28、（本小題滿分10分）
如圖，在矩形abcd中，ab=8，ad=6，點p、q分別是ab邊和cd邊上的動點，點p從點a向點b運動，點q從點c向點d運動，且保持ap-cq。設ap=x
（1）當pq∥ad時，求x的值；
（2）當線段pq的垂直平分線與bc邊相交時，求x的取值範圍；
（3）當線段pq的垂直平分線與bc相交時，設交點為e，連接ep、eq，設△epq的面積為s，求s關於x的函數關係式，並寫出s的取值範圍。
21．（本小題滿分9分）
如圖，直線y?x?m與雙曲線y?
（1）求m及k的值； k相交於a（2，1）、b兩點． x?y?x?m,？（2）不解關於x、y的方程組？直接寫出點b的座標； ky?，？x?
（3）直線y?？2x?4m經過點b嗎？請説明理由．
（第21題）
28．（2014江蘇淮安，28，12分）如題28(a)圖，在平面直角座標系中，點a座標為(12，0)，點b座標為(6，8)，點c為ob的中點，點d從點o出發，沿△oab的三邊按逆時針方向以2個單位長度／秒的速度運動一週．
（1)點c座標是），當點d運動8.5秒時所在位置的座標是，)；
（2）設點d運動的時間為t秒，試用含t的代數式表示△ocd的面積s,並指出t為何值時，s最大；
（3）點e在線段ab上以同樣速度由點a向點b運動，如題28(b)圖，若點e與點d同時出發，問在運動5秒鐘內，以點d，a，e為頂點的三角形何時與△ocd相似（只考慮以點a．o為對應頂點的情況）：
題28(a)圖題28(b)圖
（10江蘇南京）21.（7分）如圖，四邊形abcd的對角線ac、bd相較於點o，△abc≌△bad。 求證：（1）oa=ob；（2）ab∥cd.
（10江蘇南京）28.（8分）如圖，正方形abcd的邊長是2，m是ad的中點，點e從點a
出發，沿ab運動到點b停止，連接em並延長交射線cd於點f，過m作ef的垂線交射線bc於點g，連結eg、fg。
（1）設ae=x時，△egf的面積為y，求y關於x的函數關係式，並寫出自變量x的取值範圍；
（2）p是mg的中點，請直接寫出點p的運動路線的長。
23．（本題8分）如圖，在△abc中，d是bc邊的中點，e、f分別在ad及其延長線上，∥bf，連接be、cf．
（1）求證：△bdf≌△cde；
（2）若ab=ac，求證：四邊形bfce是菱形．
ce
27．（本題8分）如圖①，將邊長為4cm的正方形紙片abcd沿ef摺疊（點e、f分別在邊ab、cd上），使點b落在ad邊上的點 m處，點c落在點n處，mn與cd交於點p， 連接ep．
（1）如圖②，若m為ad邊的中點，
①，△aem的周長=_____cm；
②求證：ep=ae+dp；
（2）隨着落點m在ad邊上取遍所有的位置（點m不與a、d重合），△pdm的周長是否發生變化？請説明理由．
27．（本題滿分12分）如圖1所示，在直角梯形abcd中，ad∥bc，ab⊥bc，∠dcb=75o，
以cd為一邊的等邊△dce的另一頂點e在腰ab上． （1）求∠aed的度數；
（2）求證：ab=bc；
（3）如圖2所示，若f為線段cd上一點，∠fbc=30o．
df求 fc 的值．
圖1 e c
e 圖2 c
學習總結：會考幾何題證明思路總結
幾何證明題重點考察的是學生的邏輯思維能力，能通過嚴密的“因為”、“所以”邏輯將條件一步步轉化為所要證明的結論。這類題目出法相當靈活，不像代數計算類題目容易總結 出固定題型的固定解法，而更看重的是對重要模型的總結、常見思路的總結。所以本文對會考中最常出現的若干結論做了一個較為全面的思路總結。
一、證明兩線段相等
1、兩全等三角形中對應邊相等。
2、同一三角形中等角對等邊。
3、等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。
4、平行四邊形的對邊或對角線被交點分成的兩段相等。
5、直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。
6、線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。
7、角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。
8、過三角形一邊的中點且平行於第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。
9、同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。
10、圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內垂直於直徑的弦被直徑分成的兩段相等。
11、兩前項（或兩後項）相等的比例式中的兩後項（或兩前項）相等。
12、兩圓的內（外）公切線的長相等。
13、等於同一線段的兩條線段相等。
二、證明兩角相等
1、兩全等三角形的對應角相等。
2、同一三角形中等邊對等角。
3、等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。 4.兩條平行線的同位角、內錯角或平行四邊形的對角相等。 5.同角（或等角）的餘角（或補角）相等。 6.同圓（或圓）中，等弦（或弧）所對的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等於它所夾的弧對的圓周角。
7、圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。
8、相似三角形的對應角相等。
9、圓的內接四邊形的外角等於內對角。10.等於同一角的兩個角相等
三、證明兩直線平行
1、垂直於同一直線的各直線平行。
2、同位角相等，內錯角相等或同旁內角互補的兩直線平行。
3、平行四邊形的對邊平行。
4、三角形的中位線平行於第三邊。
5、梯形的中位線平行於兩底。
6、平行於同一直線的兩直線平行。
7、一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應成比例，則這條直線平行於第三邊。
四、證明兩直線互相垂直
