淺談國小數學教學中的幾何直觀教學
摘 要：國小生理性認知能力較弱，但是感性認知能力卻很強。數學知識具有抽象性強、邏輯思維能力強的特點。如果只依據講授教學，題海戰術，學生只是將知識不斷地重複印記，並不會把知識真的變成自身的能力。國小階段，將數學知識應用幾何直觀的方式展現給學生，可以降低知識的學習難度，幫助學生實現知識從感性向理性的轉化。
關鍵詞：國小數學；教學；幾何；直觀教學
每個學科有每個學科的知識學習特點，數學知識的學習對於學生的邏輯思維能力要求較高。可是國小生的邏輯思維能力還需要培養，理性認知能力薄弱，感性認知能力較強。怎樣把國小數學知識讓學生從感性認知發展成理性認知，從而內化為自己的能力，就需要藉助幾何直觀教學。那麼幾何直觀教學應用於國小數學教學有那些優點呢？下面我來談談我的看法：
一、幫助學生理解抽象知識
任何學科都有屬於本學科的概念與理論知識，數學學科也不例外，國小數學知識中也有很多的抽象知識，這些知識只應用講授法，學生肯定是無法理解的。因此幾何直觀的運用十分重要，它能通過簡單的實物讓學生對數學知識更加了解和掌握。比如在分數的學習當中，由於學生日常接觸的大部分是整數，分數的學習會讓學生在一時之間感到接受困難，因此教師在教授期間可以利用幾何直觀方法，用五個相同的長方形拼成一個整體，讓學生動手操作取出整體的1/
2、1/4等，讓學生直觀的瞭解分數的概念。在對分數的概念進行鞏固的時候，教師可以通過逆向思維，拿出一個尺子，遮住其中的3/4部位，告訴學生：“這尺子沒遮住的部分長5cm，是整個尺子長度的1/4，那麼尺子的全長是多少？”從分數的學習慢慢過渡到整數中，讓學生將分數的知識與整數的知識連接在一起，構成完整的知識點銜接，有利於幫助學生自我構建數學框架，提高逆向思維能力。而在這道題的解答上，為了更直觀的讓學生了解分數，教師可以在四張圖上各畫出5cm的長度，然後由四個同學各拿一張圖，以直線的方式站在講台上，讓學生明白尺子的總長度是一段5cm尺子的4倍，而分數在很多情況下也可以反映出兩個事物的倍數關係，讓學生對分數的瞭解不僅僅侷限在整數與分數之間，分數還能與其他的數學知識相通。幾何直觀能全面地將分數含義展現在學生的面前，讓學生更加熟練地掌握數學知識。
二、將生活引入課堂
知識來源於生活，所以國小數學知識中，肯定有很多與實際生活聯繫密切的例題或習題，這些習題不容易展現給學生。隨着年級的提高，教材中的課程案例逐漸由實物圖轉變成示意圖，最終成為線段圖。因此，數學這門課程所教授的知識會越來越深奧，內容也會越來越廣闊，簡單的實物圖根本滿足不了數學知識的傳授，但是這種過渡方式能讓學生將最初的實物圖當作數學認知的起點，在轉變成示意圖之後通過一一對應的思想將實物圖轉變成簡潔的示意圖，然後過渡到將線段圖來概括數學中的量，循序漸進，逐漸提高學生對數學知識的認知和理解能力，有利於提高學生對數學知識的接受能力，化解在數學的學習中出現的難點。而在過渡時期，為了讓學生能很好地瞭解示意圖或者線段圖的含義，掌握知識的重點和難點，教師可以使用幾何直觀來輔助教學。比如在進行學習習近平均數的時候，為了讓學生了解平均數的抽象概念，教師可以使用“壘”球的方式來代替教材中的一些條形統計圖，用10個球作為籃球，然後讓學生思考哪一個數能形容教師的投籃水平。引導學生學會“移多補少”的方式找出“壘”球的中間數，通過實際的例子能讓學生克服示意圖帶來的思考難點，教導學生可以通過靈活的幾何直觀來解決學習中難以理解的知識點。
三、展現無法“拿來”的實物
有些解決實際問題的知識，學生需要根據具體實物來分析問題，可是這些實物是無法引來入我們的課堂的。比如教師提出一道題：“如果老師從七樓下到五樓用了30秒，那麼從五樓下到一樓用多少秒？”許多學生都會下意識的選擇75秒，因為從七樓到五樓用時30秒，下一個樓層使用15秒，則從五樓下到一樓用時為15秒的五倍，為75秒。在得到答案之後教師可以鼓勵學生將時間變化以數軸的形式畫出時間圖，如橫軸表示樓層數，而縱軸表示時間，畫出下樓梯的線段圖，讓學生將用實物解決的問題嘗試着抽象化、線性化，給學生之後學習的線段圖打下基礎。
四、培養學生的思維能力
數學需要思考，幾何直觀可以輔助學生思考，但不是代替思考，所以對於國小生來説，應用幾何直觀教學更加利於他們發展思維能力。幾何直觀能有效使用實物促進學生思考，加強推理能力，通過畫圖中隱藏的知識條件，提高學生的分析能力。因此在解決數學問題的時候，教師可以鼓勵學生通過幾何直觀學會對問題進行合理的猜想，抽絲剝繭，找出解題的思路，積累學習經驗。比如在學習四邊形的時候，教師可以出這樣一道題目：“在一個長為10cm，寬為6cm的長方形中減去最大的正方形，則該長方形的周長是多少？”題目給出的信息量不大，許多學生可能無法第一時間找到思路，這時教師可以引導學生思考正方形的特徵，正方形最大的特徵即是四邊皆相等，那麼最大的正方形邊長即為8cm，而問題是“該長方形的周長是多少”，那麼得出正方形的周長題目還是沒能解決，但是這時通過幾何直觀的思考和聯想，學生很容易就知道在減去正方形之後，長方形的長為2cm，寬為8cm，則周長等於四邊長寬之和，即是20cm。通過幾何直觀能讓學生髮現數學題目中陷阱，有利於提高學生的思考和邏輯思維能力。
總之，每一個學段的學生有每一個學段學生的認知規律，教師的教學方法要符合學生的認知規律。幾何直觀教學方法就適應國小階段學生數學的學習。應用幾何直觀教學可以提高學生的學習興趣，降低數學的學習難度，引發學生思考與探索，培養學生的數學學習能力。
幾何直觀的教學實例
幾何直觀是《新課標》新增加的核心概念之一。它就是憑藉圖形的直觀性特點將抽象的數學語言與直觀的圖形語言有機地結合起來，使抽象思維同形象思維結合起來，充分展現問題的本質，幫助學生突破數學理解上的難點。幾何直觀是數形結合思想地更好體現，通過圖形的直觀性質來闡明數與數之間的聯繫，將許多抽象的數學概念和數量關係形象化、簡單化，實現代數問題與圖形之間的互相轉化，相互滲透。
