第一篇:分析法證明不等式
分析法證明不等式
已知非零向量a,b,a⊥b,求證|a|+|b|/|a+b|<=√2
【1】
∵a⊥b
∴ab=0
又由題設條件可知,
a+b≠0(向量)
∴|a+b|≠0.
具體的,即是|a+b|>0
【2】
顯然,由|a+b|>0可知
原不等式等價於不等式:
|a|+|b|≤(√2)|a+b|
該不等式等價於不等式:
(|a|+|b|)²≤².
整理即是:
a²+2|ab|+b²≤2(a²+2ab+b²)
【∵|a|²=a².|b|²=b².|a+b|²=(a+b)²=a²+2ab+b²
又ab=0,故接下來就有】】
a²+b²≤2a²+2b²
0≤a²+b²
∵a,b是非零向量,
∴|a|≠0,且|b|≠0.
∴a²+b²>0.
推上去,可知原不等式成立。
作為數學題型的不等式證明問題和作為數學證明方法的分析法,兩者皆為中學數學的教學難點。本文僅就用分析法證明不等式這一問題稍作探討。
注:“本文中所涉及到的圖表、公式註解等形式請以pdf格式閲讀原文。”
就是在其兩邊同時除以根號a+根號b,就可以了。
下面我給你介紹一些解不等式的方法
首先要牢記一些我們常見的不等式。比如均值不等式,柯西不等式,還有琴深不等式(當然這些是翻譯的問題)
然後要學會用一些函數的方法,這是解不等式最常見的方法。分析法,綜合法,做減法,假設法等等這些事容易的。
在考試的時候方法最多的是用函數的方法做,關鍵是找到函數的定義域,還有求出它的導函數。找到他的最小值,最大值。
在結合要求的等等
一句話要靈活的用我們學到的知識解決問題。
還有一種方法就是數學證明題的最會想到的。就是歸納法
這種方法最好,三部曲。你最好把它掌握好。
若正數a,b滿足ab=a+b+3,則ab的取值範圍是?
解:ab-3=a+b>=2根號ab
令t=根號ab,
t^2-2t-3>=0
t>=3ort<=-1(舍)
即,根號ab>=3,
故,ab>=9(當且僅當a=b=3是取等號)。
第二篇:分析法證明不等式08
分析法證明不等式
教學目標:
1.掌握分析法證明不等式;
2.理解分析法實質——執果索因;
3.提高證明不等式證法靈活性.
教學重點:
分析法
教學難點:
分析法實質的理解
教學過程:
一.分析法:
證明不等式時,有時可以從求證的不等式出發,分析使這個不等式成立的充分條件,把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題,如果能夠肯定這些充分條件都已具備,那麼就可以斷定原不等式成立,這種方法通常叫做分析法.
例1求證3?7?25 證明:因為?和2都是正數,所以為了證明??2 只需證明(3?7)2?(2)2
展開得10?221?20
即221?10,21?25
因為21?25成立,所以
(3?7)2?(2)2成立 即證明了??2
注意:①分析法是“執果索因”,步步尋求上一步成立的充分條件,它與
綜合法是對立統一的兩種方法.綜合法是“由因導果”
②分析法論證“若a則b”這個命題的模式是:為了證明命題b為真,這隻需要證明命題b1為真,從而有??
這隻需要證明命題b2為真,從而又有??
這隻需要證明命題a為真
而已知a為真,故b必真
例2證明:通過水管放水,當流速相同時,如果水管截面的周長相等,那麼截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大.
