第一篇：高中數學教案
高中數學教案：高一數學《等差數列的前n項和》教學設計方
案
時間：2014-12-3 13:14:45 點擊：672 【大 中 小】
教學目標
1.掌握等差數列前 項和的公式，並能運用公式解決簡單的問題.
（1）瞭解等差數列前 項和的定義，瞭解逆項相加的原理，理解等差數列前 項和公式推導的過程，記憶公式的兩種形式；
（2）用方程思想認識等差數列前 項和的公式，利用公式求 ；等差數列通項公式與前 項和的公式兩套公式涉及五個字母，已知其中三個量求另兩個值；
（3）會利用等差數列通項公式與前 項和的公式研究 的最值.
2.通過公式的推導和公式的運用，使學生體會從特殊到一般，再從一般到特殊的思維規律，初步形成認識問題，解決問題的一般思路和方法.
3.通過公式推導的過程教學，對學生進行思維靈活性與廣闊性的訓練，發展學生的思維水平.
4.通過公式的推導過程，展現數學中的對稱美；通過有關內容在實際生活中的應用，使學生再一次感受數學源於生活，又服務於生活的實用性，引導學生要善於觀察生活，從生活中發現問題，並數學地解決問題.
教學建議
（1）知識結構
本節內容是等差數列前 項和公式的推導和應用，首先通過具體的例子給出了求等差數列前 項和的思路，而後導出了一般的公式，並加以應用；再與等差數列通項公式組成方程組，共同運用，解決有關問題．
（2）重點、難點分析
教學重點是等差數列前 項和公式的推導和應用，難點是公式推導的思路．
推導過程的展示體現了人類解決問題的一般思路，即從特殊問題的解決中提煉一般方法，再
試圖運用這一方法解決一般情況，所以推導公式的過程中所藴含的思想方法比公式本身更為重要．等差數列前 項和公式有兩種形式，應根據條件選擇適當的形式進行計算；另外反用公式、變用公式、前 項和公式與通項公式的綜合運用體現了方程（組）思想．
高斯算法表現了大數學家的智慧和巧思，對一般學生來説有很大難度，但大多數學生都聽説過這個故事，所以難點在於一般等差數列求和的思路上．
（3）教法建議
①本節內容分為兩課時，一節為公式推導及簡單應用，一節側重於通項公式與前 項和公式綜合運用.
②前 項和公式的推導，建議由具體問題引入，使學生體會問題源於生活.
③強調從特殊到一般，再從一般到特殊的思考方法與研究方法.
④補充等差數列前 項和的最大值、最小值問題.
⑤用梯形面積公式記憶等差數列前 項和公式.
等差數列的前項和公式教學設計示例
教學目標
1.通過教學使學生理解等差數列的前 項和公式的推導過程，並能用公式解決簡單的問題.
2.通過公式推導的教學使學生進一步體會從特殊到一般，再從一般到特殊的思想方法，通過公式的運用體會方程的思想.
教學重點，難點
教學重點是等差數列的前 項和公式的推導和應用，難點是獲得推導公式的思路. 教學用具
實物投影儀，多媒體軟件，電腦.
教學方法
講授法.
教學過程
一.新課引入
提出問題（播放媒體資料）：一個堆放鉛筆的v形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放100支.這個v形架上共放着多少支鉛筆？（課件設計見課件展示）
問題就是（板書）“ ”
這是國小時就知道的一個故事，高斯的算法非常高明，回憶他是怎樣算的.（由一名學生回答，再由學生討論其高明之處）高斯算法的高明之處在於他發現這100個數可以分為50組，第一個數與最後一個數一組，第二個數與倒數第二個數一組，第三個數與倒數第三個數一組，?，每組數的和均相等，都等於101，50個101就等於5050了.高斯算法將加法問題轉化為乘法運算，迅速準確得到了結果.
我們希望求一般的等差數列的和，高斯算法對我們有何啟發？
二.講解新課
（板書）等差數列前 項和公式
1.公式推導（板書）
問題（幻燈片）：設等差數列 的首項為 ，公差為 ， 由學生討論，研究高斯算法對一般等差數列求和的指導意義.
思路一：運用基本量思想，將各項用 和 表示，得
，有以下等式
，問題是一共有多少個 ，似乎與 的奇偶有關.這個思路似乎進行不下去了.
思路二：
上面的等式其實就是 ，為迴避個數問題，做一個改寫 ， ，兩式左右分別相加，得
，
於是有： .這就是倒序相加法.
思路三：受思路二的啟發，重新調整思路一，可得 ，於是 .
於是得到了兩個公式（投影片）： 和 .
2.公式記憶
用梯形面積公式記憶等差數列前 項和公式，這裏對圖形進行了割、補兩種處理，對應着等差數列前 項和的兩個公式.
