導數證明不等式

第一篇：應用導數證明不等式

應用導數證明不等式

常澤武指導教師：任天勝

（河西學院數學與統計學院 甘肅張掖 734000）

摘要： 不等式在初等數學和高等代數中有廣泛的應用，證明方法很多，本文以函數的觀點來認識不等式，以導數為工具來證明不等式。

關鍵字： 導數 不等式最值中值定理單調性泰勒公式

中圖分類號： o13

application derivative to testify inequality

changzewu teachers: rentiansheng

(hexi institute of mathematics and statistics gansu zhang ye 734000) abstract: he inequality in elementary mathematics and higher algebra is widely used, proved many methods, based on the function point of view to know inequality to derivative tools to prove to inequality.

key words: the most value of deriv(請你繼續關注本站：)ative inequality value theorem monotonicity taylor formula

1.利用微分中值定理來證明不等式

在數學分析中，我們學到了拉格朗日中值定理，其內容為：

定理1.如果函數f?x?在閉區間?a,b?上連續，在開區間?a,b?上可導，則至少存在一點???a,b?，使得f'(?)?

拉格朗日中值定理是探討可微函數的的幾何特性及證明不等式的重要工具，我們可以根據以下兩種方法來證明。

（1）首先，分析不等式通過變形，將其特殊化。其次，選取合適的函數和範圍。第三，利用拉格朗日中值定理。最後，在根據函數的單調性和最大值和最小值。

（2）我們可根據其兩種等價表述方式

①f(b)?f(a)?f'(a??(b?a))(b?a),0???1

②f?a?h??f?a??f'?a??h?h,0???1

我們可以?的範圍來證明不等式。 f(b)?f(a)。 b?a

11(x?0)例1.1證明不等式ln(1?)?x1?x

證明第一步變形1 ln(1?)?ln(1?x)?ln(x) x

第二步選取合適的函數和範圍

令f(x)?lntt??x,1?x?

第三步應用拉格朗日中值定理

存在???x,1?x?使得f'(?)?f(1?x)?f(x) (1?x)?(x)

即ln(1?x)?ln(x)?1

?而 ?<1+x 1 1?x

1?x1)?而0?x??? 即ln( x1?x?ln(1?x)?ln(x)?

例 1.2證明：?h>-1且h?0都有不等式成立：

h?ln(1?h)?h 1?h

證明：令f(x)=ln(1+x),有拉格朗日中值定理，????0,1?使得

ln(1?h)?f(h)?f(0)?f'(?h)h?

當h>0時有

1??h?1?1?h,

當?1?h?0時有

1?1??h?1?h?0,即h.1??h1h??h;1?h1??h1h??h.1?h1??h

2．利用函數單調性證明不等式

我們在初等數學當中學習不等式的證明時用到了兩種方法：一種是判斷它們差的正負，另一種是判斷它們的商大於1還是小於1.而我們今天所要討論的是根據函數的導數的思想來判斷大小。

定理：設函數f(x)在?a,b?上連續，在?a,b?可導，那麼

（1） 若在?a,b?內f'(x)?0則f(x)在?a,b?內單調遞增。

（2） 若在?a,b?內f'(x)?0則f(x)在?a,b?內單調遞減。

使用定理：要證明區間?a,b?上的不等式f(x)?g(x)，只需令f(x)?f(?x)。 g使在(x)?a,b?上f'(x)>0（f'(x)<0）且f(a)=0或（f(b)=0）例2.1 設x?0證明不等式ln(1?x)?xe?x