分析:當水的流速相同時,水管的流量取決於水管截面面積的大小,
ll設截面的周長為l,則周長為l的圓的半徑為,截面積為t1()2;周2?2?
ll長為l的正方形邊長為,截面積為()2.所以本題只需證明44
ll?()2?()2. 2?(本文來源本站)4
説明:對於較複雜的不等式,直接運用綜合法往往不易入手,因此,通常用分析法探索證題途徑,然後用綜合法加以證明,所以分析法和綜合法經常是結合在一起使用的。
二.課堂練習:
課本p16練習1,2,3
三.課堂小結
師:通過本節學習,要求大家在理解分析法的邏輯關係的基礎上掌握分析法證明不等式,並加深認識不等式證明方法的靈活性,能綜合運用證明不等式的各種方法.
四.課後作業
p17 習題6.34,5,9
五.板書設計
第三篇:分析法證明不等式
主備人:審核: 包科領導:年級組長:使用時間:
4-5
【教學目標】
1.掌握分析法證明不等式的方法和步驟。
2.能夠利用分析法證明不等式。
【重點、難點】
重點:分析法證明不等式。
難點:分析法證明不等式。
【學法指導】
1.據學習目標,自學課本內容,限時獨立完成導學案;
2.紅筆勾出疑難點,提交小組討論;
1, 預習p17-p18,
【自主探究】
i. 分析法:從所要證明的結論入手向已知條件反推直至達到已知條件為
止,這種證明方
法稱為。 即“執果索因”的證明方法,即從“未知” 看
“”它
也是證明不等式的一種重要的基本方法。證明時一定要注意書寫格式。
ii. 分析法的本質是從需證的不等式出發尋求使結論成立的充分條件,證
明的關鍵是推理每一步都
必須可逆,簡言之,步步可逆。
證明的模式(步驟)以論證“若a則b”為例;欲證明b成立,
只需證明b1成立,從而又??
只需證明b2成立,從而又??
????
只需證明a為真,今已知a真,故b必真
可見分析法就是尋求上一步成立的充分條件,可以簡單寫成
b?b1?b2?......?a
【合作探究】
證明下列不等式
(1) 求證 :
分析法證明不等式 ?2
(2)已知a>0, b>0且a>b
?
【鞏固提高】
(1),已知a,b,x,y?r,且a2?b2?1,x2?y2?1,求證: ax?by?1
?(2),已知a,b ?r,a?b?1,求證:(a?)(b?)?1
a1b25 4
【能力提升】
已知 a,b ?r,2c?a?b,求證:
c?a?c?
本節小結:
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第四篇:2、綜合法和分析法證明不等式
南化一中高三數學第一輪複習講義55第六章《不等式》
§6.2綜合法和分析法證明不等式
【複習目標】
1. 熟悉證明不等式的綜合法、分析法,並能應用其證明不等式;
2. 理解分析法的實質是“執果索因”;注意用分析法證明不等式的表述格式;
3. 對於較複雜的不等式,能綜合使用各種方法給予證明。
【重點難點】
綜合法的難點在於從何處出發進行論證並不明確,因此我們經常用分析法尋找解題的思路,再用綜合法表述。分析法是“執果索因”,綜合法是“由因導果”。要注意分析法的表述格式。
【課前預習】
1.“a>1”是“1?1”的() a
a. 充分但不必要條件b. 必要但不充分條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條
2.
a?3)
3. 證明a2+b2+c2≥ab+bc+ac.
4. 設a,b,c∈r+,則三個數a?1,b?1,c?1的值,則() bca
a. 都大於2b. 至少有一個不大於2c. 都小於2d. 至少有一個不小於2
【典型例題】
11??3? xy
abc???a??c.(2)設a,b,c都是正數,求證:ca例1(1)已知x,y?r,且2x?y?
1,求證:?
第55課:§6.2綜合法和分析法證明不等式《高中數學學案教學方法的研究》課題組編寫 例2已知a>0,b>0,2c>a+b. 求證:c-c2?ab<a<c+c2?ab.
例3若f(x)??x2,a≠b.求證f(a)?f(b)?a?b.