1、等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直於底邊。
2、三角形中一邊的中線若等於這邊一半，則這一邊所對的角是直角。
3、在一個三角形中，若有兩個角互餘，則第三個角是直角。
4、鄰補角的平分線互相垂直。
5、一條直線垂直於平行線中的一條，則必垂直於另一條。
6、兩條直線相交成直角則兩直線垂直。
7、利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。
8、利用勾股定理的逆定理。
9、利用菱形的對角線互相垂直。
10、在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直於弦。
11、利用半圓上的圓周角是直角。
五、證明線段的和、差、倍、分
1、作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。
2、在第三條線段上截取一段等於第一條線段，證明餘下部分等於第二條線段。
3、延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。
4、取長線段的中點，再證其一半等於短線段。
5、利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質等）。
六、證明角的和、差、倍、分
1、作兩個角的和，證明與第三角相等。
2、作兩個角的差，證明餘下部分等於第三角。
3、利用角平分線的定義。
4、三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和。
七、證明兩線段不等
1、同一三角形中，大角對大邊。
2、垂線段最短。
3、三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊。
4、在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。
5、同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。
6、全量大於它的任何一部分。
八、證明兩角不等
1、同一三角形中，大邊對大角。
2、三角形的外角大於和它不相鄰的任一內角。
3、在兩個三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。
4、同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。
5、全量大於它的任何一部分。
九、證明比例式或等積式
1、利用相似三角形對應線段成比例。2.利用內外角平分線定理。3.平行線截線段成比例。4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理。
5、與圓有關的比例定理--相交弦定理、切割線定理及其推論。
6、利用比利式或等積式化得。
以上九項是會考幾何證明題中最常出現的內容，只要掌握了對應的方法，再根據題目中的條件進行合理選擇，攻克難題不再是夢想！
會考數學幾何證明題
在▱abcd中，∠bad的平分線交直線bc於點e，交直線dc於點f.
（1）在圖1中證明ce=cf;
（2）若∠abc=90°，g是ef的中點（如圖2），直接寫出∠bdg的度數；
第一個問我會，求第二個問。。需要過程，快呀！
連接gc、bg
∵四邊形abcd為平行四邊形，∠abc=90°
∴四邊形abcd為矩形
∵af平分∠bad
∴∠daf=∠baf=45°
∵∠dcb=90°，df∥ab
∴∠dfa=45°，∠ecf=90°
∴△ecf為等腰rt△
∵g為ef中點
∴eg=cg=fg
∵△abe為等腰rt△，ab=dc
∴be=dc
∵∠cef=∠gcf=45°→∠beg=∠dcg=135°
∴△beg≌△dcg
∴bg=dg
∵cg⊥ef→∠dgc+∠dgb=90°
又∵∠dgc=∠bge
∴∠bge+∠dgb=90°
∴△dgb為等腰rt△
∴∠bdg=45°
分析已知、求證與圖形，探索證明的思路。
對於證明題，有三種思考方式：
（1）正向思維。對於一般簡單的題目，我們正向思考，輕而易舉可以做出，這裏就不詳細講述了。
（2）逆向思維。顧名思義，就是從相反的方向思考問題。運用逆向思維解題，能使學生從不同角度，不同方向思考問題，探索解題方法，從而拓寬學生的解題思路。這種方法是推薦學生一定要掌握的。在國中數學中，逆向思維是非常重要的思維方式，在證明題中體現的更加明顯，數學這門學科知識點很少，關鍵是怎樣運用，對於國中幾何證明題，最好用的方法就是用逆向思維法。如果你已經上九年級了，幾何學的不好，做題沒有思路，那你一定要注意了：從現在開始，總結做題方法。同學們認真讀完一道題的題幹後，不知道從何入手，建議你從結論出發。例如：可以有這樣的思考過程：要證明某兩條邊相等，那麼結合圖形可以看出，只要證出某兩個三角形相等即可；要證三角形全等，結合所給的條件，看還缺少什麼條件需要證明，證明這個條件又需要怎樣做輔助線，這樣思考下去……這樣我們就找到了解題的思路，然後把過程正着寫出來就可以了。這是非常好用的方法，同學們一定要試一試。
（3）正逆結合。對於從結論很難分析出思路的題目，同學們可以結合結論和已知條件認真的分析，國中數學中，一般所給的已知條件都是解題過程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路，比如給我們三角形某邊中點，我們就要想到是否要連出中位線，或者是否要用到中點倍長法。給我們梯形，我們就要想到是否要做高，或平移腰，或平移對角線，或補形等等。正逆結合，戰無不勝。
如圖5，已知四邊形abcd，ab∥dc，點f在ab的延長線上， 連結df交bc於e且s△dce＝s△fbe ．（1）求證：△dce≌△fbe；
（2）若be是△adf的中位線，且be＋fb＝6釐米，求dc＋ad＋ab的長．
ca
圖5
b
f
已知e為平行四邊形abcd中dc邊的延長線的一點，且ce＝dc，連接ae，分別交bc、bd於點f、g，連接ac交bd於o，連接of， 求證：ab＝2of.
