一、教學內容分析
向量作為工具在數學、物理以及實際生活中都有着廣泛的應用。
本小節的重點是結合向量知識證明數學中直線的平行、垂直問題，以及不等式、三角公式的證明、物理學中的應用。
二、教學目標設計
1、通過利用向量知識解決不等式、三角及物理問題，感悟向量作為一種工具有着廣泛的應用，體會從不同角度去看待一些數學問題，使一些數學知識有機聯繫，拓寬解決問題的思路。
2、瞭解構造法在解題中的運用。
三、教學重點及難點
重點：平面向量知識在各個領域中應用。
難點：向量的構造。
四、教學流程設計
五、教學過程設計
一、複習與回顧
1、提問：下列哪些量是向量？
（1）力 (2)功 (3)位移 (4)力矩
2、上述四個量中，(1)(3)(4)是向量，而(2)不是，那它是什麼？
[説明]複習數量積的有關知識。
二、學習新課
例1（書中例5）
向量作為一種工具，不僅在物理學科中有廣泛的應用，同時它在數學學科中也有許多妙用！請看
例2（書中例3）
證法（一)原不等式等價於，由基本不等式知(1）式成立，故原不等式成立。
證法(二)向量法
[説明]本例關鍵引導學生觀察不等式結構特點，構造向量，並發現（等號成立的充要條件是）
例3（書中例4）
[説明]本例的關鍵在於構造單位圓，利用向量數量積的兩個公式得到證明。
二、鞏固練習
1、如圖，某人在靜水中游泳，速度為 km/h.
（1）如果他徑直遊向河對岸，水的流速為4 km/h，他實際沿什麼方向前進？速度大小為多少？
答案：沿北偏東方向前進，實際速度大小是8 km/h.
（2） 他必須朝哪個方向遊才能沿與水流垂直的方向前進？實際前進的速度大小為多少？
答案：朝北偏西方向前進，實際速度大小為km/h.
三、課堂小結
1、向量在物理、數學中有着廣泛的應用。
2、要學會從不同的角度去看一個數學問題，是數學知識有機聯繫。
四、作業佈置
1、書面作業：課本P73, 練習8.4 4
猴子搬香蕉
一個小猴子邊上有100根香蕉，它要走過50米才能到家，每次它最多搬50根香蕉，（多了就被壓死了），它每走1米就要吃掉一根，請問它最多能把多少根香蕉搬到家裏？
解答：
100只香蕉分兩次，一次運50只，走1米，再回去搬另外50只，這樣走了1米的時候，前50只吃掉了兩隻，後50只吃掉了1只，剩下48＋49只；兩米的時候剩下46＋48只；。.。到16米的時候剩下（50－2×16）＋（50－16）＝18＋34只；17米的時候剩下16＋33只，共49只；然後把剩下的這49只一次運回去，要走剩下的33米，每米吃一個，到家還有16個香蕉。
河岸的距離
兩艘輪船在同一時刻駛離河的兩岸，一艘從A駛往B，另一艘從B開往A，其中一艘開得比另一艘快些，因此它們在距離較近的岸500公里處相遇。到達預定地點後，每艘船要停留15分鐘，以便讓乘客上下船，然後它們又返航。這兩艘渡輪在距另一岸100公里處重新相遇。試問河有多寬？
解答：
當兩艘渡輪在x點相遇時，它們距A岸500公里，此時它們走過的距離總和等於河的寬度。當它們雙方抵達對岸時，走過的總長度
等於河寬的兩倍。在返航中，它們在z點相遇，這時兩船走過的距離之和等於河寬的三倍，所以每一艘渡輪現在所走的距離應該等於它們第一次相遇時所走的距離的三倍。在兩船第一次相遇時，有一艘渡輪走了500公里，所以當它到達z點時，已經走了三倍的距離，即1500公里，這個距離比河的寬度多100公里。所以，河的寬度為1400公里。每艘渡輪的上、下客時間對答案毫無影響。
變量交換
不使用任何其他變量，交換a，b變量的值？
分析與解答
a = a+b
b = a-b
a= a-b
步行時間
某公司的辦公大樓在市中心，而公司總裁温斯頓的家在郊區一個小鎮的附近。他每次下班以後都是乘同一次市郊火車回小鎮。小鎮車站離家還有一段距離，他的私人司機總是在同一時刻從家裏開出轎車，去小鎮車站接總裁回家。由於火車與轎車都十分準時，因此，火車與轎車每次都是在同一時刻到站。
有一次，司機比以往遲了半個小時出發。温斯頓到站後，找不到
