一、變量與函數
[變量和常量]
在一個變化過程中，數值發生變化的量，我們稱之為變量，而數值始終保持不變的量，我們稱之為常量。
[函數]
一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量 與 ，並且對於 的每一個確定的值， 都有唯一確定的值與其對應，那麼我們就説 是自變量， 是 的函數。如果當 時 ，那麼 叫做當自變量的值為 時的函數值。
[自變量取值範圍的確定方法]
1、自變量的取值範圍必須使解析式有意義。
當解析式為整式時，自變量的取值範圍是全體實數；當解析式為分數形式時，自變量的取值範圍是使分母不為0的所有實數；當解析式中含有二次根式時，自變量的取值範圍是使被開方數大於等於0的所有實數。
2、自變量的取值範圍必須使實際問題有意義。
[函數的圖像]
一般來説，對於一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱座標，那麼座標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象。
[描點法畫函數圖形的一般步驟]
第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應的函數值）；
第二步：描點（在直角座標系中，以自變量的值為橫座標，相應的函數值為縱座標，描出表格中數值對應的各點）；
第三步：連線（按照橫座標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）。
[函數的表示方法]
列表法：一目瞭然，使用起來方便，但列出的對應值是有限的，不易看出自變量與函數之間的對應規律。
解析式法：簡單明瞭，能夠準確地反映整個變化過程中自變量與函數之間的相依關係，但有些實際問題中的函數關係，不能用解析式表示。
圖象法：形象直觀，但只能近似地表達兩個變量之間的函數關係。
[正比例函數]
一般地，形如y=kx（k是常數，k≠0）的函數，叫做正比例函數(proportional function)，其中k叫做比例係數。
[正比例函數圖象和性質]
一般地，正比例函數y=kx(k是常數，k≠0)的圖象是一條經過原點和(1，k)的直線。我們稱它為直線y=kx。當k>0時，直線y=kx經過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當k<0時，直線y=kx經過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小。
（1） 解析式：y=kx(k是常數，k≠0)
（2） 必過點：(0，0)、(1，k)
（3） 走向：k>0時，圖像經過一、三象限；k<0時，圖像經過二、四象限
（4） 增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小
（5） 傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸
[正比例函數解析式的確定]——待定係數法
1、設出含有待定係數的函數解析式y=kx(k≠0)
2、把已知條件（一個點的座標）代入解析式，得到關於k的一元一次方程
3、解方程，求出係數k
4、將k的值代回解析式
二、一次函數
[一次函數]
一般地，形如y=kx+b(k、b是常數，k 0)函數，叫做一次函數。當b=0時，y=kx+b即y=kx，所以正比例函數是一種特殊的一次函數。
[一次函數的圖象及性質]
一次函數y=kx+b的圖象是經過(0，b)和(- ，0)兩點的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到。（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）
（1）解析式：y=kx+b(k、b是常數，k 0)
（2）必過點：(0，b)和(- ，0)
（3）走向： k>0，圖象經過第一、三象限；k<0，圖象經過第二、四象限
b>0，圖象經過第一、二象限；b<0，圖象經過第三、四象限
直線經過第一、二、三象限
直線經過第一、三、四象限
直線經過第一、二、四象限
直線經過第二、三、四象限
（4）增減性： k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小。
（5）傾斜度：|k|越大，圖象越接近於y軸；|k|越小，圖象越接近於x軸。
（6）圖像的平移： 當b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位；
