基本不等式教學課件【多篇】

基本不等式教學課件 篇一

【學習目標】

1．知識與技能：學會推導並掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，並掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等；

2．過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；

3．情態與價值：通過本節的學習，體會數學來源於生活，提高學習數學的興趣

【能力培養】

培養學生嚴謹、規範的學習能力，分析問題、解決問題的能力。

【教學重點】

應用數形結合的思想理解不等式，並從不同角度探索不等式 的證明過程；及其在求最值時初步應用

【教學難點】

基本不等式 等號成立條件

【教學過程】

一、課題導入

基本不等式 的幾何背景：如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，教師引導學生從面積的關係去找不等關係。

二、講授新課

1．問題探究——探究圖形中的不等關係。

將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形abcd中右個全等的直角三角形。設直角三角形的兩條直角邊長為a,b那麼正方形的邊長為 。這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為 。由於4個直角三角形的面積小於正方形的面積，我們就得到了一個不等式： 。

當直角三角形變為等腰直角三角形，即a=b時，正方形efgh縮為一個點，這時有 。

2.總結結論：一般的，如果

（結論的得出儘量發揮學生自主能動性，讓學生總結，教師適時點撥引導）

3．思考證明：（讓學生嘗試給出它的證明）

4．特別的，如果a>0,b>0,我們用 分別代替a、b ，可得，

通常我們把上式寫作：

①從不等式的性質推導基本不等式

用分析法證明：（略）

②理解基本不等式 的幾何意義

探究：對課本第98頁的“探究”（ 幾何證明）

注：在數學中，我們稱 為a、b的算術平均數，稱 為a、b的幾何平均數。本節定理還可敍述為：兩個正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數。

5、例：當時，取什麼值，的值最小？最小值是多少？

6、課時小結

本節課，我們學習了重要不等式a2＋b2≥2ab；兩正數a、b的算術平均數（ ），幾何平均數（ ）及它們的關係（ ≥ ）。它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實數，而後者要求a、b都是正數。它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數最值的重要工具(下一節我們將進一步學習它們的應用)。

7、作業：

課本第100頁習題[a]組的第1、2題

板書 設 計

課題： 3.4基本不等式

一、兩個不等式

二、例題及練習

基本不等式教學課件 篇二

在前兩節課的研究當中，學生已掌握了一些簡單的不等式及其應用，並能用不等式及不等式組抽象出實際問題中的不等量關係，掌握了不等式的一些簡單性質與證明，研究了一元二次不等式及其解法，學習了二元一次不等式（組）與簡單的線性規劃問題。本節課的研究是前三大節學習的延續和拓展。另外，為基本不等式的應用墊定了堅實的基礎，所以説，本節課是起到了承上啟下的作用。本節課是通過讓學生觀察第２４屆國際數學家大會的會標圖案中隱含的相等關係與不等關係而引入的通過分析得出基本不等式，然後從三種角度對基本不等式展開證明及對基本不等式展開一些簡單的應用，進而更深一層次地從理性角度建立不等觀念。教師應作好點撥，利用幾何背景，數形結合做好歸納總結、邏輯分析，並鼓勵學生從理性角度去分析探索過程，進而更深層次理解基本不等式，鼓勵學生對數學知識和方法獲得過程的探索，同時也能激發學生的學習興趣，根據本節課的教學內容，應用觀察、類比、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，進行啟發、探究式教學並使用投影儀輔助。

教學重點

1、創設代數與幾何背景，用數形結合的思想理解基本不等式；

2、從不同角度探索基本不等式的證明過程；

3、從基本不等式的證明過程進一步體會不等式證明的常用思路。

教學難點

1、對基本不等式從不同角度的探索證明；

2、通過基本不等式的證明過程體會分析法的證明思路。

教具準備 多媒體及課件

三維目標

一、知識與技能

1、創設用代數與幾何兩方面背景，用數形結合的思想理解基本不等式；

2、嘗試讓學生從不同角度探索基本不等式的證明過程；

3、從基本不等式的證明過程進一步體會不等式證明的常用思路，即由條件到結論，或由結論到條件。

二、過程與方法

1、採用探究法，按照聯想、思考、合作交流、邏輯分析、抽象應用的方法進行啟發式教學；

2、教師提供問題、素材，並及時點撥，發揮老師的主導作用和學生的主體作用；

3、將探索過程設計為較典型的具有挑戰性的問題，激發學生去積極思考，從而培養他們的數學學習興趣。

三、情感態度與價值觀

1、通過具體問題的解決，讓學生去感受、體驗現實世界和日常生活中存在着大量的不等量關係並需要從理性的角度去思考，鼓勵學生用數學觀點進行歸納、抽象，使學生感受數學、走進數學，培養學生嚴謹的數學學習習慣和良好的思維習慣；

2、學習過程中，通過對問題的探究思考，廣泛參與，培養學生嚴謹的思維習慣，主動、積極的學習品質，從而提高學習質量；

3、通過對富有挑戰性問題的解決，激發學生頑強的探究精神和嚴肅認真的科學態度，同時去感受數學的應用性，體會數學的奧祕、數學的簡潔美、數學推理的嚴謹美，從而激發學生的學習興趣。

教學過程

導入新課

探究：上圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客，你能在這個圖中找出一些相等關係或不等關係嗎？

（教師用投影儀給出第24屆國際數學家大會的會標，並介紹此會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客。通過直觀情景導入有利於吸引學生的注意力，激發學生的學習熱情，並增強學生的愛國主義熱情）