他的車子，又怕回去晚了遭老婆罵，便急匆匆沿着公路步行往家裏走，途中遇到他的轎車正風馳電掣而來，立即招手示意停車，跳上車子後也顧不上罵司機，命其馬上掉頭往回開。回到家中，果不出所料，他老婆大發雷霆：“又到哪兒鬼混去啦！你比以往足足晚回了22分鐘？?”。温斯頓步行了多長時間？
解答：
假如温斯頓一直在車站等候，那麼由於司機比以往晚了半小時出發，因此，也將晚半小時到達車站。也就是説，温斯頓將在車站空等半小時，等他的轎車到達後坐車回家，從而他將比以往晚半小時到家。而現在温斯頓只比平常晚22分鐘到家，這縮短下來的8分鐘是如果總裁在火車站死等的話，司機本來要花在從現在遇到温斯頓總裁的地點到火車站再回到這個地點上的時間。這意味着，如果司機開車從現在遇到總裁的地點趕到火車站，單程所花的時間將為4分鐘。因此，如果温斯頓等在火車站，再過4分鐘，他的轎車也到了。也就是説，他如果等在火車站，那麼他也已經等了30-4=26分鐘了。但是懼內的温斯頓總裁畢竟沒有等，他心急火燎地趕路，把這26分鐘全都花在步行上了。
因此，温斯頓步行了26分鐘。
付清欠款
有四個人借錢的數目分別是這樣的：阿伊庫向貝爾借了10美元；
貝爾向查理借了20美元；查理向迪克借了30美元；迪克又向阿伊庫借了40美元。碰巧四個人都在場，決定結個賬，請問最少只需要動用多少美金就可以將所有欠款一次付清？
解答：
貝爾、查理、迪克各自拿出10美元給阿伊庫就可解決問題了。這樣的話只動用了30美元。最笨的辦法就是用100美元來一一付清。
貝爾必須拿出10美元的欠額，查理和迪克也一樣；而阿伊庫則要收回借出的30美元。再複雜的問題只要有條理地分析就會很簡單。養成經常性地歸納整理、摸索實質的好習慣。
一美元紙幣
注：美國貨幣中的硬幣有1美分、5美分、10美分、25美分、50美分和1美元這幾種面值。
一家小店剛開始營業，店堂中只有三位男顧客和一位女店主。當這三位男士同時站起來付帳的時候，出現了以下的情況：
（1）這四個人每 baihuawen.c n人都至少有一枚硬幣，但都不是面值為1美分或1美元的硬幣。
（2）這四人中沒有一人能夠兑開任何一枚硬幣。
（3）一個叫盧的男士要付的賬單款額最大，一位叫莫的男士要
付的帳單款額其次，一個叫內德的男士要付的賬單款額最小。
（4）每個男士無論怎樣用手中所持的硬幣付賬，女店主都無法找清零錢。
（5）如果這三位男士相互之間等值調換一下手中的硬幣，則每個人都可以付清自己的賬單而無需找零。
（6）當這三位男士進行了兩次等值調換以後，他們發現手中的硬幣與各人自己原先所持的硬幣沒有一枚面值相同。
（7）隨着事情的進一步發展，又出現如下的情況：
（8）在付清了賬單而且有兩位男士離開以後，留下的男士又買了一些糖果。這位男士本來可以用他手中剩下的硬幣付款，可是女店主卻無法用她現在所持的硬幣找清零錢。於是，這位男士用1美元的紙幣付了糖果錢，但是現在女店主不得不把她的全部硬幣都找給了他。
現在，請你不要管那天女店主怎麼會在找零上屢屢遇到麻煩，這三位男士中誰用1美元的紙幣付了糖果錢？
解答：
對題意的以下兩點這樣理解：
（2）中不能換開任何一個硬幣，指的是如果任何一個人不能有2個5分，否則他能換1個10分硬幣。
（6）中指如果A，B換過，並且A，C換過，這就是兩次交換。
教學目標
（1）使學生正確理解組合的意義，正確區分排列、組合問題；
（2）使學生掌握組合數的計算公式；
（3）通過學習組合知識，讓學生掌握類比的學習方法，並提高學生分析問題和解決問題的能力；
教學重點難點
重點是組合的定義、組合數及組合數的公式；
難點是解組合的應用題。
教學過程設計
(-)導入新課
（教師活動）提出下列思考問題，打出字幕。
[字幕]一條鐵路線上有6個火車站，(1)需準備多少種不同的普通客車票？(2)有多少種不同票價的普通客車票？上面問題中，哪一問是排列問題？哪一問是組合問題？
（學生活動）討論並回答。
答案提示：(1)排列；(2)組合。
