《平面向量的實際背景及基本概念》教案
教學準備
教學目標
o 瞭解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；並會區分平行向量、相等向量和共線向量。
o 通過對向量的學習，使學生初步認識現實生活中的向量和數量的本質區別。
o 通過學生對向量與數量的識別能力的訓練，培養學生認識客觀事物的數學本質的能力。
教學重難點
教學重點：理解並掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會表示向量。
教學難點：平行向量、相等向量和共線向量的區別和聯繫。
教學過程
（一）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量。
（二)（教材P74面的四個圖製作成幻燈片）請同學閲讀課本後回答：(7個問題一次出現）
1、數量與向量有何區別？（數量沒有方向而向量有方向）
2、如何表示向量？
3、有向線段和線段有何區別和聯繫？分別可以表示向量的什麼？
4、長度為零的向量叫什麼向量？長度為1的向量叫什麼向量？
5、滿足什麼條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？
6、有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什麼關係？
7、如果把一組平行向量的起點全部移到一點O，這是它們是不是平行向量？
這時各向量的終點之間有什麼關係？
課後小結
1、描述向量的兩個指標：模和方向。
2、平面向量的概念和向量的幾何表示；
3、向量的模、零向量、單位向量、平行向量等概念。
《平面向量的數量積》教案
教學準備
教學目標
1、掌握平面向量的數量積及其幾何意義；
2、掌握平面向量數量積的重要性質及運算律；
3、瞭解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題；
4、掌握向量垂直的條件。
教學重難點
教學重點：平面向量的數量積定義
教學難點：平面向量數量積的定義及運算律的理解和平面向量數量積的應用
教學工具
投影儀
教學過程
一、複習引入：
1、向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數λ，使=λ
五，課堂小結
（1）請學生回顧本節課所學過的知識內容有哪些？所涉及到的主要數學思想方法有那些？
（2）在本節課的學習過程中，還有那些不太明白的地方，請向老師提出。
（3）你在這節課中的表現怎樣？你的體會是什麼？
六、課後作業
P107習題2.4 A組2、7題
課後小結
（1）請學生回顧本節課所學過的知識內容有哪些？所涉及到的主要數學思想方法有那些？
（2）在本節課的學習過程中，還有那些不太明白的地方，請向老師提出。
（3）你在這節課中的表現怎樣？你的體會是什麼？
課後習題
作業
P107習題2.4 A組2、7題
板書
教學類型：探究研究型
設計思路：通過一系列的猜想得出德。摩根律，但是這個結論僅僅是猜想，數學是一門科學，所以需要論證它的正確性，因此本節通過剖析維恩圖的四部分來驗證猜想的正確性，並對德摩根律進行簡單的應用，因此我們製作了本微課。
教學過程：
一、片頭
（20秒以內）
內容：你好，現在讓我們一起來學習《集合的運算——自己探索也能發現的'數學規律（第二講）》。
第 1 張PPT
12秒以內
二、正文講解
（4分20秒左右）
1、引入：牛頓曾説過：“沒有大膽的猜測，就做不出偉大的發現。”
上節課老師和大家學習了集合的運算，得出了一個有趣的規律。課後，你舉例驗證了這個規律嗎？
那麼，這個規律是偶然的，還是一個恆等式呢？
第 2 張PPT
28秒以內
2、規律的驗證:
試用集合A,B的交集、並集、補集分別表示維恩圖中1,2,3,4及彩色部分的集合，通過剖析維恩圖來驗證猜想的正確性使用
第 3 張PPT
2分10 秒以內
3、抽象概括: 通過我們的觀察和驗證，我們發現這個規律是一個恆等式。