推進新課

師 同學們能在這個圖中找出一些相等關係或不等關係嗎？如何找？

（沉靜片刻）

生 應該先從此圖案中抽象出幾何圖形。

師 此圖案中隱含什麼樣的幾何圖形呢？哪位同學能在黑板上畫出這個幾何圖形？

（請兩位同學在黑板上畫。教師根據兩位同學的板演作點評）

（其中四個直角三角形沒有畫全等，不形象、直觀。此時教師用投影片給出隱含的規範的幾何圖形）

師 同學們觀察得很細緻，抽象出的幾何圖形比較準確。這説明，我們只要在現有的基礎上進一步刻苦努力，發奮圖強，也能作出和數學家趙爽一樣的成績。

（此時，每一位同學看上去都精神飽滿，信心百倍，全神貫注地投入到本節課的學習中來）

［過程引導］

師 設直角三角形的兩直角邊的長分別為a、b，那麼，四個直角三角形的面積之和與正方形的面積有什麼關係呢？

生 顯然正方形的面積大於四個直角三角形的面積之和。

師 一定嗎？

（大家齊聲：不一定，有可能相等）

師 同學們能否用數學符號去進行嚴格的推理證明，從而説明我們剛才直覺思維的合理性？

生 每個直角三角形的面積為，四個直角三角形的面積之和為2ab。正方形的邊長為，所以正方形的面積為a2+b2，則a2+b2≥2ab。

師 這位同學回答得很好，表達很全面、準確，但請大家思考一下，他對a2+b2≥2ab證明了嗎？

生 沒有，他仍是由我們剛才的直觀所得，只是用字母表達一下而已。

師 回答得很好。

（有的同學感到迷惑不解）

師 這樣的敍述不能代替證明。這是同學們在解題時經常會犯的錯誤。實質上，對文字性語言敍述證明題來説，他只是寫出了已知、求證，並未給出證明。

（有的同學竊竊私語，確實是這樣，並沒有給出證明）

師 請同學們繼續思考，該如何證明此不等式，即a2+b2≥2ab。

生 採用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一個完全平方數，它是非負數，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab。

師 同學們思考一下，這位同學的證明是否正確？

生 正確。

［教師精講］

師 這位同學的證明思路很好。今後，我們把這種證明不等式的思想方法形象地稱之為“比較法”，它和根據實數的基本性質比較兩個代數式的大小是否一樣。

生 實質一樣，只是設問的形式不同而已。一個是比較大小，一個是讓我們去證明。

師 這位同學回答得很好，思維很深刻。此處的比較法是用差和0作比較。在我們的數學研究當中，還有另一種“比較法”。

（教師此處的設問是針對學生已有的知識結構而言）

生 作商，用商和“1”比較大小。

師 對。那麼我們在遇到這類問題時，何時採用作差，何時採用作商呢？這個問題讓同學們課後去思考，在解決問題中自然會遇到。

（此處設置疑問，意在激發學生課後去自主探究問題，把探究的思維空間切實留給學生）

［合作探究］

師 請同學們再仔細觀察一下，等號何時取到。

生 當四個直角三角形的直角頂點重合時，即面積相等時取等號。

（學生的思維仍建立在感性思維基礎之上，教師應及時點撥）

師 從不等式a2+b2≥2ab的證明過程能否去説明。

生 當且僅當(a-b)2=0，即a=b時，取等號。

師 這位同學回答得很好。請同學們看一下，剛才兩位同學分別從幾何圖形與不等式兩個角度分析等號成立的條件是否一致。

（大家齊聲）一致。

（此處意在強化學生的直覺思維與理性思維要合併使用。就此問題來講，意在強化學生數形結合思想方法的應用）

板書：

一般地，對於任意實數a、b，我們有a2+b2≥2ab，當且僅當a=b時，等號成立。

［過程引導］

師 這是一個很重要的不等式。對數學中重要的結論，我們應仔細觀察、思考，才能挖掘出它的內涵與外延。只有這樣，我們用它來解決問題時才能得心應手，也不會出錯。

（同學們的思維再一次高度集中，似乎能從不等式a2+b2≥2ab中得出什麼。此時，教師應及時點撥、指引）

師 當a＞0,b＞0時，請同學們思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b。

生 完全可以。

師 為什麼？

生 因為不等式中的a、b∈R。

師 很好，我們來看一下代替後的結果。

板書：

即 (a＞0,b＞0)。

師 這個不等式就是我們這節課要推導的基本不等式。它很重要，在數學的研究中有很多應用，我們常把叫做正數a、b的算術平均數，把ab叫做正數a、b的幾何平均數，即兩個正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數。

（此處意在引起學生的重視，從不同的角度去理解）

師 請同學們嘗試一下，能否利用不等式及實數的基本性質來推導出這個不等式呢？

（此時，同學們信心十足，都説能。教師利用投影片展示推導過程的填空形式）

要證：，①

只要證a+b≥2，②

要證②，只要證：a+b-2≥0，③

要證③，只要證：④

顯然④是成立的，當且僅當a=b時，④中的等號成立，這樣就又一次得到了基本不等式。

（此處以填空的形式，突出體現了分析法證明的關鍵步驟，意在把思維的時空切實留給學生，讓學生在探究的基礎上去體會分析法的證明思路，加大了證明基本不等式的探究力度）

［合作探究］

老師用投影儀給出下列問題。

如圖，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=a,BC=b。過點C作垂直於AB的弦DD′，連結AD、BD。你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？

