教學目標
（1）瞭解用座標法研究幾何問題的方法，瞭解解析幾何的基本問題。
（2）理解曲線的方程、方程的曲線的概念，能根據曲線的已知條件求出曲線的方程，瞭解兩條曲線交點的概念。
（3）通過曲線方程概念的教學，培養學生數與形相互聯繫、對立統一的辯證唯物主義觀點。
（4）通過求曲線方程的教學，培養學生的轉化能力和全面分析問題的能力，幫助學生理解解析幾何的思想方法。
（5）進一步理解數形結合的思想方法。
教學建議
教材分析
（1）知識結構
曲線與方程是在國中軌跡概念和本章直線方程概念之後的解析幾何的基本概念，在充分討論曲線方程概念後，介紹了座標法和解析幾何的思想，以及解析幾何的基本問題，即由曲線的已知條件，求曲線方程；通過方程，研究曲線的性質。曲線方程的概念和求曲線方程的問題又有內在的邏輯順序。前者回答什麼是曲線方程，後者解決如何求出曲線方程。至於用曲線方程研究曲線性質則更在其後，本節不予研究。因此，本節涉及曲線方程概念和求曲線方程兩大基本問題。
（2）重點、難點分析
①本節內容教學的重點是使學生理解曲線方程概念和掌握求曲線方程方法，以及領悟座標法和解析幾何的思想。
②本節的難點是曲線方程的概念和求曲線方程的方法。
教法建議
（1）曲線方程的概念是解析幾何的核心概念，也是基礎概念，教學中應從直線方程概念和軌跡概念入手，通過簡單的實例引出曲線的點集與方程的解集之間的對應關係，説明曲線與方程的對應關係。曲線與方程對應關係的基礎是點與座標的對應關係。注意強調曲線方程的完備性和純粹性。
（2）可以結合已經學過的直線方程的知識幫助學生領會座標法和解析幾何的思想，學習解析幾何的意義和要解決的問題，為學習求曲線的方程做好邏輯上的和心理上的準備。
（3）無論是判斷、證明，還是求解曲線的方程，都要緊扣曲線方程的概念，即始終以是否滿足概念中的兩條為準則。
（4）從集合與對應的觀點可以看得更清楚：
設 表示曲線 上適合某種條件的點 的集合；
表示二元方程的解對應的點的座標的集合。
可以用集合相等的概念來定義“曲線的方程”和“方程的曲線”，即
（5）在學習求曲線方程的方法時，應從具體實例出發，引導學生從曲線的幾何條件，一步步地、自然而然地過渡到代數方程（曲線的方程），這個過渡是一個從幾何向代數不斷轉化的過程，在這個過程中提醒學生注意轉化是否為等價的，這將決定第五步如何做。同時教師不要生硬地給出或總結出求解步驟，應在充分分析實例的基礎上讓學生自然地獲得。教學中對課本例2的解法分析很重要。
這五個步驟的實質是將產生曲線的幾何條件逐步轉化為代數方程，即
文字語言中的幾何條件 數學符號語言中的等式 數學符號語言中含動點座標 ， 的代數方程 簡化了的 ， 的代數方程
由此可見，曲線方程就是產生曲線的幾何條件的一種表現形式，這個形式的特點是“含動點座標的代數方程。”
（6）求曲線方程的問題是解析幾何中一個基本的問題和長期的任務，不是一下子就徹底解決的，求解的方法是在不斷的學習中掌握的，教學中要把握好“度”。
【考綱要求】
瞭解雙曲線的定義，幾何圖形和標準方程，知道它的簡單性質。
【自學質疑】
1、雙曲線 的 軸在 軸上， 軸在 軸上，實軸長等於 ，虛軸長等於 ，焦距等於 ，頂點座標是 ，焦點座標是 ，
漸近線方程是 ，離心率 ，若點 是雙曲線上的點，則 ， 。
2、又曲線 的左支上一點到左焦點的距離是7，則這點到雙曲線的右焦點的距離是
3、經過兩點 的雙曲線的標準方程是 。
4、雙曲線的漸近線方程是 ，則該雙曲線的離心率等於 。
5、與雙曲線 有公共的漸近線，且經過點 的雙曲線的方程為
【例題精講】
1、雙曲線的離心率等於 ，且與橢圓 有公共焦點，求該雙曲線的方程。