3.公式的應用
公式中含有四個量，運用方程的思想，知三求一.
例1.求和：（1） ；
（2） （結果用 表示）
解題的關鍵是數清項數，小結數項數的方法.
例2.等差數列 中前多少項的和是9900？
本題實質是反用公式，解一個關於 的一元二次函數，注意得到的項數 必須是正整數.
三.小結
1.推導等差數列前 項和公式的思路；
2.公式的應用中的數學思想.
四.板書設計
第二篇：初高中數學教案
排列與組合
一、教學目標
1、知識傳授目標：正確理解和掌握加法原理和乘法原理
2、能力培養目標：能準確地應用它們分析和解決一些簡單的問題
3、思想教育目標：發展學生的思維能力，培養學生分析問題和解決問題的能力
二、教材分析
1.重點：加法原理，乘法原理。 解決方法：利用簡單的舉例得到一般的結論．
2.難點：加法原理，乘法原理的區分。解決方法：運用對比的方法比較它們的異同．
三、活動設計
1.活動：思考，討論，對比，練習．
2.教具：多媒體課件．
四、教學過程正
1．新課導入
隨着社會發展，先進技術，使得各種問題解決方法多樣化，高標準嚴要求，使得商品生產工序複雜化，解決一件事常常有多種方法完成，或幾個過程才能完成。 排列組合這一章都是討論簡單的計數問題，而排列、組合的基礎就是基本原理，用好基本原理是排列組合的關鍵．
2．新課
我們先看下面兩個問題．
(l)從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船．一天中，火車有4班，汽車有 2班，輪船有 3班，問一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？
板書：圖
因為一天中乘火車有4種走法，乘汽車有2種走法，乘輪船有3種走法，每一種走法都可以從甲地到達乙地，因此，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有 4十2十3=9種不同的走法．
一般地，有如下原理：
加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，
在第n類辦法中有mn種不同的方法．那麼完成這件事共有n＝m1十m2十…十mn種不同的方法．
(2) 我們再看下面的問題：
由a村去b村的道路有3條，由b村去c村的道路有2條．從a村經b村去c村，共有多少種不同的走法？
板書：圖
這裏，從a村到b村有3種不同的走法，按這3種走法中的每一
種走法到達b村後，再從b村到c村又有2種不同的走法．因此，從a村經b村去c村共有 3x2=6種不同的走法．
一般地，有如下原理：
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有
mn種不同的方法．那麼完成這件事共有n＝m1 m2…mn種不同的方法．
例1 書架上層放有6本不同的數學書，下層放有5本不同的語文書．
1）從中任取一本，有多少種不同的取法？
2）從中任取數學書與語文書各一本，有多少的取法？
解：（1）從書架上任取一本書，有兩類辦法：第一類辦法是從上層取數學書，可以從6本書中任取一本，有6種方法；第二類辦法是從下層取語文書，可以從5本書中任取一本，有5種方法．根據加法原理，得到不同的取法的種數是6十5=11．
答：從書架l任取一本書，有11種不同的取法．
（2）從書架上任取數學書與語文書各一本，可以分成兩個步驟完成：第一步取一本數學書，有6種方法；第二步取一本語文書，有5種方法．根據乘法原理，得到不同的取法的種數是 n＝6x5＝30．
答：從書架上取數學書與語文書各一本，有30種不同的方法． 練習：一同學有4枚明朝不同古幣和6枚清朝不同古幣
1）從中任取一枚，有多少種不同取法？2）從中任取明清古幣各一枚，有多少種不同取法？
例2：(1)由數字l，2，3，4，5可以組成多少個數字允許重複三位數？
(2)由數字l，2，3，4，5可以組成多少個數字不允許重複三位數？
(3)由數字0，l，2，3，4，5可以組成多少個數字不允許重複三位數？