（本節課開展到這裏，學生從基本不等式的證明過程中已體會到證明不等式的常用方法，對基本不等式也已經很熟悉，這就具備了探究這個問題的知識與情感基礎）

［合作探究］

師 同學們能找出圖中與a、b有關的線段嗎？

生 可證△ACD ∽△BCD,所以可得。

生 由射影定理也可得。

師 這兩位同學回答得都很好，那ab與分別又有什麼幾何意義呢？

生表示半弦長，表示半徑長。

師 半徑和半弦又有什麼關係呢？

生 由半徑大於半弦可得。

師 這位同學回答得是否很嚴密？

生 當且僅當點C與圓心重合，即當a=b時可取等號，所以也可得出基本不等式 (a＞0,b＞0)。

課堂小結

師 本節課我們研究了哪些問題？有什麼收穫？

生 我們通過觀察分析第24屆國際數學家大會的會標得出了不等式a2+b2≥2ab。

生 由a2+b2≥2ab,當a＞0，b＞0時，以、分別代替a、b，得到了基本不等式 (a＞0,b＞0)。進而用不等式的性質，由結論到條件，證明了基本不等式。

生 在圓這個幾何圖形中我們也能得到基本不等式。

（此處，創造讓學生進行課堂小結的機會，目的是培養學生語言表達能力，也有利於課外學生歸納、總結等學習方法、能力的提高）

師 大家剛才總結得都很好，本節課我們從實際情景中抽象出基本不等式。並採用數形結合的思想，賦予基本不等式幾何直觀，讓大家進一步領悟到基本不等式成立的條件是a＞0，b＞0，及當且僅當a=b時等號成立。在對不等式的證明過程中，體會到一些證明不等式常用的思路、方法。以後，同學們要注意數形結合的思想在解題中的靈活運用。

佈置作業

活動與探究：已知a、b都是正數，試探索， ,,的大小關係，並證明你的結論。

分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表達式的大小關係，再由不等式及實數的性質證明。

（方法二）創設幾何直觀情景。設AC=a,BC=b，用a、b表示線段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的長度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得。

板書設計

基本不等式的證明

一、實際情景引入得到重要不等式

a2＋b2≥2ab

二、定理

若a＞0，b＞0

課後作業：

證明過程探索：

基本不等式教學課件 篇三

各位評委老師，上午好，我選擇的課題是必修5第三章第四節《基本不等式》第一課時。關於本課的設計，我將從以下五個方面向各位評委老師彙報。

一、教材分析

◆本節教材的地位和作用

◆教學目標

◆教學重點、難點

1、本節教材的地位和作用

“基本不等式” 是必修5的重點內容，在課本封面上就體現出來了（展示課本和參考書封面）。它是在學完“不等式的性質”、“不等式的解法”及“線性規劃”的基礎上對不等式的進一步研究。在不等式的證明和求最值過程中有着廣泛的應用。求最值又是大學聯考的熱點。同時本節知識又滲透了數形結合、化歸等重要數學思想，有利於培養學生良好的思維品質。

2、教學目標

（1）知識目標：探索基本不等式的證明過程；會用基本不等式解決最值問題。

（2）能力目標：培養學生觀察、試驗、歸納、判斷、猜想等思維能力。

（3）情感目標：培養學生嚴謹求實的科學態度，體會數與形的和諧統一，領略數學的應用價值，激發學生的學習興趣和勇於探索的精神。

3、教學重點、難點

根據課程標準制定如下的教學重點、難點

重點： 應用數形結合的思想理解不等式，並從不同角度探索基本不等式。

難點：基本不等式的內涵及幾何意義的挖掘，用基本不等式求最值。

二、教法説明

本節課藉助幾何畫板，使用多媒體輔助進行直觀演示。採用啟發式教學法創設問題情景，激發學生開始嘗試活動。運用生活中的實際例子，讓學生享受解決實際問題的樂趣。 課堂上主要採取對比分析；讓學生邊議、邊評；組織學生學、思、練。通過師生和諧對話，使情感共鳴，讓學生的潛能、創造性最大限度發揮，使認知效益最大。讓學生愛學、樂學、會學、學會。

三、學法指導

為更好的貫徹課改精神，合理的對學生進行素質教育，在教學中，始終以學生主體，教師為主導。因此我在教學中讓學生從不同角度去觀察、分析，指導學生解決問題，感受知識的形成過程，培養學生數形結合的意識和能力，讓學生學會學習。

四、教學設計

◆運用2002年國際數學家大會會標引入

◆運用分析法證明基本不等式

◆不等式的幾何解釋

◆基本不等式的應用

1、運用2002年國際數學家大會會標引入

如圖，這是在北京召開的第24屆國際數學家大會會標。會標根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。（展示風車）

正方形ABCD中，AE⊥BE,BF⊥CF,CG⊥DG,DH⊥AH,設AE=a,BE=b,則正方形的面積為S=__,Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等三角形，它們的面積之和是S’=_

從圖形中易得，s≥s’，即

問題1:它們有相等的情況嗎？何時相等？

問題2:當 a,b為任意實數時，上式還成立嗎？（學生積極思考，通過幾何畫板幫助學生理解）

一般地，對於任意實數a、b,我們有

當且僅當（重點強調）a=b時，等號成立（合情推理）

問題3:你能給出它的證明嗎？（讓學生獨立證明）

設計意圖

（1）運用2002年國際數學家大會會標引入，能讓學生進一步體會中國數學的歷史悠久，感受數學與生活的聯繫。

（2）運用此圖標能較容易的觀察出面積之間的關係，引入基本不等式很直觀。

（3）三個思考題為學生創造情景，逐層深入，強化理解。

2、運用分析法證明基本不等式

如果 a>0,b>0 ,

用 和 分別代替a,b可以得到

也可寫成

（強調基本不等式成立的前提條件“正”）（演繹推理）

問題4:你能用不等式的性質直接推導嗎？

要證 ①

只要證 ②

要證② ,只要證 ③

要證③ ,只要證 ④

顯然， ④是成立的。當且僅當a=b時， 不等式中的等號成立。

（強調基本不等式取等的條件“等”）

設計意圖

（1）證明過程課本上是以填空形式出現的，學生能夠獨立完成，這也能進一步培養學生的自學能力，符合課改精神；

（2）證明過程印證了不等式的正確性，並能加深學生對基本不等式的理解；

（3）此種證明方法是“分析法”,在選修教材的《推理與證明》一章中會重點講解，此處有必要讓學生初步瞭解。

3、不等式的幾何解釋

如圖，AB是圓的直徑，C是AB上任一點，AC=a,CB=b,過點C作垂直於AB的弦DE,連AD,BD,則CD= ,半徑為

問題5: 你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎？ （學生積極思考，通過幾何畫板幫助學生理解）