證明：令f(x)?ln(1?x)?xe?x（x>0）

顯然f(0)?0

1ex?x2?1?x?x（x>0） f'(x)??e?xe?x1?x(1?x)e

現在來證明ex?x2?1?0

令f(x)?ex?x2?1顯然f(0)?0

當x?0時f'(x)?ex?2x?0

於是得f(x)在x?0上遞增

故對x?0有f(x)?f(0)?f(x)?0

而(1?x)ex?0

所以f'(x)?0故f(x)遞增

又因為f(0)?0

所以f(x)?0

所以ln(1?x)?xe?x成立

3．利用函數的最大值和最小值證明不等式

當等式中含有“=”號時，不等式f(x)?g(x)(或f(x)?g(x))? g(x)?f(x)?0（或g(x)?f(x)?0），亦即等價於函數g(x)?g(x)?f(x)有最小值或f(x)?f(x?)g(有最大值。x)

證明思路：由待正不等式建立函數，通過導數求出極值並判斷時極大值還是極小值，在求出最大值或最小值，從而證明不等式。

1例3.1證明若p>1，則對於?0,1?中的任意x有p?1?xp?(1?x)p?1 2

證明：構造函數f(x)?xp?(1?x)p(0?x?1)

則有f'(x)?pxp?1?p(1?x)p?1?p(xp?1?(1?x)p?1)

令f'(x)?0，可得xp?1?(1?x)p?1，於是有x?1?x，從而求得x?1。由於2

函數f(x)在閉區間?0,1?上連續，因而在閉區間?0,1?上有最小值和最大值。

由於函數f(x)內只有一個駐點，沒有不可導點，又函數f(x)在駐點x?1和2

111p1?)?p?1,f(0)?f(1),區間端點(x?0和x?1)的函數值為f()?)p?(1所以2222

1f(x)在?0,1?的最小值為p?1，最大值為1，從而對於?0,1?中的任意x有2

11?f(x)?1?xp?(1?x)p?1。 ，既有p?1p?122

4．利用函數的泰勒展式證明不等式

若函數f(x)在含有x0的某區間有定義，並且有直到(n?1)階的各階導數，又在x0處有n階導數f(n)(x0)，則有展式： f'(x0)f''(x0)fn(x0)2(x?x0)?(x?x0)??(x?x0)n?rn(x)f(x)?f(x0)?1!2!n!

在泰勒公式中，取x0=0,變為麥克勞林公式

f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)?rn(x) 1!2!n!

在上述公式中若rn(x)?0(或?0)則可得

f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)， 1!2!n!

f'(0)f''(0)2fn(0)n(x)?(x)??(x)。 或f(x)?f(0)?1!2!n!

帶有拉格朗日餘項的泰勒公式的實質是拉格朗日微分中值定理的深化，他是一個定量估計式，該公式在不等式證明和微分不等式證明及較為複雜的極限計算中有廣泛的應用。

用此公式證明不等式就是要把所證不等式化簡，其中函數用此公式，在把公式右邊放大或縮小得到所證不等式。

例4.1若函數f(x)滿足：（1）在區間?a,b?上有二階導函數f''(x)，（2）

f'(a)?f'(b)?0，則在區間?a,b?內至少存在一點c，使

f''(c)?4f(b)?f(a)。 2(b?a)

證明：由f(x)在x?a和x?b處的泰勒公式，並利用f'(a)?f'(b)?0，

得f(x)?f(a)?f''(?)(x?a)2

2! f''(?)f(x)?f(b)?(x?b)2,於是2!

a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(a)??(a???),22!42

a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(b)??(a???),22!42

f''(?)?f''(?)(b?a)2

相減，得f(b)-f(a)=,24

4f(b)?f(a)1(b?a)2

即?f''(?)?f(?)?,(b?a)224

當f''(?)?f''(?)時，記c??否則記c=?,那麼

f''(c)?4f(b)?f(a)(a?b?c)(b?a)2

參 考 文 獻

《數學分析》上冊，高等教育出版社，1990. ?1?鄭英元，毛羽輝，宋國棟編，

?2?趙煥光，林長勝編《數學分析》上冊，四川大學出版社，2014。 ?3?歐陽光中，姚允龍，周淵編《數學分析》上冊，復旦大學出版社，2014. ?4?華東師範大學數學系編《數學分析》上冊，第三版，高等教育出版社2014.

