符號相反，③兩項都可以寫成數或式的平方的形式。
提問1：能否用語言以及數學公式將其特徵表述出來？
教學設計思想：
本小節依次介紹了平方差公式和完全平方公式，並結合公式講授如何運用公式進行多項式的因式分解。第一課時的內容是用平方差公式對多項式進行因式分解，首先提出新問題：x2-4與y2-25怎樣進行因式分解，讓學生自主探索，通過整式乘法的平方差公式，逆向得出用公式法分解因式的方法，發展學生的逆向思維和推理能力，然後讓學生獨立去做例題、練習中的題目，並對結果通過展示、解釋、相互點評，達到能較好的運用平方差公式進行因式分解的目的。第二課時利用完全平方公式進行多項式的因式分解是在學生已經學習了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基礎上進行的`，因此在教學設計中，重點放在判斷一個多項式是否為完全平方式上，採取啟發式的教學方法，引導學生積極思考問題，從中培養學生的思維品質。
教學目標
知識與技能：
會用平方差公式對多項式進行因式分解；
會用完全平方公式對多項式進行因式分解；
能夠綜合運用提公因式法、平方差公式、完全平方公式對多項式進行因式分解；
提高全面地觀察問題、分析問題和逆向思維的能力。
過程與方法：
經歷用公式法分解因式的探索過程，進一步體會這兩個公式在因式分解和整式乘法中的不同方向，加深對整式乘法和因式分解這兩個相反變形的認識，體會從正逆兩方面認識和研究事物的方法。
情感態度價值觀：
通過學習進一步理解數學知識間有着密切的聯繫。
教學重點和難點
重點：①運用平方差公式分解因式；②運用完全平方式分解因式。
難點：①靈活運用平方差公式分解因式，正確判斷因式分解的徹底性；②靈活運用完全平方公式分解因式
關鍵：把握住因式分解的基本思路，觀察多項式的特徵，靈活地運用換元和劃歸思想。
《錯過》答案
【課堂同步】
1、lánmānhān
sǒuchóuchàng
2、槽貽愫馭
碩嚼澀凝
3、（1）“又”字表明在一年前已經錯過了許多，強調了錯過是“人生的常態”。
（2）“一般來説”，用在這裏表示限定範圍，強調丁普遍性，但又不排除例外。
（3）“或許”用在這裏表示一種猜測，不肯定。因為“沒有意識到錯過”的不一定都“能產生一種自足感”。
（4）用兩個“立刻”強調速度要快，才有可能“使錯過轉化為掌握”。“多半”，是“一半以上”的意思，説明不是全部能“使錯過轉化為掌握”的。
4、對比論證。“錯過”了，能夠認識到，這是一種“情愫”，在“追悔”中認識到為什麼會“錯過”，從而不再犯同樣的“錯過”的失誤，這種引以為戒的能力是一種“升騰”的能力。5、冷靜而成熟地駕馭。（答案不強求一致，言之有理即可）
6、不矛盾。因為上次錯過了，“對錯過有了痛切的感受，當機遇再次呈現時，你便會有高度的應變力與把握力”，便能“冷靜而成熟地駕馭”。
7、不能調換。兩個詞的意思不同。“錯過”是動詞，是失去（機會、對象）的意思；“過錯”是名詞，是過失、錯誤的意思。
8、要習慣它、品味它。因為人生充滿了錯過，沒有“萬無一失”的人生，所以必須“習慣”錯過；錯過自有意義，人“在追悔中產生出一種真切而細微、深入而豐厚的情愫”，“靈魂具備了升騰的能力”，產生“高度的應變力與把握力”，所以必須“品味”錯過。
【課外拓展】
9、指“我”不能突破現有的寫作水平的關鍵。
10、缺少那能使人除了追求完整的意志而外把一切都忘掉的熱忱。
11、“我”省悟到一切藝術與偉業的奧妙——專心。
12、通過細節描寫表現羅丹的專注。
13、（示例）我太專注了。
《散步》答案
【課堂同步】
1、（1）C
（2）B
2、C
3、（1）一個“熬”字，形象地寫出了老母親面對漫長的寒冬，在身體和精神方面所經受的磨難之巨。
（2）“總算”表露了“我”盼春春至的欣喜之情。
4、略，
5、因為“我”愛幼，但更尊老；“我”伴同兒子的時日還長。
6、從“母親摸摸孫兒的小腦瓜”這一細節可以看出，母親改變主意是因為愛她的孫子。
7、祖孫發生了分歧，處理不好會影響家庭的和睦。
8、小路的景色十分誘人，照應前面的“小路有意思”，説明母親走小路是順從小孫子。
9、描寫了一家三代和睦融洽、相互體貼關心的動人場面，體現了中華民族尊老愛幼的傳統美德。
10、“我”和妻子人到中年，肩負着承前啟後的責任，對生活有着高度的使命感。