下面以“點與圓的位置關係”的一個問題為例説明一下：
問題：公路ＭＮ和公路ＰＱ在點Ｐ處交匯，公路ＰＱ上點Ａ處有一所學校，點Ａ到公路MN的距離為80M.現有一拖拉機在公路MN上以18千米/小時的速度沿PQ方向行駛，拖拉機行駛時周圍100m以內都受到噪聲影響，試問該校受影響的時間為多少秒？
分析：（1）要判斷拖拉機的噪音是否影響學校A，實質上是看A到公路的距離是否小於100m, 小於100m則受影響，大於100m則不受影響，並且影響學校的條件是在其周圍100m以內
（2）要求出學校受影響的時間，實質是要求拖拉機對學校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機行至哪一點開始影響學校，行至哪一點後結束影響學校。
鑑於以上兩點的分析，我們可以大體知道影響學校的區域應該是以A為圓心100m為半徑的一個區域，對於拖拉機在這個過程中可以抽象成一個點，從而可以轉化成一個“點與圓的位置關係”的一個題目，由此畫出幾何圖形
從這個例子可以看出，拖拉機被看成一個點，影響學校的區域被認為是一個圓，從而轉化成一個“點與圓的位置”關係的題目：拖拉機在B、C兩點時，認為是點在圓上；拖拉機在BC之間運動時，認為是點在圓內。把這個複雜的問題通過幾何圖形展示出來，使得問題簡單化，比較容易解決。
這樣藉助幾何直觀進行教學，可以形象生動地展現問題的本質，有助於促進學生的數學理解，提高了學生的思維能力和解決問題的能力。當然，在進行幾何直觀的教學中，離不開合情推理和演繹推理，合情推理有助於探索解決問題的思路，發現結論；演繹推理用於證明結論的正確性。幾何直觀的培養應伴隨推理能力的發展，貫穿在整個中學數學學習過程中。
解：由所畫的圖形可知學校受影響的範圍是公路ＭＮ上的BC路段，由題意可知AB=AC=100米
在RtΔABD中，根據勾股定理可得，BD=60（米）
∴BC=2BD=120（米）
∵18千米/小時=300米/分
∴
學校受影響的時間就是拖拉機從C點到D點所需的時間：120÷300=0.4（分）
∴該校受影響的時間為0.4分鈡
參加《全市國小數學幾何直觀教學研討會》報告
蘇 光 茂
2015年11月30
日受學校安排，我與蘇心忠老師於2015年11月26日28日參加了該研討會的培訓學習。下面我就該研討會的學習情況和心得體會做一下彙報。
這兩天裏我們共聽了濱州市不同縣區6位優秀教師的觀摩課及其説課。其中有濱城區第一國小趙媛美老師的《圓的面積》，高新區第二國小王豔青老師的《解決問題的策略》，北海經濟開發區第一實驗學校的邱衞衞老師的《
2、5的倍數的特徵》，鄒平梁鄒國小宋永田老師的《簡單的排列問題》，惠民縣姜樓鎮的路曉燕老師的《分數的初步認識》，陽信縣實驗國小孫娜老師的《搭配問題》，無棣縣第一實驗國小步魯靜的《智慧廣場——植樹問題》。
另外我們還聽取了張豔芳、王冬梅、劉靜蕾、李娟等老師的評課以及董斌輝、趙景芳、王春亮等老師做的專題發言，最後又聽取了濱州市國小數學教研員古老師做的大會總結髮言。通過這次學習讓我領略了各位優秀教師的教學風采，感受到他們紮實豐厚的教學基本功，高尚的敬業精神和先進的教學理念。他們的教學語言有的風趣幽默、深入淺出、引人入勝，使學生們聽的津津有味，學的聚精會神，有的嚴謹科學、環環相扣，有的如和風細雨、潤物無聲，使學生不僅學會了知識，而且從心靈深處得到了知識的洗禮。他們都採用了多媒體教學手段，充分利用了文字、實物、圖形、動畫等的直觀教學方法，引導學生的思維由直觀轉向抽象。進而使學生的學習由直觀學習轉向抽象學習。通過參加這次研討會學習，使我對幾何直觀在國小數學教學中應用、作用、意義及其實質有了更明確的認識：
幾何直觀有廣義和狹義之分。狹義的幾何直觀存在於幾何知識的教學中，廣義的幾何直觀在國小數學教學中無處不在，它不單單是指對幾何圖形知識的教學中存在，它存在於一切數學知識的教學中。一切數學知識的教學中都可選擇文字、實物、圖形、動畫等的直觀教學方法。
幾何直觀在國小數學教學中有着無可替代的重要作用。在國小數學教學中恰當的選用幾何直觀教學，不僅能起到事半功倍的良好效果，而且能促進學生思維能力的發展，為以後思維由直觀轉向抽象打下堅實的基礎。從這一點來看，國小階段充分採用幾何直觀教學對學生今後的學習發展有着非常重要的意義。
幾何直觀教學的實質不僅僅是傳授知識的手段，它更應該是促進學生思維發展的手段。我們使用幾何直觀教學不能僅僅停留在傳授知識上，還應該把它上升到促進學生思維發展的高度上。
那麼我們在國小數學教學中該如何運用幾何直觀進行教學呢？下面就這個問題談談我的看法：
淺談教學中幾何直觀的運用 幾何直觀是指利用圖形描述幾何或者其他數學問題、探索解決問題的思路、預測結果。幾何直觀能力主要包括空間想像力、直觀洞察能力、用圖形語言來思考問題能力。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學習中發揮着不可替代的作用，而且貫穿在整個數學學習過程中。以下是我對培養學生幾何直觀能力的膚淺見解。
一、利用幾何直觀培養學生空間想象力。教學中關注學生的基本生活經驗和生活經歷，注重引導學生把生活中對圖形的感受與有關知識建立聯繫，讓學生積極主動的參與學習中。如在《直線與線段》教學中我通過一組圖片，視覺上給同學們直觀的認識，引出直線，讓學生很容易發現直線的特點，尤其直線是一個理想化的概念，幾何直觀的感受凸顯的更加重要。學習直觀幾何，就像書上所説採用學生喜愛的“看一看、折一折、剪一剪、拼一拼、擺一擺、量一量、畫一畫”等具體、實際的活動方式，引導學生通過親自觸摸、觀察、測量、製作和實驗，把視覺、聽覺、觸覺、動覺等協同起來，培養學生空間想象力，從而使學生掌握圖形特徵，形成空間觀念。
