幾何證明

目錄

正文

第一篇：幾何證明

1.平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那麼在

其他直線上截得的線段_________.

推論1: 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必______________.

推論2: 經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線________________.

2.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的________________成比例. 推論：平行於三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段___________.

3.相似三角形的性質定理：相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等於______；相似三角形周長的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長比都等於

_________________；

相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等於____________________；

4. 直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是______________________的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上_______與_________的比例中項.

5.圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等於它所對的____________的一半.

圓心角定理：圓心角的度數等於_______________的度數.

推論1：同弧或等弧所對的圓周角_________；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧_______.

o推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是____；90的圓周角所對的弦是________.

弦切角定理：弦切角等於它所夾的弧所對的______________.

6.圓內接四邊形的性質定理與判定定理：

圓的內接四邊形的對角______；圓內接四邊形的外角等於它的內角的_____.

如果一個四邊形的對角互補，那麼這個四邊形的四個頂點______；如果四邊形的一個外角等於它的內角的對角，那麼這個四邊形的四個頂點_________.

7.切線的性質定理：圓的切線垂直於經過切點的__________.

推論：經過圓心且垂直於切線的直線必經過_______；經過切點且垂直於切線的直線必經過______.

切線的判定定理：經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的________.

8.相交弦定理:圓內兩條相交弦，_____________________的積相等.

割線定理:從圓外一點引圓的兩條割線，_____________的兩條線段長的積相等.

切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是__________的比例中項.

切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長____；

圓心和這點的連線平分_____的夾角.

第二篇：淺談幾何證明

西華師範大學文獻信息檢索課綜合實習報告

檢索課題（中英文）：淺談幾何證明 on the geometric proof

一、課題分析

幾何是研究空間結構及性質的一門學學科。它是數學中最基本的研究內容之一，與分析、代數等等具有同樣重要的地位，並且關係極為密切。幾何分為平面幾何與立體幾何、微分幾何、內藴幾何、拓撲學。幾何證明則是根據一些特定規則和標準，有公理和定理推到出幾何命題的過程。我們則重點研究最為簡單的平面幾何和立體幾何的簡單證明。

幾何證明的基本步驟分為：1.分析—分析圖形的切入點及所求。2.證明—做出輔助線，綜合運用定理，找出已知未知的聯繫或推翻命題的假設。3.整理—規範作答。對於任給我們一個簡單的幾何證明我們都可以應用這個三個步驟，但是每個題都有它的重難點，對於不同內型的幾何證明題我們必須從不同的角度、不同的切入點、不同的方法去證明這個命題的正確與否。

常見的幾何證明方法有反證法、數學歸納法、構造法、非構造性證明、窮舉發、換質位法?這幾種方法是我們最常用的方法。初高中的幾何證明題裏幾乎的能用這幾種方法解決。幾何證明是初高中的一個重點，是學好幾何的關鍵，所以掌握幾何證明題的證明方法是比不可少的。而幾何證明題的方法都是從推理證明和探索規律做起的，怎樣培養這個推理證明和探索規律的能力那就是我們平時練習中必須解決的問題。

幾何證明有助於培養學生的邏輯推理能力，在幾何證明的過程中，不僅是邏輯演繹的程序，它還包含着大量的觀察、探索、發現的創造性過程。有助於提高學生空間想像能力、幾何直觀能力和運用綜合幾何方法解決問題的能力。