設計意圖

幾何直觀能啟迪思路，幫助理解，因此，藉助幾何直觀學習和理解數學，是數學學習中的重要方面。只有做到了直觀上的理解，才是真正的理解。

4、基本不等式的應用

例1.證明

（學生自己證明）

設計意圖

（1）這道例題很簡單，多數學生都會仿照課本上的分析思路重新證明，能夠練習“分析法”證明不等式的過程；

（2）學生能夠加深對基本不等式的理解，a和b不僅僅是一個字母，而是一個符號，它們可以是a、b,也可以是x、y,也可以是一個多項式；

（3）此例不是課本例題，比課本例題簡單，這樣，循序漸進， 有利於學生理解不等式的內涵。

例2:（1）把36寫成兩個正數的積，當兩個正數取什麼值時，它們的和最小？

（2）把18寫成兩個正數的和，當兩個正數取什麼值時，它們的積最大？

（讓學生分組合作、探究完成）

設計意圖

（1）此題目利用基本不等式求最值，包含正用，逆用，體現了基本不等式的應用價值；

（2）強調利用不等式求最值的關鍵點：“正”“定”“等”;

（3）有利於培養學生團結合作的`精神。

練習:（1）若a,b同號，則

（2）P113 練習1.2

設計意圖

鞏固基本不等式，讓學生熟悉公式，並學會應用。

小結：（讓學生暢所欲言）

設計意圖

有利於發揮學生的主觀能動性，突出學生的主體地位。

作業： 必做題：P 113 A組3、4

選做題：

設計意圖

（1）必做題是讓學生鞏固所學知識，熟練公式應用，強化學生基礎知識、基本技能的形成；

（2）選做題達到分層教學的目的，根據學生的實際情況，對他們進行素質教育。

時間安排：引入約5分鐘

證明基本不等式約10分鐘

幾何意義約10分鐘

知識應用約15分鐘

小結約5分鐘

五、板書設計

分析法證明

幾何解釋

例題講解

小結

作業

例2

以上是我對這節課的教學設計，懇請各位評委老師指導，謝謝！

基本不等式教學課件 篇四

《不等式的基本性質》它是北師大版八年級下冊第二章第二節的內容。今天我將從教材分析，教學目標，教學重難點，教法學法，教學過程這五個方面談談我對這節課處理的一些不成熟的看法：

本節內容不等式的基本性質，它是刻畫現實世界中量與量之間關係的有效數學模型，在現實生活中有着廣泛的應用，所以對不等式的學習有着重要的實際意義。同時，不等式的基本性質也為學生以後順利學習解一元一次不等式和解一元一次不等式組的有關內容的理論基礎，起到重要的奠基作用。

根據《新課程標準》的要求，教材的內容兼顧我班學生的特點，我制定瞭如下教學目標：

知識與技能：

1. 感受生活中存在的不等關係，瞭解不等式的意義。

2. 掌握不等式的基本性質。

過程與方法：經歷不等式的基本性質的探索過程，初步體會不等式與等式的異同。

情感態度與價值觀：經歷由具體實例建立不等式模型的過程，進一步符號感與數學化的能力。

教學重難點：

重點：不等式概念及其基本性質

難點：不等式基本性質3

教法與學法：

1. 教學理念： “ 人人學有用的數學”

2. 教學方法：觀察法、引導發現法、討論法

3. 教學手段：多媒體應用教學

4. 學法指導：嘗試，猜想，歸納，總結

根據《數學課程標準》的要求，教材和學生的特點，我制定了以下四個教學環節。下面我將具體的教學過程闡述一下：

一、複習導入新課

上課開始，我首先帶領學生學習本節課的教學目標，讓學生明白本節課學習的目標。

1.探索並掌握不等式的基本性質，並運用它對不等式進行變形

2.理解不等式性質與等式性質的聯繫與區別

3.提高觀察、比較、歸納的能力，滲透類比的思想方法

二、探求新知，講授新課

第一部分：學前練習

1. -7 ≤ -5, 3+4＞1+4

5+3≠12-5, x ≥ 8

a+2＞a+1， x+3 ＜6

(1)上述式子有哪些表示數量關係的符號？這些符號表示什麼關係？

(2)這些符號兩側的代數式可隨意交換位置嗎？

(3)什麼叫不等式？

目的：設計該部分是為了讓學生上新課之前先回顧一下上節課學習的內容。

第二部分：探究新知：

1.商場A種服裝的價格為60元，B種服裝的價格為80元

（1）兩種服裝都漲價10元，哪種服裝價格高？漲價15元呢？

（2）兩種服裝都降價5元，哪種服裝價格高？降價15元呢？

（3）兩種服裝都打8折出售，哪種服裝價格高？

2.已知 4 >3，填空：

4×（-1）——3 ×（-1）

4×（-5）——3 ×（-5）

目的：設計該部分的目的是為了引出不等式的基本性質做鋪墊。

第三部分：不等式的基本性質的探究

1：填空： 60 < 80

60+10 80+10

60-5 80-5

60+a 80+a

性質1，不等式的兩邊都加上（或減去）同一個整式，不等號的方向不變

2：填空(1)：60 < 80

60 ×0.8 80 ×0.8

填空(2)： 4 >3

4×5 3×5

4÷2 3÷2

性質2，不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。

3：填空： 4 >3

4×(-1) 3×(-1)

4×(-5) 3×(-5)