二、注重模型的作用，讓學生參與模型製作 新課標在幾何數學中強調幾何學習的直觀性，強調實物、模型對幾何學習的作用。課外讓學生親手製作立體幾何模型，動手做一做，可以更直接的感受空間幾何圖形的特徵。
如在教學“平行四邊形性質”這一節中，我讓學生根據平行四邊形的概念回家去製作平行四邊形模具，在模具的製作中，學生加深了對概念的理解，更為後面研究平行四邊形的性質打下了很好直觀印象。
三、充分利用幾何直觀培養學生數形結合能力。在學習正比例函數圖像時，先引導學生用“描點法”畫出一幅表示正比例函數的圖像，在描點的過程中，引導學生把所描出的點與表中的數據相對照，讓學生初步理解圖像上各點所表示的實際意義，再通過觀察，使學生髮現所描出的這些點正好在一條直線上，清楚地認識正比例函數圖像的特點，並藉助直觀的圖像進一步理解兩種量同時擴大或縮小的變化規律，理解正比例函數的性質。畫出圖像後，進一步認識圖像上任意一點所表示的實際意義，初步體會正比例函數圖像的實際應用。通過正比例函數圖像與正比例函數關係式的轉換，加深對正比例函數的理解。總之，學生“空間想像能力”、“把握圖形”能力和“用圖形語言思考問題”能力的培養是一個有機的統一體，其中一個能力得到提高，必定會帶動另兩個能力的提高，培養其中一種能力也必須考慮其他兩個的影響。它們之間是相輔相成、相互影響、相互促進。
運用幾何直觀教學的心得體會
【案例1】 如在角的認識一課中，一位老師設計了以下教學步驟：
（1）、説説生活中看到的角：學生説的興高采烈：扇子，紅領巾、書本、五角星、桌面、牆角等等五花八門，體現了生活情境的引入。
（2）、用多媒體課件展示生活中實物如扇面、紅領巾，桌面等，並把有角的部分用紅色醒目標示出來，體現了由生活實物到實物圖的初步抽象。（3）、去掉課件中的實物部分，只留下紅色顯示的角的圖形，再讓學生直觀觀察角的特點。就完成也由實物到幾何圖形的抽象。分析：在這個案例中我依據學生的生活背景與知識背景，逐步完成由實物到幾何圖形的抽象觀察，非常符合學生的認知規律，而且學生對角的認識也更加立體。
【案例2】如探究長方形的特徵教學片斷：（1）、創造圖形:課前我給每組佈置了一個任務，你能利用你自己身邊的材料想辦法創造一個長方形嗎？（2）、展示成果:教師巡視，指名實物投影擺放。
方法有：擺小棒、畫點子格、拼三角板、拼小正方形等等。（3）、思考討論:這些長方形有什麼共同的特點？ 你用什麼方法可以證明？（先想一想你打算用什麼辦法驗證？再操作驗證， 並把你的發現和其他同學交流討論，看哪組想的辦法多）。
（4）、彙報交流: 長方形對邊相等，四個角都是直角。
逐一演示:比一比、量一量、數一數、折一折。
分析：在這個案例中我指導學生進行了充分的實踐操作活動，如“比一比、量一量、數一數、折一折”，對長方形的特點感知也就更加充分。
豐富多彩的圖形世界，給“空間與圖形”的學習提供了大量現實的有趣的素材。幾何教學的過程就是把各種對象由具體的事物變成抽象的幾何體進行研究。學生理解幾何知識時，需要把幾何體與具體的事物聯繫起來，經過比較、分析、綜合、抽象、概括、判斷、推理等思維活動來實現，因此，學習這部分內容，需要感性直觀材料的支持。
只要我們做個有心人，幫助學生建立起實物與概念間的聯繫，化抽象為具體，就可以促使學生更好地理解數學概念的本質，也能夠提高學生學習的興趣。
一、數形結合的基本思想，就是在研究問題的過程中，注意把數和形結合起來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形性質的問題轉化為數量關係的問題，或者把數量關係的問題轉化為圖形性質的問題，使複雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案．
二、注重的是讓學生在數學活動中親自動手實踐和自主探索發現規律，這也是幾何直觀的重要應用，更重要的是對學生滲透了平移和轉化的數學思想方法，培養了學生觀察、分析、概括的能力並且培養了學生解決實際問題的能力。
三、充分利用現代化教學手段
教師在課堂教學設計中，要儘可能地創設出優化的學習環境，以促進學生的高效率學習。計算機被人們認為是“教學過程中優化學習環境、輔助學生學習的有效的認知工具”。它在幫助學生掌握知識及技能、激發學生主動探索知識等方面創設的學習環境，有其自身獨到的優越性。利用計算機進行課堂演示，通過精心設計的動畫、插圖和音頻等，可以縮短了客觀事物與學生之間的距離，更好地幫助學生思考知識間的聯繫，促進新的認知結構的形成。把運動和變化展現在學生面前，使學生由形象的認識提高為抽象的概括，這對於培養學生良好的思維習慣會起到很好的效果。尤其是在空間觀念的建立、理解上，有些時候語言的描述繁瑣、蒼白，甚至無能為力。通過課件展示就能把抽象的數學問題形象化，從而也幫助學生打通了具體直觀與空間想象之間的障礙，培養他們的空間想象力，建立起空間觀念。
本人不才，以上所述僅僅為十年來所積累的教學經驗，望領導老師們多多指導，不吝賜教。
數學教學常用幾何畫板具體實例
1、《幾何畫板》：繪製三角形內接矩形的面積函數圖像
2、《幾何畫板》：求過兩點的直線方程
3、《幾何畫板》：驗證兩點間距離公式
4、《幾何畫板》：繪製分段函數的圖像
5、《幾何畫板》：繪製某區間內的函數圖像
6、《幾何畫板》：運用橢圓工具製作圓柱
7、《幾何畫板》：繪製四稜台
8、《幾何畫板》：繪製三稜柱
9、《幾何畫板》：繪製正方體
10、《幾何畫板》：繪製三角形的內切圓
11、《幾何畫板》：通過不在一條直線上的3點繪製圓
12、《幾何畫板》：給定半徑和圓心繪製圓
13、《幾何畫板》：繪製稜形
14、《幾何畫板》：繪製平行四邊形
15、《幾何畫板》：繪製等腰直角三角形
16、《幾何畫板》：旋轉體教學
17、《幾何畫板》：畫角度的箭頭
18、《幾何畫板》：“派生”關係進行軌跡教學板