幾何證明題是初高中幾何證明是培養學生邏輯推理能力的最好載體，到目前為

止還沒有其他課程能夠代替幾何的這種地位。其次幾何證明還包括直觀、想象、

探究和發現的因素，這些對培養學生的創意也非常有利。所以學好幾何證明對於

一個初高中學生來説是非常重要的。本文就對幾何證明的關鍵、要點和學習展開

檢索討論。

二、選擇檢索工具

由於報告要求，我們將進入西華師範大學圖書館網站

http:///libweb/的“電子資源”各數據庫查找課題相關

文獻信息資料，輔助以手工檢索和紙本期刊以及因特網上資源。

三、確定檢索方法和途徑

檢索方法：直接法，抽取法和綜合法。初定了一些檢索詞：（幾何證明平

面幾何空間幾何），進行第一輪檢索，主要通過

http:///libweb/，檢索出了大批文獻，然後進行了篩選，

選擇了最新的文獻，通過閲讀文獻有受到啟發，增加了一些檢索詞，他們是：分

析研究應用。經過第二輪檢索又查出另外一些相關主題的文獻。綜合了根

據時間，類目和數據庫等的抽取和題目直接的搜索。

主要檢索途徑：關鍵字，題名

四、檢索結果

1.從中國期刊全文數據庫(cnki-cjfd)，維普中文科技期刊數據庫(vip)中文全

文數據庫中進行全文檢索

數據庫1：中國期刊全文數據庫(cnki-cjfd)年限：2014-2014

檢索式：幾何證明 分類號:"o*" 標題:"幾何證明"+關鍵詞:"幾何證明" 日

期:2014-2014

限定類目：理工a（數學物理力學天地生）、教育科學。

檢出篇數：188個

題錄1：羅江林的 如何學習幾何證明來自《課外閲讀：中下》 2014年 第

5期

題目2：許琴 的 一類平面幾何的求職問題的向量解法來源《新課程.中學》2014年第一期

題目3：丁運來 的 對國中生幾何證明題過程書寫的教學分析 來源《學生之友.國中版》2014年第一期

題目4：劉延升 的2014年大學聯考平面幾何與解析 來源《理科考試研究.高中版》2014年第一期

數據庫2 ：萬方數據知識平台期刊數據庫

年限：2014-2014

限定類別：數學科學和化學文化、科學和教育

檢索式：幾何證明 分類號:"o*" 標題:"幾何證明"+關鍵詞:"幾何證明" 日期:2014-2014

檢出篇數：31篇

題錄1：令標幾個幾何定理的幾何純幾何證明來源《中學數學雜誌.國中版》2014.02

題錄2：龔潔林平面向量中“心”問題來源《新大學聯考：高三語文數學外語》2014.12

題錄3：龔曉蘭一個“數學問題”幾何證明來源《數學通報》2014.48

（5）

數據庫3：calis聯合目錄公共檢索

年份：不限

檢索式：題目=“幾何證明”

檢出篇數：4篇

題錄1：高中數學教學參考書.幾何證明選講單墫 馮惠愚南京.江蘇教育出版社.2014館藏：北京師範大學圖書館

題錄2：幾何證明題與作圖題. 趙華, 季家南京.江蘇人民出版社1956館藏：遼寧大學圖書館

數據庫4：亞馬遜圖書

檢索：圖書題目=“幾何證明”

題目1：平面幾何分類證明李中正西南師範大學出版社2014年07月出版

題目2：幾何定理機器證明的基本原理吳文俊科學出版社1984-08出版

數據庫5：萬方會議論文庫

年份：不限

限定類別：數學科學和化學中的數學

檢索式：題目=“幾何證明”

檢出篇數：29篇

題錄1：歐式幾何的公理體系和我過平面幾何課本的歷史演變

作者單位：首都師範大學

會議名稱：首都師範大學課程報告論壇

主辦單位：高等教育出版社

會議時間：2014年11月5日

題錄2：歐拉與數學之美

作者單位：華東交通大學，南昌 330013

會議名稱：紀念歐拉誕辰300週年暨《幾何原本》中譯400週年數學史國際會議

會議時間：2014年10月11日

主辦單位：中國數學會,國際數學史委員會,四川師範大學

數據庫6：萬方外文文獻檢索

年限：2014-2014

限定類別：數學科學和化學文化、科學和教育

檢索式：題目=“geometric proof”