而這個規律就是180年前著名的英國數學家德摩根發現的。
為了紀念他，我們將它稱為德摩根律。
原來我們通過自己的探索也能發現這麼偉大的數學規律。
第 4 張PPT
30秒以內
4、例題應用：使用例題形式，將的德摩根定律的結論加以應用，讓學生更加熟悉集合的運算
第 5 張PPT
1分20秒以內
三、結尾
（20秒以內）
通過這在道題的解答，我們發現德摩根律為解答集合運算問題提供了更為簡便的方法。
希望你在今後的學習中，勇於探索，發現更多有趣的規律。
第 6 張PPT
10秒以內
教學反思（自我評價）
學生在學習集合時會接觸到很多的集合運算，往往學生覺得這是集合中的難點，因此本節課通過一系列的猜想，以精彩的動畫展示，讓學生在直觀的環境下輕鬆的學習，提高學生學習數學的興趣，並通過層層深入的講解，讓學生進一步加強對集合運算的理解和應用能力，效果非常好。
《任意角和弧度制》教案
教學準備
教學目標
1、知識與技能
(1)推廣角的概念、引入大於 角和負角；(2)理解並掌握正角、負角、零角的定義；(3)理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有與 角終邊相同的角(包括 角)的表示方法；(5)樹立運動變化觀點，深刻理解推廣後的角的概念；(6)揭示知識背景，引發學生學習興趣。(7)創設問題情景，激發學生分析、探求的學習態度，強化學生的參與意識。
2、過程與方法
通過創設情境：“轉體 ，逆(順)時針旋轉”，角有大於 角、零角和旋轉方向不同所形成的角等，引入正角、負角和零角的概念；角的概念得到推廣以後，將角放入平面直角座標系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出幾個終邊相同的角，畫出終邊所在的位置，找出它們的關係，探索具有相同終邊的角的表示；講解例題，總結方法，鞏固練習。
3、情態與價值
通過本節的學習，使同學們對角的概念有了一個新的認識，即有正角、負角和零角之分。角的概念推廣以後，知道角之間的關係。理解掌握終邊相同角的表示方法，學會運用運動變化的觀點認識事物。
教學重難點
重點： 理解正角、負角和零角的定義，掌握終邊相同角的表示法。
難點： 終邊相同的角的表示。
教學工具
投影儀等。
教學過程
【創設情境】
思考：你的手錶慢了5分鐘，你是怎樣將它校準的？假如你的手錶快了1.25
小時，你應當如何將它校準？當時間校準以後，分針轉了多少度？
[取出一個鐘錶，實際操作]我們發現，校正過程中分針需要正向或反向旋轉，有時轉不到一週，有時轉一週以上，這就是説角已不僅僅侷限於之間，這正是我們這節課要研究的主要內容——任意角。
【探究新知】
1.國中時，我們已學習了角的概念，它是如何定義的呢？
[展示投影]角可以看成平面內一條射線繞着端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形。如圖1.1-1，一條射線由原來的位置，繞着它的端點o按逆時針方向旋轉到終止位置OB，就形成角a.旋轉開始時的射線叫做角的始邊，OB叫終邊，射線的端點o叫做叫a的頂點。
2.如上述情境中所説的校準時鐘問題以及在體操比賽中我們經常聽到這樣的術語：“轉體” (即轉體2周)，“轉體”(即轉體3周)等，都是遇到大於的角以及按不同方向旋轉而成的角。同學們思考一下：能否再舉出幾個現實生活中“大於的角或按不同方向旋轉而成的角”的例子，這些説明了什麼問題？又該如何區分和表示這些角呢？
[展示課件]如自行車車輪、螺絲扳手等按不同方向旋轉時成不同的角， 這些都説明了我們研究推廣角概念的必要性。 為了區別起見，我們規定：按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角(positive angle),按順時針方向旋轉所形成的角叫負角(negativeangle).如果一條射線沒有做任何旋轉，我們稱它形成了一個零角(zero angle).