當b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移b個單位。
[直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關係]
（1）兩直線平行：k1=k2且b1 b2
（2）兩直線相交：k1 k2
（3）兩直線重合：k1=k2且b1=b2
[確定一次函數解析式的方法]
（1）根據已知條件寫出含有待定係數的函數解析式；
（2）將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的座標代入上述函數解析式中得到以待定係數為未知數的方程；
（3）解方程得出未知係數的值；
（4）將求出的待定係數代回所求的函數解析式中得出結果。
[一次函數建模]
函數建模的關鍵是將實際問題數學化，從而解決最佳方案、最佳策略等問題。建立一次函數模型解決實際問題，就是要從實際問題中抽象出兩個變量，再尋求出兩個變量之間的關係，構建函數模型，從而利用數學知識解決實際問題。
正比例函數的圖象和一次函數的圖象在賦予實際意義時，其圖象大多為線段或射線。這是因為在實際問題中，自變量的取值範圍是有一定的限制條件的，即自變量必須使實際問題有意義。
從圖象中獲取的信息一般是：
（1）從函數圖象的形狀判定函數的類型；
（2）從橫、縱軸的實際意義理解圖象上點的座標的實際意義。
解決含有多個變量的問題時，可以分析這些變量的關係，選取其中某個變量作為自變量，再根據問題的條件尋求可以反映實際問題的函數。
三、用函數觀點看方程(組)與不等式
[一元一次方程與一次函數的關係]
任何一元一次方程到可以轉化為ax+b=0(a，b為常數，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的`值為0時，求相應的自變量的值。 從圖象上看，相當於已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點的橫座標的值。
[一次函數與一元一次不等式的關係]
任何一個一元一次不等式都可以轉化為ax+b>0或ax+b<0（a，b為常數，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數值大(小）於0時，求自變量的取值範圍。
[一次函數與二元一次方程組]
（1）以二元一次方程ax+by=c的解為座標的點組成的圖象與一次函數y= 的圖象相同。
（2）二元一次方程組 的解可以看作是兩個一次函數y= 和y= 的圖象交點。
三個重要的數學思想
1、方程的思想。數學是研究事物的空間形式和數量關係的，國中數學最重要的就是等量關係，其次是不等量關係。最常見的等量關係就是方程。
2、數形結合的思想。任何一道題，只要與形沾邊，就應該根據題意中的草圖分析一番。這樣做，不但直觀，而且全面，整體性強。
3、對應的思想。
國中生數學成績的提高，需要靠自己勤加練習和腳踏實地的去接受數學。
合數的概念
合數指自然數中除了能被1和本身整除外，還能被其他數（0除外）整除的數。與之相對的是質數，而1既不屬於質dao數也不屬於合數。最小的合數是4。其中，完全數與相親數是以它為基礎的。
教學目的：
1．瞭解常量與變量的意義，能分清實例中的常量與變量；
2．瞭解自變量與函數的意義，能列舉函數的實例，並能寫出簡單的函數關係式；
3．培養學生觀察、分析、抽象、概括的能力；
4．對學生進行相互聯繫、絕對與相對、運動變化的辯證唯物主義觀點的教育和愛國、愛黨、愛人民的教育，數學教案－函數。
教學直點：
函數概念的形成過程。
教學難點：
理解函數概念。
教具：
多媒體。
教學過程：
一、創設情境
首先請同學們看一組境頭：（微機播放今夏抗洪片段）喚起學生對今夏洪水的回憶，對學生滲透愛國、愛黨、愛人民的教育。
二、形成概念
（一）變量與常量概念的形成過程
1．舉例、歸納
引例1：沙市今夏7、8兩個月的水位圖（微機示圖）
學生觀察水位隨時間變化的情況，（微機示意）引出“變量”。
引例2：汽車在公路上勻速行駛（微機示意）
學生觀察汽車勻速行駛的過程，加深對變量的認
識，引出“常量”。
設問：一個量變化，具體地説是它的什麼在變？什麼不變呢？（微機顯示：下方汽車勻速行駛，上方S的值隨t的值變化而變化。）
引導學生觀察發現：是量的數值變與不變。
歸納變量與常量的定義並板書。
2．剖析概念
常量與變量必須存在於一個變化過程中。判斷一個量是常量還是變量，需着兩個方面：①看它是否在一個變化的過程中，②看它在這個變化過程中的取植情況。
3．鞏固概念
練習一：
1．向平靜的。湖面投一石子，便會形成以落水點為圓心的一系列同心圓（微機示意）。①在這個變化過程中，有哪些變量？②若面積用S，半徑用R表示，則S和R的關係是什麼？；π是常量還是變量？③若周長用C，半徑用R表示，C與R的關係式是什麼？