[評述]問題(1)是從6個火車站中任選兩個，並按一定的順序排列，要求出排法的種數，屬於排列問題；(2)是從6個火車站中任選兩個併成一組，兩站無順序關係，要求出不同的組數，屬於組合問題。這節課着重研究組合問題。
設計意圖：組合與排列所研究的問題幾乎是平行的。上面設計的問題目的是從排列知識中發現並提出新的問題。
（二）新課講授
[提出問題 創設情境]
（教師活動）指導學生帶着問題閲讀課文。
[字幕]1.排列的定義是什麼？
2、舉例説明一個組合是什麼？
3、一個組合與一個排列有何區別？
（學生活動）閲讀回答。
（教師活動）對照課文，逐一評析。
設計意圖：激活學生的思維，使其將所學的知識遷移過渡，並儘快適應新的環境。
【歸納概括 建立新知】
（教師活動）承接上述問題的回答，展示下面知識。
[字幕]模型：從 個不同元素中取出 個元素併成一組，叫做從 個不同元素中取出 個元素的一個組合。如前面思考題：6個火車站中甲站→乙站和乙站→甲站是票價相同的車票，是從6個元素中取出2個元素的一個組合。
組合數：從 個不同元素中取出 個元素的所有組合的個數，稱之，用符號 表示，如從6個元素中取出2個元素的組合數為 。
[評述]區分一個排列與一個組合的關鍵是：該問題是否與順序有關，當取出元素後，若改變一下順序，就得到一種新的取法，則是排列問題；若改變順序，仍得原來的取法，就是組合問題。
（學生活動）傾聽、思索、記錄。
（教師活動）提出思考問題。
[投影] 與 的關係如何？
（師生活動）共同探討。求從 個不同元素中取出 個元素的排列數 ，可分為以下兩步：
第1步，先求出從這 個不同元素中取出 個元素的組合數為 ；
第2步，求每一個組合中 個元素的全排列數為 。根據分步計數原理，得到
[字幕]公式1：
公式2：
（學生活動）驗算 ，即一條鐵路上6個火車站有15種不同的票價的普通客車票。
設計意圖：本着以認識概念為起點，以問題為主線，以培養能力為核心的宗旨，逐步展示知識的形成過程，使學生思維層層被激活、逐漸深入到問題當中去。
【例題示範 探求方法】
（教師活動）打出字幕，給出示範，指導訓練。
[字幕]例1 列舉從4個元素 中任取2個元素的所有組合。
例2 計算：(1) ；(2) 。
（學生活動）板演、示範。
（教師活動）講評並指出用兩種方法計算例2的第2小題。
[字幕]例3 已知 ，求 的所有值。
（學生活動）思考分析。
解 首先，根據組合的定義，有
①
其次，由原不等式轉化為
即
解得 ②
綜合①、②，得 ，即
[點評]這是組合數公式的應用，關鍵是公式的選擇。
設計意圖：例題教學循序漸進，讓學生鞏固知識，強化公式的應用，從而培養學生的綜合分析能力。
【反饋練習學會應用】
（教師活動）給出練習，學生解答，教師點評。
[課堂練習]課本P99練習第2，5，6題。
[補充練習]
[字幕]1.計算：
2、已知 ，求 。
（學生活動）板演、解答。
設計意圖：課堂教學體現以學生為本，讓全體學生參與訓練，深刻揭示排列數公式的結構、特徵及應用。
（三）小結
（師生活動）共同小結。
本節主要內容有
1、組合概念。
2、組合數計算的兩個公式。
（四）佈置作業
1、課本作業：習題10 3第1(1)、(4)，3題。
2、思考題：某學習小組有8個同學，從男生中選2人，女生中選1人蔘加數學、物理、化學三種學科競賽，要求每科均有1人蔘加，共有180種不同的選法，那麼該小組中，男、女同學各有多少人？
3、研究性題：
在 的 邊上除頂點 外有 5個點，在 邊上有 4個點，由這些點（包括 ）能組成多少個四邊形？能組成多少個三角形？
（五）課後點評
在學習了排列知識的基礎上，本節課引進了組合概念，並推導出組合數公式，同時調控進行訓練，從而培養學生分析問題、解決問題的能力。
[學習目標]
(1)會用座標法及距離公式證明cα+β;
(2)會用替代法、誘導公式、同角三角函數關係式，由cα+β推導cα—β、sα±β、tα±β，切實理解上述公式間的關係與相互轉化；
(3)掌握公式cα±β、sα±β、tα±β，並利用簡單的三角變換，解決求值、化簡三角式、證明三角恆等式等問題。
[學習重點]
