第一教時
教材：向量
目的：要求學生掌握向量的意義、表示方法以及有關概念，並能作一個向量與已
知向量相等，根據圖形判定向量是否平行、共線、相等。
過程：
一、開場白：課本P93(略)
實例：老鼠由A向西北逃竄，貓在B問：貓能否追到老鼠？(畫圖)
結論：貓的速度再快也沒用，因為方向錯了。 AB
二、提出課題：平面向量
1.意義：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、衝量
等
注意：1?數量與向量的區別：
數量只有大小，是一個代數量，可以進行代數運算、比較大
小；
向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小。
2?從19世紀末到20體系，用以研究空間性質。
2. 向量的表示方法： a B
1?幾何表示法：點—射線 (終點)有向線段——具有一定方向的線段 A(起點)
記作(注意起訖)
2?字母表示法：可表示為(印刷時用黑體字)
P95 例用1cm表示5n mail(海里)
3. 模的概念：向量 記作：|| 模是可以比較大小的
4. 兩個特殊的向量：
1?零向量——長度(模)為0的向量，記作。的方向是任意的。注意與0的區別
2?單位向量——長度(模)為1個單位長度的向量叫做單位向量。
例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？
答：不是。因為零上零下也只是大小之分。
例：與是否同一向量？
答：不是同一向量。
例：有幾個單位向量？單位向量的大小是否相等？單位向量是否都相等？ 答：有無數個單位向量，單位向量大小相等，單位向量不一定相等。 三、向量間的關係：
1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
記作：∥∥
規定：與任一向量平行
2. 相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 a 記作：=
規定：=
任兩相等的非零向量都可用一有向線段表示，與起點無關。 3. 共線向量：任一組平行向量都可移到同一條直線上 ，
所以平行向量也叫共線向量。
OA=a OB=b OC=c
例：(P95)略
變式一：與向量長度相等的向量有多少個？(11個)
變式二：是否存在與向量長度相等、方向相反的向量？(存在) 變式三：與向量共線的向量有哪些？(,,)
四、小結：
五、作業：P96 練習習題5.1
第二教時
教材：向量的加法
目的：要求學生掌握向量加法的意義，並能運用三角形法則和平行四邊形法則作
幾個向量的和向量。能表述向量加法的交換律和結合律，並運用它進行向量計算。
過程：
六、複習：向量的定義以及有關概念
強調：1?向量是既有大小又有方向的量。長度相等、方向相同的向量相等。2?正因為如此，我們研究的向量是與起點無關的自由向量，即任何
向量可以在不改變它的方向和大小的前提下，移到任何位置。
七、提出課題：向量是否能進行運算？
5.某人從A到B，再從B按原方向到C，
A BC
則兩次的位移和：?
6.若上題改為從A到B，再從B按反方向到C，
則兩次的位移和：AB?BC?AC
7.某車從A到B，再從B改變方向到C，
則兩次的位移和：AB?BC?AC
8.船速為AB，水速為BC，
則兩速度和：?
提出課題：向量的加法 A B三、1.定義：求兩個向量的和的運算，叫做向量的加法。
注意：;兩個向量的和仍舊是向量(簡稱和向量)
2.三角形法則： a b b
a+ a b a+b A A C A B B
B
1?“向量平移”(自由向量)：使前一個向量的終點為後一個向量的起
點
2?可以推廣到n個向量連加
3
4?不共線向量都可以採用這種法則——三角形法則
3.例一、已知向量、，求作向量+
作法：在平面內取一點，
作？ ?
則？ O b
b AB C C 4.加法的交換律和平行四邊形法則 B
上題中+的結果與+是否相同 驗證結果相同
從而得到：1?向量加法的平行四邊形法則
2?向量加法的交換律：+=+
9.向量加法的結合律：(+) +=+ (+)
證：如圖：使？, ?, ?
a+c
則(+) +=?
+ (+) =?