檢出篇數：160篇

題錄1：a geometric non-existence proof of an extremal additive code

作者：bierbrauer, j. ；marcugini, s. ；pambianco, f.期刊：journal of combinatorial theory. series asci2014,117（2）

題錄2：geometric proof of a ramsey-type result for disjoint empty convex polygons i作者：bhaswar b. bhattacharya ；sandip das

期刊：geombinatorics2014,19（4）

五、檢索結果的分析與綜合。

幾何證明題是初高中幾何證明是培養學生邏輯推理能力的最好載體，到目前為止還沒有其他課程能夠代替幾何的這種地位。其次幾何證明還包括直觀、想象、探究和發現的因素，這些對培養學生的創意也非常有利。

幾何證明在數學學習必不可少的一部分。就拿四川省2014年大學聯考數學理科題來説，幾何題在其中佔有大的一部分（選擇題4道、填空題2道、解答題2道）。而幾何證明題佔其中的三分之一，即使分值不是很大，但如果你學好了幾何證明，那麼你的幾何題也就迎刃而解。

那麼如何才能學好幾何證明呢？首先我們來討論幾何證明中遇到的主要困難。困難一幾何證明中的邏輯要求非常嚴格迫使很多學生認為幾何很抽象，不白我們究竟要做什麼？困難二缺乏基本的邏輯，對一些數學常識性問題都不明白，導致對幾何證明的語言表述不準確。怎樣克服以上困難就是許多老師和學生所面臨的問題。從許多學生的學習經驗和老師的教學經驗我們可以總結出學習幾何證明非常重要的三點。第一，正確掌握幾何用語，平時多整理幾何定理和公理。第二，掌握幾何證明的基本定理和公理的應用，以及一些常見的證明方法。第三，注重幾何證明的分析思路的學習，學會一體多證。以及平時多加練習。

對於中學數學來説學習幾何主要是要在腦中形成題目中所給出條件的幾何圖形！至於怎麼形成幾何圖形就要平時多注意這幾個方面：第一記住課本中給出的定理和公理，並要自己動手推到下以便加深印象。做到熟記活用。第二平時做題目的時候儘量畫出每個幾何題目的圖形。這樣有助於你可以充分運用到題目中的條件，不會出現大的遺漏。雖然這樣做題慢，耗時長，但是有助於你將來做大題難題是的一種感覺的形成，就是我們所説的靈感。

如果打到以上幾點，那麼對於初高中的幾何證明題對你來説就已經是小菜一碟了。

以上談論的是初高中怎樣學好幾何證明，那麼接下來我們探討一下中外對幾何證明的研究。中國對幾何證明的研究起源很早，如祖沖之對圓周率的計算、勾股定理的證明?但中國經歷封建社會就幾乎沒有前進。正是那幾個世紀外國對幾何的證明確實突飛猛進。出現了很多出名的數學家如歐拉、阿基米德、費馬笛卡爾 等。最經幾十年來中國隨着大學教育的普及度於這方面的研究也取得了很大的成果。隨着數學家在幾何上的不斷髮展，幾何已向原來的歐式空間逐漸發展到其他幾個大的幾何分支學上。比如，微分幾何、內藴幾何、拓撲學等。這些分支學的難度遠遠大於歐式幾何空間。

