八年級幾何證明題
1、
已知：如圖，在△abc中，ad⊥bc，垂足為d，be⊥ac，垂足為e。m為ab中點，聯結me,md、ed
求證：角emd=2角dac
證明：
∵m為ab邊的中點，ad⊥bc，be⊥ac，∴md=me=ma=mb（斜邊上的中線=斜邊的一半）∴△med為等腰三角形∵me=ma
∴∠mae=∠mea∴∠bme=2∠mae∵md=ma
∴∠mad=∠mda,∴∠bmd=2∠mad,∵∠emd=∠bme-∠bmd=2∠mae-2∠mad=2∠dac
2、
如圖，已知四邊形abcd中，ad=bc,e、f分別是ab、cd中點，ad、bc的延長線與ef的延長線交於點h、d
求證：∠ahe=∠bge
證明：連接ac，作em‖ad交ac於m，連接mf.如下圖：
∵e是cd的中點，且em‖ad，
∴em=1/2ad，m是ac的中點，又因為f是ab的中點
∴mf‖bc，且mf=1/2bc.
∵ad=bc，
∴em=mf，三角形mef為等腰三角形，即∠mef=∠mfe.
∵em‖ah，∴∠mef=∠ahf
∵fm‖bg，∴∠mfe=∠bgf
∴∠ahf=∠bgf.
3、
寫出“等腰三角形兩底角的平分線相等”的逆命題，並證明它是一個真命題
這是經典問題，證明方法有很多種，對於八年級而言，
下面的反證法應該可以接受
如圖，已知bd平分∠abc,ce平分∠acb,bd=ce,求證:ab=ac
證明:
bd平分∠abc==>be/ae=bc/ac==>be/ab=bc/(bc+ac)
==>be=ab*bc/(bc+ac)
同理:cd=ac*bc/(bc+ab)
假設ab≠ac,不妨設ab>ac.。.。.(*)
ab>ac==>bc+acac*bc
==>ab*ab/(bc+ac)>ac*bc/(bc+ab)
==>be>cd
ab>ac==>∠acb>∠abc
∠bec=∠a+∠acb/2,∠bdc=∠a+∠abc/2
==>∠bec>∠bdc
過b作ce平行線，過c作ab平行線，交於f,連df
則becf為平行四邊形==>∠bfc=∠bec>∠bdc.。.。.(1)
bf=ce=bd==>∠bdf=∠bfd
cf=be>cd==>∠cdf>∠cfd
==>∠bdf+∠cdf>∠bfd+∠cfd==>∠bdc>∠bfc.。.(2)
（1)(2)矛盾，從而假設(*）不成立
所以ab=ac。
2、
兩地角的平分線相等，為等腰三角形
作三角形abc,cd,be為角c,b的角平分線，交於ab,be.兩平分線交點為o
連結de,即de平行bc，所以三角形doc與cob相似。
有do/dc=eo/eb,又eb=dc所以do=eo,三角形cob為等腰
又角ode=ocb=oed=obc
又因為be和dc是叫平分線，所以容易得出角c=角b（這個打出來太麻煩了），即abc為等腰。
如何做幾何證明題
１、幾何證明是平面幾何中的一個重要問題，它對提高學生學生邏輯思維能力有着很大作用。幾何證明有兩種基本類型；一是平面圖形的數量關係；二是有關平面圖形的位置關係。這兩類問題常常可以相互轉化，如證明平行關係可轉化為證明角等或角互補的問題。
２、掌握分析、證明幾何問題的常用方法：
（１）綜合法：從已知條件出發，通過有關定義、性質、識別條件、事實的應用，逐步向前推進，直到問題的解決。
（２）分析法：從證明的問題考慮，推導使其成立需要具備的條件，然後再把所需的條件看成要證明的結論繼續往回推導，如此逐步往上逆求，直到已知條件為止。
時，可合併使用，靈活處理，以利於縮短已知與求證的距離，最後達到證明目的。
３、掌握構造基本圖形的方法：複雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善於將複雜圖形分解成基本圖形，在更多時候需要構造基本圖形，在構造基本圖形時往往需要添加輔助線，以達到集中條件，轉化問題的目的。
（1） 如圖，在三角形abc中，bd,ce是高，fg分別為ed,bc的中點，o是外心，求證ao∥fg 問題補充：
證明:延長ao,交圓o於m,連接bm,則:∠abm=90°，且∠m=∠acb.