∴(a+b) +c=a+ (b+c)
從而，多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行。
四、例二(P98—99)略
五、小結：1?向量加法的幾何法則
2?交換律和結合律
3?注意：|+| >|| + ||不一定成立，因為共線向量不然。
六、作業：P99—100練習P102習題5.2 1—3
第三教時
教材：向量的減法
目的：要求學生掌握向量減法的意義與幾何運算，並清楚向量減法與加法的關係。 過程：
八、複習：向量加法的法則：三角形法則與平行四邊形法則
向量加法的運算定律： 例：在四邊形中，?? 解：CB?BA?BA?CB?BA?AD?CD
九、提出課題：向量的減法 A B
1.用“相反向量”定義向量的減法
1?“相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量。記作 ?a 2?規定：零向量的相反向量仍是零向量(?a) = a
任一向量與它的相反向量的和是零向量。a + (?a) = 0
如果a、b互為相反向量，則a = ?b, b = ?a, a + b = 0
3?向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差。
即：a ? b = a + (?b)求兩個向量差的運算叫做向量的減法。
2.用加法的逆運算定義向量的減法：
向量的減法是向量加法的逆運算：
若b + x = a，則x叫做a與b的差，記作a ? b
3.求作差向量：已知向量a、b，求作向量
∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a
a 作法：在平面內取一點O， 作= a, = b
則= a ? b b b a?b
即a ? b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量。
注意：1?表示a ? b。強調：差向量“箭頭”指向被減數
2?用“相反向量”定義法作差向量，a ? b = a + (?b)
顯然，此法作圖較繁，但最後作圖可統一。
B’ ?b a
b A b
4.a∥b∥c B a ? b = a + (?b) a ? b
a?b O B A B’ O B
a?b O
A ?b B 十、例題： 例一、(P101 例三)已知向量a、b、c、
d，求作向量a?b、c?d。
解：在平面上取一點O，作= a, = b, = c, = d,
作， ,則= a?b, = c?d
A b C
B 例二、平行四邊形中，，用表示向量，
解：由平行四邊形法則得：
= a + b, = ? = a?b
變式一：當a, b滿足什麼條件時，a+b與a?b垂直？(|a| = |b|)
變式二：當a, b滿足什麼條件時，|a+b| = |a?b|?(a, b互相垂直)
變式三：a+b與a?b可能是相當向量嗎？(不可能， 十一、小結：向量減法的定義、作圖法|
十二、作業： P102 練習
P103習題5.2 4—8
第四教時
教材：向量、向量的加法、向量的減法綜合練習《教學與測試》64、65、66課
教學目的：
1 掌握平面向量數量積運算規律；
2 能利用數量積的5個重要性質及數量積運算規律解決有關問題；
3 掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題
教學重點：平面向量數量積及運算規律
教學難點：平面向量數量積的應用
授課類型：新授課
課時安排：1課時
教 具：多媒體、實物投影儀
內容分析：
啟發學生在理解數量積的運算特點的基礎上，逐步把握數量積的運算律，引導學生注意數量積性質的相關問題的特點，以熟練地應用數量積的性質
教學過程：
一、複習引入：
1.兩個非零向量夾角的概念
已知非零向量 與 ，作 = ， = ，則∠aob=θ(0≤θ≤π)叫 與 的夾角
2.平面向量數量積(內積)的定義：已知兩個非零向量 與 ，它們的夾角是θ，則數量| || |cos叫 與 的數量積，記作 ，即有 = | || |cos，
(0≤θ≤π) 並規定 與任何向量的數量積為0
3.“投影”的概念：作圖
定義：| |cos叫做向量 在 方向上的投影
投影也是一個數量，不是向量；當為鋭角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0;當 = 0時投影為 | |;當 = 180時投影為 | |
4.向量的數量積的幾何意義：
數量積 等於 的長度與 在 方向上投影| |cos的乘積
5.兩個向量的數量積的性質：
設 、為兩個非零向量， 是與 同向的單位向量
1 = =| |cos;2 = 0
3當 與 同向時， = | || |;當 與 反向時， = | || |
特別的 = | |2或
4cos = ;5| | ≤ | || |
6.判斷下列各題正確與否：
1若 = ，則對任一向量 ，有 = 0 ( √ )
2若 ，則對任一非零向量 ，有 0 ( × )
3若 ， = 0，則 = ( × )
4若 = 0，則 、至少有一個為零 ( × )
5若 ， = ，則 = ( × )
6若 = ，則 = 當且僅當 時成立 ( × )