8.學習小結
(1) 你知道角是如何推廣的嗎？
(2) 象限角是如何定義的呢？
(3) 你熟練掌握具有相同終邊角的表示了嗎？會寫終邊落在x軸、y軸、直
線上的角的集合。
五、評價設計
1.作業：習題1.1 A組第1,2,3題。
2.多舉出一些日常生活中的“大於的角和負角”的例子，熟練掌握他們的表示，
進一步理解具有相同終邊的角的特點。
課後小結
(1) 你知道角是如何推廣的嗎？
(2) 象限角是如何定義的呢？
(3) 你熟練掌握具有相同終邊角的表示了嗎？會寫終邊落在x軸、y軸、直
線上的角的集合。
課後習題
作業：
1、習題1.1 A組第1,2,3題。
2.多舉出一些日常生活中的“大於的角和負角”的例子，熟練掌握他們的表示，
進一步理解具有相同終邊的角的特點。
板書
略
《任意角的三角函數》教案
教學準備
教學目標
1、知識與技能
(1)掌握任意角的正弦、餘弦、正切的定義(包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號);(2)理解任意角的三角函數不同的定義方法；(3)瞭解如何利用與單位圓有關的有向線段，將任意角α的正弦、餘弦、正切函數值分別用正弦線、餘弦線、正切線表示出來；(4)掌握並能初步運用公式一；(5)樹立映射觀點，正確理解三角函數是以實數為自變量的函數。
2、過程與方法
國中學過：鋭角三角函數就是以鋭角為自變量，以比值為函數值的函數。引導學生把這個定義推廣到任意角，通過單位圓和角的終邊，探討任意角的三角函數值的求法，最終得到任意角三角函數的定義。根據角終邊所在位置不同，分別探討各三角函數的定義域以及這三種函數的值在各象限的符號。最後主要是藉助有向線段進一步認識三角函數。講解例題，總結方法，鞏固練習。
3、情態與價值
任意角的三角函數可以有不同的定義方法，而且各種定義都有自己的特點。過去習慣於用角的終邊上點的座標的“比值”來定義，這種定義方法能夠表現出從鋭角三角函數到任意角的三角函數的推廣，有利於引導學生從自己已有認知基礎出發學習三角函數，但它對準確把握三角函數的本質有一定的不利影響，“從角的集合到比值的集合”的對應關係與學生熟悉的一般函數概念中的“數集到數集”的對應關係有衝突，而且“比值”需要通過運算才能得到，這與函數值是一個確定的實數也有不同，這些都會影響學生對三角函數概念的理解
本節利用單位圓上點的座標定義任意角的正弦函數、餘弦函數。這個定義清楚地表明瞭正弦、餘弦函數中從自變量到函數值之間的對應關係，也表明了這兩個函數之間的關係。
教學重難點
重點： 任意角的正弦、餘弦、正切的定義(包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號);終邊相同的角的同一三角函數值相等(公式一).
難點： 任意角的正弦、餘弦、正切的定義(包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號);三角函數線的正確理解。
教學工具
投影儀
教學過程
【複習回顧】
1、三角函數的定義；
2、三角函數在各象限角的符號；
3、三角函數在軸上角的值；
4、誘導公式(一)：終邊相同的角的同一三角函數的值相等；
5、三角函數的定義域。
要求：記憶。並指出，三角函數沒有定義的地方一定是在軸上角，所以，凡是碰到軸上角時，要結合定義進行分析；並要求在理解的基礎上記憶。
【探究新知】
1.引入：角是一個圖形概念，也是一個數量概念(弧度數).作為角的函數——三角函數是一個數量概念(比值)，但它是否也是一個圖形概念呢？換句話説，能否用幾何方式來表示三角函數呢？
2.邊描述邊畫]以座標原點為圓心，以單位長度1為半徑畫一個圓，這個圓就叫做單位圓(注意：這個單位長度不一定就是1釐米或1米).