∠aec=∠adb=90°，∠eac=∠dab,則⊿aec∽⊿adb,ae/ad=ac/ab;
又∠ead=∠cab,則⊿ead∽⊿cab,得∠aed=∠acb=∠m.
∴∠aed+∠bam=∠m+∠bam=90°，得ao⊥de.---------------------------------------(1)
連接dg,eg.點g為bc的中點，則dg=bc/2;（直角三角形斜邊的中線等於斜邊的一半） 同理可證:eg=bc/2.故dg=eg.
又f為de的中點，則fg⊥de.（等腰三角形底邊的中線也是底邊的高）-----------------(2) 所以，ao∥fg.
（2） 已知梯形abcd中，對角線ac與腰bc相等，m是底邊ab的中點，l是邊da延長線上一點連接lm並延長交對角線bd於n點
延長lm至e，使lm＝me。
∵am＝mb，lm＝me，∴albe是平行四邊形，∴al＝be，al∥eb，∴ln/en＝dn/bn。
延長cn交ab於f，令lc與ab的交點為g。。
∵ab是梯形abcd的底邊，∴bf∥cd，∴cn/fn＝dn/bn。
由ln/en＝dn/bn，cn/fn＝dn/bn，得：ln/en＝dn/bn，∴lc∥fe，∴∠glm＝∠feb。
由al∥eb，得：∠lag＝∠ebf，∠alm＝∠bem。
由∠alm＝∠bem，∠glm＝∠feb，得：∠alm－∠glm＝∠bem－∠feb，
∴∠alg＝∠bef，結合證得的∠lag＝∠ebf，al＝be，得：△alg≌△bef，∴ag＝bf。
∵ac＝bc，∴∠cag＝∠cbf，結合證得的ag＝bf，得：△acg≌△bcf，∴acl＝∠bcn。
（3） 如圖，三角形abc中，d,e分別在邊ab,ac上且bd=ce,f,g分別為be,cd的中點，直線fg交
ab於p,交ac於q.求證:ap=aq
取bc中點為h
連接hf,hg並分別延長交ab於m點，交ac於n點
由於h，f均為中點
易得：
hm‖ac,hn‖ab
hf=ce/2,hg=bd/2
得到：
∠bmh=∠a
∠cnh=∠a
又：bd=ce
於是得：
hf=hg
在△hfg中即得：
∠hfg=∠hgf
即：∠pfm=∠qgn
於是在△pfm中得：
∠apq=180°-∠bmh-∠pfm=180°-∠a-∠qgn
在△qng中得：
∠aqp=180°-∠cnh-∠qgn=180°-∠a-∠qgn
即證得：
∠apq=∠aqp
在△apq中易得到： ap=aq
（4） abcd為圓內接凸四邊形，取△dab，△abc，△bcd，△cda的內心o，o，o，o．求證：oooo為矩形． 1234
1234
已知鋭角三角形abc的外接圓o，過b,c作圓的切線交於e，連結ae，m為bc的中點。求證角bam=角eac。
設點o為△abc外接圓圓心，連接op；
則o、e、m三點共線，都在線段bc的垂直平分線上。
設am和圓o相交於點q，連接oq、ob。
由切割線定理，得：mb2 = q·ma ；
由射影定理，可得：mb2 = me·mo ；
∴mq·ma = me·mo ，
即mq∶mo = me∶ma ；
又∵ ∠omq = ∠ame ，
∴△omq ∽ △am(推薦打開範文網e ，
可得：∠moq = ∠mae 。
設om和圓o相交於點d，連接ad。
∵弧bd = 弧cd ，
∴∠bad = ∠cad 。
∵∠daq = (1/2)∠moq = (1/2)∠mae ，
∴∠dae = ∠mae - ∠daq = (1/2)∠mae = ∠daq 。
∴∠bae = ∠bad - ∠dae = ∠cad - ∠daq = ∠cam 。
設ad、be、cf是△abc的高線，則△def稱為△abc的垂足三角形，證明這些高線平分垂足三角形的內角或外角 設交點為o，
oe⊥ec，od⊥dc，
則cdoe四點共圓，
由圓周角定理，
∠ode=∠oce。