解：要組成一個三位數可以分成三個步驟完成：第一步確定百位上的數字，從5個數字中任選一個數字，共有5種選法；第二步確定十位上的數字，由於數字允許重複，
這仍有5種選法，第三步確定個位上的數字，同理，它也有5種選法．根據乘法原理，得到可以組成的三位數的個數是n=5x5x5=125．
答：可以組成125個三位數．
練習：
1、從甲地到乙地有2條陸路可走，從乙地到丙地有3條陸路可走，又從甲地不經過乙地到丙地有2條水路可走．
（1）從甲地經乙地到丙地有多少種不同的走法？
（2）從甲地到丙地共有多少種不同的走法？
2．一名兒童做加法遊戲．在一個紅口袋中裝着2o張分別標有數1、2、…、19、20的紅卡片，從中任抽一張，把上面的數作為被加數；在另一個黃口袋中裝着10張分別標有數1、2、…、9、1o的黃卡片，從中任抽一張，把上面的數作為加數．這名兒童一共可以列出
多少個加法式子？
3．由0－9這10個數字可以組成多少個沒有重複數字的三位數？ 小結：要解決某個此類問題，首先要判斷是分類，還是分步？分類時用加法，分步時用乘法
其次要注意怎樣分類和分步，以後會進一步學習
練習與作業
1．（口答）一件工作可以用兩種方法完成．有 5人會用第一種方法完成，另有4人會用第二種方法完成．選出一個人來完成這件工作，共有多少種選法？
2．在讀書活動中，一個學生要從 2本科技書、 2本政治書、3本文藝書裏任選一本，共有多少種不同的選法？
3．乘積（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展開後共有多少項？
4．從甲地到乙地有2條路可通，從乙地到丙地有3條路可通；從甲地到丁地有4條路可通，從丁地到丙地有2條路可通．從甲地到丙地共有多少種不同的走法？
5．一個口袋內裝有5個小球，另一個口袋內裝有4個小球，所有這些小球的顏色互不相同．
（1）從兩個口袋內任取一個小球，有多少種不同的取法？
（2）從兩個口袋內各取一個小球，有多少種不同的取法？
第三篇：高中數學教案23
第二十三教時
教材： 充要條件(1)
目的： 通過實例要求學生理解充分條件、必要條件、充要條件的意義，並能夠初步判斷給定的兩個命題之間的關係。 過程：
一、複習：寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，並判斷它們的真假：
1) 若x>0則x2>0；2) 若兩個三角形全等，則兩三角形的面積相等；
3) 等腰三角形兩底角相等； 4) 若x2=y2則 x=y。
（解答略）
二、給出推斷符號，緊接着給出充分條件、必要條件、充要條件的意義
1．由上例一： 由x>0，經過推理可得出x2>0
記作：x>0 ? x2>0表示x>0是x2>0的充分條件
即： 只要x>0成立 x2>0就一定成立x>0藴含着x2>0；
同樣表示：x2>0是x>0的必要條件。
一般：若p則q, 記作p?q 其中p是q的充分條件, q是p的必要條件
顯然：x2>0 x>0 我們説x2>0不是x>0的充分條件
x>0也不是x2>0的必要條件
由上例二： 兩個三角形全等 ? 兩個三角形面積相等
顯然, 逆命題兩個三角形面積相等兩個三角形全等
∴我們説： 兩個三角形全等是兩個三角形面積相等的充分不必要條件
兩個三角形面積相等是兩個三角形全等的必要不充分條件
由上例三： 三角形為等腰三角形 ? 三角形兩底角相等
我們説三角形為等腰三角形是三角形兩底角相等的充分且必要條件，這種既充分又必要條件，稱為充要條件。由上例四：顯然 x2=y2 ?x=y
x2=y2 是x=y的必要不充分條件；x=y 是x2=y2的充分不必要條件。
三、小結： 要判斷兩個命題之間的關係，關鍵是用什麼樣的推斷符號把兩個命題聯結起來。
四、例一：（課本p34例一）
例二：（課本p35-36 例二）
練習 p35 、p36
五、作業：p36-37習題1.8
第四篇：高中數學教案
高中數學教案:不等式的證明
教學目標
1。掌握分析法證明不等式；
2。理解分析法實質——執果索因；
3。提高證明不等式證法靈活性.