a
o
d
g
當代數式x+3x+5的值為7時，代數式3x+9x－2的值是_________．
2
2
b
fe
24如圖所示，△abc中，∠bca=90°，d、e分別是ac、ab的中點，f在bc的延長線上， ∠cdf=∠a，求證：四邊形decf是平行四邊形
f c
e
b
d c
e
（第24題）
a
25如圖，在△abc中，？acb?90，cd⊥ab於d， ae評分∠bac交cd於f， eg⊥ab 於g.求證：四邊形cegf是菱形。
（第25題）
24、閲讀下面的題目及分析過程，並按要求進行證明．
已知：如圖，e是bc的中點，點a在de上，且∠bae=∠cde．求證：ab=cd
分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等．因此，要證ab=cd，必須添加適當的輔助線，構造全等三角形或等腰三角形．現給出如下三種添加輔助線的方法，請任意選擇其中一種，對原題進行證明．
25、如圖1，點c為線段ab上一點，△acm， △cbn是等邊三角形，直線an、mc交於點e, 直線bm、nc交於點f。 (1)求證：an=bm；
（2）求證： △cef為等邊三角形；
（3）將△acm繞點c按逆時針方向旋轉900，其他條件不變，在圖2中補出符合要求的圖形，並判斷第（1）、（2）兩小題的結論是否仍然成立（不要求證明）。
七、24.選擇第（1）種。證明：延長de到點f,使ef=de；∵點e是bc中點；∴be=ce；又∵∠bef=∠ced （對頂角相等）；∴△bef≌△ced(sas)；∴bf=cd，∠ f=∠cde；又∵∠bae=∠cde；∴∠bae=∠f；∴bf=ab；∴ab=cd。 八、25.（1）證明：∵△acm、△cbn是等邊三角形；∴ac=mc,bc=nc, ∠acm=60°，∠bcn=60°；∴∠mcn=180°-60°-60°=60°；∴∠acn=∠acm +∠mcn =60°+60°=120°， ∠bcm=∠bcn +∠mcn =60°+60°=120°；∴∠acn=∠bcm；∴△acn≌△mcb(sas)；∴an=bm.
（2） 證明：∵△acn≌△mcb；∴∠anc=∠mbc；又∵∠mcn=∠bcn=60°， bc=nc；∴△ecn≌△fcb(aas)；∴ec=fc；又∵∠mcn=60°；∴△cef為等邊三角形。 （3）補全圖形如下：
第（1）小題的結論還成立，但第（2）小題的結論不成立。
24．（本小題10分）閲讀探索：“任意給定一個矩形a，是否存在另一個矩形b，它的周長和麪積分別是已知矩形周長和麪積的一半？”（完成下列空格） （1）當已知矩形a的邊長分別為6和1時，小亮同學是這樣研究的：
7?
？x?y?
設所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意得方程組：？2
？xy?3?
，
消去y化簡得：2x2?7x?6?0，
∵△＝49－48>0，∴x1，x2 ． ∴滿足要求的矩形b存在．
（2）如果已知矩形a的邊長分別為2和1，請你仿照小亮的方法研究是否存在滿足要求的矩形b．
（3）如果矩形a的邊長為m和n，請你研究滿足什麼條件時，矩形b存在？
25、已知菱形abcd的周長為20cm；，對角線ac + bd =14cm，求ac、bd的長； 26如圖，在⊿abc中，∠bac =90?，ad⊥bc於d，ce平分∠acb，交ad於g，交ab於e，ef⊥bc於f，求證：四邊形aefg是菱形； a
c
e
gd
f
b
27、如圖，正方形abcd中，過d做de∥ac，∠ace =30?，ce交ad於點f，求證：ae = af；ab
cdf已知：正方形abcd，e為bc延長線上一點，ae交bd於f，交dc於g，m為ge中點，求證：cf⊥cm
ad
m
bc
e
2、如圖，ad是△abc的角平分線，ad的中垂線分別交ab、bc的延長線於點f、e求證：(1) ∠ead=∠eda；(2) df∥ac；(3) ∠eac=∠b.