7對任意向量 、、，有( ) ( ) ( × )
8對任意向量 ，有 2 = | |2 ( √ )
教學準備
教學目標
1.掌握平面向量的數量積及其幾何意義；
2.掌握平面向量數量積的重要性質及運算律；
3.瞭解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題；
4.掌握向量垂直的條件。
教學重難點
教學重點：平面向量的數量積定義
教學難點：平面向量數量積的定義及運算律的理解和平面向量數量積的應用
教學工具
投影儀
教學過程
一、複習引入：
1.向量共線定理向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數λ，使=λ
五，課堂小結
(1)請學生回顧本節課所學過的知識內容有哪些？所涉及到的主要數學思想方法有那些？
(2)在本節課的學習過程中，還有那些不太明白的地方，請向老師提出。
(3)你在這節課中的表現怎樣？你的體會是什麼？
六、課後作業
P107習題2.4A組2、7題
課後小結
(1)請學生回顧本節課所學過的知識內容有哪些？所涉及到的主要數學思想方法有那些？
(2)在本節課的學習過程中，還有那些不太明白的地方，請向老師提出。
(3)你在這節課中的表現怎樣？你的體會是什麼？
課後習題
作業
P107習題2.4A組2、7題
板書
略
一、教學目標
(一)知識與能力
1.瞭解平面向量的概念；
2.學會平面向量的表示方法；
3.理解向量、零向量、相等向量的意義。
(二)過程與方法
用聯繫的方法、類比的觀點研究向量。
(三)情感態度與價值觀
使學生自然地實現概念的形成，培養學生的唯物辯證思想。
二、教學重難點
(一)教學重點
向量及其幾何表示，相等向量、平行向量的概念。
(二)教學難點
向量的概念及對平行向量的理解。
三、教學過程
(一)引入
1.類比法：引入概念
師：在物理中，位移與距離是同一個概念嗎？為什麼？ 在物理中，我們學到位移是既有大小、又有方向的量，像這種既有大小、又有方向的量叫做矢量。在數學中，把只有大小，沒有方向的量叫數量，把既有大小、又有方向的量叫做向量。
2.聯繫法：激活學生的相關經驗，加深印象
師：能否舉出一些生活中既有大小又有方向的量？
(二)平面向量的表示方法
1.代數表示
一般印刷用黑體的小寫英文字母(a、b、c等)來表示，手寫用在a、b、c等字母上加一箭頭(→)表示，如。
2.幾何表示
向量可以用有向線段的起終點字母表示：。
3.座標表示
在直角座標系內，任取兩點A(x1,y1)，B(x2,y2)，則向量AB=(x2-x1,y2-y1)，即一個向量的座標等於表示此向量的有向線段的終點座標減去始點的座標。
(三)相關概念
1.向量的模
有向線段AB的長度叫做向量的模，記作|AB|。
2.單位向量
引入：用有向線段表示向量，大家所畫線段長短不一是為什麼呢？(由單位長度引入單位向量)
總結：模等於1個單位長度的向量叫做單位向量，通常用e表示。
3.零向量
長度等於0的向量叫做零向量，記作或0。
4.平行向量(共線向量)
兩個方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共線向量，零向量與任意向量平行，記作0//。
5.相等向量
設計活動：傳花遊戲(通過遊戲調動興趣，讓學生體會相等向量的本質特徵)
總結：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
本節是平面向量的第一堂課，屬於“概念課”，概念的理解無疑是重點，也是難點。具體教學中，要設計一個能讓學生領悟概念的過程，引導他們聯繫具體事例，體會概念的本質特徵。要使學生意識到認識一個數學概念的基本思路，而不是停留在某個具體的概念學習上。
平面向量
基本知識回顧：
1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量，有二個要素：大小、方向。 2.向量的表示方法：
??
①用有向線段表示-----AB(幾何表示法);
?
②用字母a、b等表示(字母表示法);
③平面向量的座標表示(座標表示法)：
??
分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底。任作一個向量a，由平
面向量基本定理知，有且只有一對實數x、y，使得a?xi?yj，(x,y)叫做向量a的(直角)座標，記作a?(x,y)，其中x叫做a在x軸上的座標，y叫做a在y軸上的座標， 特
?
??
別地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0)。a?
?
?
?
A(x1,y1)，B(x2,y2)，則
AB?
?x2?x1,y2?y1?，
AB?
3.零向量、單位向量：
①長度為0的向量叫零向量，記為0;
②長度為1個單位長度的向量，叫單位向量。就是單位向量)
4.平行向量：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
?
②我們規定0與任一向量平行。向量a、b、c平行，記作a∥b∥c.共線向量與平行向量關係：平行向量就是共線向量。
??