19、《幾何畫板》：製作“橢圓”工具 20、《幾何畫板》：顯示圓和直線的位置關係
21、《幾何畫板》：研究圓切線的性質
22、《幾何畫板》：“垂徑定理”的教學
23、《幾何畫板》：證明三角形的中線交於一點
24、《幾何畫板》：驗證分割高線長定理
25、《幾何畫板》：證明三角形外心和重心的距離等於垂心與重心的距離的一半
26、《幾何畫板》：證明三角形內角和等於180度
27、《幾何畫板》：驗證三角形面積公式
28、《幾何畫板》：驗證勾股定理
29、《幾何畫板》：驗證正弦定理
30、《幾何畫板》：驗證圓弧的三項比值相等
31、《幾何畫板》：巧用Excel製作函數圖像
32、《幾何畫板》：繪製極座標系中的曲線函數圖像
33、《幾何畫板》：繪製帶參數的冪函數圖像
34、《幾何畫板》：繪製帶參數的正弦函數圖像
35、《幾何畫板》：繪製帶參數的拋物線函數圖像
36、《幾何畫板》：繪製帶參數的圓函數圖像
37、《幾何畫板》繪製帶參數直線函數圖像 《幾何畫板》：繪製三角形內接矩形的面積函數圖像
第1步，啟動幾何畫板，依次單擊“圖表”→“定義座標系”菜單命令，在操作區建立直角座標系。單擊工具箱上的“文本”工具，移動光標至圓點，當變成一隻小黑手時，單擊鼠標左鍵，然後再雙擊鼠標左鍵，將標籤修改為“A”。同法，給單位點加註標籤為“1”。
第2步，單擊工具箱上的“點”工具，在座標系第一象限繪製出任意一點，並用“文本”工具加註標籤為B。單擊工具箱上的“點”工具，移動光標至X軸上，當X軸呈現高亮度時，單擊鼠標左鍵，在X軸上繪製出一點，並用“文本”工具加註標籤為C。單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，選中點A、點B和點C，按快捷鍵“ctrl+L”，在操作區繪製出三角形ABC，如圖187所示。
第3步，單擊工具箱上的“點”工具，移動光標至線段AC上，當線段AC呈現高亮度時，單擊鼠標左鍵，繪製出一點，並用“文本”工具加註標籤為D。單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，單擊操作區空白處，釋放所選對象，然後選中點D和線段AC，依次單擊“構造”→“垂線”菜單命令，繪製出過點D的選段AC的垂線。單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，移動光標至線段AB和剛繪製的垂線上，當他們均呈現高亮度時，單擊鼠標左鍵，繪製出他們的交點，並加註標籤為E。單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，選中點E和線段AC，依次單擊“構造”→“平行線”菜單命令，繪製出過點E的線段AC的平行線。單擊工具箱上的“點”工具，移動光標至剛繪製的平行線和線段BC的交點處，當他們均呈現高亮度時，單擊鼠標左鍵，繪製出交點，並用“文本”工具，加註標籤為F。單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，選中點F和線段AC，依次單擊“構造”→“垂線”菜單命令，繪製出垂線，並用上述方法，繪製出與線段AC的交點G，如圖188所示。
第4步，單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，選中第3步中繪製的兩條垂線和一條平行線，按快捷鍵“ctrl+H”，隱藏它們。然後依次選中點D、點E、點F和點G，依次單擊“構造”→“四邊形內部”菜單命令，填充四邊形內部，如圖189所示。依次單擊“度量”→“面積”菜單命令，矩形DEFG的面積值顯示在操作區中。
第5步，單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，單擊操作區空白處，釋放所選對象，然後依次選中點D、點E、點F和點G，按快捷鍵“ctrl+L”，得到矩形DEFG，如圖190所示。
第6步，單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，單擊操作區空白處，釋放所選對象，然後選中點A和點D，依次單擊“度量”→“距離”菜單命令，操作區中顯示線段AD的長度度量值。選中操作區中顯示的兩個度量值，依次單擊“圖表”→“製表”菜單命令，操作區顯示一表格，如圖191所示。右鍵單擊表格，單擊“屬性”菜單項，彈出“屬性”對話框，單擊“表”選項卡，取消“在最後一行中跟蹤變化中的值”選項，如圖192所示，然後單擊“確定”按鈕。
第7步，拖動點D到一個新位置，雙擊表格，表格中增加一行。用同樣方法，不斷增加表格中的數據，直到如圖193所示。
第8步，單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，單擊操作區空白處，釋放所選對象，選中表格，依次單擊“圖表”→“繪製表中記錄”菜單命令，彈出“繪製表格數據圖像”對話框，單擊“X”按鈕下拉列表中的“AD”，如圖194所示，“Y”下拉列表中選擇“面積DEFG”，然後單擊“繪製”按鈕，操作區中繪製出一些點，如圖195所示。
第9步，拖動點D至一新位置，可看到操作區中的兩個度量值也發生變化，依次選中AD距離的度量值和矩形DEFG的面積度量值，依次單擊“圖表”→“繪製（X、Y）”菜單命令，繪製出一點，並加註標籤為R。單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，選中點R和點D，依次單擊“構造”→“軌跡”菜單命令，操作區中顯示圖像，如圖196所示。
第10步，在圖像處於被選中狀態下時，按住“shift”鍵，依次單擊“顯示”→“線型”→“粗線”命令，將函數圖像設置為粗線。並用“文本”工具增加説明性文字，並拖動到適當位置，如圖197所示。