第二篇：導數證明不等式

導數證明不等式

一、

當x>1時,證明不等式x>ln(x+1)

f(x)=x-ln(x+1)

f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)

x>1,所以f'(x)>0,增函數

所以x>1,f(x)>f(1)=1-ln2>0

f(x)>0

所以x>0時，x>ln(x+1)

二、

導數是近些年來高中課程加入的新內容，是一元微分學的核心部分。本文就談談導數在一元不等式中的應用。

例1.已知x∈(0，)，

求證:sinx

第三篇：利用導數證明不等式

利用導數證明不等式

沒分都沒人答埃。。覺得可以就給個好評!

最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然後將這個式子令為一個函數f(x).對這個函數求導，判斷這個函數這各個區間的單調性，然後證明其最大值(或者是最小值)大於0.這樣就能説明原不等式了成立了!

1.當x>1時,證明不等式x>ln(x+1)

設函數f(x)=x-ln(x+1)

求導，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0

所以f(x)在(1，+無窮大)上為增函數

f(x)>f(1)=1-ln2>o

所以x>ln(x+1

2..證明：a-a^2>0其中0

f(a)=a-a^2

f'(a)=1-2a

當00;當1/2

因此，f(a)min=f(1/2)=1/4>0

即有當00

3.x>0,證明：不等式x-x^3/6

先證明sinx

因為當x=0時，sinx-x=0

如果當函數sinx-x在x>0是減函數，那麼它一定<在0點的值0，

求導數有sinx-x的導數是cosx-1

因為cosx-1≤0

所以sinx-x是減函數，它在0點有最大值0，

知sinx

再證x-x³/6

對於函數x-x³/6-sinx

當x=0時，它的值為0

對它求導數得

1-x²/2-cosx如果它<0那麼這個函數就是減函數，它在0點的值是最大值了。

要證x²/2+cosx-1>0x>0

再次用到函數關係，令x=0時，x²/2+cosx-1值為0

再次對它求導數得x-sinx

根據剛才證明的當x>0sinx

x²/2-cosx-1是減函數，在0點有最大值0

x²/2-cosx-1<0x>0

所以x-x³/6-sinx是減函數，在0點有最大值0

得x-x³/6

利用函數導數單調性證明不等式x-x²>0，x∈(0,1)成立

令f(x)=x-x²x∈

則f'(x)=1-2x

當x∈時,f'(x)>0,f(x)單調遞增

當x∈時,f'(x)<0,f(x)單調遞減

故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得

f(0)=0,f(1)=0

故f(x)的最小值為零

故當x∈(0,1)f(x)=x-x²>0。

i、m、n為正整數，且1

第四篇：用導數證明不等式

用導數證明不等式

最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然後將這個式子令為一個函數f(x).對這個函數求導，判斷這個函數這各個區間的單調性，然後證明其最大值(或者是最小值)大於0.這樣就能説明原不等式了成立了!

1.當x>1時,證明不等式x>ln(x+1)

設函數f(x)=x-ln(x+1)