教學重點 分析法
教學難點 分析法實質的理解
教學方法 啟發引導式
教學活動
（一）導入新課
（教師活動）教師提出問題，待學生回答和思考後點評。
（學生活動）回答和思考教師提出的問題。
［問題1］我們已經學習了哪幾種不等式的證明方法？什麼是比較法？什麼是綜合法？ ［問題 2］能否用比較法或綜合法證明不等式：
[點評]在證明不等式時，若用比較法或綜合法難以下手時，可採用另一種證明方法：分析法。（板書課題）
設計意圖：複習已學證明不等式的方法。指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處， 激發學生學習新的證明不等式知識的積極性，導入本節課學習內容：用分析法證明不等式。
（二）新課講授
【嘗試探索、建立新知】
（教師活動）教師講解綜合法證明不等式的邏輯關係，然後提出問題供學生研究，並點評。幫助學生建立分析法證明不等式的知識體系。投影分析法證明不等式的概念。
（學生活動）與教師一道分析綜合法的邏輯關係，在教師啟發、引導下嘗試探索，構建新知。
[講解]綜合法證明不等式的邏輯關係：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式。
［問題1］我們能不能用同樣的思考問題的方式，把要證明的不等式作為結論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？bet365備用器
［問題2］當我們尋找的充分條件已經是成立的不等式時，説明了什麼呢？
［問題3］説明要證明的不等式成立的理由是什麼呢？
［點評］從要證明的結論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結論成立。就是分析法的邏輯關係。
[投影]分析法證明不等式的概念。（見課本）
設計意圖：對比綜合法的邏輯關係，教師層層設置問題，激發學生積極思考、研究。建立新的知識；分析法證明不等式。培養學習創新意識。
【例題示範、學會應用】
（教師活動）教師板書或投影例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會用分析法證明不等式，並點評用分析法證明不等式必須注意的問題。
（學生活動）學生在教師引導下，研究問題，與教師一道完成問題的論證。
例1 求證
[分析］此題用比較法和綜合法都很難入手，應考慮用分析法。
證明：（見課本）
[點評]證明某些含有根式的不等式時，用綜合法比較困難。此例中，我們很難想到從“ ”入手，因此，在不等式的證明中，分析法佔有重要的位置，我們常用分析法探索證明途徑，然後用綜合法的形式寫出證明過程，這是(推薦打開範文網：)解決數學問題的一種重要思維方法，事實上，有些
綜合法的表述正是建立在分析法思索的基礎上，分析法的優越性正體現在此。
例2 已知： ，求證： （用分析法）請思考下列證法有沒有錯誤？若有錯誤，錯在何處？ ［投影］證法一：因為 ，所以 、去分母，化為 ，就是 。由已知 成立，所以求證的不等式成立。
證法二：欲證 ，因為 只需證 ， 即證 ， 即證
因為 成立，所以 成立。（證法二正確，證法一錯誤。錯誤的原因是：雖然是從結論出發，但不是逐步逆戰結論成立的充分條件，事實上找到明顯成立的不等式是結論的必要條件，所以不符合分析法的邏輯原理，犯了邏輯上的錯誤。） [點評]①用分析法證明不等式的邏輯關係是：
（結論）（步步尋找不等式成立的充分條件）（結論）
分析法是“執果索因”，它與綜合法的證明過程（由因導果）恰恰相反。②用分析法證明時要注意書寫格式。分析法論證“若a則b”這個命題的書寫格式是： 要證命題b為真，
只需證明 為真，從而有??
這隻需證明 為真，從而又有?? ??
這隻需證明a為真。
而已知a為真，故命題b必為真。 要理解上述格式中藴含的邏輯關係。
[投影] 例3 證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管截面（指橫截面，下同）的周長相等，那麼截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大。
［分析］設未知數，列方程，因為當水的流速相同時，水管的流量取決於水管截面面積的大小，設截面的周長為 ，則周長為 的圓的半徑為 ，截面積為 ；周長為 的正方形邊長為 ，截面積為 ，所以本題只需證明：
證明：（見課本）
設計意圖：理解分析法與綜合法的內在聯繫，説明分析法在證明不等式中的重要地位。掌 握分析法證明不等式，特別重視分析法證題格式及格式中藴含的邏輯關係。靈活掌握分析法的應用，培養學生應用數學知識解決實際問題的能力。 【課堂練習】bet365備用bd