第三篇：幾何證明

龍文教育浦東分校學生個性化教案

學生：錢寒鬆教師：周亞新時間：2014-11-27

學生評價◇特別滿意◇滿意◇一般◇不滿意

【教材研學】

一、命題

1．概念：對事情進行判斷的句子叫做命題．

2．組成部分：命題由題設和結論兩部分組成．每個命題都可以寫成“如果??，那麼??”的形式，“如果”的內容部分是題設，“那麼”的內容部分是結論．

3．分類：命題分為真命題和假命題兩種．判斷正確的命題稱為真命題，反之稱為假命題．驗證一個命題是真命題，要經過證明；驗證一個命題是假命題，可以舉出一個反例．

二、互逆命題

1．概念：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個

命題的結論是第二個命題的題設，那麼這兩個命題叫做互逆命題，其中一個叫做原命題，則另一個就叫做它的逆命題．

2．説明：

（1）任何一個命題都有逆命題，它們互為逆命題，“互逆”是指兩個命題之間的關係；

（2）把一個命題的題設和結論交換，就得到它的逆命題；

（3）原命題成立，它的逆命題不一定成立，反之亦然．

三、互逆定理

1．概念：如果一個定理的逆命題也是定理（即真命題），那麼這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理．

2．説明：

（1）不是所有的定理都有逆定理，如“對頂角相等”的逆命題是“如果兩個角相等，那麼這兩個角是對頂角”，這是一個假命題，所以“對頂角相等”沒有逆定理．

（2）互逆定理和互逆命題的關係：互逆定理首先是互逆命題，是互逆命題中要求更為嚴謹的一類，即互逆命題包含互逆定理．

所以∠c=∠c’=90°，即△abc是直角三角形．

【點石成金】

例1． 指出下列命題的題設和結論，並寫出它們的逆命題．

（1）兩直線平行，同旁內角互補；

（2）直角三角形的兩個鋭角互餘；

（3）對頂角相等．

分析：解題的關鍵是找出原命題的題設和結論，然後再利用互逆命題的特徵寫出它們的逆命題．

（1）題設是“兩條平行線被第三條直線所截”，結論是“同旁內角互補”；逆命題是“如果兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補，那麼這兩條直線平行”．

（2）題設是“如果一個三角形是直角三角形”，結論是“那麼這個三角形的兩個鋭角互餘”；逆命題是“如果一個三角形中兩個鋭角互餘，那麼這個三角形是直角三角形”．

（3）題設是“如果兩個角是對頂角”，結論是“那麼這兩個角相等”；逆命題是“如果有兩個角相等，那麼它們是課題：幾何證明

對頂角”．

名師點金：當一個命題的逆命題不容易寫時，可以先把這個命題寫成“如果??，那麼??”的形式，然後再把題設和結論倒過來即可．

例2．某同學寫出命題“直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半”的逆命題是“如果一個三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形”，你認為他寫得對嗎?

分析：寫出一個命題的逆命題，是把原命題的題設和結論互換，但有時需要適當的變通，例如“等腰三角形的兩底角相等”的逆命題不能寫成“兩底角相等的三角形是等腰三角形”，因為我們還沒有判斷出是等腰三角形，所以不能有“底角”這個概念．

解：上面的寫法不對．原命題條件是直角三角形，斜邊是直角三角形的邊的特有稱呼，該同學寫的逆命題的條件中提到了斜邊，就已經承認了直角三角形，就不需要再得這個結論了．因此，逆命題應寫成“如果一個三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形”．

名師點金：在寫一個命題的逆命題時，千萬要注意一些專用詞的用法．

例3．如圖，在△abd和△ace中，有下列四個等式：① ab=ac；②ad=ae；③ ∠1=∠2；④bd=ce．請你以其中三個等式作為題設，餘下的作為結論，寫出一個真命題(要求寫出已知，求證及證明過程)

解：選①②③作為題設，④作為結論．

已知：如圖19—4—103，ab=ac，ad=ae，∠1=∠2．

求證：bd=ce,

證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠cad=∠2+∠cad．

即∠bad=∠cae．

在△bad和△cae中，

ab=ac．∠bad＝∠cae，ad=ae，

∴△bad≌△cae（s．a．s．） ∴bd=ce．

名師點金：本題考查的是證明三角形的全等，但條件較為開放．當然，此題的條件還可以任選其他三個．

【練習】

1．“兩直線平行，內錯角相等”的題設是____________________，

結論是_________________________

2．判斷：（1）任何一個命題都有逆命題．()

