一、課程性質與任務
數學是研究空間形式和數量關係的科學，是科學和技術的基礎，是人類文化的重要組成部分。
數學課程是中等職業學校學生必修的一門公共基礎課。本課程的任務是：使學生掌握必要的數學基礎知識，具備必需的相關技能與能力，為學習專業知識、掌握職業技能、繼續學習和終身發展奠定基礎。
二、課程教學目標
1、在九年義務教育基礎上，使學生進一步學習並掌握職業崗位和生活中所必要的數學基礎知識。
2、培養學生的計算技能、計算工具使用技能和數據處理技能，培養學生的觀察能力、空間想象能力、分析與解決問題能力和數學思維能力。
3、引導學生逐步養成良好的學習習慣、實踐意識、創新意識和實事求是的科學態度，提高學生就業能力與創業能力。
三、教學內容結構
本課程的教學內容由基礎模塊、職業模塊和拓展模塊三個部分構成。
1、基礎模塊是各專業學生必修的基礎性內容和應達到的基本要求，教學時數為128學時。
2、職業模塊是適應學生學習相關專業需要的限定選修內容，各學校根據實際情況進行選擇和安排教學，教學時數為32~64學時。
3、拓展模塊是滿足學生個性發展和繼續學習需要的任意選修內容，教學時數不做統一規定。
四、教學內容與要求
（一）本大綱教學要求用語的表述1.認知要求（分為三個層次）
瞭解：初步知道知識的含義及其簡單應用。
理解：懂得知識的概念和規律（定義、定理、法則等）以及與其它相關知識的聯繫。掌握：能夠應用知識的概念、定義、定理、法則去解決一些問題。2.技能與能力培養要求（分為三項技能與四項能力）
計算技能：根據法則、公式，或按照一定的操作步驟，正確地進行運算求解。計算工具使用技能：正確使用科學型計算器及常用的數學工具軟件。數據處理技能：按要求對數據（數據表格）進行處理並提取有關信息。觀察能力：根據數據趨勢，數量關係或圖形、圖示，描述其規律。
空間想象能力：依據文字、語言描述，或較簡單的幾何體及其組合，想象相應的空間圖形；能夠在基本圖形中找出基本元素及其位置關係，或根據條件畫出圖形。
分析與解決問題能力：能對工作和生活中的簡單數學相關問題，作出分析並運用適當的數學方法予以解決。
數學思維能力：依據所學的數學知識，運用類比、歸納、綜合等方法，對數學及其應用問題能進行有條理的思考、判斷、推理和求解；針對不同的問題（或需求），會選擇合適的模型（模式）。
（二）教學內容與要求1.基礎模塊（128學時）
第1單元集合（10學時）
第2單元不等式（8學時）
第6單元數列（10學時）
第7單元平面向量（矢量）（10學時）
第8單元直線和圓的方程（18學時）
第10單元概率與統計初步（16學時）
2、職業模塊
第2單元座標變換與參數方程（12學時）
教學目標：
（1）瞭解座標法和解析幾何的意義，瞭解解析幾何的基本問題。
（2）進一步理解曲線的方程和方程的曲線。
（3）初步掌握求曲線方程的方法。
（4）通過本節內容的教學，培養學生分析問題和轉化的能力。
教學重點、難點：求曲線的方程。
教學用具：計算機。
教學方法：啟發引導法，討論法。
教學過程：
【引入】
1、提問：什麼是曲線的方程和方程的曲線。
學生思考並回答。教師強調。
2、座標法和解析幾何的意義、基本問題。
對於一個幾何問題，在建立座標系的基礎上，用座標表示點；用方程表示曲線，通過研究方程的性質間接地來研究曲線的性質，這一研究幾何問題的方法稱為座標法，這門科學稱為解析幾何。解析幾何的兩大基本問題就是：
（1）根據已知條件，求出表示平面曲線的方程。
（2）通過方程，研究平面曲線的性質。
事實上，在前邊所學的直線方程的理論中也有這樣兩個基本問題。而且要先研究如何求出曲線方程，再研究如何用方程研究曲線。本節課就初步研究曲線方程的求法。
【問題】
如何根據已知條件，求出曲線的方程。
【實例分析】