9學習小結
(1)瞭解有向線段的概念。
(2)瞭解如何利用與單位圓有關的有向線段，將任意角
的正弦、餘弦、正切函數值分別用正弦線、餘弦線、正切線表示出來。
(3)體會三角函數線的簡單應用。
1. 作業：
比較下列各三角函數值的大小(不能使用計算器)
(1)
2.練習三角函數線的作圖。
課後小結
小結
(1)瞭解有向線段的概念。
(2)瞭解如何利用與單位圓有關的有向線段，將任意角
的正弦、餘弦、正切函數值分別用正弦線、餘弦線、正切線表示出來。
(3)體會三角函數線的簡單應用。
課後習題
板書
略
在內容安排上，第一章三角函數的學習為第二章平面向量作了必要的準備，同時應用第二章平面向量的知識為第三章推導兩角差的餘弦公式，使第三章三角恆等變換可以獨立成章。學習完後，心中有幾點體會如下：
1、反思教學方式及能力培養
為了強調學生的'主體性，把時間還給學生，有的教師上課便叫學生自己看書，教師指導性差、沒有提示和具體要求，看得如何沒有檢查也沒有反饋等等。一些課堂上教師片面追求小組合作這一學習形式，對小組合作學習的目的、時機及過程沒有進行認真設計。這些學習方式，學生表面上獲得了自主的權利，可實際上並沒有做到真正的自主。
課堂教學是開展反思性學習的主渠道。在課堂教學中要有意識的引導學生從多方位、多角度進行反思性的學習；要引導學生自然地合理地提出問題、自然地合理地解決問題、自然地合理地拓展問題，從而提高邏輯思維能力和解決問題的能力。
由於提出問題是解決問題的邏輯前提，並且提出問題對學生的思維品質和主動性有更高的要求，因此完整的數學學習應包括學“問”與學“答”兩方面。教師應創設問題產生的情境，引導學生從解決現實問題和數學知識邏輯發展的需要中提出問題。如對兩角和與差的餘弦公式，既可以由觀察誘導公式提出，也可以由如何求sin75°=？，cos15°=？等提出，也可以由函數的圖像可以由函數的圖像通過平移得到進而猜想它們的表達式也有內在的聯繫，也可以由現實中相應的問題提出。一節課尾聲時，讓學生進行一下反思，想想自己這節課都有什麼收穫？還有哪些疑問？當天睡前，反思一下今天自己的感受；或是一週反思一下自己的進步和不足等等。
2、反思對課標的把握
本模塊在三角函數一章減少了公式的數量，淡化了證明的技巧，儘量在探索中讓學生髮現新知。在削弱證明的同時，強調發展學生聯繫實際、觀察和利用所學知識解決現實生活中部分問題的能力。
教學中要注意控制難度，避免進行綜合性強、難度較大的數學題的訓練，避免在解題技巧上做文章。
3。 反思課堂教學的有效性
對課堂教學的有效性，我們不僅應該有全面衡量的意識，也應該有從定性與定量兩方面衡量的意識。就當前課堂教學而言，我們要特別關注數學教學層次問題。以《平面向量基本定理》為例，採用“一個定理+三項注意”的模式，重點放在學生接受平面向量的基本定理和例題、習題的模仿與訓練上，是一個層次；告訴學生平面向量基本定理藴含着分解、轉化思想，重點放在定理的得出和證明的方法上是另一層次；理解平面向量基底的作用與意義，師生共同探討為什麼要研究這個問題，怎樣研究這個問題，搞清楚其中體現的數學思維是更高的一個層次；如果學生能由平面向量基本定理體會到“事物是相互聯繫、相互轉化的”，“事情是由一定的基本要素構成的，可以用構成它的基本要素來表示”，“研究事物可轉化為對它的基本要素的研究”，有助於養成理性地、有條理地思考和探究問題的習慣，那就更理想。
《三角函數模型的簡單應用》教案
教學準備
教學目標
掌握三角函數模型應用基本步驟:
（1）根據圖象建立解析式；
（2）根據解析式作出圖象；
（3）將實際問題抽象為與三角函數有關的簡單函數模型。
教學重難點
。利用收集到的數據作出散點圖，並根據散點圖進行函數擬合，從而得到函數模型。
教學過程
一、練習講解：《習案》作業十三的第3、4題