第11步，依次單擊“文件”→“保存”菜單命令，保存文件
《幾何畫板》：求過兩點的直線方程
第1步，啟動幾何畫板，依次單擊“圖表”→“定義座標系”菜單命令，在操作區建立直角座標系。然後依次單擊“圖表”→“隱藏網格”菜單命令，隱藏座標系中的網格。單擊工具箱上的“文本”工具，移動光標至圓點，當變成一隻小黑手時，單擊鼠標左鍵，然後再雙擊鼠標左鍵，將標籤修改為“O”。同法，給單位點加註標籤為“1”。
第2步，單擊工具箱上的“直尺”工具，在操作區繪製出任意三角形，並用“文本”工具修改標籤為“A”、“B”、“C”。單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，選中點A和線段BC，依次單擊“構造”→“垂線”菜單命令，繪製出過點A垂直於線段BC的垂線。單擊工具箱上的“點”工具，移動光標至剛繪製的垂線與線段BC的交點處，當兩條線均呈現高亮度時，單擊鼠標左鍵，繪製出兩條線的交點，並用“文本”工具加註標籤為“D”，如圖181所示。
單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，單擊操作區空白處，釋放所選對象，然後選中線段BC的垂線，按快捷鍵“ctrl+H”，隱藏該垂線。然後選中點A和點D，按快捷鍵“ctrl+L”，繪製出線段AD。用同樣方法，繪製出線段AB的高CE，如圖182所示。
第3步，單擊工具箱上的“點”工具，移動光標至線段AD和線段CE的交點處，當兩條線段均呈現高亮度時，單擊鼠標左鍵，繪製出兩條線段的交點，並用“文本”工具，加註標籤為H。在點H處於選中狀態下時，依次單擊“度量”→“橫座標”菜單命令，點H的橫座標度量值顯示在操作區中，同樣方法，度量出點H的縱座標的度量值，如圖183所示。
第4步，單擊操作區空白處，釋放所選對象，然後選中點B和線段AC，依次單擊“構造”→“垂線”菜單命令，繪製出過點B的線段AC的垂線。單擊工具箱上的“點”工具，移動光標至剛繪製的垂線和線段AC的交點處，當兩條線均呈現高亮度時，單擊鼠標左鍵，繪製出兩條線的交點，並用“文本”工具加註標籤為F，如圖184所示。
第5步，單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，單擊操作區空白處，釋放所選對象，然後選中直線BF，依次單擊“度量”→“方程”菜單命令，操作區中顯示直線BF的方程式，如圖185所示。依次單擊“度量”→“計算”菜單命令，彈出“新建計算”對話框，將點H的橫座標值0.60代入直線方程，計算器上顯示如圖186所示的計算式，單擊“確定”按鈕，操作區顯示計算式及結果。觀察結果，可發現此結果與點H的縱座標值相等。
第6步，依次單擊“文件”→“保存”菜單命令，保存文件。《幾何畫板》：驗證兩點間距離公式
第1步，啟動幾何畫板，依次單擊“圖表”→“定義座標系”菜單命令，在操作區建立直角座標系。然後依次單擊“圖表”→“隱藏網格”菜單命令，隱藏座標系中的網格。單擊工具箱上的“文本”工具，移動光標至圓點，當變成一隻小黑手時，單擊鼠標左鍵，然後再雙擊鼠標左鍵，將標籤修改為“O”。同法，給單位點加註標籤為“1”。單擊工具箱上的“點”工具，在操作區任意繪製兩點，並用“文本”工具修改標籤為“A”和“B”，如圖176所示。
第2步，單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，選中點A和點B，依次單擊“度量”→“座標”菜單命令，操作區中顯示兩點的座標值。單擊操作區空白處，釋放所選對象，然後右鍵單擊點A，單擊“橫座標”，點A的橫座標值顯示在操作區中。同樣方法，度量點A的縱座標值，以及點B的橫座標和縱座標值。選中點A和點B。依次單擊“度量”→“座標距離”菜單命令，度量值顯示在操作區，如圖177所示。
第3步，選中操作區中的“XA=2.96”、“YA=0.95”、“XB=-2.17”和“YB=-1.56”，依次單擊“度量”→“計算”菜單命令，彈出“新建計算”對話框，依次單擊“函數”下拉列表中的“sqrt”、左括號“（”、左括號“（”、“數值”下拉列表中的“XA”、計算器上的減號“-”、“數值”下拉列表中的“XB”、右括號“）”、計算器上的平方號“∧”、數字“2”、計算器上的加號“+”、左括號“（”、“數值”下拉列表中的“YA”、計算器上的減號“-”、“數值”下拉列表中的“YB”、右括號“）”、計算器上的平方號“∧”、數字“2”，對話框中顯示計算式，如圖178所示，單擊“確定”按鈕，操作區中顯示計算結果，如圖179所示。並將其拖動到適當位置。
第4步，選中操作區中顯示的用兩點間距離公式計算的兩點間距離以及“AB=5.72”，依次單擊“圖表”→“製表”菜單命令，操作區中顯示一表格，如圖180所示。
第5步，單擊操作區空白處，釋放所選對象，然後拖動點A或點B，觀察兩組值的變化，比較他們是否相等。依次單擊“文件”→“保存”菜單命令，保存文件。《幾何畫板》：繪製分段函數的圖像
第1步，啟動幾何畫板，依次單擊“圖表”→“定義座標系”菜單命令，在操作區建立直角座標系。單擊工具箱上的“文本”工具，移動光標至圓點，當變成一隻小黑手時，單擊鼠標左鍵，然後再雙擊鼠標左鍵，將標籤修改為“O”，同樣方法，給單位點加註標籤為“A”。
第2步，單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，然後依次選中點A和點O，依次單擊“構造”→“射線”菜單命令，在操作區中繪製出射線AO，即為區間X≤1。然後單擊工具箱上的“點”工具，移動光標至X軸上，當X軸呈現高亮度時，在點A右邊作出任意一點B，按照上述方法，繪製出射線AB。然後再用“點”工具，分別在X軸上，點A的左邊和右邊分別繪製出點C和點D，如圖163所示。