2．（見課本第92頁練習1）
學生回答後指出：常量與變量不是絕對的，而是對於一個變化過程而言的。
（二）自變量與函數概念的形成過程
1．舉例、歸納
（微機一屏顯示兩個引例）學生再次觀察引例1、2兩個變化過程，尋找共同之處：①一個變化過程，②兩個變量，③一個量隨另一個量的變化而變化。
若兩個量滿足上述三個條件，就説這兩個量具有函數關係。（引出課題並板書）
設問：上述第三條是形象描述兩個變量的關係，具體地説是什麼意思？
以引例2説明：（微機示意）
設問：在S＝30t中，當t＝0.5時，S有沒有值與它對應？有幾個？
反覆設問：t＝l，1．5，2，3……時呢？
引導學生觀察發現：對於變量t的每一個值，變量S都有唯一的值與它對應。所以兩個變量的關係又可敍述為：對於一個變量的每一個值，另一個變量都有唯一的值與它對應。即一種對應關係。（微機出示）
在s＝30t中，s與t具有這種對應關係，就説t是自變量，S是t的函數。引出“自變量”、“函數”。
歸納自變量與函數的定義並板書，國中數學教案《數學教案－函數》。
2．剖析概念
理解函數概念把握三點：①一個變化過程，②兩個變量，③一種對應關係。判斷兩個量是否具有函數關係也以這三點為依據。
3．鞏固概念
練習二：
l）某地某天氣温如圖：（微機示圖）氣温與時間具有函數關係嗎？
學生回答後指出這裏函數關係是用圖象給出的。
2）宜昌市某旅遊公司近幾年接待遊客人數如表：（微機示表）遊客人數與時間具有函數關係嗎？學生回答後指出這裏函數關係是用表格給出的。
3）在S＝？d中，S與R具有函數關係嗎？C＝ZπR中，C與R呢？（微機顯示變化過程）學生回答後指出這裏函數關係是用數學式子結出的。
4）師生共同列舉函數關係的例子。
三、例題示範
（微機出示例1，並演示籬笆圍成矩形的過程。）
指導：1．籬笆的長等於矩形的周長；2.S與1的關係式，即用1的代數式表示S；3．表示矩形的面積，需先表示矩形一組鄰邊的長。
解題過程略。
變式練習：
用60m的籬笆圍成矩形，使矩形一邊靠牆，另三邊用籬笆圍成，（微機示意）
1．寫出矩形面積s（m?）與平行於牆的一邊長l（m）的關係式；
2．寫出矩形面積s（m?）與垂直於牆的一邊長l（m）的關係式。並指出兩式中的常量與變量，函數與自變量。
四、反饋練習（微機示題）
五、歸納小結
1．四個概念：常量與變量，函數與自變量。
2．兩個注意：①判斷常量與變量看兩個方面。②理解函數概念把握三點。
六、佈置作業
1．必做題：課本第95頁，練習1、2.
2．思考題：
①在 y＝ 2x＋l中，y是x的函數嗎？？＝x中，y是X的函數嗎？
②引例2的s＝30t中，t可以取不同的數值，但t可以取任意數值嗎？
教案設計説明
根據本節內容的特點——抽象、難懂的概念深。
我按以下思路設計本課：堅持以觀察為起點，以問題為主線，以培養能力為核心的宗旨；遵照教師為主導，學生為主體，訓練為主線的教學原則；遵循特殊到一般，具體到抽象，由淺入深，由易到難的認識規律。教學過程特突出以下構想：
一、真景再現，引人入勝
上課後，首先播放一組動人的抗洪鏡頭，把學生分散的思維一下子聚攏過來，學生情緒、課堂氣氛調控到最佳狀態，為新課的開展創設良好的教學氛圍。因為它真實、貼近學生的生活，所以喚起他們對今夏所遭受的那場特大洪水的回憶，教師有機地對學生滲透愛國、愛黨、愛人民的教育。
二、過程凸現，緊扣重點
函數概念的形鹹過程是本節的重點，所以本節突出概念形成過程的教學，把過程分為三個階段：歸納、剖析與鞏固。第一階段裏舉學生熟悉的、形象生動的例子，引導學生觀察、分析爾後歸納。第二階段裏幫助學生把握概念的本質特徵，提出注意問題。第三階段裏引導學生運用概念並及時反饋。同時在概念的形成過程中，着意培養學生觀察、分析、抽象、概括的能力。引導學生從運動、變化的角度看問題時，向學生滲透辯證唯物主義觀點的教育。
三、動態顯現，化難為易
函數概念的抽象性是常規教學手段無法突出的，為了掃除學生思維上的障礙，本節充分發揮多媒體的聲、像、動畫特徵，使抽象的問題形象化，靜態方式的動態化，直觀、深刻地揭示函數概念的本質，突破本節的難點。同時教學活動中有聲、有色、有動感的畫面，不僅叩開學生思維之門，也打開他們的心靈之窗，使他們在欣賞、享受中，在美的薰陶中主動的、輕鬆愉快的獲得新知。
四、例子展現，多方滲透
為了使抽象的函數概念具體化，通俗易懂，本節列舉了大量的生活中的例子和其他學科中的例子，培養學生的發散思維、加強學科間的滲透，知識問的聯繫，也增強學生學數學、的意識。
一、函數：
一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果給定一個x值，相應地就確定了一個y值，那麼我們稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量。