（教師活動）打出字幕（練習），請甲、乙兩位同學板演，巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定，對偏差及時糾正。點評練習中存在的問題。 （學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演。 【字幕】練習1。求證
2。求證：
設計意圖：掌握用分析法證明不等式，反饋課堂效果，調節課堂教學。 【分析歸納、小結解法】
（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小給用分析法證明不等式的解題方法。 （學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，並記錄筆記。
1。分析法是證明不等式的一種常用基本方法。當證題不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決，特別是對於條件簡單而結論複雜的題目往往更是行之有效的。
2。用分析法證明不等式時，要正確運用不等式的性質逆找充分條件，注意分析法的證題格式。
設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握分析法證明不等式的方法。 （三）小結
（教師活動）教師小結本節課所學的知識。 （學生活動）與教師一道小結，並記錄筆記。
本節課主要學習了用分析法證明不等式。應用分析法證明不等式時，掌握一些常用技巧： 通分、約分、多項式乘法、因式分解、去分母，兩邊乘方、開方等。在使用這些技巧變形時，要注意遵循不等式的性質。另外還要適當掌握指數、對數的性質、三角公式在逆推中的靈活運用。理解分析法和綜合法是對立統一的兩個方面。有時可以用分析法思索，而用綜合法書寫證明，或者分析法、綜合法相結合，共同完成證明過程。
設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識。 （四）佈置作業
1。課本作業：p17 4、5。
2。思考題：若 ，求證
3。研究性題：已知函數 ， ，若 、 ，且 證明
設計意圖：思考題供學有餘力同學練習，研究性題供學生研究分析法證明有關問題。 （五）課後點評
教學過程是不斷髮現問題、解決問題的思維過程。本節課在形成分析法證明不等式認知結構中，教師提出問題或引導學生髮現問題，然後開拓學生思路，啟迪學生智慧，求得問題解決。一個問題解決後，及時地提出新問題，提高學生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質，把學生的思維步步引向深入，直到完成本節課的教學任務。總之，本節課的教學安排是讓學生的思維由問題開始，到問題深化，始終處於積極主動狀態。本節課練中有講，講中有練，講練結合。在講與練的互相作用下，使學生的思維逐步深化。教師提出的問題和例題，先由學生自己研究，然後教師分析與概括。在教師講解中，又不斷讓學生練習，力求在練習中加深理解，儘量改變課堂上教師包括辦代替的做法。
在安排本節課教學內容時，按認識規律，由淺入深，由易及難，逐漸展開教學內容，讓學生形成有序的知識結構。 作業答案： 思考題：
。因為 ，故 ，所以 成立。 研究性題：令 ， ，則： ， ，
故原不等式等價於
由已知有 。 。所以上式等價於 ，即 。所以又等價於 。因為 ，上式成立，所以原不等式成立。
不等式的實際解釋
題目：不等式： 是正數，且 ，則 。可以給出一個具有實際背景的解釋：在溶液里加溶質則濃度增加，即個單位溶液中含有 個單位的溶質，其濃度小於加入 個單位溶質後的溶液濃度，請你仿照此例，給出兩個不等式的解釋。 分析與解
1。先看問題中的不等式，建築學規定，民用住宅的窗户面積必須小於地板面積，但按採光標準，窗户面積與地板面積的比值應不小於10%，並且這個比值越大，住宅的採光條件越好。
我們知道如果同時增加相等的窗户面積和地板面積，那麼住宅的條件變好。
設地板面積為 平方米，窗户面積為 平方米，若窗户面積和地板面積同時增加相等的 平方米，住宅的採光條件變好了，即有
2。 是正數，不等式 可以推出 ，我們可以用混合溶液來解釋：兩個不同濃度的溶液混合後，其濃度介於混合前兩溶液濃度之間。
3。電阻串並聯。電阻值為 、 的電阻，串聯電阻為 ，並聯電阻為 ，串聯電阻變大，並聯電阻變小，因此有不等式 ，即
説明 許多數學結論是由實際問題抽象為數學問題後，通過數學的運算演變得到的。反過來，把抽象的數學結論還原為實際解釋也是一種數學運用，值得大家關注。
第五篇：高中數學教案全集
【中學數學教案】
高中數學教案全集
第三章教案090801戴亨釗張青春
一、考綱要求：
1. 事件與概率
（1） 瞭解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，瞭解概率的意義，瞭解頻率與概率的區別。