cf⊥fc，ad⊥dc，
則acdf四點共圓，
由圓周角定理，
∠adf=∠acf=∠oce=∠ode，
ad平分∠edf。
其他同理。
平行四邊形內有一點p，滿足角pab=角pcb，求證：角pba=角pda
過p作ph//da，使ph=ad，連結ah、bh
∴四邊形ahpd是平行四邊形
∴∠pha=∠pda，hp//=ad
∵四邊形abcd是平行四邊形
∴ad//=bc
∴hp//=bc
∴四邊形phbc是平行四邊形
∴∠phb=∠pcb
又∠pab=∠pcb
∴∠pab=∠phb
∴a、h、b、p四點共圓
∴∠pha=∠pba
∴∠pba＝∠pda
補充：
補充：
把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，
若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓．
已知點o為三角型abc在平面內的一點，且向量oa2+bc2=ob2+ca2=oc2+ab2,，則o為三角型abc的（）
只説左邊2式子 其他一樣
oa2+bc2=ob2+ca2 移項後平方差公式可得
(oa+ob)(oa-ob)=(ca+bc)(ca-bc)化簡
得 ba(oa+ob)=ba(ca-bc)
移項併合並得ba(oa+ob+bc-ca)=0
即 ba*2oc=0 所以ba和oc垂直
同理ac垂直bo bc垂直ao哈哈啊是垂心
設h是△abc的垂心，求證：ah2+bc2=hb2+ac2=hc2+ab2．
作△abc的外接圓及直徑ap．連接bp．高ad的延長線交外接圓於g，連接cg． 易證∠hcb=∠bcg，
從而△hcd≌△gcd．
故ch=gc．
又顯然有∠bap=∠dac，
從而gc=bp．
從而又有ch2+ab2=bp2+ab2=ap2=4r2．
同理可證ah2+bc2=bh2+ac2=4r2．
2014幾何證明
1、（2014年普通高等學校招生統一考試重慶數學（理）試題（含答案））如圖，在
abc
中，？c?900
，？a?600,ab?20,過c作abc的外接圓的切線cd,bd?cd,bd與外接
圓交於點e,則de的長為_____
_____
2、（2014年普通高等學校招生統一考試天津數學（理）試題（含答案））如圖， △abc為圓的內接三角形，
bd為圓的弦， 且bd//ac. 過點a 做圓的切線與db的延長線交於點e, ad與bc交於點f. 若ab =
ac, ae = 6, bd = 5, 則線段cf的長為
______.
3、（2014年普通高等學校招生統一考試廣東省數學（理）卷（純word版））（幾何證明選講選做題）如圖，ab
是圓o的直徑，點c在圓o上，延長bc到d使bc?cd,過c作圓o的切線交ad於e.若
ab?6,ed?2,則bc?_________.
e
第15題圖
4、（2014年大學聯考四川卷（理））設p1,p2,
，pn為平面？內的n個點，在平面？內的所有點中，若點p到
p1,p2,
，pn點的距離之和最小，則稱點p為p1,p2,，pn點的一個“中位點”。例如，線段ab上
的任意點都是端點a,b的中位點。則有下列命題:
①若a,b,c三個點共線，c在線ab上，則c是a,b,c的中位點；[來源:學#科#網] ②直角三角形斜邊的點是該直角三角形三個頂點的中位點； ③若四個點a,b,c,d共線，則它們的中位點存在且唯一； ④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點。
其中的真命題是____________.（寫出所有真命題的序號數學社區）
5、（2014年大學聯考陝西卷（理））b. （幾何證明選做題） 如圖， 弦ab與cd相交於o內一點e, 過e作
bc的平行線與ad的延長線相交於點p. 已知pd=2da=2, 則pe=_____.