2、已知橢圓具有性質：若 是橢圓 上關於原點對稱的兩個點，點 是橢圓上任意一點，當直線 的斜率都存在，並記為 時，那麼 之積是與點 位置無關的定值，試對雙曲線 寫出具有類似特性的性質，並加以證明。
3、設雙曲線 的半焦距為 ，直線 過 兩點，已知原點到直線 的距離為 ，求雙曲線的離心率。
【矯正鞏固】
1、雙曲線 上一點 到一個焦點的距離為 ，則它到另一個焦點的距離為 。
2、與雙曲線 有共同的漸近線，且經過點 的雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離是 。
3、若雙曲線 上一點 到它的右焦點的距離是 ，則點 到 軸的距離是
4、過雙曲線 的左焦點 的直線交雙曲線於 兩點，若 。則這樣的直線一共有 條。
【遷移應用】
1、已知雙曲線 的焦點到漸近線的距離是其頂點到漸近線距離的2倍，則該雙曲線的離心率
2、已知雙曲線 的焦點為 ，點 在雙曲線上，且 ，則點 到 軸的距離為 。
3、雙曲線 的焦距為
4、已知雙曲線 的一個頂點到它的一條漸近線的距離為 ，則
5、設 是等腰三角形， ，則以 為焦點且過點 的雙曲線的離心率為 。
6、已知圓 。以圓 與座標軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂點，則適合上述條件的雙曲線的標準方程為
教學目標
（1）使學生正確理解組合的意義，正確區分排列、組合問題；
（2）使學生掌握組合數的計算公式；
（3）通過學習組合知識，讓學生掌握類比的學習方法，並提高學生分析問題和解決問題的能力；
教學重點難點
重點是組合的定義、組合數及組合數的公式；
難點是解組合的應用題。
教學過程設計
(-)導入新課
（教師活動）提出下列思考問題，打出字幕。
[字幕]一條鐵路線上有6個火車站，(1)需準備多少種不同的普通客車票？(2)有多少種不同票價的普通客車票？上面問題中，哪一問是排列問題？哪一問是組合問題？
（學生活動）討論並回答。
答案提示：(1)排列；(2)組合。
[評述]問題(1)是從6個火車站中任選兩個，並按一定的順序排列，要求出排法的種數，屬於排列問題；(2)是從6個火車站中任選兩個併成一組，兩站無順序關係，要求出不同的組數，屬於組合問題。這節課着重研究組合問題。
設計意圖：組合與排列所研究的問題幾乎是平行的。上面設計的問題目的是從排列知識中發現並提出新的問題。
（二）新課講授
[提出問題 創設情境]
（教師活動）指導學生帶着問題閲讀課文。
[字幕]1.排列的定義是什麼？
2、舉例説明一個組合是什麼？
3、一個組合與一個排列有何區別？
（學生活動）閲讀回答。
（教師活動）對照課文，逐一評析。
設計意圖：激活學生的思維，使其將所學的知識遷移過渡，並儘快適應新的環境。
【歸納概括 建立新知】
（教師活動）承接上述問題的回答，展示下面知識。
[字幕]模型：從 個不同元素中取出 個元素併成一組，叫做從 個不同元素中取出 個元素的一個組合。如前面思考題：6個火車站中甲站→乙站和乙站→甲站是票價相同的車票，是從6個元素中取出2個元素的一個組合。
組合數：從 個不同元素中取出 個元素的所有組合的個數，稱之，用符號 表示，如從6個元素中取出2個元素的組合數為 。
[評述]區分一個排列與一個組合的關鍵是：該問題是否與順序有關，當取出元素後，若改變一下順序，就得到一種新的取法，則是排列問題；若改變順序，仍得原來的取法，就是組合問題。
（學生活動）傾聽、思索、記錄。
（教師活動）提出思考問題。
[投影] 與 的關係如何？