第3步，單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，單擊操作區空白處，釋放所選對象，然後選中點C，依次單擊“度量”→“橫座標”菜單命令，度量值顯示在操作區中。選中操作區中顯示的度量值，依次單擊“數值”→“計算”菜單命令，彈出“計算器”對話框，依次單擊“數值”下拉列表中的“Xc”、計算器上的平方號、數字“2”，對話框中顯示計算式，如圖164所示，單擊“確定”按鈕，操作區中顯示計算式及結果。單擊操作區空白處，釋放所選對象，然後依次選中度量值“Xc=-1.75”和操作中顯示的另外一個計算值，依次單擊“圖表”→“繪製（X,y）”菜單命令，在操作區繪製出一點，並用“文本”工具加註標籤為“E”。依次選擇點C和點E，單擊“構造”→“軌跡”菜單命令，繪製出區間函數圖像，如圖165所示。
第4步，單擊操作區空白處，釋放所選擇對象，按照上述方法，度量出點D的橫座標值，依次單擊“度量”→“計算”菜單命令，單擊“數值”菜單的下拉列表中的“Xd”，然後單擊“確定”按鈕，操作區中顯示計算值。依次選中操作區中的兩個“Xd=2.22”，單擊“圖表”→“繪製（x,y）”菜單命令，繪製出一點，並用“文本”工具加註標籤為“F”。單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，依次選中點D和點F，單擊“構造”→“軌跡”菜單命令，繪製出區間內函數y=x的圖像，如圖166所示。
第5步，打開微軟的文字處理軟件Word，利用繪圖工具編輯輸入如圖167所示的公式，將此公式“複製”、“粘貼”到操作區空白處，如圖168所示。
第6步，依次單擊“文件”→“保存”菜單命令，保存文件。《幾何畫板》：繪製某區間內的函數圖像
第1步，啟動幾何畫板，依次單擊“圖表”→“定義座標系”菜單命令，在操作區建立直角座標系。然後依次單擊“圖表”→“隱藏網格”菜單命令，隱藏座標系中的網格。單擊工具箱上的“文本”工具，移動光標至圓點，當變成一隻小黑手時，單擊鼠標左鍵，然後再雙擊鼠標左鍵，將標籤修改為“O”。同法，給單位點加註標籤為“1”。
第2步，單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，單擊操作區空白處，釋放所選對象。依次單擊“圖表”→“繪製點”菜單命令，彈出“繪製點”對話框，按照圖143所示輸入數據，單擊“繪製”按鈕，操作區顯示一點。繼續在對話框中輸入數據，如圖144所示，單擊“確定”操作區中又顯示一點。單擊工具箱上的“文本”工具，移動光標至繪製的第一點上，當光標變成小黑手時，雙擊鼠標左鍵，彈出如圖145所示的對話框，按照圖所示，在標籤欄裏輸入“π”，然後單擊“確定”按鈕。同樣方法，在第二個繪製點上加註標籤“-π”。
第3步，單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，選中點π和點-π，按快捷鍵“ctrl+L”，繪製出兩點間的線段。
第4步，單擊工具箱上的“點”工具，移動光標至線段上，當線段呈現高亮度時，單擊鼠標左鍵，在線段上繪製出任意一點，並用“文本”工具，加註標籤為E。依次單擊“度量”→“橫座標”菜單命令，度量點E的橫座標值，然後依次單擊“編輯”→“參數選項”菜單命令，彈出“參數選項”對話框，選擇“單位”選項卡下拉列表中的“弧度”單位，如圖147所示，然後單擊“確定”按鈕。
第5步，單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，選中度量值，依次單擊“度量”→“計算”菜單命令，依次選擇計算器上的“2”、乘號“*”、“函數”下拉列表中的“sin”、計算器上的“1”、除號“÷”、數字“2”、“數值”下拉列表中的“XE”、計算器上的“+”、“數值”下拉列表中的“π”、計算器上的“÷”、數字“6”，這時對話框中顯示計算式，如圖148所示，單擊“確定”按鈕，操作區顯示計算結果。
第6步，選中操作區顯示的度量值和計算值，依次單擊“圖表”→“繪製（X，Y）”菜單命令，繪製出一點，並用“文本”工具加註標籤F。單擊工具箱上的“選擇鍵頭”工具，依次選中點E和點F，依次單擊“構造”→“軌跡”菜單命令，繪製出函數在區間內的圖像，如圖149所示。
第7步，單擊操作區空白處，釋放所選對象，然後選中（π、0）和（-π、0）兩個點以及X軸，依次單擊“構造”→“垂線”菜單命令，繪製出X軸的兩條垂線，然後按住“shift”鍵，單擊“顯示”→“線型”→“虛線”菜單命令，設置垂線為虛線，如圖150所示。
第8步，依次單擊“文件”→“保存”菜單命令，保存文件。《幾何畫板》：運用橢圓工具製作圓柱
第1步，啟動幾何畫板，打開“課件實例12”所作的橢圓工具。依次單擊“文件”→“新畫板”菜單命令，建立新文件。單擊工具箱上的“自定義工具”，在其下級菜單中單擊“畫橢圓”→“畫橢圓”工具，在操作區拖動光標，繪製出大小合適的橢圓。
第2步，單擊工具箱中的“選擇箭頭”工具，選中除橢圓外所有點。然後依次單擊“顯示”→“隱藏”菜單命令，隱藏這些點。單擊工具箱上的“點”工具，移動光標至橢圓上，當光標呈現高亮度時，單擊鼠標左鍵，繪製出橢圓上的任意一點，單擊“文本”工具，修改標籤為“F”。
第3步，單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，選中點F，依次單擊“變換”→“平移”菜單命令，彈出平移對話框，如圖51所示，按圖51中參數值輸入數據，單擊“平移”按鈕，繪製出點F平移6釐米的點F'。選中點F和點F'，按快捷鍵“ctrl+L”，作出線段FF'。