例1：設 、兩點的座標是 、(3，7)，求線段 的垂直平分線 的方程。
首先由學生分析：根據直線方程的知識，運用點斜式即可解決。
解法一：易求線段 的中點座標為(1，3)，
由斜率關係可求得l的斜率為
於是有
即l的方程為
①
分析、引導：上述問題是我們早就學過的，用點斜式就可解決。可是，你們是否想過①恰好就是所求的嗎？或者説①就是直線 的方程？根據是什麼，有證明嗎？
（通過教師引導，是學生意識到這是以前沒有解決的問題，應該證明，證明的依據就是定義中的兩條）。
證明：(1)曲線上的點的座標都是這個方程的解。
設 是線段 的垂直平分線上任意一點，則
即
將上式兩邊平方，整理得
這説明點 的座標 是方程 的解。
（2）以這個方程的解為座標的點都是曲線上的點。
設點 的座標 是方程①的任意一解，則
到 、的距離分別為
所以 ，即點 在直線 上。
綜合(1)、(2)，①是所求直線的方程。
至此，證明完畢。回顧上述內容我們會發現一個有趣的現象：在證明(1)曲線上的點的座標都是這個方程的解中，設 是線段 的垂直平分線上任意一點，最後得到式子 ，如果去掉腳標，這不就是所求方程 嗎？可見，這個證明過程就表明一種求解過程，下面試試看：
解法二：設 是線段 的垂直平分線上任意一點，也就是點 屬於集合
由兩點間的距離公式，點所適合的條件可表示為
將上式兩邊平方，整理得
果然成功，當然也不要忘了證明，即驗證兩條是否都滿足。顯然，求解過程就説明第一條是正確的（從這一點看，解法二也比解法一優越一些）；至於第二條上邊已證。
這樣我們就有兩種求解方程的方法，而且解法二不借助直線方程的理論，又非常自然，還體現了曲線方程定義中點集與對應的思想。因此是個好方法。
讓我們用這個方法試解如下問題：
例2：點 與兩條互相垂直的直線的距離的積是常數 求點 的軌跡方程。
分析：這是一個純粹的幾何問題，連座標系都沒有。所以首先要建立座標系，顯然用已知中兩條互相垂直的直線作座標軸，建立直角座標系。然後仿照例1中的解法進行求解。
求解過程略。
【概括總結】通過學生討論，師生共同總結：
分析上面兩個例題的求解過程，我們總結一下求解曲線方程的大體步驟：
首先應有座標系；其次設曲線上任意一點；然後寫出表示曲線的點集；再代入座標；最後整理出方程，並證明或修正。説得更準確一點就是：
（1）建立適當的座標系，用有序實數對例如 表示曲線上任意一點 的座標；
（2）寫出適合條件 的點 的集合
；
（3）用座標表示條件 ，列出方程 ；
（4）化方程 為最簡形式；
（5）證明以化簡後的方程的解為座標的點都是曲線上的點。
一般情況下，求解過程已表明曲線上的點的座標都是方程的解；如果求解過程中的轉化都是等價的，那麼逆推回去就説明以方程的解為座標的點都是曲線上的點。所以，通常情況下證明可省略，不過特殊情況要説明。
上述五個步驟可簡記為：建系設點；寫出集合；列方程；化簡；修正。
下面再看一個問題：
例3：已知一條曲線在 軸的上方，它上面的每一點到 點的距離減去它到 軸的距離的差都是2，求這條曲線的方程。
【動畫演示】用幾何畫板演示曲線生成的過程和形狀，在運動變化的過程中尋找關係。
解：設點 是曲線上任意一點， 軸，垂足是 （如圖2），那麼點 屬於集合
由距離公式，點 適合的條件可表示為
①
將①式 移項後再兩邊平方，得
化簡得
由題意，曲線在 軸的上方，所以 ，雖然原點 的座標(0，0)是這個方程的解，但不屬於已知曲線，所以曲線的方程應為 ，它是關於 軸對稱的拋物線，但不包括拋物線的頂點，如圖2中所示。
【練習鞏固】
題目：在正三角形 內有一動點 ，已知 到三個頂點的距離分別為 、、，且有 ，求點 軌跡方程。