（師生活動）共同探討。求從 個不同元素中取出 個元素的排列數 ，可分為以下兩步：
第1步，先求出從這 個不同元素中取出 個元素的組合數為 ；
第2步，求每一個組合中 個元素的全排列數為 。根據分步計數原理，得到
[字幕]公式1：
公式2：
（學生活動）驗算 ，即一條鐵路上6個火車站有15種不同的票價的普通客車票。
設計意圖：本着以認識概念為起點，以問題為主線，以培養能力為核心的宗旨，逐步展示知識的形成過程，使學生思維層層被激活、逐漸深入到問題當中去。
【例題示範 探求方法】
（教師活動）打出字幕，給出示範，指導訓練。
[字幕]例1 列舉從4個元素 中任取2個元素的所有組合。
例2 計算：(1) ；(2) 。
（學生活動）板演、示範。
（教師活動）講評並指出用兩種方法計算例2的第2小題。
[字幕]例3 已知 ，求 的所有值。
（學生活動）思考分析。
解 首先，根據組合的定義，有
①
其次，由原不等式轉化為
即
解得 ②
綜合①、②，得 ，即
[點評]這是組合數公式的應用，關鍵是公式的選擇。
設計意圖：例題教學循序漸進，讓學生鞏固知識，強化公式的應用，從而培養學生的綜合分析能力。
【反饋練習學會應用】
（教師活動）給出練習，學生解答，教師點評。
[課堂練習]課本P99練習第2，5，6題。
[補充練習]
[字幕]1.計算：
2、已知 ，求 。
（學生活動）板演、解答。
設計意圖：課堂教學體現以學生為本，讓全體學生參與訓練，深刻揭示排列數公式的結構、特徵及應用。
（三）小結
（師生活動）共同小結。
本節主要內容有
1、組合概念。
2、組合數計算的兩個公式。
（四）佈置作業
1、課本作業：習題10 3第1(1)、(4)，3題。
2、思考題：某學習小組有8個同學，從男生中選2人，女生中選1人蔘加數學、物理、化學三種學科競賽，要求每科均有1人蔘加，共有180種不同的選法，那麼該小組中，男、女同學各有多少人？
3、研究性題：
在 的 邊上除頂點 外有 5個點，在 邊上有 4個點，由這些點（包括 ）能組成多少個四邊形？能組成多少個三角形？
（五）課後點評
在學習了排列知識的基礎上，本節課引進了組合概念，並推導出組合數公式，同時調控進行訓練，從而培養學生分析問題、解決問題的能力。
一、教學內容分析
向量作為工具在數學、物理以及實際生活中都有着廣泛的應用。
本小節的重點是結合向量知識證明數學中直線的平行、垂直問題，以及不等式、三角公式的證明、物理學中的應用。
二、教學目標設計
1、通過利用向量知識解決不等式、三角及物理問題，感悟向量作為一種工具有着廣泛的應用，體會從不同角度去看待一些數學問題，使一些數學知識有機聯繫，拓寬解決問題的思路。
2、瞭解構造法在解題中的運用。
三、教學重點及難點
重點：平面向量知識在各個領域中應用。
難點：向量的構造。
四、教學流程設計
五、教學過程設計
一、複習與回顧
1、提問：下列哪些量是向量？
（1）力 (2)功 (3)位移 (4)力矩
2、上述四個量中，(1)(3)(4)是向量，而(2)不是，那它是什麼？
[説明]複習數量積的有關知識。
二、學習新課
例1（書中例5）
向量作為一種工具，不僅在物理學科中有廣泛的應用，同時它在數學學科中也有許多妙用！請看
例2（書中例3）
證法（一)原不等式等價於，由基本不等式知(1）式成立，故原不等式成立。
證法(二)向量法
[説明]本例關鍵引導學生觀察不等式結構特點，構造向量，並發現（等號成立的充要條件是）
例3（書中例4）
[説明]本例的關鍵在於構造單位圓，利用向量數量積的兩個公式得到證明。
二、鞏固練習
1、如圖，某人在靜水中游泳，速度為 km/h.