6、
（2014年大學聯考湖南卷（理））如圖2,o中，弦ab,cd相交於點
p,pa?pb?
2,pd?1,則圓心o到弦cd的距離為____________.
7、（2014年大學聯考湖北卷（理））如圖，圓o上一點c在直線ab上的射影為d,點d在半徑oc上的射
影為e.若ab?3ad,則ce
eo
的值為___________. c
a
b
第15題圖
8、（2014年大學聯考北京卷（理））如圖，ab為圓o的直徑，pa為圓o的切線，pb與圓11.修4-1:幾何證明選講]本小題滿分10分。
如圖，ab和bc分別與圓o相切於點d,c,ac經過圓心o,且bc?2oc o相交於d.若pa=3,pd：db?9：16,則pd=_________;ab=___________.
求證:ac?2ad[來源:學。科。網]
9、選修4—1幾何證明選講:如圖，cd為△abc外接圓的切線，ab的延長線交直線cd於點
d,e,f分別為弦ab與弦ac上的點，且bc?ae?dc?af,b,e,f,c四點共圓。
(ⅰ)證明:ca是△abc外接圓的直徑；
(ⅱ)若db?be?ea,求過b,e,f,c四點的圓的面積與△abc外接圓面積的比值。
10、選修4-1:幾何證明選講
如圖，ab為o直徑，直線cd與o相切於垂直於cd於d，bc垂直於cd於
c，ef,垂直於f,連接ae,be.證明《本站·》:
(i)？feb?？ceb;(ii)ef2?adbc.
龍文教育浦東分校學生個性化教案
學生：錢寒鬆教師：周亞新時間：2010-11-27
學生評價◇特別滿意◇滿意◇一般◇不滿意
【教材研學】
一、命題
1．概念：對事情進行判斷的句子叫做命題．
2．組成部分：命題由題設和結論兩部分組成．每個命題都可以寫成“如果„„，那麼„„”的形式，“如果”的內容部分是題設，“那麼”的內容部分是結論．
3．分類：命題分為真命題和假命題兩種．判斷正確的命題稱為真命題，反之稱為假命題．驗證一個命題是真命題，要經過證明；驗證一個命題是假命題，可以舉出一個反例．
二、互逆命題
1．概念：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個
命題的結論是第二個命題的題設，那麼這兩個命題叫做互逆命題，其中一個叫做原命題，則另一個就叫做它的逆命題．
2．説明：
（1）任何一個命題都有逆命題，它們互為逆命題，“互逆”是指兩個命題之間的關係；
（2）把一個命題的題設和結論交換，就得到它的逆命題；
（3）原命題成立，它的逆命題不一定成立，反之亦然．
三、互逆定理
1．概念：如果一個定理的逆命題也是定理（即真命題），那麼這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理．
2．説明：
（1）不是所有的定理都有逆定理，如“對頂角相等”的逆命題是“如果兩個角相等，那麼這兩個角是對頂角”，這是一個假命題，所以“對頂角相等”沒有逆定理．
（2）互逆定理和互逆命題的關係：互逆定理首先是互逆命題，是互逆命題中要求更為嚴謹的一類，即互逆命題包含互逆定理．
所以∠C=∠C’=90°，即△ABC是直角三角形．
【點石成金】
例1． 指出下列命題的題設和結論，並寫出它們的逆命題．
（1）兩直線平行，同旁內角互補；
（2）直角三角形的兩個鋭角互餘；
（3）對頂角相等．
分析：解題的關鍵是找出原命題的題設和結論，然後再利用互逆命題的特徵寫出它們的逆命題．
（1）題設是“兩條平行線被第三條直線所截”，結論是“同旁內角互補”；逆命題是“如果兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補，那麼這兩條直線平行”．
（2）題設是“如果一個三角形是直角三角形”，結論是“那麼這個三角形的兩個鋭角互餘”；逆命題是“如果一個三角形中兩個鋭角互餘，那麼這個三角形是直角三角形”．
（3）題設是“如果兩個角是對頂角”，結論是“那麼這兩個角相等”；逆命題是“如果有兩個角相等，那麼它們是課題：幾何證明
對頂角”．
名師點金：當一個命題的逆命題不容易寫時，可以先把這個命題寫成“如果„„，那麼„„”的形式，然後再把題設和結論倒過來即可．