4÷(-2) 3÷(-2)

性質3，不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。

三、小結不等式的三條基本性質

1. 不等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變；

2. 不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；

3.*不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變 ；

與等式的基本性質有什麼聯繫與區別？

四、典型例題

例1.根據不等式的基本性質，把下列不等式化成x＜a或x＞a的形式：

(1) x-2＜ 3 (2) 6x＜ 5x-1

(3) 1/2 x＞5 (4) -4x＞3

解：(1)根據不等式基本性質1，兩邊都加上2，

得： x-2+2＜3+2

x＜5

(2)根據不等式基本性質1，兩邊都減去5x，

得： 6x-5x＜5x-1-5x

x＜-1

例2.設a＞b，用“＜”或“＞”填空：

(1)a-3 b-3 (2) -4a -4b

解：(1) ∵a＞b

∴兩邊都減去3，由不等式基本性質1

得 a-3＞b-3

(2) ∵a＞b，並且-4＜0

∴兩邊都乘以-4，由不等式基本性質3

得 -4a＜-4b

五、變式訓練：

1、已知x＜y,用“＜”或“＞”填空。

（1）x+2 y+2 （不等式的基本性質 ）

(2) 3x 3y （不等式的基本性質 ）

（3）－x －y （不等式的基本性質 ）

(4)x－m y－m （不等式的基本性質 ）

2、若a-b<0，則下列各式中一定成立的是（ ）

A.a>b >0

C. D.-a>-b

3、若x是任意實數，則下列不等式中，恆成立的是（ ）

A.3x>2x B.3x2>2x2

C.3+x>2 D.3+x2>2

六 、小結

七、作業的布

基本不等式教學課件 篇五

教材分析

本節課是在系統的學習了不等關係和不等式性質，掌握了不等式性質的基礎上展開的，作為重要的基本不等式之一，為後續的學習奠定基礎。要進一步瞭解不等式的性質及運用，研究最值問題，此時基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知識體系中起了承上啟下的作用，同時在生活及生產實際中有着廣泛的應用，因此它也是對學生進行情感價值觀教育的好素材，所以基本不等式應重點研究。

教學中注意用新課程理念處理教材，學生的數學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習，而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閲讀自學，師生互動，教師發揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程。通過本節學習體會數學來源於生活，提高學習數學的樂趣。

課程目標分析

依據《新課程標準》對《不等式》學段的目標要求和學生的實際情況，特確定如下目標：

1、知識與能力目標：理解掌握基本不等式，並能運用基本不等式解決一些簡單的求最值問題；理解算數平均數與幾何平均數的概念，學會構造條件使用基本不等式；培養學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。

2、過程與方法目標：按照創設情景，提出問題→剖析歸納證明→幾何解釋→應用(最值的求法、實際問題的解決)的過程呈現。啟動觀察、分析、歸納、總結、抽象概括等思維活動，培養學生的思維能力，體會數學概念的學習方法，通過運用多媒體的教學手段，引領學生主動探索基本不等式性質，體會學習數學規律的方法，體驗成功的樂趣。

3、情感與態度目標：通過問題情境的設置，使學生認識到數學是從實際中來，培養學生用數學的眼光看世界，通過數學思維認知世界，從而培養學生善於思考、勤於動手的良好品質。

教學重、難點分析

重點：應用數形結合的思想理解基本不等式，並從不同角度探索基本不等式的證明過程及應用。

難點：

1、基本不等式成立時的三個限制條件(簡稱一正、二定、三相等);

2、利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。

教法分析

本節課採用觀察——感知——抽象——歸納——探究；啟發誘導、講練結合的教學方法，以學生為主體，以基本不等式為主線，從實際問題出發，放手讓學生探究思索。以現代信息技術多媒體課件作為教學輔助手段，加深學生對基本不等式的理解。

教學準備

多媒體課件、板書

教學過程

教學過程設計以問題為中心，以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調過程，符合學生的認知規律，使數學教學過程成為學生對知識的再創造、再發現的過程，從而培養學生的創新意識。

具體過程安排如下：

創設情景，提出問題；

設計意圖：數學教育必須基於學生的“數學現實”，現實情境問題是數學教學的平台，數學教師的任務之一就是幫助學生構造數學現實，並在此基礎上發展他們的數學現實基於此，設置如下情境：

上圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客。

[問]你能在這個圖中找出一些相等關係或不等關係嗎？

本背景意圖在於利用圖中相關面積間存在的數量關係，抽象出不等式。在此基礎上，引導學生認識基本不等式。

二、抽象歸納：

一般地，對於任意實數a，b，有，當且僅當a=b時，等號成立。

[問]你能給出它的證明嗎？

學生在黑板上板書。

特別地，當a>0，b>0時，在不等式中，以、分別代替a、b，得到什麼？

設計依據：類比是學習數學的一種重要方法，此環節不僅讓學生理解了基本不等式不等式的來源，突破了重點和難點，而且感受了其中的函數思想，為今後學習奠定基礎

答案：。

【歸納總結】

如果a，b都是正數，那麼，當且僅當a=b時，等號成立。

我們稱此不等式為基本不等式。其中稱為a，b的算術平均數，稱為a，b的幾何平均數。

三、理解昇華：

1、文字語言敍述：

兩個正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數。

2、聯想數列的知識理解基本不等式

已知a，b是正數，A是a，b的等差中項，G是a，b的正的等比中項，A與G有無確定的大小關係？

兩個正數的等差中項不小於它們正的等比中項。

3、符號語言敍述：

若，則有，當且僅當a=b時，。

[問]怎樣理解“當且僅當”?(學生小組討論，交流看法，師生總結)

