《餘弦定理》教案
一、教材分析
《餘弦定理》選自人教A版高中數學必修五第一章第一節第一課時。本節課的主要教學內容是餘弦定理的內容及證明，以及運用餘弦定理解決“兩邊一夾角”“三邊”的解三角形問題。
餘弦定理的學習有充分的基礎，國中的勾股定理、必修一中的向量知識、上一課時的正弦定理都是本節課內容學習的知識基礎，同時又對本節課的學習提供了一定的方法指導。其次，餘弦定理在高中解三角形問題中有着重要的地位，是解決各種解三角形問題的常用方法，餘弦定理也經常運用於空間幾何中，所以餘弦定理是高中數學學習的一個十分重要的內容。 二、教學目標
知識與技能：1、理解並掌握餘弦定理和餘弦定理的推論。
2、掌握餘弦定理的推導、證明過程。
3、能運用餘弦定理及其推論解決“兩邊一夾角”“三邊”問題。 過程與方法：1、通過從實際問題中抽象出數學問題，培養學生知識的遷移能力。
2、通過直角三角形到一般三角形的過渡，培養學生歸納總結能力。3、通過餘弦定理推導證明的過程，培養學生運用所學知識解決實際問題的能力。
情感態度與價值觀：1、在交流合作的過程中增強合作探究、團結協作精神，體驗 解決問題的成功喜悦。
2、感受數學一般規律的美感，培養數學學習的興趣。 三、教學重難點
重點：餘弦定理及其推論和餘弦定理的運用。
難點：餘弦定理的發現和推導過程以及多解情況的判斷。
四、教學用具
普通教學工具、多媒體工具 （以上均為命題教學的準備）
今天我説課的內容是餘弦定理，本節內容共分3課時，今天我將就第1課時的餘弦定理的證明與簡單應用進行説課。下面我分別從教材分析。教學目標的確定。教學方法的選擇和教學過程的設計這四個方面來闡述我對這節課的教學設想。
一、教材分析
本節內容是江蘇教育出版社出版的普通高中課程標準實驗教科書《數學》必修五的第一章第2節，在此之前學生已經學習過了勾股定理。平面向量、正弦定理等相關知識，這為過渡到本節內容的學習起着鋪墊作用。本節內容實質是學生已經學習的勾股定理的延伸和推廣，它描述了三角形重要的邊角關係，將三角形的“邊”與“角”有機的聯繫起來，實現邊角關係的互化，為解決斜三角形中的邊角求解問題提供了一個重要的工具，同時也為在日後學習中判斷三角形形狀，證明三角形有關的等式與不等式提供了重要的依據。
在本節課中教學重點是餘弦定理的內容和公式的掌握，餘弦定理在三角形邊角計算中的運用；教學難點是餘弦定理的發現及證明；教學關鍵是餘弦定理在三角形邊角計算中的運用。
二、教學目標的確定
基於以上對教材的認識，根據數學課程標準的“學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者。引導者與合作者”這一基本理念，考慮到學生已有的認知結構和心理特徵，我認為本節課的教學目標有：
1、知識與技能：熟練掌握餘弦定理的內容及公式，能初步應用餘弦定理解決一些有關三角形邊角計算的問題；
2、過程與方法：掌握餘弦定理的兩種證明方法，通過探究餘弦定理的過程學會分析問題從特殊到一般的過程與方法，提高運用已有知識分析、解決問題的能力；
3、情感態度與價值觀：在探究餘弦定理的過程中培養學生探索精神和創新意識，形成嚴謹的數學思維方式，培養用數學觀點解決問題的能力和意識、
三、教學方法的選擇
基於本節課是屬於新授課中的數學命題教學，根據《學記》中啟發誘導的思想和布魯納的發現學習理論，我將主要採用“啟發式教學”和“探究性教學”的教學方法即從一個實際問題出發，發現無法使用剛學習的正弦定理解決，造成學生在認知上的衝突，產生疑惑，從而激發學生的探索新知的慾望，之後進一步啟發誘導學生分析，綜合，概括從而得出原理解決問題，最終形成概念，獲得方法，培養能力。
在教學中利用計算機多媒體來輔助教學，充分發揮其快捷、生動、形象的特點。