3、一根為Lcm的線，一端固定，另一端懸掛一個小球，組成一個單擺，小球擺動時，離開平衡位置的位移s（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數關係是
（1）求小球擺動的週期和頻率；(2)已知g=24500px/s2，要使小球擺動的週期恰好是1秒，線的長度l應當是多少？
（1） 選用一個函數來近似描述這個港口的水深與時間的函數關係，並給出整點時的水深的近似數值
（精確到0.001）。
（2） 一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規定至少要有1.5米的安全間隙（船底與洋底的距離） ，該船何時能進入港口？在港口能呆多久？
（3） 若某船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2:00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3
米的速度減少，那麼該船在什麼時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？
本題的解答中，給出貨船的進、出港時間，一方面要注意利用週期性以及問題的條件，另一方面還要注意考慮實際意義。關於課本第64頁的 “思考”問題，實際上，在貨船的安全水深正好與港口水深相等時停止卸貨將船駛向較深的水域是不行的，因為這樣不能保證船有足夠的時間發動螺旋槳。
練習：教材P65面3題
三、小結：1、三角函數模型應用基本步驟:
（1）根據圖象建立解析式；
（2）根據解析式作出圖象；
（3）將實際問題抽象為與三角函數有關的簡單函數模型。
2、利用收集到的數據作出散點圖，並根據散點圖進行函數擬合，從而得到函數模型。
四、作業《習案》作業十四及十五。
《平面向量的基本定理及座標表示》教案
教學準備
教學目標
平面向量複習
教學重難點
平面向量複習
教學過程
平面向量複習
知識點提要
一、向量的概念
1、既有又有的量叫做向量。用有向線段表示向量時，有向線段的長度表示向量的，有向線段的箭頭所指的方向表示向量的
2、叫做單位向量
3、的向量叫做平行向量，因為任一組平行向量都可以平移到同一條直線上，所以平行向量也叫做。零向量與任一向量平行
4、且的向量叫做相等向量
5、叫做相反向量
二、向量的表示方法：幾何表示法、字母表示法、座標表示法
三、向量的加減法及其座標運算
四、實數與向量的乘積
定義：實數 λ 與向量 的積是一個向量，記作λ
五、平面向量基本定理
如果e1、e2是同一個平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2 ,其中e1，e2叫基底
六、向量共線/平行的充要條件
七、非零向量垂直的充要條件
八、線段的定比分點
設是上的 兩點，P是上_________的任意一點，則存在實數，使_______________，則為點P分有向線段所成的比，同時，稱P為有向線段的定比分點
定比分點座標公式及向量式
九、平面向量的數量積
(1)設兩個非零向量a和b，作OA=a，OB=b，則∠AOB=θ叫a與b的夾角，其範圍是[0，π]，|b|cosθ叫b在a上的投影
(2)|a||b|cosθ叫a與b的數量積，記作a·b，即 a·b=|a||b|cosθ
(3)平面向量的數量積的座標表示
十、平移
典例解讀
1、給出下列命題：①若|a|=|b|，則a=b;②若A，B，C，D是不共線的四點，則AB= DC是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若a=【】b,b=c，則a=c;④a=b的充要條件是|a|=|b|且a∥b;⑤若a∥b,b∥c，則a∥c
其中，正確命題的序號是______
2、已知a,b方向相同，且|a|=3，|b|=7，則|2a-b|=____
3、若將向量a=(2，1)繞原點按逆時針方向旋轉 得到向量b，則向量b的座標為_____