分析、略解：首先應建立座標系，以正三角形一邊所在的直線為一個座標軸，這條邊的垂直平分線為另一個軸，建立直角座標系比較簡單，如圖3所示。設 、的座標為 、，則 的座標為 ， 的座標為 。
根據條件 ，代入座標可得
化簡得
①
由於題目中要求點 在三角形內，所以 ，在結合①式可進一步求出 、的範圍，最後曲線方程可表示為
【小結】師生共同總結：
（1）解析幾何研究研究問題的方法是什麼？
（2）如何求曲線的方程？
（3）請對求解曲線方程的五個步驟進行評價。各步驟的作用，哪步重要，哪步應注意什麼？
【作業】課本第72頁練習1，2，3;
教學目標
（1）使學生正確理解組合的意義，正確區分排列、組合問題；
（2）使學生掌握組合數的計算公式；
（3）通過學習組合知識，讓學生掌握類比的學習方法，並提高學生分析問題和解決問題的能力；
教學重點難點
重點是組合的定義、組合數及組合數的公式；
難點是解組合的應用題。
教學過程設計
(-)導入新課
（教師活動）提出下列思考問題，打出字幕。
[字幕]一條鐵路線上有6個火車站，(1)需準備多少種不同的普通客車票？(2)有多少種不同票價的普通客車票？上面問題中，哪一問是排列問題？哪一問是組合問題？
（學生活動）討論並回答。
答案提示：(1)排列；(2)組合。
[評述]問題(1)是從6個火車站中任選兩個，並按一定的順序排列，要求出排法的種數，屬於排列問題；(2)是從6個火車站中任選兩個併成一組，兩站無順序關係，要求出不同的組數，屬於組合問題。這節課着重研究組合問題。
設計意圖：組合與排列所研究的問題幾乎是平行的。上面設計的問題目的是從排列知識中發現並提出新的問題。
（二）新課講授
[提出問題 創設情境]
（教師活動）指導學生帶着問題閲讀課文。
[字幕]1.排列的定義是什麼？
2、舉例説明一個組合是什麼？
3、一個組合與一個排列有何區別？
（學生活動）閲讀回答。
（教師活動）對照課文，逐一評析。
設計意圖：激活學生的思維，使其將所學的知識遷移過渡，並儘快適應新的環境。
【歸納概括 建立新知】
（教師活動）承接上述問題的回答，展示下面知識。
[字幕]模型：從 個不同元素中取出 個元素併成一組，叫做從 個不同元素中取出 個元素的一個組合。如前面思考題：6個火車站中甲站→乙站和乙站→甲站是票價相同的車票，是從6個元素中取出2個元素的一個組合。
組合數：從 個不同元素中取出 個元素的所有組合的個數，稱之，用符號 表示，如從6個元素中取出2個元素的組合數為 。
[評述]區分一個排列與一個組合的關鍵是：該問題是否與順序有關，當取出元素後，若改變一下順序，就得到一種新的取法，則是排列問題；若改變順序，仍得原來的取法，就是組合問題。
（學生活動）傾聽、思索、記錄。
（教師活動）提出思考問題。
[投影] 與 的關係如何？
（師生活動）共同探討。求從 個不同元素中取出 個元素的排列數 ，可分為以下兩步：
第1步，先求出從這 個不同元素中取出 個元素的組合數為 ；
第2步，求每一個組合中 個元素的全排列數為 。根據分步計數原理，得到
[字幕]公式1：
公式2：
（學生活動）驗算 ，即一條鐵路上6個火車站有15種不同的票價的普通客車票。
設計意圖：本着以認識概念為起點，以問題為主線，以培養能力為核心的宗旨，逐步展示知識的形成過程，使學生思維層層被激活、逐漸深入到問題當中去。
【例題示範 探求方法】
（教師活動）打出字幕，給出示範，指導訓練。
[字幕]例1 列舉從4個元素 中任取2個元素的所有組合。
例2 計算：(1) ；(2) 。
（學生活動）板演、示範。
（教師活動）講評並指出用兩種方法計算例2的第2小題。
[字幕]例3 已知 ，求 的所有值。
（學生活動）思考分析。
解 首先，根據組合的定義，有
①
其次，由原不等式轉化為
即
解得 ②
綜合①、②，得 ，即