二、自變量取值範圍
使函數有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值範圍。一般從整式（取全體實數），分式（分母不為0）、二次根式（被開方數為非負數）、實際意義幾方面考慮。
三、函數的三種表示法及其優缺點
（1）關係式（解析）法
兩個變量間的函數關係，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，這種表示法叫做關係式（解析）法。
（2）列表法
把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關係，這種表示法叫做列表法。
（3）圖象法
用圖象表示函數關係的方法叫做圖象法。
四、由函數關係式畫其圖像的一般步驟
（1）列表：列表給出自變量與函數的一些對應值
（2）描點：以表中每對對應值為座標，在座標平面內描出相應的點
（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。
五、正比例函數和一次函數
1、正比例函數和一次函數的概念
一般地，若兩個變量x，y間的關係可以表示成（k，b為常數，k0)的形式，則稱y是x的一次函數(x為自變量，y為因變量）。
特別地，當一次函數中的b=0時（即)(k為常數，k0），稱y是x的正比例函數。
2、一次函數的圖像：所有一次函數的圖像都是一條直線
3、一次函數、正比例函數圖像的主要特徵：一次函數 的圖像是經過點(0，b)的直線；正比例函數 的圖像是經過原點(0，0)的直線。
我們稱數值變化的量為變量(variable)。
有些量的數值是始終不變的，我們稱它們為常量(constant)。
在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，並且對於x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那麼我們説x是自變量(independentvariable)，y是x的函數(function)。
如果當x=a時y=b，那麼b叫做當自變量的值為a時的函數值。
形如y=kx(k是常數，k≠0)的函數，叫做正比例函數(proportionalfunction)，其中k叫做比例係數。
形如y=kx+b(k，b是常數，k≠0)的函數，叫做一次函數(linearfunction)。正比例函數是一種特殊的一次函數。
當k>0時，y隨x的增大而增大；當k<0時，y隨x的增大而減小。
每個二元一次方程組都對應兩個一次函數，於是也對應兩條直線。從“形”的角度看，解方程組相當於確定兩條直線交點的座標。
教學目標
1．知識與技能
能應用所學的函數知識解決現實生活中的問題，會建構函數“模型”．
2．過程與方法
經歷探索一次函數的應用問題，發展抽象思維．
3．情感、態度與價值觀
培養變量與對應的，形成良好的函數觀點，體會一次函數的應用價值．
重、難點與關鍵
1．重點：一次函數的應用．
2．難點：一次函數的應用．
3．關鍵：從數形結合分析思路入手，提升應用思維．
教學方法
採用“講練結合”的教學方法，讓學生逐步地熟悉一次函數的應用．
教學過程
一、範例點擊，應用所學
例5小芳以米/分的速度起跑後，先勻加速跑5分，每分提高速度20米/分，又勻速跑10分，試寫出這段時間裏她的跑步速度y（單位：米/分）隨跑步時間x（單位：分）變化的函數關係式，並畫出函數圖象．
y=
例6A城有肥料噸，B城有肥料300噸，現要把這些肥料全部運往C、D兩鄉．從A城往C、D兩鄉運肥料的費用分別為每噸20元和25元；從B城往C、D兩鄉運肥料的費用分別為每噸15元和24元，現C鄉需要肥料240噸，D鄉需要肥料260噸，怎樣調運總運費最少？
解：設總運費為y元，A城往運C鄉的肥料量為x噸，則運往D鄉的肥料量為（-x）噸．B城運往C、D鄉的肥料量分別為（240-x）噸與（60+x）噸．y與x的關係式為：y=20x+25（-x）+15（240-x）+24（60+x），即y=4x+10040（0≤x≤）．
由圖象可看出：當x=0時，y有最小值10040，因此，從A城運往C鄉0噸，運往D鄉噸；從B城運往C鄉240噸，運往D鄉60噸，此時總運費最少，總運費最小值為10040元．
拓展：若A城有肥料300噸，B城有肥料噸，其他條件不變，又應怎樣調運？
二、隨堂練習，鞏固深化
課本P119練習．
三、課堂，發展潛能
由學生自我本節課的表現．
四、佈置作業，專題突破
課本P120習題14．2第9，10，11題．
板書設計
14.2.2一次函數(4)
1、一次函數的應用例：
練習：
蒙田範文網