第4步，單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，選中點F'和點F'，依次單擊“構造”→“軌跡”菜單命令，繪製出點F'的軌跡。同法選中點F和線段FF'，依次單擊“構造”→“軌跡”菜單命令，繪製出橢圓側面，如圖52所示。選中上下底面橢圓，按住“shift”鍵，依次單擊“顯示”→“線型”菜單命令，選中“線型”菜單的下級菜單“粗線”，使上下地面均為“粗線”。同法在“顯示”→“顏色”菜單的下級菜單中選擇“紅色”，如圖53所示。
第5步，增加説明性文字。單擊工具箱上的“文本”工具，在操作區內空白處劃出一個矩形框，輸入“用橢圓工具作圓柱”，在文本工具欄中修飾字體即可，如圖54所示。
第6步，依次單擊“文件”→“保存”菜單命令，保存此文件。
《幾何畫板》：繪製四稜台
第1步，啟動幾何畫板，單擊工具箱上的“直尺”工具，按照“實例10”中的“第1步”的方法，在操作區繪製出四邊形ABCD，如圖37所示。
第2步，單擊工具箱上的“點”工具，在四邊形ABCD的上方單擊鼠標左鍵，作出一點E。單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，選中點E，依次單擊“變換”→“標記中心”菜單命令，標記點E為中心點。
第3步，按住鼠標左鍵不放，在操作區中拉出一個足夠大的虛線框框住四邊形ABCD的所有對象，如圖39所示。依次單擊“變換”→“縮放”菜單命令，彈出縮放對話框，設置參數如圖37所示，單擊“縮放”按鈕，即可作出四邊形A'B'C'D'。
第4步，單擊操作區空白處釋放被選擇對象，選中點A和點A'，按快捷鍵“ctrl+L”，繪製出線段AA'。同法繪製線段BB'、線段CC'和線段DD'，如圖40所示。
第5步，選中線段AD、DC、CB、DD'、CC'，按住“shift”鍵不放，依次單擊“顯示”→“線型”菜單命令，移動光標至“線型”菜單的下級菜單“虛線”處單擊鼠標左鍵，把線段線型設置為虛線，如圖41所示。
第6步，根據需要按照“實例9”中的方法，可添加説明性文字。依次單擊“文件”→“保存”菜單命令，保存此文件。
《幾何畫板》：繪製三稜柱
第1步，啟動幾何畫板，單擊工具箱上的“直尺”工具，按住“shift”鍵不放，在操作區作出一條水平線段AB。移動光標至點A上方，當光標呈現高亮度時，按住鼠標左鍵不放，拖動光標作出點B。同法將點A和點B連接，作出三角形ABC，如圖34所示。
第2步，單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，選中三角形的3條邊以及3個頂點。依次單擊“變換”→“平移”菜單命令，彈出平移對話框，如圖35所示，按圖中所示輸入數據，然後點擊“平移”按鈕，即可得到三角形A'B'C'。
第3步，單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，單擊操作區空白處，釋放所選對象。然後選中點A和點A'，按快捷鍵“ctrl+L”，作出線段AA'。同法作出線段BB'和線段CC'。
第4步，選中線段AB，按住“shift”鍵不放，依次單擊“顯示”→“線型”菜單命令，單擊“線型”菜單的下級菜單“虛線”命令，把線段AB的線型設置成虛線，如圖36所示。
第5步，根據需要按照“實例9”中的方法，可添加説明性文字。依次單擊“文件”→“保存”菜單命令，保存此文件。
《幾何畫板》：繪製正方體
第1步，啟動幾何畫板，單擊工具箱上的“直尺”工具，按住“shift”鍵不放，在操作區作出一條水平線段AB。
第2步，單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，選中點A，依次單擊“變換”→“標記中心”菜單命令，將點A標記為中心點。選中點B和線段AB，依次單擊“變換”→“旋轉”菜單命令，彈出對話框，在“固定角度”框種填入“90.0”度，單擊“旋轉”，即可得到線段AB旋轉90.0度後的線段AB'，如圖28所示。單擊工具箱上“文本”工具，改標籤“B'”為“D”。用同樣方法，以點D為中心點旋轉AD，作出線段DC。選中點C和點B，按快捷鍵“ctrl+L”，作出線段CB，即得到正方形ABCD的前側面，如圖29所示。
第3步，移光標至點A，雙擊鼠標左鍵，標記中心點。同時選中線段AB和點B，依次單擊“變換”→“旋轉”菜單命令，在對話框“固定角度”框中填入“45”度，單擊“旋轉”按鈕，作出線段AB按逆時針旋轉45度的線段AB'。選中線段AB和點B，依次單擊“變換”“縮放”菜單命令，彈出對話框，如圖30。按圖30中所示設置參數後，單擊“確定”按鈕，作出線段AB'縮小一半的線段AB''，如圖31所示。
第4步，單擊工具箱上的“文本”工具，將標前“B''”改為“A'”。單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，選中線段AB'和點B'，依次單擊“顯示”→“隱藏”菜單命令，將其隱藏。
第5步，同樣方法，以點B為中心點，將線段BC和點C旋轉-45度，並將旋轉後的線段縮小一半，繪製出線段BB'，同理形成這樣的圖形，如圖32所示。
第6步，單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，選中點A'、點B'、點C'、點D'，按快捷鍵“ctrl+L”，作出正方體的後側面。即得到正方體，如圖33所示。
第7步，根據需要按照“實例9”中的方法，可添加説明性文字。依次單擊“文件”→“保存”菜單命令，保存此文件。《幾何畫板》：繪製三角形的內切圓
第1步，啟動幾何畫板，單擊工具箱上的“直尺”工具，按住“shift”鍵不放，在操作區作出一條水平線段AB。當光標在點B處呈現高亮度時，單擊鼠標左鍵不放，移動光標至另一處，作出線段BC。同法繼續移動鼠標，畫出三角形ABC，如圖24所示。