[點評]這是組合數公式的應用，關鍵是公式的選擇。
設計意圖：例題教學循序漸進，讓學生鞏固知識，強化公式的應用，從而培養學生的綜合分析能力。
【反饋練習學會應用】
（教師活動）給出練習，學生解答，教師點評。
[課堂練習]課本P99練習第2，5，6題。
[補充練習]
[字幕]1.計算：
2、已知 ，求 。
（學生活動）板演、解答。
設計意圖：課堂教學體現以學生為本，讓全體學生參與訓練，深刻揭示排列數公式的結構、特徵及應用。
（三）小結
（師生活動）共同小結。
本節主要內容有
1、組合概念。
2、組合數計算的兩個公式。
（四）佈置作業
1、課本作業：習題10 3第1(1)、(4)，3題。
2、思考題：某學習小組有8個同學，從男生中選2人，女生中選1人蔘加數學、物理、化學三種學科競賽，要求每科均有1人蔘加，共有180種不同的選法，那麼該小組中，男、女同學各有多少人？
3、研究性題：
在 的 邊上除頂點 外有 5個點，在 邊上有 4個點，由這些點（包括 ）能組成多少個四邊形？能組成多少個三角形？
（五）課後點評
在學習了排列知識的基礎上，本節課引進了組合概念，並推導出組合數公式，同時調控進行訓練，從而培養學生分析問題、解決問題的能力。
教學目標
（1）正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列；
（2）瞭解排列和排列數的意義，能根據具體的問題，寫出符合要求的排列；
（3）掌握排列數公式，並能根據具體的問題，寫出符合要求的排列數；
（4）會分析與數字有關的排列問題，培養學生的抽象能力和邏輯思維能力；
（5）通過對排列應用問題的學習，讓學生通過對具體事例的觀察、歸納中找出規律，得出結論，以培養學生嚴謹的學習態度。
教學建議
一、知識結構
二、重點難點分析
本小節的重點是排列的定義、排列數及排列數的公式，並運用這個公式去解決有關排列數的應用問題。難點是導出排列數的公式和解有關排列的應用題。突破重點、難點的關鍵是對加法原理和乘法原理的掌握和運用，並將這兩個原理的基本思想方法貫穿在解決排列應用問題當中。
從n個不同元素中任取m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，稱為從n個不同元素中任取m個元素的一個排列。因此，兩個相同排列，當且僅當他們的元素完全相同，並且元素的排列順序也完全相同。排列數是指從n個不同元素中任取m(m≤n)個元素的所有不同排列的種數，只要弄清相同排列、不同排列，才有可能計算相應的排列數。排列與排列數是兩個概念，前者是具有m個元素的排列，後者是這種排列的不同種數。從集合的角度看，從n個元素的有限集中取出m個組成的有序集，相當於一個排列，而這種有序集的個數，就是相應的排列數。
公式推導要注意緊扣乘法原理，藉助框圖的直視解釋來講解。要重點分析好 的推導。
排列的應用題是本節教材的難點，通過本節例題的分析，應注意培養學生解決應用問題的能力。
在分析應用題的解法時，教材上先畫出框圖，然後分析逐次填入時的種數，這樣解釋比較直觀，教學上要充分利用，要求學生作題時也應儘量採用。
在教學排列應用題時，開始應要求學生寫解法要有簡要的文字説明，防止單純的只寫一個排列數，這樣可以培養學生的分析問題的能力，在基本掌握之後，可以逐漸地不作這方面的要求。
三、教法建議
①在講解排列數的概念時，要注意區分“排列數”與“一個排列”這兩個概念。一個排列是指“從n個不同元素中，任取出m個元素，按照一定的順序擺成一排”，它不是一個數，而是具體的一件事；排列數是指“從n個不同元素中取出m個元素的所有排列的個數”，它是一個數。例如，從3個元素a，b，c中每次取出2個元素，按照一定的順序排成一排，有如下幾種：