例2．某同學寫出命題“直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半”的逆命題是“如果一個三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形”，你認為他寫得對嗎？
分析：寫出一個命題的逆命題，是把原命題的題設和結論互換，但有時需要適當的變通，例如“等腰三角形的兩底角相等”的逆命題不能寫成“兩底角相等的三角形是等腰三角形”，因為我們還沒有判斷出是等腰三角形，所以不能有“底角”這個概念．
解：上面的寫法不對．原命題條件是直角三角形，斜邊是直角三角形的邊的特有稱呼，該同學寫的逆命題的條件中提到了斜邊，就已經承認了直角三角形，就不需要再得這個結論了．因此，逆命題應寫成“如果一個三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形”．
名師點金：在寫一個命題的逆命題時，千萬要注意一些專用詞的用法．
例3．如圖，在△ABD和△ACE中，有下列四個等式：① AB=AC；②AD=AE；③ ∠1=∠2；④BD=CE．請你以其中三個等式作為題設，餘下的作為結論，寫出一個真命題（要求寫出已知，求證及證明過程）
解：選①②③作為題設，④作為結論．
已知：如圖19—4—103，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．
求證：BD=CE,證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD．
即∠BAD=∠CAE．
在△BAD和△CAE中，AB=AC．∠BAD＝∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（S．A．S．）∴BD=CE．
名師點金：本題考查的是證明三角形的全等，但條件較為開放．當然，此題的條件還可以任選其他三個．
【練習】
1．“兩直線平行，內錯角相等”的題設是____________________，結論是_________________________
2．判斷：（1）任何一個命題都有逆命題．()
（2）任何一個定理都有逆定理．()
【升級演練】
一、基礎鞏固
1．下列語言是命題的是()
A．畫兩條相等的線段B．等於同一個角的兩個角相等嗎
C．延長線段AD到C，使OC=OAD．兩直線平行，內錯角相等
2．下列命題的逆命題是真命題的是()
A．直角都相等B．鈍角都小於180。
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C．如果x+y=0，那麼x=y=0D．對頂角相等
3．下列説法中，正確的是()
A．一個定理的逆命題是正確的B．命題“如果x0，那麼xy<0”的逆命題是正確的C．任何命題都有逆命題
D．定理、公理都應經過證明後才能用
4．下列這些真命題中，其逆命題也真的是()
A．全等三角形的對應角相等
B．兩個圖形關於軸對稱，則這兩個圖形是全等形
C．等邊三角形是鋭角三角形
D．直角三角形中，如果一個鋭角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半
5．證明一個命題是假命題的方法有__________．
6．將命題“所有直角都相等”改寫成“如果„„那麼„”的形式為___________。
7．舉例説明“兩個鋭角的和是鋭角”是假命題。
二、探究提高
8．下列説法中，正確的是()
A．每個命題不一定都有逆命題B．每個定理都有逆定理
c．真命題的逆命題仍是真命題D．假命題的逆命題未必是假命題
9．下列定理中，沒有逆定理的是()
A．內錯角相等，兩直線平行B．直角三角形中兩鋭角互餘
c．相反數的絕對值相等D．同位角相等，兩直線平行
三、拓展延伸
10．下列命題中的真命題是()
A．鋭角大於它的餘角B．鋭角大於它的補角
c．鈍角大於它的補角D．鋭角與鈍角之和等於平角
11．已知下列命題：①相等的角是對頂角；②互補的角就是平角；③互補的兩個角一定是一個鋭角，另一個為鈍角；④平行於同一條直線的兩直線平行；⑤鄰補角的平分線互相垂直．其中，正確命題的個數為()
A．0個B．1個C．2個D．3個
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