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正文
第一篇：幾何法證明不等式
幾何法證明不等式
用解析法證明不等式：
^2<(a^2+b^2)/2
(a,b∈r，且a≠b)
設一個正方形的邊為c,有4個直角三角形拼成這個正方形,設三角形的一條直角邊為a,另一條直角邊為b,(b>a)a=b,剛好構成,若a不等於b時,側中間會出現一個小正方形,所以小正方形的面積為(b-a)^2,經化簡有(b+a)^2=4ab,所以有((a+b)/2)^2=ab,又因為(a^2+b^2)/2>=ab,所以有((a+b)/2)^2<=(a^2+b^2)/2,又因為a不等與b,所以不取等號
可以在直角三角形內解決該問題
=^2-(a^2+b^2)/2
=<2ab-(a^2+b^2)>/4
=-(a-b)^2/4
<0
能不能用幾何方法證明不等式，舉例一下。
比如證明sinx不大於x(x範圍是0到兀/2，閉區間)
做出一個單位圓，
以o為頂點，x軸為角的一條邊
任取第一象限一個角x，
它所對應的弧長就是1*x=x
那個角另一條邊與圓有一個交點
交點到x軸的距離就是sinx
因為點到直線，垂線段長度最小，
所以sinx小於等於x，當且盡當x=0時，取等
已經有的方法：第一數學歸納法2種;反向歸納法(特殊到一般從2^k過渡到n);重複遞歸利用結論法;凸函數性質法;
能給出其他方法的就給分
(a1+a2+...+an)/n≥()^(1/n)
一個是算術，一個是幾何。人類認認識算術才有幾何，人類吃飽了就去研究細微的東西，所以明顯有後者小於前者的結論，這麼簡單都不懂，叼佬就是叼佬^_^
搞笑歸搞笑，我覺得可以這樣做，題目結論相當於證
(a1+a2+...+an)/n-()^(1/n)≥0
我們記f(a1,a2,……,an)=(a1+a2+...+an)/n-()^(1/n)這時n看做固定的。我們討論f的極值，它是一個n元函數，它是沒有最大值的(這個顯然)
我們考慮各元偏導都等於0，得到方程組，然後解出
a1=a2=……=an
再代入f中得0，從而f≥0，裏面的具體步驟私下聊，寫太麻煩了。
要的是數學法證明也就是代數法不是用向量等幾何法證明.....有沒有哪位狠人幫我解決下
【柯西不等式的證明】二維形式的證明
(a^2+b^2)(c^2+d^2)(a,b,c,d∈r)
=a^2·c^2+b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2
=a^2·c^2+2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2-2abcd+b^2·c^2
=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2
≥(ac+bd)^2，等號在且僅在ad-bc=0即ad=bc時成立。
一般形式的證明
求證：(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2
證明：
當a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0時，一般形式顯然成立
令a=∑ai^2b=∑ai·bic=∑bi^2
當a1，a2，…，an中至少有一個不為零時，可知a>0
構造二次函數f(x)=ax^2+2bx+c，展開得：
f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑(ai·x+bi)^2≥0
故f(x)的判別式△=4b^2-4ac≤0，
移項得ac≥b，欲證不等式已得證。
第二篇：不等式的導數法證明
龍源期刊網
不等式的導數法證明 作者：王鎖平
來源：《新大學聯考·高二數學》2014年第02期
第三篇：比較法證明不等式
比較法證明不等式
1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。
(1)差值比較法的理論依據是不等式的基本性質：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作一個整體;②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段;③判斷：根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最後肯定所求證不等式成立的結論。應用範圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。
(2)商值比較法的理論依據是：“若a，b∈r+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商;②變形：化簡商式到最簡形式;③判斷商與1的大小關係，就是判定商大於1或小於1。應用範圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數式時，一般使用商值比較法。
2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，藉助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最後推出所要證明的不等式，其特點和思路是“由因導果”，從“已知”看“需知”，逐步推出“結論”。其邏輯關係為：ab1b2b3…bnb，即從已知a逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論b。
a>b>0,求證：a^ab^b>(ab)^a+b/2
因a^a*b^b=(ab)^ab,
又ab>a+b/2
故a^a*b^b>(ab)^a+b/2
已知:a,b,c屬於(-2,2).求證：ab+bc+ca>-4.
