數學是研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門古老而常新的學科，是由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產生的。數學的發生和發展經過了漫長的歷史階段，它具有精確性、抽象性、嚴格性、廣泛性等特點，其中抽象是數學與生俱來的特徵，導致了它的深邃和睿智。
數學已經一百多個分支，數學的應用已深入到自然科學、技術科學和社會人文科學的各個領域，以及社會生活的各個方面。基礎數學的知識與運用更是個人與團體生活中不可或缺的一部分。
數學被應用在很多不同的領域上，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學在這些領域的應用一般被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並促成全新數學學科的發展。
一、常量、變量：
在一個變化過程中，數值發生變化的量叫做 變量 ；數值始終不變的量叫做 常量 ；
二、函數的概念：
函數的定義：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，並且對於x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那麼我們就説x是自變量，y是x的函數．
三、函數中自變量取值範圍的求法：
（1）。用整式表示的函數，自變量的取值範圍是全體實數。
（2）用分式表示的函數，自變量的取值範圍是使分母不為0的一切實數。
（3）用奇次根式表示的函數，自變量的取值範圍是全體實數。用偶次根式表示的函數，自變量的取值範圍是使被開方數為非負數的一切實數。
（4）若解析式由上述幾種形式綜合而成，須先求出各部分的取值範圍，然後再求其公共範圍，即為自變量的取值範圍。
（5）對於與實際問題有關係的，自變量的取值範圍應使實際問題有意義。
四、函數圖象的定義：
一般的，對於一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱座標，那麼在座標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象．
五、函數值：
函數值是指自變量在數值範圍內取某個值時，因變量與之對應的確定的值
例如：在正方形的面積公式S=a2中，若a=2；則S＝4；若a=3，則S＝9，這説明4是當a=2時的函數值，9是當a=3時的函數值
六、函數有三種表示形式：
（1）列表法 （2）圖像法 （3）解析式法
七、正比例函數與一次函數的概念：
一般地，形如y=kx(k為常數，且k≠0)的函數叫做正比例函數。其中k叫做比例係數。
一般地，形如y=kx+b(k,b為常數，且k≠0)的函數叫做一次函數。
當b =0 時，y=kx+b 即為 y=kx,所以正比例函數，是一次函數的特例。
八、正比例函數的圖象與性質：
（1)圖象:正比例函數y= kx （k 是常數，k≠0)） 的圖象是經過原點的一條直線，我們稱它為直線y= kx 。
（2）性質:當k>0時，直線y= kx經過第三，一象限，從左向右上升，即隨着x的增大y也增大；當k<0時，直線y= kx經過二，四象限，從左向右下降，即隨着 x的增大y反而減小。
九、一次函數與正比例函數的圖象與性質
一次函數概念
如果y=kx+b（k、b是常數，k≠0），那麼y叫x的一次函數。當b=0時，一次函數y=kx（k≠0）也叫正比例函數。
圖 像
一條直線
性 質
k＞0時，y隨x的增大（或減小）而增大（或減小）；
k＜0時，y隨x的增大（或減小）而減小（或增大）。
直線y=kx+b（k≠0）的位置與k、b符號之間的關係。
（1）k>0，b＞0； （2）k>0，b＜0；
（3）k>0，b＝0 （4）k＜0，b＞0；
（5）k＜0，b＜0 （6）k＜0，b＝0
一次函數表達式的確定
求一次函數y=kx+b（k、b是常數，k≠0）時，需要由兩個點來確定；求正比例函數y=kx（k≠0）時，只需一個點即可。
5、一次函數與二元一次方程組：
解方程組
從“數”的角度看，自變量（x）為何值時兩個函數的值相等．並求出這個函數值，一次函數知識要點
解方程組
從“形”的角度看，確定兩直線交點的座標。
十、求函數解析式的方法:
待定係數法：先設出函數解析式，再根據條件確定解析式中未知的係數，從而具體寫出這個式子的方法。
1、一次函數與一元一次方程：從“數”的角度看x為何值時函數y= ax+b的值為0．
2、求ax+b=0(a, b是常數，a≠0)的解，從“形”的角度看，求直線y= ax+b與 x 軸交點的橫座標
3、一次函數與一元一次不等式：解不等式ax+b＞0(a，b是常數，a≠0) ．從“數”的角度看，x為何值時函數y= ax+b的值大於0．
4、解不等式ax+b＞0(a，b是常數，a≠0) ． 從“形”的角度看，求直線y= ax+b在 x 軸上方的部分（射線）所對應的的橫座標的取值範圍
正比例函數y=kx(k≠0)的性質
(1)正比例函數y=kx的圖象必經過原點；
(2)當k>0時，圖象經過第一、三象限，y隨x的增大而增大；
(3)當k<0時，圖象經過第二、四象限，y隨x的增大而減小。
知識點5 點P(x0，y0)與直線y=kx+b的圖象的關係
(1)如果點P(x0，y0)在直線y=kx+b的圖象上，那麼x0,y0的值必滿足解析式y=kx+b;
(2)如果x0，y0是滿足函數解析式的一對對應值，那麼以x0，y0為座標的點P(1，2)必在函數的圖象上。
例如：點P(1，2)滿足直線y=x+1，即x=1時，y=2，則點P(1，2)在直線y=x+l的圖象上；點P′(2，1)不滿足解析式y=x+1，因為當x=2時，y=3，所以點P′(2，1)不在直線y=x+l的圖象上。
知識點6 確定正比例函數及一次函數表達式的條件
(1)由於正比例函數y=kx(k≠0)中只有一個待定係數k，故只需一個條件(如一對x，y的值或一個點)就可求得k的值。
(2)由於一次函數y=kx+b(k≠0)中有兩個待定係數k，b，需要兩個獨立的條件確定兩個關於k，b的方程，求得k，b的值，這兩個條件通常是兩個點或兩對x，y的值。
知識點7 待定係數法
先設待求函數關係式(其中含有未知常數係數)，再根據條件列出方程(或方程組)，求出未知係數，從而得到所求結果的方法，叫做待定係數法。其中未知係數也叫待定係數。例如：函數y=kx+b中，k，b就是待定係數。
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