ab，ac，ba，bc，ca，cb，
其中每一種都叫一個排列，共有6種，而數字6就是排列數，符號 表示排列數。
②排列的定義中包含兩個基本內容，一是“取出元素”，二是“按一定順序排列”。
從定義知，只有當元素完全相同，並且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列。
在定義中“一定順序”就是説與位置有關，在實際問題中，要由具體問題的性質和條件來決定，這一點要特別注意，這也是與後面學習的組合的根本區別。
在排列的定義中 ，如果 有的書上叫選排列，如果 ，此時叫全排列。
要特別注意，不加特殊説明，本章不研究重複排列問題。
③關於排列數公式的推導的教學。公式推導要注意緊扣乘法原理，藉助框圖的直視解釋來講解。課本上用的是不完全歸納法，先推導 ， ，…，再推廣到 ，這樣由特殊到一般，由具體到抽象的講法，學生是不難理解的。
導出公式 後要分析這個公式的構成特點，以便幫助學生正確地記憶公式，防止學生在“n”、“m”比較複雜的時候把公式寫錯。這個公式的特點可見課本第229頁的一段話：“其中，公式右邊第一個因數是n，後面每個因數都比它前面一個因數少1，最後一個因數是 ，共m個因數相乘。”這實際是講三個特點：第一個因數是什麼？最後一個因數是什麼？一共有多少個連續的自然數相乘。
公式 是在引出全排列數公式 後，將排列數公式變形後得到的公式。對這個公式指出兩點：(1)在一般情況下，要計算具體的排列數的值，常用前一個公式，而要對含有字母的排列數的式子進行變形或作有關的論證，要用到這個公式，教材中第230頁例2就是用這個公式證明的問題；(2)為使這個公式在 時也能成立，規定 ，如同 時 一樣，是一種規定，因此，不能按階乘數的原意作解釋。
④建議應充分利用樹形圖對問題進行分析，這樣比較直觀，便於理解。
⑤學生在開始做排列應用題的作業時，應要求他們寫出解法的簡要説明，而不能只列出算式、得出答數，這樣有利於學生得更加紮實。隨着學生解題熟練程度的提高，可以逐步降低這種要求。
猴子搬香蕉
一個小猴子邊上有100根香蕉，它要走過50米才能到家，每次它最多搬50根香蕉，（多了就被壓死了），它每走1米就要吃掉一根，請問它最多能把多少根香蕉搬到家裏？
解答：
100只香蕉分兩次，一次運50只，走1米，再回去搬另外50只，這樣走了1米的時候，前50只吃掉了兩隻，後50只吃掉了1只，剩下48＋49只；兩米的時候剩下46＋48只；。.。到16米的時候剩下（50－2×16）＋（50－16）＝18＋34只；17米的時候剩下16＋33只，共49只；然後把剩下的這49只一次運回去，要走剩下的33米，每米吃一個，到家還有16個香蕉。
河岸的距離
兩艘輪船在同一時刻駛離河的兩岸，一艘從A駛往B，另一艘從B開往A，其中一艘開得比另一艘快些，因此它們在距離較近的岸500公里處相遇。到達預定地點後，每艘船要停留15分鐘，以便讓乘客上下船，然後它們又返航。這兩艘渡輪在距另一岸100公里處重新相遇。試問河有多寬？
解答：
當兩艘渡輪在x點相遇時，它們距A岸500公里，此時它們走過的距離總和等於河的寬度。當它們雙方抵達對岸時，走過的總長度
等於河寬的兩倍。在返航中，它們在z點相遇，這時兩船走過的距離之和等於河寬的三倍，所以每一艘渡輪現在所走的距離應該等於它們第一次相遇時所走的距離的三倍。在兩船第一次相遇時，有一艘渡輪走了500公里，所以當它到達z點時，已經走了三倍的距離，即1500公里，這個距離比河的寬度多100公里。所以，河的寬度為1400公里。每艘渡輪的上、下客時間對答案毫無影響。
變量交換
不使用任何其他變量，交換a，b變量的值？
分析與解答
a = a+b
b = a-b
a= a-b
步行時間