“當且僅當a=b時，等號成立”的含義是：

基本不等式教學課件 篇六

各位評委老師，上午好！我是來應聘高中數學的一號考生，我今天説課的題目是《基本不等式》，下面我將從説教材，説學情，説教法，説學法，説教學過程，説板書設計六個方面展開我的説課，下面開始我的説課！

一、説教材。

1教材的地位和作用：

《基本不等式》是人教版高中數學必修五第三章第四節的內容。本節主要內容是基本不等式的證明和簡單應用。它是在學完不等式性質，不等式的解法及線性規劃等知識的基礎上，對不等式的進一步研究，在不等式的證明和求最值的過程中有着廣泛的應用。

2教學目標：

（1） 知識與技能：學生能寫出基本不等式，會應用基本不等式解決相關問題。

（2） 過程與方法：學生通過觀察圖形，推導、證明等過程，培養觀察、分析、歸納、

總結的能力。

（3） 情感態度與價值觀：學生領略數學的實際應用價值，感受數學學習的樂趣。

3教學重難點：

重點：理解基本不等式的本質並會解決實際問題。

難點：基本不等式幾何意義的理解。

二、説學情。

為了更好地實現教學目標，我將對學生情況進行一下簡要分析。對於高一年級的學生來説，他們對不等式的知識有了一定的瞭解，但對基本不等式的理解運用能力不足。這一階段的學生正處在由抽象思維到邏輯思維的過渡期，對圖形的觀察、分析、總結可能會感到比較困難。這都將成為我組織教學的考慮因素。

三、説教法。

科學合理的教學方法能使教學效果事半功倍，達到教育學的和諧完美與統一。根據本節課的特點並結合新課改的要求，在本節課中，我將採用講授法、演示法、引導啟發法等教學方法。

四、説學法。

教師的教是為了學生更好地學，結合本節內容，我將學法確定為自主探究法、分析歸納

法。充分調動學生的眼、手、腦等多種感官參與學習，既培養了他們的學習興趣，又使他們感受到了學習的樂趣。

五、説教學過程。

首先，我將利用多媒體戰士2002年國際數學家大會的會標，讓同學們邊觀察邊思考：圖上有哪些相等或不等關係？通過展示來激發學生的學習興趣。接下來是新授環節。

我將會標抽象成幾何圖形，正方形ABCD 中有4個全等的直角三角形，讓學生自主探究，比較三角形面積之和與正方形面積的大小，從而讓學生自主推導出不等式a 2+b 2>2ab，再通過引導啟發，讓學生自己將結論補充完整。接下來，我會提問：你們能給出它的證明嗎？給兩分鐘的時間讓學生自主探究。然後用講授法給出基本不等式的常用形式ab≤a+b(a>0,b>0)，並給出具體的證明過程，強調等號成立的條件。基本不2

等式的證明是本節課的重點，先通過學生的自主探究，再通過我的講授，學生可以更快地理解這一知識點。接下來是探究基本不等式的幾何意義。先由學生自主思考兩分鐘的時間，然後通過我的講授，讓學生理解基本不等式的幾何意義，最後通過幾何畫板動態演示，讓學生更直觀地感受基本不等式的幾何意義。這樣就突破了基本不等式的幾何意義這一難點。接下來是鞏固練習環節。

這個環節，我將利用兩個例題對剛才所講的知識進行鞏固練習。

例1：證明

（1）x +1≥2(x >0) x

（2）a +1≥2a (a ≥0)

例2：

（1）用籬笆圍一個面積為100m的矩形菜園。問矩形長寬各為多少時，所用籬笆最短？

（2）一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問長寬各為多少時面積最大？第一個例題不是課本例題，它比課本例題簡單，這樣循序漸進，有利於學生理解不等式的內涵，此處a、b不僅僅是一個字母，而是一個符號，可以是具體數字，也可以是一個多項式。對於這個例題，多數學生會仿照課本上的思路用分析法進行證明。

第二個例題是利用基本不等式求最值進而解決實際問題，體現了基本不等式的應用價值，而且例題包含了公式的正向應用和逆向應用，鍛鍊了學生的靈活使用能力。

下面是小結環節。我將讓學生用兩分鐘的時間回顧本節課所學習的內容，並自己總結出本節的知識點。這樣不但能鞏固本節所學知識，而且能培養學生分析、歸納、總結的能力。22

然後是佈置作業。為了在課後對所學的知識進行鞏固，我將佈置課後習題第2題，第4題作為練習題。

基本不等式教學課件 篇七

教學目的

掌握不等式的基本性質，會用不等式的基本性質進行不等式的變形。

教學過程

師：我們已學過等式，不等式，現在我們來看兩組式子（教師出示小黑板中的兩組式子），請同學們觀察，哪些是等式？哪些是不等式？

第一組：1+2=3; a+b=b+a; S =ab; 4+x =7。

第二組：-7 < -5; 3+4 >1+4; 2x ≤6， a+2 ≥0; 3≠4。

生：第一組都是等式，第二組都是不等式。

師：那麼，什麼叫做等式？什麼叫做不等式？

生：表示相等關係的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。

師：在數學熾，我們用等號“=”來表示相等關係，用不等式號“〈”、“〉”或“≠”表示不等關係，其中“＞”和“＜”表示大小關係。表示大小關係的不等式是我們中學教學所要研究的。

前面我們學過了等式，同學們還記得等式的性質嗎？

生：等式有這樣的性質：等式兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以（ 除數不為零）同一個數，所得到的仍是等式。

師：很好！當我們開始研究不等式的時候，自然會聯想到，是否有與等式相類似的性質，也就是説，如果在不等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除經（除數不為零）同一個數，結果將會如何呢？讓我們先做一些試驗練習。

練習1 (回答)用小於號“<”或大於號“>”填空。

（1）7 ___ 4;

（2）- 2____6;