【課外拓展】
11、暗示修車女工他是影帝阿利克斯•洛依德。
12、女工認為人與人之間應該是平等的、相互尊重的。
13、誰來修車都是我的顧客，無論是普通人還是明星，這是我的工作。每個人都有自己的工作，儘管有分工，但工作不分高低貴賤。
14、看到了普通女工高尚的精神境界，洛依德在她面前感到了自己的淺薄與虛妄。
15、“淺薄”指過分看重自己的職業和成就，“虛妄”指看不起他人和強求別人崇拜自己。
教學目標：
1、進一步鞏固因式分解的概念；
2、鞏固因式分解常用的三種方法
3、選擇恰當的方法進行因式分解
4、應用因式分解來解決一些實際問題
5、體驗應用知識解決問題的樂趣
教學重點：靈活運用因式分解解決問題
教學難點：靈活運用恰當的因式分解的方法，拓展練習2、3
教學過程：
一、創設情景：若a=101,b=99,求a2-b2的值
利用因式分解往往能將一些複雜的運算簡單化，那麼我們先來回顧一下什麼是因式分解和怎樣來因式分解。
二、知識回顧
1、因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式。
判斷下列各式哪些是因式分解？（讓學生先思考，教師提問講解，讓學生明確因式分解的概念以及與乘法的關係）
（1）。x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2)。2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法
（3）。(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4)。x2+4x+4=(x+2)2 因式分解
（5）。(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法 (6)。m2-4=(m+4)(m-4) 因式分解
（7）。2πR+2πr=2π(R+r) 因式分解
2、。規律總結（教師講解）: 分解因式與整式乘法是互逆過程。
分解因式要注意以下幾點: (1)。分解的對象必須是多項式。
（2）。分解的結果一定是幾個整式的乘積的形式。 (3)。要分解到不能分解為止。
3、因式分解的方法
提取公因式法：-6x2+6xy+3x=-3x(2x-2y-1) 公因式的概念；公因式的求法
公式法:平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
4、強化訓練
試一試把下列各式因式分解:
（1）。1-x2=(1+x)(1-x) (2)。4a2+4a+1=(2a+1)2
（3）。4x2-8x=4x(x-2) (4)。2x2y-6xy2 =2xy(x-3y)
三、例題講解
例1、分解因式
(1)-x3y3+x2y+xy (2)6(x-2)+2x(2-x)
（3） (4)y2+y+例2、分解因式
1、a3-ab2= 2、(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)= 3、(a+b) 2+2(a+b)-15=
4、-1-2a-a2= 5、x2-6x+9-y2 6、x2-4y2+x+2y=
例3、分解因式
1、72-2(13x-7) 2 2、8a2b2-2a4b-8b3
三、知識應用
1、(4x2-9y2)÷(2x+3y) 2、(a2b-ab2)÷(b-a)
3、解方程：(1)x2=5x (2) (x-2)2=(2x+1)2
4、。若x=-3,求20x2-60x的值。 5、1993-199能被200整除嗎？還能被哪些整數整除？
四、拓展應用
1、計算:7652×17-2352×17 解:7652×17-2352×17=17(7652-2352)=17(765+235)(765-235)
2、20042+2004被2005整除嗎？
3、若n是整數，證明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍數。
五、課堂小結：今天你對因式分解又有哪些新的認識？
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