某公司的辦公大樓在市中心，而公司總裁温斯頓的家在郊區一個小鎮的附近。他每次下班以後都是乘同一次市郊火車回小鎮。小鎮車站離家還有一段距離，他的私人司機總是在同一時刻從家裏開出轎車，去小鎮車站接總裁回家。由於火車與轎車都十分準時，因此，火車與轎車每次都是在同一時刻到站。
有一次，司機比以往遲了半個小時出發。温斯頓到站後，找不到
他的車子，又怕回去晚了遭老婆罵，便急匆匆沿着公路步行往家裏走，途中遇到他的轎車正風馳電掣而來，立即招手示意停車，跳上車子後也顧不上罵司機，命其馬上掉頭往回開。回到家中，果不出所料，他老婆大發雷霆：“又到哪兒鬼混去啦！你比以往足足晚回了22分鐘？?”。温斯頓步行了多長時間？
解答：
假如温斯頓一直在車站等候，那麼由於司機比以往晚了半小時出發，因此，也將晚半小時到達車站。也就是説，温斯頓將在車站空等半小時，等他的轎車到達後坐車回家，從而他將比以往晚半小時到家。而現在温斯頓只比平常晚22分鐘到家，這縮短下來的8分鐘是如果總裁在火車站死等的話，司機本來要花在從現在遇到温斯頓總裁的地點到火車站再回到這個地點上的時間。這意味着，如果司機開車從現在遇到總裁的地點趕到火車站，單程所花的時間將為4分鐘。因此，如果温斯頓等在火車站，再過4分鐘，他的轎車也到了。也就是説，他如果等在火車站，那麼他也已經等了30-4=26分鐘了。但是懼內的温斯頓總裁畢竟沒有等，他心急火燎地趕路，把這26分鐘全都花在步行上了。
因此，温斯頓步行了26分鐘。
付清欠款
有四個人借錢的數目分別是這樣的：阿伊庫向貝爾借了10美元；
貝爾向查理借了20美元；查理向迪克借了30美元；迪克又向阿伊庫借了40美元。碰巧四個人都在場，決定結個賬，請問最少只需要動用多少美金就可以將所有欠款一次付清？
解答：
貝爾、查理、迪克各自拿出10美元給阿伊庫就可解決問題了。這樣的話只動用了30美元。最笨的辦法就是用100美元來一一付清。
貝爾必須拿出10美元的欠額，查理和迪克也一樣；而阿伊庫則要收回借出的30美元。再複雜的問題只要有條理地分析就會很簡單。養成經常性地歸納整理、摸索實質的好習慣。
一美元紙幣
注：美國貨幣中的硬幣有1美分、5美分、10美分、25美分、50美分和1美元這幾種面值。
一家小店剛開始營業，店堂中只有三位男顧客和一位女店主。當這三位男士同時站起來付帳的時候，出現了以下的情況：
（1）這四個人每人都至少有一枚硬幣，但都不是面值為1美分或1美元的硬幣。
（2）這四人中沒有一人能夠兑開任何一枚硬幣。
（3）一個叫盧的男士要付的賬單款額最大，一位叫莫的男士要
付的帳單款額其次，一個叫內德的男士要付的賬單款額最小。
（4）每個男士無論怎樣用手中所持的硬幣付賬，女店主都無法找清零錢。
（5）如果這三位男士相互之間等值調換一下手中的硬幣，則每個人都可以付清自己的賬單而無需找零。
（6）當這三位男士進行了兩次等值調換以後，他們發現手中的硬幣與各人自己原先所持的硬幣沒有一枚面值相同。
（7）隨着事情的進一步發展，又出現如下的情況：
（8）在付清了賬單而且有兩位男士離開以後，留下的男士又買了一些糖果。這位男士本來可以用他手中剩下的硬幣付款，可是女店主卻無法用她現在所持的硬幣找清零錢。於是，這位男士用1美元的紙幣付了糖果錢，但是現在女店主不得不把她的全部硬幣都找給了他。
現在，請你不要管那天女店主怎麼會在找零上屢屢遇到麻煩，這三位男士中誰用1美元的紙幣付了糖果錢？
解答：
對題意的以下兩點這樣理解：
（2）中不能換開任何一個硬幣，指的是如果任何一個人不能有2個5分，否則他能換1個10分硬幣。
（6）中指如果A，B換過，並且A，C換過，這就是兩次交換。
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