（3）- 3_____ -2；

（4）- 4_____-6

練習2（口答）分別從練習1中四個不等式出發，進行下面的運算。

（1）兩邊都加上（或都減去）5，結果怎樣？不等號的方向改變了嗎？

（2）兩邊都乘以（或都除以）5，結果怎樣？不等號的方向改變了嗎？

（3）兩邊都乘以（或都除以）（-5），結果怎樣？不等號的方向改變了嗎？

生：我們發現：在練習2中，第（1）、（2）題的結果是不等號的方向不變；在第（3）題中，結果是不等號的方向改變了！

師：同學們觀察得很認真，大家再進一步探討一下，在什麼情況下不等號的方向就會發生改變呢？

生甲：在原不等式的兩邊都乘以（或除以）一個負數的情況下，不等號的方向要改變。

師：有沒有不同的意見？大家都同意他的看法嗎？可能還有同學不放心，讓我們再做一些試驗。

練習3（口答）分別在下面四個不等式的兩邊都以乘以（可除以）-2，看看不等號的方向是否改變：

7＞4；-2＜6；-3＜-2；-4＞-6。

師：現在我們可以歸納出不等式的基本性質，一般地説，不等式的基本性質有三條：

性質1：不等式的兩邊都加上（或都減去）同一個數，不等號的方向 。

（讓同學回答。）

性質2：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個正數，不等號的方向 。（讓同學回答。）

性質3：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個負數，不等號的方向 。（讓同學回答。）

現在請大家翻開課本，一起朗讀用黑體字寫的三條基本性質。

不等式的這三條基本性質，都可以用數學語言表達出來，先請一位同學説一説第一條基本性質。

生：如果a＜b。那麼a+c＜b+c（或a-c＜b-c；如果a＞b，那麼a+c＞b+c（或a-c＞b-c）。

師：對a和b有什麼要求嗎？對c有什麼要求？

生：沒有什麼要求。

師：哪位同學來回答第二、三條性質？

生甲：如果a0， 那麼acb，且c>0，那麼ac>bc(或

生乙：如果abc(或 )；如果a>b，且c<0，那麼ac

師：這兩條性質中，對a、b、c有什麼要求？

生：對a、b沒什麼要求，特別要注意c是正數還是負數。

師：很好，c可以為零嗎？

生：c不能為零。因為c為零時，任何不等式兩邊都乘以零就變成等式了。

師：好！應用剛才學到的基本性質，我們來看下面的例題。

[例1]按照下列條件，寫出仍能成立的不等式：

（1）5＜9，兩邊都加上-3；

（2）9＞4，兩邊都減去10；

（3）-5＜3，兩邊都乘以4；

（4）14＞-8，兩邊都除以-2。

解 （1）根據不等式基本性質1，在不等式59的兩邊都加上-3，不等號的方向不變，所以

5+（-3）＜9+（-3），

2＜6

（2）根據不等式基本性質1，得

9-10＞4-10

-1＞-6

（3）根據不等式基本性質2，得

-5×4＜3×4

-20＜12

（4）根據不等式基本性質3，得

14÷（-2）＜（-8）÷（-2）

-7＜4

[例2]設a＞b，用不等號連結下列各題中的兩式：

（1）a-3與b-3;

（2）2a與2b;（3）-a與-b。

師：哪一位同學來做這題？解題時，要講清一步的理由。

生甲：因為a＞b，兩邊都減去3，由不等式的基本性質1，得

a-3＞b-3

師：很好，大家都是這樣做的嗎？

生乙：我是這樣做的，因為a＞b，兩邊都加上（-3），由基本性質1，得

a-3＞b-3

師：好！這兩位同學從不同的角度來分析題目，都得到了正確的結論。

生丙：因為a＞b，2＞0，由基本性質2，得2a＞2b。

生丁：因為a＞b，-1＞0，由基本性質3，得-a＞-b。

師：下面我們來看一組較複雜的問題，請大家都來開動腦筋，認真審題，仔細分析。[例3]判斷以下各題的結論是否正確，並説明都理由：

(1)如果a>b，且c>0，那麼ac>bd;

(2)如果a>b，那麼ac2>bc2;

(3)如果ac2>bc2，那麼a>b;

(4)如果a>b，那麼a-b>0;

(5)如果ax>b，且a≠0，那麼x< ;

(6)如果a+b>a;

生甲：（1）不對，當c=d≤0時，ac＞bd不成立。

生乙：（2）也不對，因為c2是一個非負數，當c=0時，ac2＞bc2不成立。

生丙：（3）對，因為ac2＞bc2成立，則c2一定大於零，根據不等式基本性質2，得a＞b出。

（4）對，根據不等式基本性質，由a＞b，兩邊減去b得a-b＞0。

（5）不對，當a＜0時，根據不等式基本性質3，得。

（6）不對，因為當b＜0時，根據不等式基本性質1，得a+b＜a；而當b=0時，則有a+b=a。

師：同學們回答得很好。今天我們學習了不等式的基本性質，我們不僅要理解這三條性質，還要能靈活運用。

課外做以下作業：略。

教案説明

（1） 不等式的基本性質的教學，是分成兩個階段進行的。在國中階段，對不等式的基本性質，並不作證明，只引導學生用試驗的方法，歸納出三條基本性質。通過試驗，由特殊到一般，由具體到抽象，這是一種認識事物規律的重要方法。科學上的許多發現，大多離不開試驗和觀察。大數學家歐拉説過：“數學這門科學，需要觀察，也需要試驗。”通過教學培養學生掌握由試驗發現規律的方法，具有重要的意義。當然通過幾個特殊的試驗，就得出一般的結論，是不嚴密的。但對國中學生來説，初次接觸不等式，是不能要求那麼嚴密的。

