《拋物線的簡單幾何形狀》教學設計

一、學習目標

1.瞭解拋物線的幾何圖形及簡單幾何性質．

2.通過拋物線方程的學習，進一步體會數形結合的思想，瞭解拋物線的簡單應用.

二、學習重點、難點

重點：掌握拋物線的幾何性質

難點：體會數形結合的思想

三、學習過程

知識點一：拋物線的幾何性質

預習課本P134～137，思考並完成以下問題

（A級 3分）拋物線有哪些幾何性質？

知識點 拋物線的簡單幾何性質

（A級 3分）在同一座標系下試畫出拋物線y2＝x，y2＝2x和y2＝3x的圖象，你能分析影響拋物線開口大小的量是什麼嗎？

題型一 拋物線方程及其幾何性質

（A級 5分）【例1】已知拋物線y2＝8x.求出該拋物線的頂點、焦點、準線、對稱軸、自變量x的範圍．

（A級 5分）練習2.以x軸為對稱軸，通徑長為8，頂點為座標原點的拋物線方程是()

A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y

（B級 5分）練習3.邊長為1的等邊三角形AOB，O為座標原點，AB⊥x軸，以O為頂點且過A，B的拋物線方程是()

A．y2＝6(3)x B．y2＝－3(3)xC．y2＝±6(3)xD．y2＝±3(3)x

（A級 4分）【例4】已知拋物線的頂點為座標原點，對稱軸為x軸，且與圓x2＋y2＝4相交的公共弦長為2，求拋物線的方程．

知識點二 直線與拋物線的位置關係

直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p>0)的交點個數決定於關於x的方程組y2＝2px(y＝kx＋b，)解的個數，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的個數．

當k≠0時，若Δ>0，則直線與拋物線有個不同的公共點；

若Δ＝0，直線與拋物線有 個公共點；

若Δ<0，直線與拋物線公共點．

當k＝0時，直線與拋物線的軸平行或重合，此時直線與拋物線有個公共點．

題型二 直線與拋物線位置關係的判斷

（B級 6分）【例5】已知直線l：y＝kx＋1，拋物線C：y2＝4x，當k為何值時，l與C：只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點．

題型三 中點弦問題

知識點 “中點弦”問題解題方法

（B級 4分）【例6】過點Q(4,1)作拋物線y2＝8x的弦AB，恰被點Q所平分，求AB所在直線的方程．

知識點三 焦點弦問題及常用結論

1．焦點弦

直線過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F，與拋物線交於A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，由拋物線的定義知，|AF|＝x1＋2(p)，|BF|＝x2＋2(p)，故|AB|＝ .

2．已知AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的弦，F為拋物線的焦點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：

(1)y1y2＝－p2，x1x2＝4(p2)；

|AB|＝x1＋x2＋p＝sin2θ(2p)(θ為直線AB的傾斜角)；

(3)S△ABO＝2sin θ(p2)(θ為直線AB的傾斜角)；

(4)|AF|(1)＋|BF|(1)＝p(2)；

(5)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切．

3．當直線經過拋物線的焦點，且與拋物線的對稱軸垂直時，直線被拋物線截得的線段稱為拋物線的通徑，顯然通徑長等於2p.

題型四：拋物線常用結論的應用

（B級 4分）【例7】過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線於A，B兩點，且A，B兩點的縱座標之積為－4，求拋物線C的方程．