（2） 瞭解兩個互斥事件的概率加法公式。
2. 古典概型
（1） 理解古典概型及其概率計算公式。
（2） 會計算一些隨機事件所包含的基本事件數及事件發生的概率。
3. 隨機數與幾何概型
（1） 瞭解隨機數的意義，能運用模擬方法估計概率。
（2） 瞭解幾何概型的意義。
二、命題趨勢
由於概率統計知識與實際生活密切相關，預計在以後的大學聯考題中將越來越受重視，除以傳統的選擇題，填空題出現外，解答題也會出現。在實際應用於求概率等問題，主要考查學生的動手能力，分析能力及對基礎知識的運用能力。
大學聯考中本章試題難度不大，但考試遇到新題時大多數同學覺得很困難，所以，平時應該把常見的各種題型都練習到，各種類型的解法都掌握住，考試時以不變應萬變。
（1） 以中低難度為主，在複習中主要以基礎知識的內容為主，不應做偏題，難題。 （2） 把古典概型和幾何概型作為複習的重點。
（3） 應注意培養自身利用概率知識對實際問題進行分析的能力。 三、基礎知識，點式突破 知識點1隨機現象 （1） 隨機現象 ① 必然現象：在一定條件下必然發生的現象。如“地球每天繞太陽轉動”為必然現象。 ② 隨機現象：在一定條件下多次觀察同一現象，每次觀察到的結果不一定相同。如“某射擊運動員每一次射擊命中的環數”為隨機現象。
（2） 實驗及實驗結果
為了探索隨機現象的規律性，需要對隨機現象進行觀察，我們把觀察隨機現象或為了某種目的而進行的實驗統稱為實驗。把觀察結果或實驗結果稱為實驗結果。
（3） 隨機試驗
條件每實現一次，叫做進行一次實驗，如果實驗結果事先無法確定，並且可以重複進行，這種實驗就叫做隨機實驗。如“從盛有3個排球，2個足球的框子裏任取一球，取得排球的事件中，取出一球（不管是排球還是足球）就是一次實驗。若把5個球全部取出，則做了5次試驗。
知識點2事件與基本事件空間
（1） 必然事件：我們把在條件s下，一定會發的事件，叫做相對於條件s的必然事件。簡稱必然事件。
比如，“導體通電時發熱”，“拋一石塊，下落”等都是必然事件。
（2） 不可能事件：在條件s下，一定不會發生的事件，叫做相對於條s的不可能事件，簡稱不可能事件。必然“在標準大氣壓下温度低於0冰融化”，在常温常壓下，鐵融化“等都是不可能事件。
（3） 確定事件：必然事件和不可能事件統稱為相對於條件s的確定事件，簡稱確定事件。 （4） 隨機事件：在條件s下可能發生也可能不發生的事件的隨機事件，簡稱隨機事件。 比如：“李強射擊一次，不中靶”，“擲一枚銀幣出現反面”都是隨機事件。
注意：要搞清楚隨機現象和隨機事件之間的關係。隨機現象是隨機事件產生的原因，隨機事件是隨機現象的可能結果，是隨機現象的反映。
（5） 事件及其表示方法：確定事件和隨機事件稱為事件，一般用大寫字母a,b,c表示。 （6） 基本事件：在試驗中不能再分的最簡單的隨機事件，其他事件可以用他們來表示，這樣的事件稱為基本事件。
（7） 基本事件空間：所有基本事件構成的集合稱為基本事件空間，基本事件空間常用?表示 知識點3頻率與概率 1.頻率與概率
（1） 頻數與頻率：在相同的條件s下重複n次試驗，觀察某一事件a是否出現，稱n次試驗中事件a出現的次數na為事件a出現的頻數；稱事件a出現的比例fn(a)=率
（2） 概率及其記法：對於給定的隨機事件a，如果隨着試驗次數的增加，事件a發生的頻率fn(a)穩定在某個常數上，把這個常數記作p（a），稱為事件a的概率。
（3） 頻率與概率的區別與聯繫 ① 頻率本身是隨機的，在試驗前不能確定。做同樣次數的重複試驗得到事件的頻率會不同。
② 概率是一個確定的數，與每次試驗無關。是用來度量事件發生可能性大小的量。 ③ 頻率是概率的近似值，隨着試驗次數的增加，頻率會越來越接近概率。 2隨機事件的概率p(a)的範圍
對於任何事件的概率的範圍是：0≤p（a）≤1
nan
為事件a出現的概
其中不可能事件的概率是p（a）=0，必然事件的概率是p（a）=1 不可能事件與必然事件是一般事件的特殊情況 知識點4概率的加法公式 （1） 互斥事件 ① 定義：不可能同時發生的兩個事件即事件a發生，事件b不發生；事件b發生，事件a不發生叫做互斥事件（或稱不相容事件）
② 從集合角度看，記事件a為集合a，事件b為集合b,若事件a與事件b是互斥事件，則集合a與集合b 交集為空集。
③ 推廣：如果事件a1,a2，an中任何兩個都互斥，就稱事件a1,a2，an彼此互斥。從集合角度看n個事件彼此互斥是指各個事件所含結果的集合彼此互斥，
（2） 對立事件 ① 定義：不能同時發生且必有一個發生的兩個事件叫做互為對立事件，事件a的對立事件
?
記作a
?
②
?
從集合的角度看，a和a所含結果組成的集合是全集中互為補集的兩個集合，這時a和
?
?
?