3、如圖，△abc中，∠acb=90°，d為ab中點，四邊形bced為平行四邊形。，de、ac相交於點f.求證：（1）點f為ac中點；
（2）試確定四邊形adce的形狀，並説明理由；
（3）若四邊形adce為正方形，△abc應添加什麼條件，並證明你的結論
b d c e
e
bc
4、如圖，在△abc中，∠acb＝90°，bc的垂直平分線de交bc於d，交ab於e，f在de上，並且af＝ce。
（1）求證：四邊形acef是平行四邊形；
（2）當∠b的大小滿足什麼條件時，四邊形acef是菱形？請回答並證明你的結論；
（3）四邊形acef有可能是正方形嗎？為什麼？
f
e
b
d
ac
d
ac
b用關係式．如圖，等腰梯形abcd中，ad∥bc，∠dbc=45o。翻摺梯形abcd，使點b重合於點d，摺痕分別交邊ab、bc於點f、30e。若ad=2，bc=8， 求：（1）be的長。（2）cd：de的值。
四、讀句畫圖，並證明
22．已知點e是正方形abcd的邊cd上一點，點f是cb的延長線上一點，且ea⊥af。
求證：de=bf。
23．已知在⊿abc中，∠bac=90o，延長ba到點d，使ad=
12
ab，點e、f分別為邊bc、
ac的中點。（1）求證：df=be。（2）過點a作ag∥bc，交df於點g，求證：ag=dg。
五、論證題
24．如圖，在等腰直角⊿abc中，o是斜邊ac的中點，p是斜邊ac
a
o
e
b
d
c
上的一個動點，d為bc上的一點，且pb=pd，de⊥ac，垂足為e。（1） 試論證pe與bo的位置關係和大小關係。
（2） 設ac=2a ， ap=x ， 四邊形pbde的面積為y ， 試寫出y與x
之間的函數關係式，並寫出自變量x的取值範圍。
25．如圖，梯形abcd，ab∥cd，ad=dc=cb，ae、bc的延長線相交於點g，ce⊥ag於e，
cf⊥ab於f。
（1） 請寫出圖中4組相等的線段（已知的相等線段除外）。
（2） 選擇（1）中你所寫出的一組相等線段，説明它們相等的理由。
六、觀察——度量——證明
26．用兩個全等的等邊三角形⊿abc、⊿acd拼成菱形abcd。把一個含60o角的三角尺
與這個菱形疊合，使三角尺的60o角的頂點與點a重合，兩邊分別與ab、ac重合。將三角尺繞點a按逆時針方向旋轉。
（1） 當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊bc、cd相交於點e、f時（如圖1），通過觀察或測量be、cf的長度，你能得出什麼結論？並證明你的結論。 （2） 當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊bc、cd的延長線相交於點e、f時（如圖2），
你在（1）中得到的結論還成立嗎？簡要説明理由。
b
ec
b
ce圖2
ed
c
a
f
b
d
a
圖1
七年級上冊幾何證明題
1、
在三角形abc中，∠acb=90°，ac=bc，e是bc邊上的一點，連接ae，過c作cf⊥ae於f，過b作bd⊥bc交cf的延長線於d，試説明：ae=cd。
滿意回答
因為ae⊥cf,bd⊥bc
所以∠afc=90°，∠dbc=90°
又∠acb=90°，所以∠ace=∠dbc
因為∠cae+∠aec=90°∠ecf+∠aec=90°
所以∠cae=∠ecf
又ac=bc
所以△ace全等於△cbd(asa)
所以ae=cd
像這類題目，一般用全等較好做些
2、
如圖所示，已知ad、bc相交於o，∠a=∠d，試説明∠c=∠b.
解：
證1：
∠a=∠d=====>ab∥cd=====>∠c=∠b（內錯角相等）
證2：
△abo內角和180=△cdo內角和180
∠a=∠d
∠aob=∠d0c
∴∠c=∠b
證明：顯然有:∠aob=∠cod（兩直線相交，對頂角相等）
又∠a=∠d,且三角形三個內角的和等於180º
∴一定有∠c=∠b.
3、
(1)d是三角形abc的bc邊上的點且cd=ab，角adb=角bad，ae是三角形abd的中線，求證ac=2ae。
（2）在直角三角形abc中，角c=90度，bd是角b的平分線，交ac於d，ce垂直ab於e，交bd於o，過o作fg平行ab，交bc於f，交ac於g。求證cd=ga。
延長ae至f，使ae=ef。be=ed，對頂角。證明abe全等於def。=》ab=df，角b=角edf角adb=角bad=》ab=bd，cd=ab=》cd=df。角ade=bad+b=adb+edf。ad=ad=》三角形adf全等於adc=》ac=af=2ae。