（1）如果他徑直遊向河對岸，水的流速為4 km/h，他實際沿什麼方向前進？速度大小為多少？
答案：沿北偏東方向前進，實際速度大小是8 km/h.
（2） 他必須朝哪個方向遊才能沿與水流垂直的方向前進？實際前進的速度大小為多少？
答案：朝北偏西方向前進，實際速度大小為km/h.
三、課堂小結
1、向量在物理、數學中有着廣泛的應用。
2、要學會從不同的角度去看一個數學問題，是數學知識有機聯繫。
四、作業佈置
1、書面作業：課本P73, 練習8.4 4
教學目標
（1）正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列；
（2）瞭解排列和排列數的意義，能根據具體的問題，寫出符合要求的排列；
（3）掌握排列數公式，並能根據具體的問題，寫出符合要求的排列數；
（4）會分析與數字有關的排列問題，培養學生的抽象能力和邏輯思維能力；
（5）通過對排列應用問題的學習，讓學生通過對具體事例的觀察、歸納中找出規律，得出結論，以培養學生嚴謹的學習態度。
教學建議
一、知識結構
二、重點難點分析
本小節的重點是排列的定義、排列數及排列數的公式，並運用這個公式去解決有關排列數的應用問題。難點是導出排列數的公式和解有關排列的應用題。突破重點、難點的關鍵是對加法原理和乘法原理的掌握和運用，並將這兩個原理的基本思想方法貫穿在解決排列應用問題當中。
從n個不同元素中任取m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，稱為從n個不同元素中任取m個元素的一個排列。因此，兩個相同排列，當且僅當他們的元素完全相同，並且元素的排列順序也完全相同。排列數是指從n個不同元素中任取m(m≤n)個元素的所有不同排列的種數，只要弄清相同排列、不同排列，才有可能計算相應的排列數。排列與排列數是兩個概念，前者是具有m個元素的排列，後者是這種排列的不同種數。從集合的角度看，從n個元素的有限集中取出m個組成的有序集，相當於一個排列，而這種有序集的個數，就是相應的排列數。
公式推導要注意緊扣乘法原理，藉助框圖的直視解釋來講解。要重點分析好 的推導。
排列的應用題是本節教材的難點，通過本節例題的分析，應注意培養學生解決應用問題的能力。
在分析應用題的解法時，教材上先畫出框圖，然後分析逐次填入時的種數，這樣解釋比較直觀，教學上要充分利用，要求學生作題時也應儘量採用。
在教學排列應用題時，開始應要求學生寫解法要有簡要的文字説明，防止單純的只寫一個排列數，這樣可以培養學生的分析問題的能力，在基本掌握之後，可以逐漸地不作這方面的要求。
三、教法建議
①在講解排列數的概念時，要注意區分“排列數”與“一個排列”這兩個概念。一個排列是指“從n個不同元素中，任取出m個元素，按照一定的順序擺成一排”，它不是一個數，而是具體的一件事；排列數是指“從n個不同元素中取出m個元素的所有排列的個數”，它是一個數。例如，從3個元素a，b，c中每次取出2個元素，按照一定的順序排成一排，有如下幾種：
ab，ac，ba，bc，ca，cb，
其中每一種都叫一個排列，共有6種，而數字6就是排列數，符號 表示排列數。
②排列的定義中包含兩個基本內容，一是“取出元素”，二是“按一定順序排列”。
從定義知，只有當元素完全相同，並且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列。
在定義中“一定順序”就是説與位置有關，在實際問題中，要由具體問題的性質和條件來決定，這一點要特別注意，這也是與後面學習的組合的根本區別。