四、教學過程的設計
為達到本節課的教學目標、突出重點、突破難點，在教材分析、確定教學目標和合理選擇教法與學法的基礎上，我把教學過程設計為以下四個階段：創設情境、引入課題；探索研究、構建新知；例題講解、鞏固練習；課堂小結，佈置作業。具體過程如下：
1、創設情境，引入課題
利用多媒體引出如下問題：
A地和B地之間隔着一個水塘現選擇一地點C，可以測得的大小及，求A、B兩地之間的距離c。
【設計意圖】由於學生剛學過正弦定理，一定會採用剛學的知識解題，但由於無法找到一組已知的邊及其所對角，從而產生疑惑，激發學生探索慾望。
2、探索研究、構建新知
（1）由於國中接觸的是解直角三角形的問題，所以我將先帶領學生從特殊情況為直角三角形（）時考慮。此時使用勾股定理，得。
（2）從直角三角形這一特殊情況出發，引導學生在一般三角形中構造直角即作邊的高，從而在構造的直角三角形中利用勾股定理列出邊之間的等式關係、
（3）考慮到我們所作的圖為鋭角三角形，討論上述結論能否推廣到在為鈍角三角形（）中。
通過解決問題可以得到在任意三角形中都有，之後讓同學們類比出……這樣我就完成了對餘弦定理的引入，之後總結給出餘弦定理的內容及公式表示。
【設計意圖】通過創設情景、引導學生探究出餘弦定理這一數學體驗，既可以培養學生分析問題的能力，也可以加深學生對餘弦定理的認識、
在學生已學習了向量的基礎上，考慮到新課改中要求使用新工具、新方法，我會引導同學類比向量法證明正弦定理的過程嘗試使用向量的方法證明餘弦定理、之後引導學生對餘弦定理公式進行變形，用三邊值來表示角的餘弦值，給出餘弦定理的第二種表示形式，這樣就完成了新知的構建。
根據餘弦定理的兩種形式，我們可以利用餘弦定理解決以下兩類解斜三角形的問題：
（1）已知三邊，求三個角；
（2）已知三角形兩邊及其夾角，求第三邊和其他兩個角。
3、例題講解、鞏固練習
本階段的教學主要是通過對例題和練習的思考交流、分析講解以及反思小結，使學生初步掌握使用餘弦定理解決問題的方法。其中例題先以學生自己思考解題為主，教師點評後再規範解題步驟及板書，課堂練習請同學們自主完成，並請同學上黑板板書，從而鞏固餘弦定理的運用。
例題講解：
例1在中，
（1）已知，求；
（2）已知，求。
【設計意圖】例題1分別是通過已知三角形兩邊及其夾角求第三邊，已知三角形三邊求其夾角，這樣餘弦定理的兩個形式分別得到了運用，進而鞏固了學生對餘弦定理的運用。
例2對於例題1（2），求的大小。
【設計意圖】已經求出了的度數，學生可能會有兩種解法：運用正弦定理或運用餘弦定理，比較正弦定理和餘弦定理，發現使用餘弦定理求解角的問題可以避免解的取捨問題。
例3使用餘弦定理證明：在中，當為鋭角時；當為鈍角時，
【設計意圖】例3通過對和的比較，體現了“餘弦定理是勾股定理的推廣”這一思想，進一步加深了對餘弦定理的認識和理解。
課堂練習：
練習1在中，
（1）已知，求；
（2）已知，求。
【設計意圖】檢驗學生是否掌握餘弦定理的兩個形式，鞏固學生對餘弦定理的運用。
練習2若三條線段長分別為5，6，7，則用這三條線段（）。
A、能組成直角三角形
B、能組成鋭角三角形
C、能組成鈍角三角形
D、不能組成三角形
【設計意圖】與例題3相呼應。
練習3在中，已知，試求的大小。
【設計意圖】要求靈活使用公式，對公式進行變形。
4、課堂小結，佈置作業
先請同學對本節課所學內容進行小結，教師再對以下三個方面進行總結：
（1）餘弦定理的內容和公式；
（2）餘弦定理實質上是勾股定理的推廣；
（3）餘弦定理的可以解決的兩類解斜三角形的問題。
通過師生的共同小結，發揮學生的主體作用，有利於學生鞏固所學知識，也能培養學生的歸納和概括能力。
佈置作業
必做題：習題1、2、1、2、3、5、6；
選做題：習題1、2、12、13。