4、下列算式中不正確的是( )
(A) AB+BC+CA=0 (B) AB-AC=BC
(C) 0·AB=0 (D)λ(μa)=(λμ)a
5、若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)，則c=( )
、函數y=x2的圖象按向量a=(2,1)平移後得到的圖象的函數表達式為( )
(A)y=(x-2)2-1 (B)y=(x+2)2-1 (C)y=(x-2)2+1 (D)y=(x+2)2+1
7、平面直角座標系中，O為座標原點，已知兩點A(3，1)，B(-1，3)，若點C滿足OC=αOA+βOB，其中a、β∈R，且α+β=1,則點C的軌跡方程為( )
(A)3x+2y-11=0 (B)(x-1)2+(y-2)2=5
(C)2x-y=0 (D)x+2y-5=0
8、設P、Q是四邊形ABCD對角線AC、BD中點，BC=a,DA=b，則 PQ=_________
9、已知A(5,-1) B(-1,7) C(1,2)，求△ABC中∠A平分線長
10、若向量a、b的座標滿足a+b=(-2,-1),a-b=(4,-3)，則a·b等於( )
(A)-5 (B)5 (C)7 (D)-1
11、若a、b、c是非零的平面向量，其中任意兩個向量都不共線，則( )
(A)(a)2·(b)2=(a·b)2 (B)|a+b|>|a-b|
(C)(a·b)·c-(b·c)·a與b垂直 (D)(a·b)·c-(b·c)·a=0
12、設a=(1,0),b=(1,1)，且(a+λb)⊥b，則實數λ的值是( )
(A)2 (B)0 (C)1 (D)-1/2
16、利用向量證明：△ABC中，M為BC的中點，則 AB2+AC2=2(AM2+MB2)
17、在三角形ABC中， =(2，3)， =(1，k)，且三角形ABC的一個內角為直角，求實數k的值
18、已知△ABC中，A(2,-1)，B(3,2)，C(-3,-1)，BC邊上的高為AD，求點D和向量
《三角函數的圖象與性質》教案
學準備
教學目標
1、知識與技能
(1)理解並掌握正弦函數的定義域、值域、週期性、最大(小)值、單調性、奇偶性；
(2)能熟練運用正弦函數的性質解題。
2、過程與方法
通過正弦函數在R上的圖像，讓學生探索出正弦函數的性質；講解例題，總結方法，鞏固練習。
3、情感態度與價值觀
通過本節的學習，培養學生創新能力、探索歸納能力；讓學生體驗自身探索成功的喜悦感，培養學生的自信心；使學生認識到轉化“矛盾”是解決問題的有效途經；培養學生形成實事求是的科學態度和鍥而不捨的鑽研精神。
教學重難點
重點： 正弦函數的性質。
難點： 正弦函數的性質應用。
教學工具
投影儀
教學過程
【創設情境，揭示課題】
同學們，我們在數學一中已經學過函數，並掌握了討論一個函數性質的幾個角度，你還記得有哪些嗎？在上一次課中，我們已經學習了正弦函數的y=sinx在R上圖像，下面請同學們根據圖像一起討論一下它具有哪些性質？
【探究新知】
讓學生一邊看投影，一邊仔細觀察正弦曲線的圖像，並思考以下幾個問題：
(1) 正弦函數的定義域是什麼？
(2) 正弦函數的值域是什麼？
(3) 它的最值情況如何？
(4) 它的正負值區間如何分？
(5) ?(x)=0的解集是多少？
師生一起歸納得出：
1. 定義域：y=sinx的定義域為R
2. 值域：引導回憶單位圓中的正弦函數線，結論：|sinx|≤1(有界性)
再看正弦函數線(圖象)驗證上述結論，所以y=sinx的值域為[-1，1]
課後小結
歸納整理，整體認識
(1)請學生回顧本節課所學過的知識內容有哪些？所涉及的主要數學思想方法有哪些？
(2)在本節課的學習過程中，還有那些不太明白的地方，請向老師提出。
(3)你在這節課中的表現怎樣？你的體會是什麼？
課後習題
作業：習題1—4第3、4、5、6、7題。
板書
略
蒙田範文網