（2）任何一個定理都有逆定理．()

【升級演練】

一、基礎鞏固

1．下列語言是命題的是()

a．畫兩條相等的線段b．等於同一個角的兩個角相等嗎

c．延長線段ad到c，使oc=oad．兩直線平行，內錯角相等

2．下列命題的逆命題是真命題的是()

a．直角都相等b．鈍角都小於180。

龍文教育浦東分校個性化教案

2

c．如果x+y=0，那麼x=y=0d．對頂角相等

3．下列説法中，正確的是()

a．一個定理的逆命題是正確的

b．命題“如果x<0，y>0，那麼xy<0”的逆命題是正確的

c．任何命題都有逆命題

d．定理、公理都應經過證明後才能用

4．下列這些真命題中，其逆命題也真的是()

a．全等三角形的對應角相等

b．兩個圖形關於軸對稱，則這兩個圖形是全等形

c．等邊三角形是鋭角三角形

d．直角三角形中，如果一個鋭角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半

5．證明一個命題是假命題的方法有__________．

6．將命題“所有直角都相等”改寫成“如果??那麼?”的形式為___________。

7．舉例説明“兩個鋭角的和是鋭角”是假命題。

二、探究提高

8．下列説法中，正確的是()

a．每個命題不一定都有逆命題b．每個定理都有逆定理

c．真命題的逆命題仍是真命題d．假命題的逆命題未必是假命題

9．下列定理中，沒有逆定理的是()

a．內錯角相等，兩直線平行b．直角三角形中兩鋭角互餘

c．相反數的絕對值相等d．同位角相等，兩直線平行

三、拓展延伸

10．下列命題中的真命題是()

a．鋭角大於它的餘角b．鋭角大於它的補角

c．鈍角大於它的補角d．鋭角與鈍角之和等於平角

11．已知下列命題：①相等的角是對頂角；②互補的角就是平角；③互補的兩個角一定是一個鋭角，另一個為鈍角；④平行於同一條直線的兩直線平行；⑤鄰補角的平分線互相垂直．其中，正確命題的個數為()

a．0個b．1個c．2個d．3個

22

龍文教育浦東分校個性化教案

第四篇：幾何證明(一)

幾何證明（一）

例1. 已知：a，b，c三點在同一直線上，△abd和△bce都是等邊三角形，ae交bd於m，cd交be於n求證：mn∥ac

c

例2.已知：ad是rt△abc斜邊上的高，角平分線be交ad於f，eg⊥bc交bc於g

求證：fg∥ac，ag⊥be

例3. △abc中∠abc=∠acb =80°,點p在ab上，且∠bpc=30°，求證：ap=bc

例4. 從三角形的一個頂點向其他的兩個角的平分線引垂線，兩個垂足的連線平行於這個角的對邊。

例5.已知：正方形abcd中，p是ac上的任意點，過點p作pe⊥ab作pf⊥bc。求證：pd⊥ef

例6： △abc內，∠bac=60?，∠acb=40?，p，q分別在邊bc,ca上，並且ap,bq分別是∠bac，∠abc的角平分線，求證：bq+aq=ab+bp.