用極限法取2或-2，結果大於等於-4，因屬於(-2，2)不包含2和-2就不等於-4，結果就只能大於-4
下面這個方法算不算“比較法”啊?
作差m=ab+bc+ca-(-4)=ab+bc+ca+4
構造函數m=f(c)=(a+b)c+ab+4
這是關於c的一次函數(或常函數)，
在com座標系內，其圖象是直線，
而f(-2)=-2(a+b)+ab+4=(a-2)(b-2)>0(因為a<2,b<2)
f(2)=2(a+b)+ab+4=(a+2)(b+2)>0(因為a>-2,b>-2)
所以函數f(c)在c∈(-2,2)上總有f(c)>0
即m>0
即ab+bc+ca+4>0
所以ab+bc+ca>-4
設x,y∈r,求證x^2+4y^2+2≥2x+4y
(x-1)²≥0
(2y-1)²≥0
x²-2x+1≥0
4y²-4x+1≥0
x²-2x+1+4y²-4x+1≥0
x²+4y²+2≥2x+4x
除了比較法還有：
求出中間函數的值域：
y=(x^2-1)/(x^2+1)
=1-2/(x^2+1)
x為r，
y=2/(x^2+1)在x=0有最小值是2，沒有最大值，趨於無窮校
所以有：
-1<=y=1-2/(x^2+1)<1
原題得到證明
比較法：
①作差比較，要點是：作差——變形——判斷。
這種比較法是普遍適用的，是無條件的。
根據a-b>0a>b，欲證a>b只需證a-b>0;
②作商比較，要點是：作商——變形——判斷。
這種比較法是有條件的，這個條件就是“除式”的符號一定。
當b>0時，a>b>1。
比較法是證明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有時根據題設可轉化為等價問題的比較(如冪、方根等)
綜合法是從已知數量與已知數量的關係入手，逐步分析已知數量與未知數量的關係，一直到求出未知數量的解題方法。
第四篇：g3.1038 不等式的證明—比較法
g3.1038 不等式的證明—比較法
一、基本知識
1、求差法：a＞b? a－b＞0
a2、求商法：a＞b＞0??1並且b?0 b
3、用到的一些特殊結論：同向不等式可以相加（正數可以相乘）；異向不等式可以相減；
4、分析法——執果索因；模式：“欲證?，只需證?”；
5、綜合法——由因導果；模式：根據不等式性質等，演繹推理
6、分析法”證題的理論依據：尋找結論成立的充分條件或者是充要條件。我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然後用“綜合法”進行表達.
二、基本訓練
1、已知下列不等式:
(1)x2?3?2x(x?r) (2)a5?b5?a3b2?a2b3(a,b?r)(3)a2?b2?2(a?b?1)其中正確的個數為 ???????????????????()
(a)0(b)1(c) 2(d) 3
2、1＞a＞b＞0，那麼???????????????????（）
a?ba?b(a)a＞＞ab＞b(b) b＞＞ab＞a22
a?ba?b(c) a＞＞b＞ab(d) ＞ab＞a＞b 22
??3、如果－＜b＜a＜，則b－a的取值範圍是?????????（） 22
???(a)－?＜b－a＜0(b) －?＜b－a＜?(c) －＜b－a＜0(d) －＜b－a＜222
4a4、已知a?2,那麼（填“>”或者“<”） 4?a2
a5、若a?1，0?b?1，則logb
a?logb的範圍是_____________
6、若a?b?c?1，則a2?b2?c2的最小值為_____________
三、例題分析：
例1、求證：若a、b>0,n>1,則an?bn?an?1b?abn?1
例2、已知：a、b
?
例3、a、b、c、d、m、n全是正數，比較p=ab?cdq=ma?nc?
例4、比較aabb與baab(0?a?b)的大小。 變題：求證：ab?(ab)
例5、a∈r，函數f(x)?a?2 x2?1aba?b2bd?的大小. mn(a?0,b?0)
(1)判斷此函數的單調性。
n2(2)f(n)=,當函數f(x)?a?x為奇函數時，比較f(n),f(n)的大小. n?12?1
例6、設二次函數f(x)?ax2?bx?c(a?0)，方程f(x)?x?0的兩個根x1、x2滿足0?x1?x2?1。 a
（1） 當x?(0,x1)時，證明：x?f(x)?x1
（2） 設函數f(x)的圖象關於直線x?x0對稱，證明：x0?