題幹中可能有筆誤地方：第一題右邊的e點應為c點，第二題求證的cd不可能等於ga，是否是求證cd=fa或cd=co。如上猜測準確，證法如下：第一題證明:設f是ab邊上中點，連接ef角adb=角bad，則三角形abd為等腰三角形，ab=bd;∵ae是三角形abd的中線，f是ab邊上中點。∴ef為三角形abd對應da邊的中位線，ef∥da，則∠fed=∠adc，且ef=1/2da。∵∠fed=∠adc,且ef=1/2da，af=1/2ab=1/2cd∴△afe∽△cda∴ae:ca=fe:da=af:cd=1:2ac=2ae得證第二題：證明:過d點作dh⊥ab交ab於h，連接oh，則∠dhb=90°；∵∠acb=90°=∠dhb，且bd是角b的平分線，則∠dbc=∠dbh，直角△dbc與直角△dbh有公共邊db;∴△dbc≌△dbh，得∠cdb=∠hdb，cd=hd;∵dh⊥ab，ce⊥ab;∴dh∥ce，得∠hdb=∠cod=∠cdb，△cdo為等腰三角形，cd=co=dh;四邊形cdho中co與dh兩邊平行且相等，則四邊形cdho為平行四邊形，ho∥cd且ho=cd∵gf∥ab，四邊形ahof中，ah∥of，ho∥af，則四邊形ahof為平行四邊形，ho=fa∴cd=fa得證。
2014年會考數學經典幾何證明題（一）
1、（1）如圖1所示，在四邊形abcd中，ac=bd，ac與bd相交於點o，e、f分別是ad、bc的中點，
聯結ef，分別交ac、bd於點m、n，試判斷△omn的形狀，並加以證明；
（2）如圖2，在四邊形abcd中，若ab?cd，e、f分別是ad、bc的中點，聯結fe並延長，分別與ba、cd的延長線交於點m、n，請在圖2中畫圖並觀察，圖中是否有相等的角，若有，請直接寫出結論：；
（3）如圖3，在△abc中，ac?ab，點d在ac上，ab?cd，e、f分別是ad、bc的中點，聯結fe並延長，與ba的延長線交於點m，若？fec?45?，判斷點m與以ad為直徑的圓的位置關係，並簡要説明理由．b
a
me
db
（4） 觀察圖1、圖2、圖3的特性，請你根據這一特性構造一個圖形，使它仍然具有ef、eg、ｃh這樣的線
段，並滿足（1）或（2）的結論，寫出相關題設的條件和結論。
3、如圖，△abc是等邊三角形，f是ac的中點，d在線段bc上，連接df，以df為邊在df的右側作等邊△dfe，ed的延長線交ab於h，連接ec，則以下結論：①∠ahe+∠afd=180°；②af=在線段bc上（不與b，c重合）運動，其他條件不變時
bc；③當d2
bh
是定值；④當d在線段bc上（不與b，c重合）bd
bc?ec
運動，其他條件不變時是定值；
dc
（1）其中正確的是-------------------； （2）對於（1）中的結論加以説明；
f
c
f
圖 1圖2圖3
2．（1）如圖1，已知矩形abcd中，點e是bc上的一動點，過點e作ef⊥bd於點f，eg⊥ac於點g，ch⊥bd
於點h，試證明ch=ef+eg;
圖1
d
dc
（2） 若點e在ｂｃ的延長線上，如圖2，過點e作ef⊥bd於點f，eg⊥ac的延長線於點g，ch⊥bd於點h， 則ef、eg、ｃh三者之間具有怎樣的數量關係，直接寫出你的猜想；
（3） 如圖3，bd是正方形abcd的對角線，l在bd上，且bl=bc, 連結cl，點e是cl上任一點， ef⊥bd於
點f，eg⊥bc於點g，猜想ef、
eg、
bd之間具有怎樣的數量關係，直接寫出你的猜想；
f
h
bcd
e
4、在△abc中，ac=bc，？acb?90?，點d為ac的中點．
（1）如圖1，e為線段dc上任意一點，將線段de繞點d逆時針旋轉90°得到線段df，連結cf，過點f作fh?fc，交直線ab於點h．判斷fh與fc的數量關係並加以證明． （2）如圖2，若e為線段dc的延長線上任意一點，（1）中的其他條件不變，你在（1）中得出的結論是否發生改變，直接寫出你的結論，不必證明．
a
a
f
d f
d
e
c b
c
圖1
e
圖2
h
第1頁 共4頁
5、如圖12，在△abc中，d為bc的中點，點e、f分別在邊ac、ab上，並且∠abe=∠acf，be、cf交於點o．過點o作op⊥ac，oq⊥ab，p、q為垂足．求證：dp=dq．
證明．
8、設點e是平行四邊形abcd的邊ab的中點，f是bc邊上一點，線段de和af相交於點p，點q在線段de
上，且aq∥pc． (1)證明：pc＝2aq．
（2）當點f為bc的中點時，試比較△pfc和梯形apcq面積的大小關係，並對你的結論加以證明．
6、如圖。，bd是△abc的內角平分線，ce是△abc的外角平分線，過點a作af⊥bd，ag⊥ce，垂足分別為f、g。
探究：線段fg的長與△abc三邊的關係，並加以證明。
説明：⑴如果你經歷反覆探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；⑵在你經歷説明⑴的過程之後，可以從下列①、②中選取一個補充或更換已知條件，完成你的證明。 注意：選取①完成證明得10分；選取②完成證明得7分。 ①可畫出將△adf沿bd摺疊後的圖形； ②將ce變為△abc的內角平分線。（如圖2）
附加題：探究bd、ce滿足什麼條件時，線段fg的長與△abc的周長存在一定的數量關係，並給出證明。