在排列的定義中 ，如果 有的書上叫選排列，如果 ，此時叫全排列。
要特別注意，不加特殊説明，本章不研究重複排列問題。
③關於排列數公式的推導的教學。公式推導要注意緊扣乘法原理，藉助框圖的直視解釋來講解。課本上用的是不完全歸納法，先推導 ， ，…，再推廣到 ，這樣由特殊到一般，由具體到抽象的講法，學生是不難理解的。
導出公式 後要分析這個公式的構成特點，以便幫助學生正確地記憶公式，防止學生在“n”、“m”比較複雜的時候把公式寫錯。這個公式的特點可見課本第229頁的一段話：“其中，公式右邊第一個因數是n，後面每個因數都比它前面一個因數少1，最後一個因數是 ，共m個因數相乘。”這實際是講三個特點：第一個因數是什麼？最後一個因數是什麼？一共有多少個連續的自然數相乘。
公式 是在引出全排列數公式 後，將排列數公式變形後得到的公式。對這個公式指出兩點：(1)在一般情況下，要計算具體的排列數的值，常用前一個公式，而要對含有字母的排列數的式子進行變形或作有關的論證，要用到這個公式，教材中第230頁例2就是用這個公式證明的問題；(2)為使這個公式在 時也能成立，規定 ，如同 時 一樣，是一種規定，因此，不能按階乘數的原意作解釋。
④建議應充分利用樹形圖對問題進行分析，這樣比較直觀，便於理解。
⑤學生在開始做排列應用題的作業時，應要求他們寫出解法的簡要説明，而不能只列出算式、得出答數，這樣有利於學生得更加紮實。隨着學生解題熟練程度的提高，可以逐步降低這種要求。
教學目標：
（1）瞭解座標法和解析幾何的意義，瞭解解析幾何的基本問題。
（2）進一步理解曲線的方程和方程的曲線。
（3）初步掌握求曲線方程的方法。
（4）通過本節內容的教學，培養學生分析問題和轉化的能力。
教學重點、難點：求曲線的方程。
教學用具：計算機。
教學方法：啟發引導法，討論法。
教學過程：
【引入】
1、提問：什麼是曲線的方程和方程的曲線。
學生思考並回答。教師強調。
2、座標法和解析幾何的意義、基本問題。
對於一個幾何問題，在建立座標系的基礎上，用座標表示點；用方程表示曲線，通過研究方程的性質間接地來研究曲線的性質，這一研究幾何問題的方法稱為座標法，這門科學稱為解析幾何。解析幾何的兩大基本問題就是：
（1）根據已知條件，求出表示平面曲線的方程。
（2）通過方程，研究平面曲線的性質。
事實上，在前邊所學的直線方程的理論中也有這樣兩個基本問題。而且要先研究如何求出曲線方程，再研究如何用方程研究曲線。本節課就初步研究曲線方程的求法。
【問題】
如何根據已知條件，求出曲線的方程。
【實例分析】
例1：設 、兩點的座標是 、(3，7)，求線段 的垂直平分線 的方程。
首先由學生分析：根據直線方程的知識，運用點斜式即可解決。
解法一：易求線段 的中點座標為(1，3)，
由斜率關係可求得l的斜率為
於是有
即l的方程為
①
分析、引導：上述問題是我們早就學過的，用點斜式就可解決。可是，你們是否想過①恰好就是所求的嗎？或者説①就是直線 的方程？根據是什麼，有證明嗎？
（通過教師引導，是學生意識到這是以前沒有解決的問題，應該證明，證明的依據就是定義中的兩條）。
證明：(1)曲線上的點的座標都是這個方程的解。
設 是線段 的垂直平分線上任意一點，則
即
將上式兩邊平方，整理得
這説明點 的座標 是方程 的解。
（2）以這個方程的解為座標的點都是曲線上的點。
設點 的座標 是方程①的任意一解，則
到 、的距離分別為
所以 ，即點 在直線 上。