【鞏固練習】
1. 設a?3?2,b??5,c?7?6, 則a,b,c大小順序是
a.a>b>cb.b>c>ac.c>a>bd.a>c>b
2. 設0<a<b,a+b=1,在下列不等式中正確的是
a.b<2ab<a2?b2<a2+b2b.2ab<b<a2+b2<a2?b2
c.2ab<a2+b2<a2?b2<bd.2ab<a2+b2<b<a2?b2
3. a>b>1,p=lgalgb,q=1
2(lga?lgb),r=lg(a?b
2)
a.r<p<qb.p<q<rc.q<p<rd.p<r<q
【本課小結】
【課後作業】
1. 已知:a,b,c為正實數.求證:bc
a?acab
b?c?a?b?c.
11
2. 設x>0,y>0,證明:(x2?y2)2?(x3?y3)3.
3. 已知a>0,b>0,且a2+b2
2=1,求證:a?b2≤32
4.
4. 若x、y是正實數,x+y=1,求證:(1+11
x)(1+y)≥9.
- 2-()() ()
第五篇:綜合法與分析法證明不等式(一)5
2014—2014學年度第二學期高二數學教案選修4-5不等式第5課時
28 江蘇省鄭樑梅高級中學高二數學教案(理)
主備人:馮龍雲做題人: 顧華章審核人: 曾慶亞
不等式的證明—綜合法和分析法(1)
一、教學目的:
1、 理解綜合法和分析法證明不等式的原理與思維特點;
2、 掌握由學過的基本不等式來證明一些新的不等式。
二、教學重難點:
重難點:綜合法和分析法證明不等式
三、教學方法:通過對比,體會兩種方法的異同,感受不等式證明中思路、方法的多樣性。
四、教學過程:
新課講授:
綜合法證題的思維過程:條件?結論
分析法證題的思維過程:結論?條件
例題講解:
例1、已知a、b是正數,求證:
例2
例3、已知a、b、m均是正數,且a< b,求證:
ab?≥2 baa?ma> b+mb
例4、已知a 、b、c?r,求證:a?b?c≥ab?bc?ca
例5、已知a 、b、c、d?r,求證: a?b
例6、已知a 、b、c是正數,求證:a?b?c≥3abc並指出等號成立的條件
例7、已知a、b、c是不全相等的正數,且abc?1。求證:a?b?c?
五、課堂練習:
(1)xy?0,求證:xy?333222?22??c2?d2?≥?ac?bd? 2111?? abc1xy???4xyyx
28江蘇省鄭樑梅高級中學高二數學作業(理)
班級姓名學號_______
1、設x?r下列式子正確的有
(1)、xg(l1)2xg)(l?
(3)、2?(2)、x2?12x?11(4)、?1x??2 x2?1x
a2?b2aba?b22、若a,b?r,且ab?0,則在①?ab②??2③ab??? 2ba2
a?b2a2?b2
④?這四個式子中,恆成立的個數是??22
3、已知a,b,c均大於1,且logac?logbc?4,則下列式子正確的是
(1)、ac?b(2)、ab?c(3)、bc?a(4)、ab?c
4、設m?xcos??ysin??n?xsin??ycos?,比較大小:mn____xy
5、若x?3y-1?0,則2?8的最小值為___________
6、比較大小:lg9?lg11______1
三、簡答題:
7、已知a,b,c?r。求證:
8、已知a,b?r且a?b。求證:
?2222xy?bccaab???a?b?c abcab?ba?a?b
9、已知a、b、c是互不相等的實數。求證:
a4?b4?c4?a2b2?b2c2?c2a2?abc(a?b?c)
10、已知a,b,c?r,且abc?1。求證:(1?a)(1?b)(1?c)?8
11、已知a,b,c?r。求證:
12、已知a、b、c均是正數,且a?b?c?1。求證:(1?a)(1-b)(1-c)?8abc
13、已知a、b、c是不全相等的正數。
求證: a(b?c)?b(c?a)?c(b?a)?6abc
222222??b?c-ac?a-ba?b-c???3 abc