求導，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0

所以f(x)在(1，+無窮大)上為增函數

f(x)>f(1)=1-ln2>o

所以x>ln(x+1

2..證明：a-a^2>0其中0

f(a)=a-a^2

f'(a)=1-2a

當00;當1/2

因此，f(a)min=f(1/2)=1/4>0

即有當00

3.x>0,證明：不等式x-x^3/6

先證明sinx

因為當x=0時，sinx-x=0

如果當函數sinx-x在x>0是減函數，那麼它一定<在0點的值0，

求導數有sinx-x的導數是cosx-1

因為cosx-1≤0

所以sinx-x是減函數，它在0點有最大值0，

知sinx

再證x-x³/6

對於函數x-x³/6-sinx

當x=0時，它的值為0

對它求導數得

1-x²/2-cosx如果它<0那麼這個函數就是減函數，它在0點的值是最大值了。

要證x²/2+cosx-1>0x>0

再次用到函數關係，令x=0時，x²/2+cosx-1值為0

再次對它求導數得x-sinx

根據剛才證明的當x>0sinx

x²/2-cosx-1是減函數，在0點有最大值0

x²/2-cosx-1<0x>0

所以x-x³/6-sinx是減函數，在0點有最大值0

得x-x³/6

利用函數導數單調性證明不等式x-x²>0，x∈(0,1)成立

令f(x)=x-x²x∈

則f'(x)=1-2x

當x∈時,f'(x)>0,f(x)單調遞增

當x∈時,f'(x)<0,f(x)單調遞減

故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得

f(0)=0,f(1)=0

故f(x)的最小值為零

故當x∈(0,1)f(x)=x-x²>0。

i、m、n為正整數，且1

求證(1+m)^n>(1+n)^m

方法一：利用均值不等式

對於m+1個數，其中m個(2+m)，1個1,它們的算術平均數大於幾何平均數，即

/(m+1)>^

即1+m>(2+m)^

即(1+m)^(1/m)>^

由此説明數列{(1+m)^(1/m)}是單調遞減的。

方法二：導數方法

令f(x)=(1+x)^(1/x),x>0

求導數

f'(x)=(1+x)^(1/x)*/x^2

為了考察f'(x)的正負

令g(x)=x/(1+x)-ln(1+x),x>=0

g'(x)=-x/(1+x)^2<0,x>0

因此g(x)0,亦即f'(x)<0

因此f(x)在(0,+∞)上單調遞減。

令a*b*c=k的3次方

求證(1+a)的-(1/2)次方加(1+b)的-(1/2)次方加(1+c)的-(1/2)次方>=(1+k)的-(1/2)次方

化成函數，f(x)，求導，可知其單調區間，然後求最大最小值即可。

理論上所有題目都可以用導數做，但有些技巧要求很高。

(1+a)^-1/2+(1+b)^-1/2+(1+c)^-1/2

=(1+a)^-1/2+(1+b)^-1/2+(1+k^3/ab)^-1/2=f(a,b)

對a求導，f'(a,b)a=0，可得一個方程，解出即得。

第五篇：導數在證明不等式中的應用

1.【作 者】 楊建輝;布春霞【刊 名】中學生數理化(學研版)【出版日期】2014

【期 號】第11期【頁 碼】2-3【參考文獻格式】楊建輝,布春霞.導數在證明不等式中的應用[j].中學生數理化(學研版),2014,(第11期).

2.【作 者】 趙京之【刊 名】中國新技術新產品【出版日期】2014【期 號】第14期【參考文獻格式】趙京之.導數在證明不等式中的應用[j].中國新技術新產品,2014,(第14期).【摘 要】不等式與等式一樣,在數學問題中都是非常重要的課題,不等式的研究範圍更廣,難度更大,以函數觀點認識不等式,應用導數為工具,不等式的證明將化難為易,迎刃而解,考慮的角度初步有:中值定理,taylor公式,函數的單調性,最值,以及jensen不等式。

3.【作 者】 劉偉【刊 名】電大理工【出版日期】2014【期 號】第3期【頁 碼】13-14【參考文獻格式】劉偉.導數在證明不等式中的應用[j].電大理工,2014,(第3期).

4.【作 者】 顧慶菏【刊 名】邢台師範高專學報【出版日期】1995【期 號】第1期【頁 碼】118-120【參考文獻格式】顧慶菏.導數在證明不等式中的應用[j].邢台師範高專學報,1995,(第1期).

5.【作 者】 劉開生;潘書林【刊 名】天水師範學院學報【出版日期】2014【期 號】第3期【頁 碼】115-116【參考文獻格式】劉開生,潘書林.導數在證明不等式中的應用[j].天水師範學院學報,2014,(第3期).