例7：設等腰直角三角形abc中，d是腰ac的中點，e在斜邊bc上，且ae⊥bd，求證： ∠bda=∠edc

例8： 設△abe, △acf都是等腰直角三角形，ae,af分別是各自的斜邊，g是ef中點，求證：⊿gcb也是等腰直角三角形

例9： 分別以△abc的邊ab,ac為邊在△abc外側作等邊三角形△abe,△acf，d,m,n分別為bc,ae,af的中點，求證：△dmn為等邊三角形。

例10已知：⊙o和⊙q相交於a，b，⊙q經過點o，c是⊙o優弧ab上的一點，cb延長線交⊙q於d，

求證：do⊥ac

d

練習：

1. 四邊形abcd中，∠a＝∠b，ad＝bc，則ab∥cd

2. 分別以△abc的邊ab和bc為一邊，向形外作兩個正方形abef和bcgh，求證 ah＝ce，ah⊥ce

3. 已知：d，e，f是△abc邊bc，ca，ab的中點，h，g在形外，且he

11⊥ac，he＝ac，gd⊥bc，gd＝bc 22

求證：△f(小編推薦你關注好範文 網)dg≌△heffg⊥fh

第五篇：2014幾何證明

2014幾何證明

1.（2014年普通高等學校招生統一考試重慶數學（理）試題（含答案））如圖,在

abc

中,?c?900

,?a?600,ab?20,過c作abc的外接圓的切線cd,bd?cd,bd與外接

圓交於點e,則de的長為_____

_____

2.（2014年普通高等學校招生統一考試天津數學（理）試題（含答案））如圖, △abc為圓的內接三角形,

bd為圓的弦, 且bd//ac. 過點a 做圓的切線與db的延長線交於點e, ad與bc交於點f. 若ab =

ac, ae = 6, bd = 5, 則線段cf的長為

______.

3.（2014年普通高等學校招生統一考試廣東省數學（理）卷（純word版））(幾何證明選講選做題)如圖,ab

是圓o的直徑,點c在圓o上,延長bc到d使bc?cd,過c作圓o的切線交ad於e.若

ab?6,ed?2,則bc?_________.

e

第15題圖

4.（2014年大學聯考四川卷（理））設p1,p2,

,pn為平面?內的n個點,在平面?內的所有點中,若點p到

p1,p2,

,pn點的距離之和最小,則稱點p為p1,p2,,pn點的一個“中位點”.例如,線段ab上

的任意點都是端點a,b的中位點.則有下列命題:

①若a,b,c三個點共線,c在線ab上,則c是a,b,c的中位點;[來源:學#科#網] ②直角三角形斜邊的點是該直角三角形三個頂點的中位點; ③若四個點a,b,c,d共線,則它們的中位點存在且唯一; ④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點.

其中的真命題是____________.(寫出所有真命題的序號數學社區)

5.（2014年大學聯考陝西卷（理））b. (幾何證明選做題) 如圖, 弦ab與cd相交於o內一點e, 過e作

bc的平行線與ad的延長線相交於點p. 已知pd=2da=2, 則pe=_____.

6.

（2014年大學聯考湖南卷（理））如圖2,o中,弦ab,cd相交於點

p,pa?pb?

2,pd?1,則圓心o到弦cd的距離為____________.

7.（2014年大學聯考湖北卷（理））如圖,圓o上一點c在直線ab上的射影為d,點d在半徑oc上的射

影為e.若ab?3ad,則ce

eo

的值為___________. c

a

b

第15題圖

8.（2014年大學聯考北京卷（理））如圖,ab為圓o的直徑,pa為圓o的切線,pb與圓11.修4-1:幾何證明選講]本小題滿分10分.

如圖,ab和bc分別與圓o相切於點d,c,ac經過圓心o,且bc?2oc o相交於d.若pa=3,pd：db?9：16,則pd=_________;ab=___________.

求證:ac?2ad[來源:學.科.網]

9.選修4—1幾何證明選講:如圖,cd為△abc外接圓的切線,ab的延長線交直線cd於點

d,e,f分別為弦ab與弦ac上的點,且bc?ae?dc?af,b,e,f,c四點共圓.

(ⅰ)證明:ca是△abc外接圓的直徑;

(ⅱ)若db?be?ea,求過b,e,f,c四點的圓的面積與△abc外接圓面積的比值.

10.選修4-1:幾何證明選講

如圖,ab為o直徑，直線cd與o相切於垂直於cd於d，bc垂直於cd於

c，ef,垂直於f,連接ae,be.證明:

(i)?feb??ceb;(ii)ef2?adbc.

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