第2步，單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，單擊操作區空白處釋放被選對象。然後先後選中點C、點A和點B，依次單擊“構造”→“角平分線”菜單命令，繪製出角CAB的平分線。單擊工具箱上的“文本”工具，標註角分線標籤為j。同法作出角ABC的角分線k，單擊工具箱上的“點”工具，在兩條角分線的交點處單擊鼠標左鍵，作出交點D。
第3步，單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，選中點D和線段AB，依次單擊“構造”→“垂線”菜單命令，作出過點D的線段AB的垂線，如圖25所示。單擊工具箱上的“點”工具，移動光標至垂線l和線段AB的交點處，當光標呈現高亮度時，單擊鼠標左鍵，作出交點E。
第4步，單擊操作區空白處，釋放被選中對象，先後選中點D和點E，單擊“構造”→“以圓心和圓周上的點繪圓”菜單命令，作出以點D為圓心經過點E的圓，即三角形ABC的內切圓，標註標籤為C1，如圖26所示。
第5步，選中圓C1，按住“shift”鍵，及時單擊“顯示”→“線型”菜單項，移動光標至“線型”菜單的下級菜單“粗線”處單擊鼠標左鍵，內切圓線型改為粗線。
第6步，在圓C1被選中狀態下，按住“shift”鍵，及時單擊“顯示”→“顏色”菜單項，移動光標至“顏色”菜單下的“紅色”處單擊鼠標左鍵，把圓的顏色設置為紅色。
第7步，增加説明性文字。單擊工具箱上的“文本”工具，在操作區空白處拖動鼠標畫出一個矩形框，進入文本編輯狀態，鍵入“三角形的內切圓”，可通過框下放工具欄直接改變文本中字體的大小、粗細等，如圖27所示。
第8步，依次單擊“文件”→“保存”菜單命令，保存此文件。《幾何畫板》：通過不在一條直線上的3點繪製圓
第1步，啟動幾何畫板，單擊工具箱上的“點”工具，按住“shift”鍵不放，作出不在一條直線上的3個點，即點A、點B和點C。在3點都處於被選中狀態下時，依次單擊“構造”→“線段”菜單命令，作出三角形ABC。
第2步，單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，依次選中線段AB和線段AC，依次單擊“構造”→“中點”菜單命令，作出兩條線段的中點，即點D和點E，如圖16所示。
第3步，單擊操作區空白處釋放所選對象，然後選中線段AB和中點D，依次單擊“構造”→“垂線”菜單命令，作出線段AB的中垂線。同法作出線段AC的中垂線。
第4步，單擊工具箱上的“點”工具，移動光標至兩條中垂線的交點處，當光標呈現高亮度時單擊鼠標左鍵，作出兩條中垂線的交點F，如圖17所示。
第5步，單擊工具箱上的“文本”工具，移動光標至標籤F上，雙擊鼠標左鍵，出現“交點F的屬性”對話框，改標籤欄中的“F”為“O”，單擊“確定”按鈕即可。
第6步，單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，選中點O和三角形3個頂點中任意一點，依次單擊“構造”→“以圓心和圓周上的點繪圓”菜單命令，作出過3點的圓，如圖18所示。
第7步，單擊操作區空白處釋放所選對象，然後選中線段AB、線段BC、線段AC、點D、點E以及兩條中垂線，依次單擊“顯示”→“隱藏”菜單命令，隱藏選對象，如圖19所示。
第8步，依次單擊“文件”→“保存”菜單命令，保存此文件（你可以任意拖動圓上的3個點改變圓的大小）。《幾何畫板》：給定半徑和圓心繪製圓
第1步，啟動幾何畫板，單擊工具箱上的“直尺”工具，按住“shift”鍵不放，作一水平線段AB。單擊工具箱上的“文本”工具，移動光標至線段AB上，當光標圖形由一隻“小白手”變為“小黑手”時，單擊鼠標左鍵，顯示線段的標籤為j。單擊鼠標左鍵不放，拖動標籤j至合適位置釋放鼠標，如圖14所示。
第2步，單擊工具箱上的“點”工具，在線段j外任意繪製一點C。單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，同時選中線段j和點C，依次單擊“構造”→“以圓心和半徑繪圓”菜單命令，繪製出一圓。
第3步，單擊工具箱上的“文本”工具，移動光標至圓上，當光標圖形由“小白手”變為“小黑手”時，單擊鼠標左鍵，顯示圓的標籤C1，如圖15所示。
第4步，依次單擊“文件”→“保存”菜單命令，保存此文件（你可拖動線段j的端點改變圓的大小）。
《幾何畫板》：繪製稜形
第1步，啟動幾何畫板，單擊工具箱上的“圓規”工具，拖動光標畫一圓A，其中點B為圓上一點，如圖7所示。
第2步，單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，單擊操作區空白處釋放所有被選對象，選中點A和點B，按快捷鍵“ctrl+L”，作線段AB。單擊工具箱上的“點”工具，拖動光標至圓A呈現高亮度時單擊鼠標左鍵作任意一點C，用上述方法作線段AC。
第3步，單擊操作區空白處釋放被選對象，然後選擇點C和線段AB，依次單擊“構造”→“平行線”菜單命令。同法作過點B的線段AC的平行線。
第4步，單擊工具箱上的“點”工具，拖動光標至兩條平行線呈現高亮度時，單擊鼠標左鍵得到點D，如圖8所示。
第5步，單擊操作區空白處釋放被選對象，然後選擇平行線CD、BD，依次單擊“顯示”→“隱藏”菜單命令，隱藏被選擇對象。然後選中點C和點D，按快捷鍵“Ctrl+L”，作線段CD。同法作線段DB，如圖9所示。
第6步，單擊工具箱上的“文本”工具，拖動光標至點C，當光標圖形變為一隻“小黑手”時，雙擊鼠標左鍵，彈出“點C的屬性”對話框，修改標籤欄中的“C”為“D”即可。同法修改另外的“D”為“C”。
第7步，單擊工具箱上的“選擇箭頭”工具，單擊操作區空白處釋放被選對象，然後選中圓A，依次
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