【設計意圖】
作業分為必做題和選做題、針對學生素質的差異進行分層訓練，既使學生掌握基礎知識，又使學有餘力的學生有所提高。
各位老師，以上所説只是我預設的一種方案，但課堂是千變萬化的，會隨着學生和教師的臨時發揮而隨機生成。預設效果如何，最終還有待於課堂教學實踐的檢驗。
本説課一定存在諸多不足，懇請老師提出寶貴意見，謝謝。
一、教學內容分析
人教版《普通高中課程標準實驗教科書·必修（五)》(第2版）第一章《解三角形》第一單元第二課《餘弦定理》。通過利用向量的數量積方法推導餘弦定理，正確理解其結構特徵和表現形式，解決“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”問題，初步體會餘弦定理解決“邊、邊、角”，體會方程思想，激發學生探究數學，應用數學的潛能。
二、學生學習情況分析
本課之前，學生已經學習了三角函數、向量基本知識和正弦定理有關內容，對於三角形中的邊角關係有了較進一步的認識。在此基礎上利用向量方法探求餘弦定理，學生已有一定的學習基礎和學習興趣。總體上學生應用數學知識的意識不強，創造力較弱，看待與分析問題不深入，知識的系統性不完善，使得學生在餘弦定理推導方法的探求上有一定的難度，在發掘出餘弦定理的結構特徵、表現形式的數學美時，能夠激發學生熱愛數學的思想感情；從具體問題中抽象出數學的本質，應用方程的思想去審視，解決問題是學生學習的一大難點。
三、設計思想
新課程的數學提倡學生動手實踐，自主探索，合作交流，深刻地理解基本結論的本質，體驗數學發現和創造的歷程，力求對現實世界藴涵的一些數學模式進行思考，作出判斷；同時要求教師從知識的傳授者向課堂的設計者、組織者、引導者、合作者轉化，從課堂的執行者向實施者、探究開發者轉化。本課盡力追求新課程要求，利用師生的互動合作，提高學生的數學思維能力，發展學生的數學應用意識和創新意識，深刻地體會數學思想方法及數學的應用，激發學生探究數學、應用數學知識的潛能。
四、教學目標
繼續探索三角形的邊長與角度間的具體量化關係、掌握餘弦定理的兩種表現形式，體會向量方法推導餘弦定理的思想；通過實踐演算運用餘弦定理解決“邊、角、邊”及“邊、邊、邊”問題；深化與細化方程思想，理解餘弦定理的本質。通過相關教學知識的聯繫性，理解事物間的普遍聯繫性。
五、教學重點與難點
教學重點是餘弦定理的發現過程及定理的應用；教學難點是用向量的數量積推導餘弦定理的思路方法及餘弦定理在應用求解三角形時的思路。
六、教學過程：
七、教學反思
本課的教學應具有承上啟下的目的。因此在教學設計時既要兼顧前後知識的聯繫，又要使學生明確本課學習的重點，將新舊知識逐漸地融為一體，構建比較完整的知識系統。所以在餘弦定理的表現方式、結構特徵上重加指導，只有當學生正確地理解了餘弦定理的本質，才能更好地應用求解問題。本課教學設計力求在型（模型、類型），質（實質、本質），思（思維、思想方法）上達到教學效果。本課之前學生已學習過三角函數，平面幾何，平面向量、解析幾何、正弦定理等與本課緊密聯繫的內容，使本課有了較多的處理工具，也使餘弦定理的探討有了更加簡潔的工具。因此在本課的教學設計中抓住前後知識的聯繫，重視數學思想的教學，加深對數學概念本質的理解，認識數學與實際的聯繫，學會應用數學知識和方法解決一些實際問題。學生應用數學的意識不強，創造力不足、看待問題不深入，很大原因在於學生的知識系統不夠完善。因此本課運用聯繫的觀點，從多角度看待問題，在提出問題、思考分析問題、解決問題等多方面對學生進行示範引導，將舊知識與新知識進行重組擬合及提高，幫助學生建立自己的良好知識結構。
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