6.【作 者】 陳萬鵬;陳萬超【刊 名】大學數學【出版日期】1990【期 號】第4期【頁 碼】67-71【參考文獻格式】陳萬鵬,陳萬超.導數在證明不等式中的應用[j].大學數學,1990,(第4期).

7.【作 者】 高燕【刊 名】考試周刊【出版日期】2014【期 號】第60期【頁 碼】69-70【參考文獻格式】高燕.導數在不等式證明中的應用[j].考試周刊,2014,(第60期).

8.導數法在證明不等式中的應用【作 者】 【刊 名】版)【出版日期】2014【期 號】第z1期【頁 碼】5

【參考文獻格式】郝文武.導數法在證明不等式中的應用[j].中學生數理化(高二版),2014,(第z1期).

9. 導數在證明不等式中的一些應用【作 者】 甘啟才【刊 名】廣西師範學院學報(自然科學版)【出版日期】2014【期 號】第s1期【頁 碼】73-75

【參考文獻格式】甘啟才.導數在證明不等式中的一些應用[j].廣西師範學院學報(自然科學版),2014,(第s1期).

10.【作 者】 王莉聞【刊 名】考試周刊【出版日期】2014【期 號】第82期【參考文獻格式】王莉聞.導數在不等式證明中的應用[j].考試周刊,2014,(第82期).

【摘 要】導數知識是高等數學中極其重要的部分,它的內容、思想和應用貫穿於整個高等數學的教學之中.利用導數證明不等式是一種行之有效的好方法,它能使不等式的證明化難為易,迎刃而解.在不等式證明的種種方法中,它佔有重要的一席之地.本文將從利用函數的單調性,利用函數的最值（或極值）

11.【作 者】 王翠麗【刊 名】數學之友【出版日期】2014【期 號】第6期【頁 碼】84，86【參考文獻格式】王翠麗.導數在不等式證明中的應用[j].數學之友,2014,(第6期).

12.【作 者】 王強;申玉芹【刊 名】中學數學【出版日期】2014【期 號】第9期【頁 碼】6【參考文獻格式】王強,申玉芹.導數在不等式中的應用[j].中學數學,2014,(第9期).

13.【作 者】 朱帝【刊 名】數理化學習【出版日期】2014【期 號】第3期【頁 碼】2-4【參考文獻格式】朱帝.導數在證明不等式中的應用[j].數理化學習,2014,(第3期).

14.【作 者】 王偉珠【刊 名】佳木斯教育學院學報【出版日期】2014【期 號】第6期【參考文獻格式】王偉珠.導數在不等式證明中的應用[j].佳木斯教育學院學報,2014,(第6期).

15.【作 者】 張根榮;李連方【刊 名】中學數學研究【出版日期】2014【期 號】第11期【頁 碼】24-25【參考文獻格式】張根榮,李連方.導數在不等式證明中的應用[j].中學數學研究,2014,(第11期).【摘 要】“問題是數學的心臟”，數學學習的核心就應該是培養解決數學問題的能力．正如波利亞指出的：“掌握數學就是意味着善於解題．”“中學數學首要的任務就是加強解題的訓練”．在數學教學中，例題、習題的解答過程是學生建構知識的重要基礎，是學生學習不可缺少的重要組成部分．因此在課堂教學有限的45分鐘內，如何發揮例題的功能，

16.【作 者】 張萍【刊 名】西部大開發：中旬刊【出版日期】2014【期 號】第7期【頁 碼】176-177【參考文獻格式】張萍.導數在證明不等式中的有關應用[j].西部大開發：中旬刊,2014,(第7期).【摘 要】導數是高等數學中最基本最重要的內容之一，用導數的方法證明不等式是不等式證明重要的組成部分，具有較強的靈活性和技巧性。掌握導數在不等式中的證明方法和技巧對學好高等數學有很大幫助。本文將通過舉例和説明的方式來闡述不等式證明中導數的一些方法和技巧，提高學生用導數證明不等式的能力．

17.【作 者】 李旭金【刊 名】新作文(教育教學研究)【出版日期】2014【期 號】第11期【頁 碼】31【參考文獻格式】李旭金.導數在不等式中的應用[j].新作文(教育教學研究),2014,(第11期).