兩角和與差的正弦、餘弦、正切公式
[學習難點]
餘弦和角公式的推導
[知識結構]
1、兩角和的餘弦公式是三角函數一章和、差、倍公式系列的基礎。其公式的證明是用座標法，利用三角函數定義及平面內兩點間的距離公式，把兩角和α+β的餘弦，化為單角α、β的三角函數(證明過程見課本)
2、通過下面各組數的值的比較：①cos(30°—90°)與cos30°—cos90°②sin(30°+60°)和sin30°+sin60°。我們應該得出如下結論：一般情況下，cos(α±β)≠cosα±cosβ，sin(α±β)≠sinα±sinβ。但不排除一些特例，如sin(0+α)=sin0+sinα=sinα。
3、當α、β中有一個是的。整數倍時，應首選誘導公式進行變形。注意兩角和與差的三角函數是誘導公式等的基礎，而誘導公式是兩角和與差的三角函數的特例。
4、關於公式的正用、逆用及變用
教學目標
1．瞭解映射的概念，象與原象的概念，和一一映射的概念．
（1）明確映射是特殊的對應即由集合 ，集合 和對應法則f三者構成的一個整體，知道映射的特殊之處在於必須是多對一和一對一的對應；
（2）能準確使用數學符號表示映射， 把握映射與一一映射的區別；
（3）會求給定映射的指定元素的象與原象，瞭解求象與原象的方法．
2．在概念形成過程中，培養學生的觀察，比較和歸納的能力．
3．通過映射概念的學習，逐步提高學生對知識的探究能力．
教學建議
教材分析
（1）知識結構
映射是一種特殊的對應，一一映射又是一種特殊的映射，而且函數也是特殊的映射，它們之間的關係可以通過下圖表示出來，如圖：
由此我們可從集合的包含關係中幫助我們把握相關概念間的區別與聯繫．
（2）重點，難點分析
本節的教學重點和難點是映射和一一映射概念的形成與認識．
①映射的概念是比較抽象的概念，它是在國中所學對應的基礎上發展而來．教學中應特別強調對應集合 B中的唯一這點要求的理解；
映射是學生在國中所學的對應的基礎上學習的，對應本身就是由三部分構成的整體，包括集 合A和集合B及對應法則f，由於法則的不同，對應可分為一對一，多對一，一對多和多對多． 其中只有一對一和多對一的能構成映射，由此可以看到映射必是“對B中之唯一”，而只要是對應就必須保證讓A中之任一與B中元素相對應，所以滿足一對一和多對一的對應就能體現出“任一對唯一”．
②而一一映射又在映射的基礎上增加新的要求，決定了它在學習中是比較困難的．
教法建議
（1）在映射概念引入時，可先從學生熟悉的對應入手， 選擇一些具體的生活例子，然後再舉一些數學例子，分為一對多、多對一、多對一、一對一四種情況，讓學生認真觀察，比較，再引導學生髮現其中一對一和多對一的對應是映射，逐步歸納概括出映射的基本特徵，讓學生的認識從感性認識到理性認識．
（2）在剛開始學習映射時，為了能讓學生看清映射的構成，可以選擇用圖形表示映射，在集合的選擇上可選擇能用列舉法表示的有限集，法則儘量用語言描述，這樣的表示方法讓學生可以比較直觀的認識映射，而後再選擇用抽象的數學符號表示映射，比如：
（3）對於學生層次較高的學校可以在給出定義後讓學生根據自己的理解舉出映射的例子，教師也給出一些映射的例子，讓學生從中發現映射的特點，並用自己的語言描述出來，最後教師加以概括，再從中引出一一映射概念；對於學生層次較低的學校，則可以由教師給出一些例子讓學生觀察，教師引導學生髮現映射的特點，一起概括．最後再讓學生舉例，並逐步增加要求向一一映射靠攏，引出一一映射概念．
（4）關於求象和原象的問題，應在計算的過程中總結方法，特別是求原象的方法是解方程或方程組，還可以通過方程組解的不同情況（有唯一解，無解或有無數解）加深對映射的認識．
（5）在教學方法上可以採用啟發，討論的形式，讓學生在實例中去觀察，比較，啟發學生尋找共性，共同討論映射的特點，共同舉例，計算，最後進行小結，教師要起到點撥和深化的作用．
教學設計方案
2.1映射
教學目標(1)瞭解映射的概念，象與原象及一一映射的概念．
（2）在概念形成過程中，培養學生的觀察，分析對比，歸納的能力．