9、兩塊等腰直角三角板△abc和△dec如圖擺放，其中∠acb =∠dce = 90°，f是de的中點，h是ae的中點，g是bd的中點．
（1）如圖1，若點d、e分別在ac、bc的延長線上，通過觀察和測量，猜想fh和fg的數量關係為_______和位置關係為______；
（2）如圖2，若將三角板△dec繞着點c順時針旋轉至ace在一條直線上時，其餘條件均不變，則（1）中的猜想是否還成立，若成立，請證明，不成立請説明理由；
（2）如圖3，將圖1中的△dec繞點c順時針旋轉一個鋭角，得到圖3，（1）中的猜想還成立嗎？直接寫出結論，不用證明。
ch
g
a圖3 圖1 圖2
7、在四邊形abcd中，對角線ac平分∠dab．
（1）如圖①，當∠dab＝120°，∠b＝∠d＝90°時，求證：ab＋ad＝ac．
（2）如圖②，當∠dab＝120°，∠b與∠d互補時，線段ab、ad、ac有怎樣的數量關係？寫出你的猜想，並給予證明．
（3）如圖③，當∠dab＝90°，∠b與∠d互補時，線段ab、ad、ac有怎樣的數量關係？寫出你的猜想，並給予
10、已知△abc中，ab＝ac＝3，∠bac＝90°，點d為bc上一點，把一個足夠大的直角三角板的直角頂點放
在d處．
（1）如圖①，若bd＝cd，將三角板繞點d逆時針旋轉，兩條直角邊分別交ab、ac於點e、點f，求出重疊部分aedf的面積（直接寫出結果）．
求出y與x的函數關係式，並寫出自變量x的取值範圍．
2、如圖，△abc中，∠bac＝90°，ad⊥bc，de⊥ab，df⊥ac，若ab＝kac，試探究be與cf的數量關係。
3、如圖，在△abc和△pqd中，ac＝kbc，dp＝kdq，∠c＝∠pdq，d、e分別是ab、ac的中點，點p在直線bc上，連接eq交pc於點h。猜想線段eh與ac的數量關係，並證明你的猜想，若證明有困難，則可選k＝1證明之。
4、在△abc中，o是ac上一點，p、q分別是ab、bc上一點，∠b＝45°，∠poq＝135°，bc＝kab，oc＝mao。試説明op與oq是數量關係，選擇條件：（1）m＝1，（2）m＝k＝1。
2014年會考幾何經典證明題（二）
1、如圖，△abc中，∠bac＝90°，ad⊥bc，e為cb延長線上一點，且∠eab＝∠bad，設dc＝kbd，試探究ec與ea的數量關係。
5、如圖，△abc中，ad是bc邊上的中線，∠cad＝∠b，ac＝kab，e在ad延長線上，∠ced＝∠adb，探究ae與ad的關係。
6、如圖，∠bac＝90°，ad⊥bc，de⊥ab, ab＝kac，探究be與ae是數量關係。
西華師範大學文獻信息檢索課綜合實習報告
檢索課題（中英文）：淺談幾何證明 On the geometric proof
一、課題分析
幾何是研究空間結構及性質的一門學學科。它是數學中最基本的研究內容之一，與分析、代數等等具有同樣重要的地位，並且關係極為密切。幾何分為平面幾何與立體幾何、微分幾何、內藴幾何、拓撲學。幾何證明則是根據一些特定規則和標準，有公理和定理推到出幾何命題的過程。我們則重點研究最為簡單的平面幾何和立體幾何的簡單證明。
幾何證明的基本步驟分為：1.分析—分析圖形的切入點及所求。2.證明—做出輔助線，綜合運用定理，找出已知未知的聯繫或推翻命題的假設。3.整理—規範作答。對於任給我們一個簡單的幾何證明我們都可以應用這個三個步驟，但是每個題都有它的重難點，對於不同內型的幾何證明題我們必須從不同的角度、不同的切入點、不同的方法去證明這個命題的正確與否。
常見的幾何證明方法有反證法、數學歸納法、構造法、非構造性證明、窮舉發、換質位法„這幾種方法是我們最常用的方法。初高中的幾何證明題裏幾乎的能用這幾種方法解決。幾何證明是初高中的一個重點，是學好幾何的關鍵，所以掌握幾何證明題的證明方法是比不可少的。而幾何證明題的方法都是從推理證明和探索規律做起的，怎樣培養這個推理證明和探索規律的能力那就是我們平時練習中必須解決的問題。
幾何證明有助於培養學生的邏輯推理能力，在幾何證明的過程中，不僅是邏輯演繹的程序，它還包含着大量的觀察、探索、發現的創造性過程。有助於提高學生空間想像能力、幾何直觀能力和運用綜合幾何方法解決問題的能力。
幾何證明題是初高中幾何證明是培養學生邏輯推理能力的最好載體，到目前為
止還沒有其他課程能夠代替幾何的這種地位。其次幾何證明還包括直觀、想象、探究和發現的因素，這些對培養學生的創意也非常有利。所以學好幾何證明對於
一個初高中學生來説是非常重要的。本文就對幾何證明的關鍵、要點和學習展開
檢索討論。
二、選擇檢索工具
由於報告要求，我們將進入西華師範大學圖書館網站
http:///libweb/的“電子資源”各數據庫查找課題相關
文獻信息資料，輔助以手工檢索和紙本期刊以及因特網上資源。
三、確定檢索方法和途徑
檢索方法：直接法，抽取法和綜合法。初定了一些檢索詞：（幾何證明平
面幾何空間幾何），進行第一輪檢索，主要通過
