1、函數的零點
(1)定義:
對於函數y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的實數x叫做函數y=f(x)(x∈D)的零點。
(2)函數的零點與相應方程的根、函數的圖象與x軸交點間的關係:
方程f(x)=0有實數根?函數y=f(x)的圖象與x軸有交點?函數y=f(x)有零點。
(3)函數零點的判定(零點存在性定理):
如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線,並且有f(a)·f(b)<0,那麼,函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根。
2、二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與零點的關係
3、二分法
對於在區間[a,b]上連續不斷且f(a)·f(b)<0的函數y=f(x),通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區間一分為二,使區間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法。
4、函數的零點不是點:
函數y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的實數根,也就是函數y=f(x)的圖象與x軸交點的橫座標,所以函數的零點是一個數,而不是一個點。在寫函數零點時,所寫的一定是一個數字,而不是一個座標。
5、對函數零點存在的判斷中,必須強調:
(1)f(x)在[a,b]上連續;
(2)f(a)·f(b)<0;
(3)在(a,b)內存在零點。
這是零點存在的一個充分條件,但不必要。
6、對於定義域內連續不斷的函數,其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號。
⑴公比為q的等比數列,從中取出等距離的項,構成一個新數列,此數列仍是等比數列,其公比為q(m為等距離的項數之差).
⑵對任何m、n,在等比數列中有:a=a·q,特別地,當m=1時,便得等比數列的通項公式,此式較等比數列的通項公式更具有普遍性。
⑶一般地,如果t,k,p,…,m,n,r,…皆為自然數,且t+k,p,…,m+…=m+n+r+…(兩邊的自然數個數相等),那麼當為等比數列時,有:a.a.a.…=a.a.a.…..
⑷若是公比為q的等比數列,則{|a|}、、、{}也是等比數列,其公比分別為|q|}、、、{}.
⑸如果是等比數列,公比為q,那麼,a,a,a,…,a,…是以q為公比的等比數列。
⑹如果是等比數列,那麼對任意在n,都有a·a=a·q>0.
⑺兩個等比數列各對應項的積組成的數列仍是等比數列,且公比等於這兩個數列的公比的積。
⑻當q>1且a>0或0
兩角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
和差化積
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
某些數列前n項和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
一:集合的含義與表示
1、集合的含義:集合為一些確定的、不同的東西的全體,人們能意識到這些東西,並且能判斷一個給定的東西是否屬於這個整體。
把研究對象統稱為元素,把一些元素組成的總體叫集合,簡稱為集。
2、集合的中元素的三個特性:
(1)元素的確定性:集合確定,則一元素是否屬於這個集合是確定的:屬於或不屬於。
(2)元素的互異性:一個給定集合中的元素是的,不可重複的。
(3)元素的無序性:集合中元素的位置是可以改變的,並且改變位置不影響集合
3、集合的表示:{…}
(1)用大寫字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列舉法與描述法。
a、列舉法:將集合中的元素一一列舉出來{a,b,c……}
b、描述法:
①區間法:將集合中元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內表示集合。
{xR|x-3>2},{x|x-3>2}
②語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
③Venn圖:畫出一條封閉的曲線,曲線裏面表示集合。
4、集合的分類:
(1)有限集:含有有限個元素的集合
(2)無限集:含有無限個元素的集合
(3)空集:不含任何元素的集合
5、元素與集合的關係:
(1)元素在集合裏,則元素屬於集合,即:aA
(2)元素不在集合裏,則元素不屬於集合,即:a¢A
注意:常用數集及其記法:
非負整數集(即自然數集)記作:N
正整數集N.或N+
整數集Z
有理數集Q
實數集R
如果直線a與平面α平行,那麼直線a與平面α內的直線有哪些位置關係?
平行或異面。
若直線a與平面α平行,那麼在平面α內與直線a平行的直線有多少條?這些直線的位置關係如何?
無數條;平行。
如果直線a與平面α平行,經過直線a的平面β與平面α相交於直線b,那麼直線a、b的位置關係如何?為什麼?
平行;因為a∥α,所以a與α沒有公共點,則a與b沒有公共點,又a與b在同一平面β內,所以a與b平行。
綜上分析,在直線a與平面α平行的條件下我們可以得到什麼結論?
如果一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。
1、柱、錐、台、球的結構特徵
(1)稜柱:
定義:有兩個面互相平行,其餘各面都是四邊形,且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體。
分類:以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三稜柱、四稜柱、五稜柱等。
表示:用各頂點字母,如五稜柱或用對角線的端點字母,如五稜柱。
幾何特徵:兩底面是對應邊平行的全等多邊形;側面、對角面都是平行四邊形;側稜平行且相等;平行於底面的截面是與底面全等的多邊形。
(2)稜錐
定義:有一個面是多邊形,其餘各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的幾何體。
分類:以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三稜錐、四稜錐、五稜錐等
表示:用各頂點字母,如五稜錐
幾何特徵:側面、對角面都是三角形;平行於底面的截面與底面相似,其相似比等於頂點到截面距離與高的比的平方。
(3)稜台:
定義:用一個平行於稜錐底面的平面去截稜錐,截面和底面之間的部分。
分類:以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三稜態、四稜台、五稜台等
表示:用各頂點字母,如五稜台
幾何特徵:①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形③側稜交於原稜錐的頂點
(4)圓柱:
定義:以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉,其餘三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體。
幾何特徵:①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側面展開圖是一個矩形。
(5)圓錐:
定義:以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸,旋轉一週所成的曲面所圍成的幾何體。
幾何特徵:①底面是一個圓;②母線交於圓錐的頂點;③側面展開圖是一個扇形。
(6)圓台:
定義:用一個平行於圓錐底面的平面去截圓錐,截面和底面之間的部分
幾何特徵:①上下底面是兩個圓;②側面母線交於原圓錐的頂點;③側面展開圖是一個弓形。
(7)球體:
定義:以半圓的直徑所在直線為旋轉軸,半圓面旋轉一週形成的幾何體
幾何特徵:①球的截面是圓;②球面上任意一點到球心的距離等於半徑。
2、空間幾何體的三視圖
定義三視圖:正視圖(光線從幾何體的前面向後面正投影);側視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)
注:正視圖反映了物體上下、左右的位置關係,即反映了物體的高度和長度;
俯視圖反映了物體左右、前後的位置關係,即反映了物體的長度和寬度;
側視圖反映了物體上下、前後的位置關係,即反映了物體的高度和寬度。