18.【作 者】 李晉【刊 名】大視野【出版日期】2014【期 號】第3期【頁 碼】241-243【參考文獻格式】李晉.導數在不等式證明中的應用[j].大視野,2014,(第3期).

第5期【頁 碼】24-26【參考文獻格式】高芳.導數在不等式證明中的應用[j].商丘職業技術學院學報,2014,(第5期).

20.【作 者】 蔡金寶【刊 名】吉林省教育學院學報(學科版)【出版日期】2014

【期 號】第9期【頁 碼】85-86【參考文獻格式】蔡金寶.導數在不等式證明中的應用[j].吉林省教育學院學報(學科版),2014,(第9期).

21. 淺談導數在不等式證明問題中的應用【作 者】 姜治國【刊 名】考試(大學聯考 數學版)【出版日期】2014【期 號】第z5期【頁 碼】54-56【參考文獻格式】姜治國.淺談導數在不等式證明問題中的應用[j].考試(大學聯考 數學版),2014,(第z5期).

22.導數在不等式中的一些應用【作 者】 陶毅翔【刊 名】寧德師專學報·自然科學版【出版日期】2014【期 號】第2期【頁 碼】123-124，127【參考文獻格式】陶毅翔.導數在不等式中的一些應用[j].寧德師專學報·自然科學版,2014,(第2期).

23.【作 者】 陳海蘭【刊 名】科技信息【出版日期】2014【期 號】第8期【參考文獻格式】陳海蘭.導數在不等式中的應用[j].科技信息,2014,(第8期).【摘 要】本文給出了幾種用導數來證明不等式的方法,通過這些方法,可以比較簡潔,快速地解決一些不等式的證明問題.

24.【作 者】 胡林【刊 名】科技諮詢導報【出版日期】2014【期 號】第5期

【頁 碼】95-96【參考文獻格式】胡林.導數在不等式證明中的應用[j].科技諮詢導報,2014,(第5期).

25.【作 者】 胡林【刊 名】科技資訊【出版日期】2014【期 號】第36期【頁 碼】148【參考文獻格式】胡林.導數在不等式證明中的應用[j].科技資訊,2014,(第36期).

26.【作 者】 周曉農【刊 名】貴陽金築大學學報【出版日期】2014【期 號】第3期【頁 碼】107-110+87【參考文獻格式】周曉農.導數在不等式證明中的應用[j].貴陽金築大學學報,2014,(第3期).

27.【作 者】 葛江峯【刊 名】中學理科：綜合【出版日期】2014【期 號】第9期【頁 碼】52【參考文獻格式】葛江峯.導數在不等式中的應用[j].中學理科：綜合,2014,(第9期).【摘 要】新課程試卷將導數與傳統的不等式證明有機結合在一起設問，是一種新穎的命題模式，體現導數在分析和解決一些函數性質問題的工具作用，以下介紹幾種應用導數證明不等式的方法，供大家參考。

28.【作 者】 樑俊平【刊 名】龍巖師專學報(自然科學版)【出版日期】1997

【期 號】第3期【頁 碼】167-170【作者單位】不詳【參考文獻格式】樑俊平.導數在不等式證明中的應用[j].龍巖師專學報(自然科學版),1997,(第3期).

期【頁 碼】48-53【參考文獻格式】楊耀池.導數在不等式中的應用[j].數學的實踐與認識,1985,(第2期).

30. 例説應用導數證明不等式【作 者】 馮仕虎【刊 名】數學學習與研究(教研版)【出版日期】2014【期 號】第11期【頁 碼】109-110【參考文獻格式】馮仕虎.例説應用導數證明不等式[j].數學學習與研究(教研版),2014,(第11期).