http:///libweb/，檢索出了大批文獻，然後進行了篩選，選擇了最新的文獻，通過閲讀文獻有受到啟發，增加了一些檢索詞，他們是：分
析研究應用。經過第二輪檢索又查出另外一些相關主題的文獻。綜合了根
據時間，類目和數據庫等的抽取和題目直接的搜索。
主要檢索途徑：關鍵字，題名
四、檢索結果
1、從中國期刊全文數據庫(CNKI-CJFD)，維普中文科技期刊數據庫(VIP)中文全
文數據庫中進行全文檢索
數據庫1：中國期刊全文數據庫(CNKI-CJFD)年限：2008-2012
檢索式：幾何證明 分類號:“O*” 標題:“幾何證明”+關鍵詞:“幾何證明” 日
期:2008-2012
限定類目：理工A（數學物理力學天地生）、教育科學。
檢出篇數：188個
題錄1：羅江林的 如何學習幾何證明來自《課外閲讀：中下》 2012年 第5期
題目2：許琴 的 一類平面幾何的求職問題的向量解法來源《新課程。中學》2012年第一期
題目3：丁運來 的 對國中生幾何證明題過程書寫的教學分析 來源《學生之友。國中版》2012年第一期
題目4：劉延升 的2011年大學聯考平面幾何與解析 來源《理科考試研究。高中版》2012年第一期
數據庫2 ：萬方數據知識平台期刊數據庫
年限：2008-2012
限定類別：數學科學和化學文化、科學和教育
檢索式：幾何證明 分類號:“O*” 標題:“幾何證明”+關鍵詞:“幾何證明” 日期:2008-2012
檢出篇數：31篇
題錄1：令標幾個幾何定理的幾何純幾何證明來源《中學數學雜誌。國中版》2008.02
題錄2：龔潔林平面向量中“心”問題來源《新大學聯考：高三語文數學外語》2011.12
題錄3：龔曉蘭一個“數學問題”幾何證明來源《數學通報》2009.48
（5）
數據庫3：CALIS聯合目錄公共檢索
年份：不限
檢索式：題目=“幾何證明”
檢出篇數：4篇
題錄1：高中數學教學參考書。幾何證明選講單墫 馮惠愚南京。江蘇教育出版社。2008館藏：北京師範大學圖書館
題錄2：幾何證明題與作圖題。 趙華， 季家南京。江蘇人民出版社1956館藏：遼寧大學圖書館
數據庫4：亞馬遜圖書
檢索：圖書題目=“幾何證明”
題目1：平面幾何分類證明李中正西南師範大學出版社2011年07月出版
題目2：幾何定理機器證明的基本原理吳文俊科學出版社1984-08出版
數據庫5：萬方會議論文庫
年份：不限
限定類別：數學科學和化學中的數學
檢索式：題目=“幾何證明”
檢出篇數：29篇
題錄1：歐式幾何的公理體系和我過平面幾何課本的歷史演變
作者單位：首都師範大學
會議名稱：首都師範大學課程報告論壇
主辦單位：高等教育出版社
會議時間：2005年11月5日
題錄2：歐拉與數學之美
作者單位：華東交通大學，南昌 330013
會議名稱：紀念歐拉誕辰300週年暨《幾何原本》中譯400週年數學史國際會議
會議時間：2007年10月11日
主辦單位：中國數學會，國際數學史委員會，四川師範大學
數據庫6：萬方外文文獻檢索
年限：2008-2012
限定類別：數學科學和化學文化、科學和教育
檢索式：題目=“geometric proof”
檢出篇數：160篇
題錄1：A geometric non-existence proof of an extremal additive code
作者：Bierbrauer, J. ；Marcugini, S. ；Pambianco, F.期刊：Journal of Combinatorial Theory. Series ASCI2010,117（2）
題錄2：Geometric Proof of a Ramsey-Type Result For Disjoint Empty Convex Polygons I作者：Bhaswar B. Bhattacharya ；Sandip Das
期刊：Geombinatorics2010,19（4）
五、檢索結果的分析與綜合。
幾何證明題是初高中幾何證明是培養學生邏輯推理能力的最好載體，到目前為止還沒有其他課程能夠代替幾何的這種地位。其次幾何證明還包括直觀、想象、探究和發現的因素，這些對培養學生的創意也非常有利。
幾何證明在數學學習必不可少的一部分。就拿四川省2010年大學聯考數學理科題來説，幾何題在其中佔有大的一部分（選擇題4道、填空題2道、解答題2道）。而幾何證明題佔其中的三分之一，即使分值不是很大，但如果你學好了幾何證明，那麼你的幾何題也就迎刃而解。
那麼如何才能學好幾何證明呢？首先我們來討論幾何證明中遇到的主要困難。困難一幾何證明中的邏輯要求非常嚴格迫使很多學生認為幾何很抽象，不白我們究竟要做什麼？困難二缺乏基本的邏輯，對一些數學常識性問題都不明白，導致對幾何證明的語言表述不準確。怎樣克服以上困難就是許多老師和學生所面臨的問題。從許多學生的學習經驗和老師的教學經驗我們可以總結出學習幾何證明非常重要的三點。第一，正確掌握幾何用語，平時多整理幾何定理和公理。第二，掌握幾何證明的基本定理和公理的應用，以及一些常見的證明方法。第三，注重幾何證明的分析思路的學習，學會一體多證。以及平時多加練習。