（3）通過映射概念的學習，逐步提高學生的探究能力．
教學重點難點：:映射概念的形成與認識．
教學用具：實物投影儀
教學方法：啟發討論式
教學過程：
一、引入
在國中，我們已經初步探討了函數的定義並研究了幾類簡單的常見函數．在高中，將利用前面集合有關知識，利用映射的觀點給出函數的定義．那麼映射是什麼呢？這就是我們今天要詳細的概念．
二、新課
在前一章集合的初步知識中，我們學習了元素與集合及集合與集合之間的關係，而映射是重點研究兩個集合的元素與元素之間的對應關係．這要先從我們熟悉的對應説起（用投影儀打出一些對應關係，共6個）
我們今天要研究的是一類特殊的對應，特殊在什麼地方呢？
提問1：在這些對應中有哪些是讓A中元素就對應B中唯一一個元素？
讓學生仔細觀察後由學生回答，對有爭議的，或漏選，多選的可詳細説明理由進行討論．最後得出(1)，(2)，(5)，(6)是符合條件的（用投影儀將這幾個集中在一起）
提問2：能用自己的語言描述一下這幾個對應的共性嗎？
經過師生共同推敲，將映射的定義引出．（主體內容由學生完成，教師做必要的補充）
【考綱要求】
瞭解雙曲線的定義，幾何圖形和標準方程，知道它的簡單性質。
【自學質疑】
1、雙曲線 的 軸在 軸上， 軸在 軸上，實軸長等於 ，虛軸長等於 ，焦距等於 ，頂點座標是 ，焦點座標是 ，
漸近線方程是 ，離心率 ，若點 是雙曲線上的點，則 ， 。
2、又曲線 的左支上一點到左焦點的距離是7，則這點到雙曲線的右焦點的距離是
3、經過兩點 的雙曲線的標準方程是 。
4、雙曲線的漸近線方程是 ，則該雙曲線的離心率等於 。
5、與雙曲線 有公共的漸近線，且經過點 的雙曲線的方程為
【例題精講】
1、雙曲線的離心率等於 ，且與橢圓 有公共焦點，求該雙曲線的方程。
2、已知橢圓具有性質：若 是橢圓 上關於原點對稱的兩個點，點 是橢圓上任意一點，當直線 的斜率都存在，並記為 時，那麼 之積是與點 位置無關的定值，試對雙曲線 寫出具有類似特性的性質，並加以證明。
3、設雙曲線 的半焦距為 ，直線 過 兩點，已知原點到直線 的距離為 ，求雙曲線的離心率。
【矯正鞏固】
1、雙曲線 上一點 到一個焦點的距離為 ，則它到另一個焦點的距離為 。
2、與雙曲線 有共同的漸近線，且經過點 的雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離是 。
3、若雙曲線 上一點 到它的右焦點的距離是 ，則點 到 軸的距離是
4、過雙曲線 的左焦點 的直線交雙曲線於 兩點，若 。則這樣的直線一共有 條。
【遷移應用】
1、已知雙曲線 的焦點到漸近線的距離是其頂點到漸近線距離的2倍，則該雙曲線的離心率
2、已知雙曲線 的焦點為 ，點 在雙曲線上，且 ，則點 到 軸的距離為 。
3、雙曲線 的焦距為
4、已知雙曲線 的一個頂點到它的一條漸近線的距離為 ，則
5、設 是等腰三角形， ，則以 為焦點且過點 的雙曲線的離心率為 。
6、已知圓 。以圓 與座標軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂點，則適合上述條件的雙曲線的標準方程為
一、教學目標
【知識與技能】
掌握三角函數的單調性以及三角函數值的取值範圍。
【過程與方法】
經歷三角函數的單調性的探索過程，提升邏輯推理能力。
【情感態度價值觀】
在猜想計算的過程中，提高學習數學的興趣。
二、教學重難點
【教學重點】
三角函數的單調性以及三角函數值的取值範圍。
【教學難點】
探究三角函數的單調性以及三角函數值的取值範圍過程。
三、教學過程
（一）引入新課
提出問題：如何研究三角函數的單調性
（四）小結作業
提問：今天學習了什麼？
引導學生回顧：基本不等式以及推導證明過程。
課後作業：
思考如何用三角函數單調性比較三角函數值的大小。
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