a的交集是不可能事件，a和a的並集是必然事件，即a?a= ?, a?a?? （3） 互斥事件與對立事件的區別與聯繫 ① 兩個對立事件一定是互斥事件，反之兩個互斥事件不一定是對立事件。 ② 兩個事件對立是兩個事件互斥的充分非必要條件 ③ 兩個事件互斥是兩個事件對立的必要非充分條件。 （4） 事件的並（或和） ① 定義：由事件a和b至少有一個發生（即a發生或b發生或a,b都發生，稱為事件a與b的並（或和）記作c?a?b
② 事件a與事件b的並集等於事件b與事件a的並集，即a?b=b?a ③ 並事件有三層含義：事件a發生，事件b不發生；事件b發生，事件a不發生；事件a與事件b都發生。
④
事件a與b的並集a?b可推廣如下：“a1?a2???an”表示這樣一個事件：在
同一實驗中：a1,a2,?,an中至少有一個發生，即表示a1?a2???an發生。
（5） 互斥事件的概率加法公式
如果事件a,b互斥，那麼a?b發生（即a，b中至少有一個發生）的概率等於事件a,b分別發生的概率的和，即p（a?b）=p(a)+p(b)
①
一般地，如果事件a1,a2,?,an兩兩互斥（彼此互斥）那麼時事件
“a1?a2???an”發生（是指a1,a2,?,an至少有一個發生）的概率，等於這n個事件發生的概率和，即p(a1?a2???an)=p(a1)?p(a2)??p(an)
② 對立事件的概率公式
若事件a與b互為對立事件，則a?b為必然事件，所以p（a?b）=1，又 p（a?b）=p(a)+p(b)，所以p(a)=1- p(b)
[説明]a.公式使用的前提必須是對立事件，否則不能使用此公式。
b.當一事件的概率不易直接求，但其對立事件的概率易求時，可運用此公式，即使用間接法求概率。
（6）概率的一般加法公式 ①交（積）事件
若某事件發生當且僅當事件a發生且事件b發生，則稱此事件為事件a與事件b交事件(或稱積事件)，記作a?b(或ab)
a.用集合形式表示；
b.事件a與事件b的交事件等於事件b與事件a的交事件，即a?b=b?a
②概率的一般加法公式
設a,b是?的兩個事件，則p(a?b)?p(a)?p(a)?p(a?b)
知識點5古典概型 1. 基本事件及其特點 （1） 基本事件的定義
實驗結果是有限個，且每個事件都是隨機事件的事件，稱為基本事件。
注意： ①基本事件是實驗中不能再分的最簡單的隨機事件，其他事件可以用他們來表示；
②所以的基本事件都有有限個； ③每個基本事件的發生都是等可能的
（2） 基本事件的特點 ① 任何兩個基本事件是互斥的 ② 任何事件都可以表示成基本事件的和 2. 古典概型 （1） 古典概型的定義
我們把具有：①實驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；②每個基本事件出現的可能性相等。以上兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型。
（2） 古典概型是一種特殊的概率模型，其特徵是： ① 有限性，在一次試驗中，可能出現的結果只有有限個，即只有有限個不同的基本條件。 ② 等可能性，每個基本事件發生的可能性是均等的
[説明]一個實驗是否為古典概型，在於這個實驗是否具有古典概型的兩個特徵：有限性和等可能性。並不是所有的實驗都是古典概型。
（3） 古典概率模型的概率求法
如果一次實驗中的等可能基本事件共有n個，那麼每一個等可能基本事件發生的概率都是，
n如果某個事件a包含了其中的m個等可能的基本事件，那麼事件a發生的概率為p(a)=
mn
知識點6幾何概型 （1） 幾何概型的概念
事件a理解為區域?的某一子區域a，a的概率只與子區域a的幾何度量（長度，面積或體積）成正比，而與a的位置和形狀無關。滿足以上條件的實驗稱為幾何概型。
注意：①古典概型適用於所有實驗結果是有限個且結果是等可能出現的情況，而幾何概型則適用於實驗結果是無窮多的情形。
③ 幾何概型的特徵：每個實驗結果有無限多個，且全體結果可以用一個有度量的幾何區域來表示；每次試驗結果的各種結果是等可能的
（2） 幾何概型的概率計算公式
在幾何概型中，事件a的概率定義為：p(a)=
?a??
，其中??表示區域?的幾何度量，?a表
示子區域a的幾何度量。 （3） 古典概型與幾何概型的區別
古典概型與幾何概型要求基本事件發生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限個，幾何概型要求事件有無限多個。
四例題分析
【例題1 】（1）單選題是標準化考試中常用的題型，一般是從a、b、c、d四個選項中選擇一個正確答案，如果考生掌握了考查內容，他可以選擇唯一正確的答案，假設考生不會做，他隨機選擇一個答案，問他答對的概率是多少？
（2）國家安全機關監聽錄音機記錄了兩個間諜的談話，發現30min長的磁帶上，從開始30s處起，有10s長的一段內容含兩間諜犯罪的信息，後來發現，這段談話的一部分被某工作人員擦掉了，該工作人員聲稱他完全是無意中按錯了鍵，使從此處起往後的所有內容都被擦掉了，那麼由於按錯鍵
使含有犯罪內容的談話被部分或全部擦掉的概率有多大？
【分析】（1）會考生隨機地選擇一個答案是指選擇a、b、c、d的可能性是相等的，且實驗的可能結果只有4；選擇a、選擇b、選擇c、選擇d，基本事件共有4，是有限個，故該實驗是古典概
m
型，基本事件個數為4個，答對只有一種結果，即m=1,n=4，可利用古典概率公式，求出事件的
n
概率。
（2）中工作人員在0min到30min之間的時間段內任一時刻按錯鍵的可能性是相等的，且按錯鍵使含有犯罪內容的談話被部分或全部擦掉的概率只與從開始到談話內容結束的時間長度有關，故該實驗是幾何概型。工作人員在0s-30s內任一時刻按錯鍵，則含有犯罪內容的談話會被全部擦掉，若在30s-40s內任一時刻按錯鍵，則含有犯罪內容的談話被部分擦掉，所以所求事件佔的長度為40s，即
23
min，而整個長度為30min，可利用幾何概型的概率公式p(a)=
?a??