對於中學數學來説學習幾何主要是要在腦中形成題目中所給出條件的幾何圖形！至於怎麼形成幾何圖形就要平時多注意這幾個方面：第一記住課本中給出的定理和公理，並要自己動手推到下以便加深印象。做到熟記活用。第二平時做題目的時候儘量畫出每個幾何題目的圖形。這樣有助於你可以充分運用到題目中的條件，不會出現大的遺漏。雖然這樣做題慢，耗時長，但是有助於你將來做大題難題是的一種感覺的形成，就是我們所説的靈感。
如果打到以上幾點，那麼對於初高中的幾何證明題對你來説就已經是小菜一碟了。
以上談論的是初高中怎樣學好幾何證明，那麼接下來我們探討一下中外對幾何證明的研究。中國對幾何證明的研究起源很早，如祖沖之對圓周率的計算、勾股定理的證明„但中國經歷封建社會就幾乎沒有前進。正是那幾個世紀外國對幾何的證明確實突飛猛進。出現了很多出名的數學家如歐拉、阿基米德、費馬笛卡爾 等。最經幾十年來中國隨着大學教育的普及度於這方面的研究也取得了很大的成果。隨着數學家在幾何上的不斷髮展，幾何已向原來的歐式空間逐漸發展到其他幾個大的幾何分支學上。比如，微分幾何、內藴幾何、拓撲學等。這些分支學的難度遠遠大於歐式幾何空間。
2013幾何證明
1、（2013年普通高等學校招生統一考試重慶數學（理）試題（含答案））如圖，在ABC
中，C900,A600,AB20,過C作ABC的外接圓的切線CD,BDCD,BD與外接
圓交於點E,則DE的長為_____
_____
2、（2013年普通高等學校招生統一考試天津數學（理）試題（含答案））如圖， △ABC為圓的內接三角形，BD為圓的弦， 且BD//AC. 過點A 做圓的切線與DB的延長線交於點E, AD與BC交於點F. 若AB =
AC, AE = 6, BD = 5, 則線段CF的長為
______.
3、（2013年普通高等學校招生統一考試廣東省數學（理）卷（純WORD版））（幾何證明選講選做題）如圖，AB
是圓O的直徑，點C在圓O上，延長BC到D使BCCD,過C作圓O的切線交AD於E.若
AB6,ED2,則BC_________.
E
第15題圖
4、（2013年大學聯考四川卷（理））設P1,P2,，Pn為平面內的n個點，在平面內的所有點中，若點P到
P1,P2,，Pn點的距離之和最小，則稱點P為P1,P2,，Pn點的一個“中位點”。例如，線段AB上的任意點都是端點A,B的中位點。則有下列命題:
①若A,B,C三個點共線，C在線AB上，則C是A,B,C的中位點；[來源:學#科#網] ②直角三角形斜邊的點是該直角三角形三個頂點的中位點； ③若四個點A,B,C,D共線，則它們的中位點存在且唯一； ④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點。
其中的真命題是____________.（寫出所有真命題的序號數學社區）
5、（2013年大學聯考陝西卷（理））B. （幾何證明選做題） 如圖， 弦AB與CD相交於O內一點E, 過E作
BC的平行線與AD的延長線相交於點P. 已知PD=2DA=2, 則PE=_____.
6、
（2013年大學聯考湖南卷（理））如圖2,O中，弦AB,CD相交於點
P,PAPB
2,PD1,則圓心O到弦CD的距離為____________.
7、（2013年大學聯考湖北卷（理））如圖，圓O上一點C在直線AB上的射影為D,點D在半徑OC上的射
影為E.若AB3AD,則CE
EO的值為___________. C
A
B
第15題圖
8、（2013年大學聯考北京卷（理））如圖，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓11.修4-1:幾何證明選講]本小題滿分10分。
如圖，AB和BC分別與圓O相切於點D,C,AC經過圓心O,且BC2OC O相交於D.若PA=3,PD：DB9：16,則PD=_________;AB=___________.
求證:AC2AD[來源:學。科。網]
9、選修4—1幾何證明選講:如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD於點
D,E,F分別為弦AB與弦AC上的點，且BCAEDCAF,B,E,F,C四點共圓。
(Ⅰ)證明:CA是△ABC外接圓的直徑；
(Ⅱ)若DBBEEA,求過B,E,F,C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值。
10、選修4-1:幾何證明選講
如圖，AB為O直徑，直線CD與O相切於垂直於CD於D，BC垂直於CD於
C，EF,垂直於F,連接AE,BE.證明:
(I)FEBCEB;(II)EF2ADBC.
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