（2） 不等式的基本性質的教學，還應採用對比的方法。學生已學過等式和等式的性質，為了便於和加深對不等式基本性質的理解，在教學過程中，應將不等式的性質與等式的性質加以比較：強調等式的兩邊都加上或減去，都乘以或除以（除數不能為零）同一個數，所得到的仍是等式，這個數可以是正數、負數或零；而在不等式的兩邊都加上或減去，都乘以或除以（除數不能為零）同一個數，當這個數是正數、負數或零時，對不等式的方向，有什麼不同的影響。通過這樣的對比，不但可以複習已學過的等式有關知識，便於引入新課，而且也有利於掌握不等式的基本性質。對比的方法，也是學習數學的一種重要方法。

（3） 在應用不等式的基本性質對不等式進行變形時，學生對不等式兩邊是具體數，判定大小關係比較容易。因為這實際上是有理數大小的比較。對於不等式兩邊是含字母的代數式時，根據題給的條件，運用不等式基本性質判別大小關係或不等號方向，就比較困難。因為它比較抽象，特別是在運用不等式的基本性質2和性質3時，學生必須考慮不等式兩邊同乘（或同除）的這個用字母表示的數的符號是什麼，或者還要對這個用字母表示的數，按正數、負數或零三種情況加以討論。在教學過程中，對於這類題目，採用討論法是比較好的。因為在討論時，學生可以充分發表各種見解。對於正確的見解，教師可以讓學生説出解題的依據；對於錯誤的見解，教師可以進行啟發引導，發動學生自己找出錯誤的原因，自己修正見解。這樣，有利於發現問題，有的放矢地解決問題，有利於深化對不等式基本性質的認識。

基本不等式教學課件 篇八

一、教學目標：

（一）知識與技能

1．掌握不等式的三條基本性質。

2．運用不等式的基本性質對不等式進行變形。

（二）過程與方法

1．通過等式的性質，探索不等式的性質，初步體會“類比”的數學思想。

2．通過觀察、猜想、驗證、歸納等數學活動，經歷從特殊到一般、由具體到抽象的認知過程，感受數學思考過程的條理性，發展思維能力和語言表達能力。

（三）情感態度與價值觀

通過探究不等式基本性質的活動，培養學生合作交流的意識和大膽猜想，樂於探究的良好思維品質。

二、教學重難點

教學重點： 探索不等式的三條基本性質並能正確運用它們將不等式變形。

教學難點： 不等式基本性質3的探索與運用。

三、教學方法：自主探究——合作交流

四、教學過程：

情景引入

1．舉例説明什麼是不等式？

2．判斷下列各式是否成立？並説明理由。

( 1 ) 若x－6=10, 則x＝16( )

( 2 ) 若3x=15, 則 x＝5 ( )

( 3 ) 若x－6＞10 則 x＞16( )

( 4 ) 若3x＞15 則 x＞5 ( )

【設計意圖】（1）、（2）小題喚起對舊知識等式的基本性質的回憶，（3）、（4）小題引導學生大膽説出自己的想法。

温故知新

問題1．由等式性質1你能猜想一下不等式具有什麼樣的性質嗎？

等式性質1：等式兩邊都加上或減去同一個數（或同一個整式），所得結果仍是不等式。

估計學生會猜：不等式兩邊都加上或減去同一個數（或同一個整式），所得結果仍是不等式。教師引導：“＝”沒有方向性，所以可以説所得結果仍是等式，而不等號：“＞，＜，≥，≤”具有方向性，我們應該重點研究它在方向上的變化。

問題2．你能通過實驗、猜想，得出進一步的結論嗎？

同學通過實例驗證得出結論，師生共同總結不等式性質1。

問題3．你能由等式性質2進一步猜想不等式還具有什麼性質嗎？

等式性質2：等式兩邊都乘或除以同一個數（除數不能是0），等式依然成立。

估計學生會猜：不等式兩邊都乘或除以同一個數（除數不能是0），不等號的方向不變。

你能和小夥伴一起來驗證你們的猜想嗎？

學生在小組內合作交流，發現了在不等式兩邊都乘或除以同一個數時，不等號的方向會出現兩種情況。教師進一步引導學生通過分析、比較探索規律，從而形成共識，歸納概括出不等式性質2和3。

問題4．在不等式兩邊都乘0會出現什麼情況？

問題5．如果a、b、c表示任意數，且a＜b，你能用a、b、c把不等式的基本性質表示出來碼？

【想一想】不等式的基本性質與等式的基本性質有什麼相同之處，有什麼不同之處？

學生思考，獨立總結異同點。

【設計意圖】引導學生把二者進行比較，有助於加深對不等式基本性質的理解，促成知識的“正遷移”。

綜合訓練：你能運用不等式的基本性質解決問題嗎？

1、課本62頁例3

教師引導學生觀察每個問題是由a＞b經過怎樣的變形得到的，應該應用不等式的哪條基本性質。由學生思考後口答。

2、你認為在運用不等式的基本性質時哪一條性質最容易出錯，應該怎樣記住？

3、火眼金睛

①a＞1, 則2a___a

②a＞3a,則 a ___ 0

【設計意圖】通過變式訓練，加深學生對新知的理解，培養學生分析、探究問題的能力。

課堂小結：

這節課你有哪些收穫？你認為自己的表現如何？教師引導學生回顧、思考、交流。

【設計意圖】回顧、總結、提高。學生自覺形成本節的課的知識網絡。

思考題

咱們班的盛芳同學準備在五、一期間和他的爸爸、媽媽外出旅遊。青年旅行社的標準為：大人全價，小孩半價；方正旅行社的標準為：大人、小孩一律八折。若兩家旅行社的基本價一樣，你能幫盛芳同學考慮一下選擇哪家旅行社更合算嗎？

【設計意圖】利用所學的數學知識，解決生活中的問題，加強數學與生活的聯繫，體驗數學是描述現實世界的重要手段。