綜合(1)、(2)，①是所求直線的方程。
至此，證明完畢。回顧上述內容我們會發現一個有趣的現象：在證明(1)曲線上的點的座標都是這個方程的解中，設 是線段 的垂直平分線上任意一點，最後得到式子 ，如果去掉腳標，這不就是所求方程 嗎？可見，這個證明過程就表明一種求解過程，下面試試看：
解法二：設 是線段 的垂直平分線上任意一點，也就是點 屬於集合
由兩點間的距離公式，點所適合的條件可表示為
將上式兩邊平方，整理得
果然成功，當然也不要忘了證明，即驗證兩條是否都滿足。顯然，求解過程就説明第一條是正確的（從這一點看，解法二也比解法一優越一些）；至於第二條上邊已證。
這樣我們就有兩種求解方程的方法，而且解法二不借助直線方程的理論，又非常自然，還體現了曲線方程定義中點集與對應的思想。因此是個好方法。
讓我們用這個方法試解如下問題：
例2：點 與兩條互相垂直的直線的距離的積是常數 求點 的軌跡方程。
分析：這是一個純粹的幾何問題，連座標系都沒有。所以首先要建立座標系，顯然用已知中兩條互相垂直的直線作座標軸，建立直角座標系。然後仿照例1中的解法進行求解。
求解過程略。
【概括總結】通過學生討論，師生共同總結：
分析上面兩個例題的求解過程，我們總結一下求解曲線方程的大體步驟：
首先應有座標系；其次設曲線上任意一點；然後寫出表示曲線的點集；再代入座標；最後整理出方程，並證明或修正。説得更準確一點就是：
（1）建立適當的座標系，用有序實數對例如 表示曲線上任意一點 的座標；
（2）寫出適合條件 的點 的集合
；
（3）用座標表示條件 ，列出方程 ；
（4）化方程 為最簡形式；
（5）證明以化簡後的方程的解為座標的點都是曲線上的點。
一般情況下，求解過程已表明曲線上的點的座標都是方程的解；如果求解過程中的轉化都是等價的，那麼逆推回去就説明以方程的解為座標的點都是曲線上的點。所以，通常情況下證明可省略，不過特殊情況要説明。
上述五個步驟可簡記為：建系設點；寫出集合；列方程；化簡；修正。
下面再看一個問題：
例3：已知一條曲線在 軸的上方，它上面的每一點到 點的距離減去它到 軸的距離的差都是2，求這條曲線的方程。
【動畫演示】用幾何畫板演示曲線生成的過程和形狀，在運動變化的過程中尋找關係。
解：設點 是曲線上任意一點， 軸，垂足是 （如圖2），那麼點 屬於集合
由距離公式，點 適合的條件可表示為
①
將①式 移項後再兩邊平方，得
化簡得
由題意，曲線在 軸的上方，所以 ，雖然原點 的座標(0，0)是這個方程的解，但不屬於已知曲線，所以曲線的方程應為 ，它是關於 軸對稱的拋物線，但不包括拋物線的頂點，如圖2中所示。
【練習鞏固】
題目：在正三角形 內有一動點 ，已知 到三個頂點的距離分別為 、、，且有 ，求點 軌跡方程。
分析、略解：首先應建立座標系，以正三角形一邊所在的直線為一個座標軸，這條邊的垂直平分線為另一個軸，建立直角座標系比較簡單，如圖3所示。設 、的座標為 、，則 的座標為 ， 的座標為 。
根據條件 ，代入座標可得
化簡得
①
由於題目中要求點 在三角形內，所以 ，在結合①式可進一步求出 、的範圍，最後曲線方程可表示為
【小結】師生共同總結：
（1）解析幾何研究研究問題的方法是什麼？
（2）如何求曲線的方程？
（3）請對求解曲線方程的五個步驟進行評價。各步驟的作用，哪步重要，哪步應注意什麼？
【作業】課本第72頁練習1，2，3;
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