四、同步練習：g3.1038 不等式的證明—比較法
1、不等式：⑴x3＋3>2x；⑵a5＋b5<a3b2＋a2b3；⑶a2＋b2≥2(a＋b－1)；⑷|ab?|?2恆成立bax1。 2的有()
(a)⑴、⑵(b) ⑴、⑶(c) ⑶、⑷(d) ⑴、⑵、⑶、⑷
2、 對x?r都成立的不等式是????????????????????? ()
(a)lg(x2?1)?lg2x (b) x2?1?2x(c)
3、0＜a＜1，f=2a，g=1?a，h=12(d)x?4?4x?12x?11，那麼f、g、h中最小的是???（） 1?a
(a)f(b) g(c) h(d) 不能確定
4、a>b>0，則下列不等式恆成立的是??????????????????（）
b2?1b22a?bb11(a)?2(c)a??b?(d) aa>bb ?(b)2a?2baaba?1a
5、x>100，那麼lg2x,lgx2,lglgx從大到小的順序為.
7(2x?2y)6、若x、y滿足y?x2，則式log2?的符號是________。 8227、a＞0，b＞0，a＋b=1，比較m=x＋y與n=(ax＋by)2＋(bx＋ay)2的大小.
8、比較xn?1?yn?1與xny?xyn(n?n,x,y?r?)大小
9、已知△abc的外接圓半徑r=1，s?abc?
t?111??。求證：t?s abc1，令s?a??c，b、a、c是三角形的三邊，4
?a2??b2a?b2??() 10、設a、b為實數，求證：42
11、已知正數a、b、c滿足a?b?2c，求證：
（1）c2?ab
（2）c?c2?ab?a?c?c2?ab
答案：ddad5、lg2x>lgx2>lglgx6、“+”、m?n.8、xn?1?yn?1?xny?xyn
第五篇：函數法證明不等式
函數法證明不等式
已知函數f(x)=x-sinx,數列{an}滿足0
<1>證明0
<2>證明an+1<(1/6)×(an)^3
它提示是構造一個函數然後做差求導，確定單調性。可是還是一點思路都沒有，各位能不能給出具體一點的解答過程啊?
((推薦打開範文網)1)f(x)=x-sinx,f'(x)=1-cosx
00,f(x)是增函數,f(0)
因為0
且an+1=an-sinan
(2)求證不等式即(1/6)an^3-an+1=(1/6)an^3-an+sinan>0①
構造函數g(x)=(1/6)x^3-x+sinx(0
g''(x)=x-sinx,由(1)知g''(x)>0,所以g'(x)單增,g'(x)>g'(0)=0
所以g(x)單增且g(x)>g(0)=0,故不等式①成立
因此an+1<(1/6)×(an)^3成立。
證畢!
構造分式函數，利用分式函數的單調性證明不等式
【例1】證明不等式：≥(人教版教材p23t4)
證明：構造函數f(x)=(x≥0)
則f(x)==1-在上單調遞增
∵f(|a|+|b|)=f(|a+b|)=且|a|+|b|≥|a+b|
∴f(|a|+|b|)≥f(|a+b|)即所證不等式正確。
點評：本題還可以繼續推廣。如：求證：≥。利用分式函數的單調性可以證明的教材中的習題還有很多，如：
p14第14題：已知c>a>b>0,求證:
p19第9題:已知三角形三邊的長是a，b，c，且m是正數，求證：
p12例題2:已知a，b，m，都是正數，且a二、利用分式函數的奇偶性證明不等式
【例2】證明不等式：(x≠0)
證明：構造函數f(x)=
∵f(-x)=
=f(x)
∴f(x)是偶函數，其圖像關於y軸對稱。
當x>0時，<0，f(x)<0;
當x<0時，-x>0,故f(x)=f(-x)<0
∴<0，即
三、構造一次函數，利用一次函數的單調性證明不等式
【例3】已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證：a+b+c證明：構造函數f(c)=(1-ab)c+a+b-2
∵|a|<1，|b|<1
∴-10
∴f(c)的(-1，1)上是增函數
∵f(1)=1-ab+a+b-2=a+b–ab-1=a(1-b)-(1-b)=(1-b)(a-1)<0
∴f(1)<0，即(1-ab)c+a+b-2<0
∴a+b+c。
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構造法證明不等式例説
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