，求得事件的概率。
【解析】（1）有古典概型的概率計算公式得： p(答對)=
答對所包含的基本事件
的個數
=
14
=0.25；
（2）設事件a“按錯鍵使含有犯罪內容的談話被部分或全部擦掉”，事件a發生就是在0min到
23
min
時間段內按錯鍵，所以?a=
23
min，??=30min，p(a)=
?a??
=
30
=
145
145
【答】（1）考生答對的概率為0.25；(2)按錯鍵使含有犯罪內容的談話被部分或全部擦掉的概率為
【例題2】（1）向假設的三個相鄰的軍火庫投擲一顆炸彈，炸中第一個軍火庫的概率為0.025，炸中其餘兩個軍火庫的概率為0.1，只要炸中其中一個，另外兩個也要發生爆炸，求軍火庫發生爆炸的概率。
（2）甲乙兩人各射擊一次，命中率各為0.8和0.5，兩人同時命中的概率為0.4，求甲乙兩人至少有一人命中的概率。
【分析】（1）中投擲的一顆炸彈，只要炸中了其中的一個軍火庫，其餘也要發生爆炸，所以“軍火庫發生爆炸”這一事件，就是炸中第一、第二、第三個軍火庫這三個事件之和，且它們彼此互斥，由於是三個彼此互斥事件的並的概率，可利用公p(a?b?c)?p(a)?p(b)?p(c)求得（2）中至少有一人命中，可看成是甲命中和乙命中這兩事件的並事件，但“甲命中”和“乙命中”可能會同時發生不是互斥事件，由於是求兩個不互斥事件的概率，可利用一般的概率加法公式p(a?b)?p(a)?p(a)?p(a?b)求得
【解析】（1）設以a、b、c分別表示炸中第一、第二、第三個軍火庫這三個事件，於是
p（a）=0.025,p(b)=p(c)=0.1.設d表示軍火庫爆炸，則有d=a?b?c，由於a、b、c彼此互斥，?p(d)= p(a?b?c)?p(a)?p(b)?p(c)=0.025+0.1+0.1=0.225
(2)設事件a為“甲命中”，事件b為“乙命中”，則“甲、乙兩人至少有一人命中”為事件a?b，所以p(a?b)?p(a)?p(a)?p(a?b)=0.8+0.5-0.4=0.9
【答】（1）甲乙兩人至少有一人命中的概率0.225 （2）甲乙兩人至少有一人命中的概率0.9
【例題3 】同時拋擲兩個骰子（各個面上分別標有數1，2，3，4，5，6）求向上的數之積為偶數的概率。
【分析】每擲一個骰子都有6種情況，同時擲兩個骰子總的結果數為n=6×6,由於每個結果出現的可能性都相等，所以是古典概型。關鍵是求“向上的數之積為偶數”這一事件所包含的結果數m，然後利用p(a)=
，即可求得概率，向上的數之積為偶數的情況比較多，可以先考慮其對立事件，n
即向上的數之積為奇數，向上的數之積為奇數的基本事件有（1，1）
m
，（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5），共9個，即m=9
【解析】基本事件空間?(x,y)?x?6,1?y?6,x?n?,y?n??共包含36個基本事件，設“向上的數之積為偶數”為事件a，則a為“向上的數之積為奇數”，a=｛（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5）｝共包含9個事件，根據古典概型的概率公式可得
?
?
?
p(a)?
936
?
14
,由對立事件的性質知，1-p(a)=1-34
?
14
=
34
【答】向上的數之積為偶數的概率為
【小結】
在求等可能事件的概率時，一定要先根據事件的個數是否有限，判斷該試驗是古典概型還是幾何概型。①對於古典概型試驗概率的計算，關鍵是分清楚基本事件的個數n與事件a中包含的結果
m
數m，有時需用列舉法把基本事件一一列舉出來，在利用公式p(a)= 求出事件的概率，這是一
n
個比較直觀的好方法，但列舉時必須按某一順序做到不重複，不遺漏；②對於幾何概型試驗概率的計算，關鍵是求得事件a所佔的區域和整個區域的幾何度量，然後代入公式即可求解。幾何概型常用來解決與長度、面積、體積有關的問題。③互斥事件的概率加法公式僅適用於彼此互斥的事件的和（並）事件的概率求解，因此在應用公式之前，應先判斷各個事件彼此是否互斥，若不互斥，則需要用一般概率加法公式。④利用對立事件概率公式解題
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