0,b與a同向方向---?
?性質：a//b(b?0)?a?b(?是唯一)??0,b與a反向 ??
長度---|a|?b?
?
a//b(b?0)?x1y2?x2y1?0 (其中 a?(x1,y1),b?(x2,y2))
5.相等向量和垂直向量：
①相等向量：長度相等且方向相同的向量叫相等向量。
?
②垂直向量——兩向量的夾角為？
2
性質：a?b?a?b?0
a?b?x1x2?y1y2?0 (其中 a?(x1,y1),b?(x2,y2))
6.向量的加法、減法：
①求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法則和平行四邊形法則。平行四邊形法則：
AC?a?b(起點相同的兩向量相加，常要構造平行四邊形)
DB?a?b
?加法？首尾相連
三角形法則？
?減法？終點相連，方向指向被減數
??
——加法法則的推廣： ABn?AB1?B1B2??Bn?1Bn
即n個向量a1,a2,?an首尾相連成一個封閉圖形，則有a1?a2??an?0 ?
②向量的減法向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差。即：a ?b= a+ (?b); ?
?
差向量的意義： OA= a, OB=b, 則BA=a? b
??
③平面向量的座標運算：若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，??
a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y)。
④向量加法的交換律：a+b=b+a;向量加法的結合律：(a+b) +c=a+ (b+c) ⑤常用結論：
??1?
(1)若AD?(AB?AC)，則D是AB的中點
2
?
(2)或G是△ABC的重心，則GA?GB?GC?0
7.向量的模：
1、定義：向量的大小，記為 |a| 或 |AB|
2、模的求法：
?
?
若 a?(x,y)，則 |a|?
??
若A(x1,y1),B(x2,y2)， 則 |AB|?
3、性質：
?2?2
(1)|a|?a; |a|?b(b?0)?|a|2?b2 (實數與向量的轉化關係)
??
2
(2)a?b?|a|?|b|2，反之不然
(3(轉載於：高中平面向量教學設計))三角不等式：|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|
(4)|a?b|?|a||b| (當且僅當a,b共線時取“=”)
即當a,b同向時 ，a?b?|a||b|; 即當a,b同反向時 ，a?b?|a||b|
(5)平行四邊形四條邊的平方和等於其對角線的平方和，
222
即2|a|?2|b|?|a?b|?|a?b|2
8.實數與向量的積：實數λ與向量a的積是一個向量，記作：λa (1)|λa|=|λ||a|;
(2)λ>0時λa與a方向相同；λ<0時λa與a方向相反；λ=0時λa=0; ?
?
(3)運算定律 λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb
交換律：a?b?b?a;
分配律：(a?b)?c?a?c?b?c
(?a)2b=?(a2b)=a2(?b);
——①不滿足結合律：即(a?b)?c?a?(b?c)
?2
a
②向量沒有除法運算。如：a?b?c?b?a?c，?
a?b
?a
都是錯誤的 b
?
(4)已知兩個非零向量a,b，它們的夾角為？，則 ??
a?b =|a||b|cos?
座標運算：a?(x1,y1),b?(x2,y2)，則a?b?x1x2?y1y2
(5)向量AB?a在軸l上的投影為：
??
︱a︱cos?， (?為a與n的夾角，n為l的方向向量)
??a?n?n
?(為n的單位向量)
|n||n|
其投影的長為AB
//
??
(6)a與b的夾角？和a?b的關係：
??
(1)當？0時，a與b同向；當？時，a與b反向
?a?b?0?a?b?0
(2)?為鋭角時，則有？; ?為鈍角時，則有？ ?
??a,b不共線？a,b不共線
9.向量共線定理：
??
向量b與非零向量a共線(也是平行)的充要條件是：有且只有一個非零實數λ，使b=
λa。
10.平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2。
(1)不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底； (2)基底不惟一，關鍵是不共線；
(3)由定理可將任一向量a在給出基底e1、e2的條件下進行分解；
(4)基底給定時，分解形式惟一。 λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數量。
向量座標與點座標的關係：當向量起點在原點時，定義向量座標為終點座標，即若A(x，y)，則OA=(x,y);當向量起點不在原點時，向量AB座標為終點座標減去起點座標，即若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB=(x2-x1,y2-y1) 11. 向量a和b的數量積。
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