歸納法證明不等式

第一篇：數學歸納法證明不等式

數學歸納法證明不等式的本質

數學歸納法證明不等式的典型類型是與數列或數列求和有關的問題，凡是與數列或數列求和有關的問題都可統一表述成f(n)?g(n)(n?n?)的形式或近似於上述形式。

這種形式的關鍵步驟是由n?k時，命題成立推導n?k?1時，命題也成立。為了表示的方便，我們記?左n?f(k?1)?f(k)，?右n?g(k?1)?g(k)分別叫做左增量，右增量。那麼，上述證明的步驟可表述為

f(k?1)?f(k)??左k?g(k)??左k?g(k)??右k?g(k?1) 例1．已知an?2n?1，求證：

本題要證後半節的關鍵是證 an1a1a2n????n?(n?n?) 23a2a3an?12

2k?1?11?中k??右k即證k?2? 2?12

而此式顯然成立，所以可以用數學歸納法證明。

而要證前半節的關鍵是證

12k?1?1?左k??中k即證?k?2 22?1

而此式顯然不成立，所以不能用數學歸納法證明。如果不進行判斷就用數學歸納法證前半節，忙乎半天，只會徒勞。

有時，f(n)?g(n)(n?n?)中f(n),g(n)是以乘積形式出現， 且f(n)?0,g(n)?0是顯然成立的。此時，可記

?左k?f(k?1)g(k?1)，?右k? f(k)g(k)

分別叫做左增倍，右增倍。那麼，用數學歸結法證明由n?k時，成立推導

n?k?1成立，可表述為

f(k?1)?f(k)??左k?g(k)??左k?g(k)??右k?g(k?1)

和前面所講相似，上述四步中，兩個“=”和“<”都顯然成立，而“≤”是否成立，就需要判斷和證明了，既“?左k??右k”若成立，既可用數學歸納法證明；若不成立，則不能用數學歸納法證明。因此，可以這樣説，此時，數學歸納法證明不等式的本質是證“左增倍≤右增倍”，而判斷能否用數學歸納法證明不等式的標準就是看“左增倍≤右增倍”是否成立。

第二篇：歸納法證明不等式

歸納法證明不等式

由於lnx>0則x>1

設f(x)=x-lnxf'(x)=1-1/x>0

則f(x)為增函數f(x)>f(1)=1

則x>lnx

則可知道等式成立。。。。。。。。。(運用的是定理，f(x),g(x)>0.且連續又f(x)>=g(x).則在相同積分區間上的積分也是>=)

追問

請問這個“定理”是什麼定理?

我是學數學分析的，書上能找到麼?

回答

能你在書裏認真找找，不是定理就是推論埃。。。。

叫做積分不等式性

數學歸納法不等式的做題思路：1、n等於最小的滿足條件的值，説明一下這時候成立，一般我們寫顯然成立，無須證明

2、假設n=k的時候成立，證明n=k+1的時候也是成立的，難度在這一步。(含分母的一般用放縮法，含根號的常用分母有理化。)

3、總結，結論成立，一般只要寫顯然成立。這題大於號應該為小於號。當n=1,1<2顯然假設n=k-1的時候成立即1+1/√2+1/√3+...+1/√(k-1)<2√(k-1)則當n=k時，

1+1/√2+1/√3+......+1/√(k-1)+1/√k<2√(k-1)+1/√k如果有2√(k-1)+1/√k<2√k就可，只要1/√k<2√k-2√(k-1)=2(√k-√(k-1)=2/，即只要√(k-1<√k,而這顯然。所以1+1/√2+1/√3+......+1/√n>2√n

已知f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n(n屬於正整數),求證:當n>1時,f(2^n)>n+2/2

(1)n=2時代入成立

(2)假設n=a時候成立

則n=a+1時

f(2^(a+1))=f(2^a)+1/(2^a+1)+1/(2^a+2)+1/(2^a+3)+……1/(2^(a+1))>

f(2^a)+1/(2^(a+1))+1/(2^(a+1))+1/(2^(a+1))+……1/(2^(a+1))

後面相同項一共有2^a個

所以上面又=f(2^a)+2^a/(2^(a+1))=f(2^a)+1/2

因為f(2^a)>(a+2)/2故上面大於<(a+1)+2>/2

因此n=a時上式成立的話n=a+1也成立

1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2<1-1/n(n≥2，n∈n+)

“1/2^2”指2的平方分之1

證明：數學歸納法：

1、∵當n=2時有1/2^2=1/4<1-1/2=1/2

∴符合原命題。

2、假設當n=k時1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/k^2<1-1/k(k≥2，k∈n+)成立，

則當n=k+1時有1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/k^2+1/(k+1)^2<1-1/k+1/(k+1)^2=(k^3+k^2-1)/(k(k+1)^2)<(k^3+k^2)/(k(k+1)^2)=k/(k+1)=1-1/(k+1)∴原命題成立

綜上可得1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2<1-1/n(n≥2，n∈n+)成立!!。

第三篇：用數學歸納法證明不等式

人教版選修4—5不等式選講

課題：用數學歸納法證明不等式

教學目標：

1、牢固掌握數學歸納法(請您繼續關注本站：)的證明步驟，熟練表達數學歸納法證明的過程。

2、通過事例，學生掌握運用數學歸納法，證明不等式的思想方法。

3、培養學生的邏輯思維能力，運算能力和分析問題，解決問題的能力。

重點、 難點：

1、鞏固對數學歸納法意義和有效性的理解，並能正確表達解題過程，以及掌握用數學歸納法證明不等式的基本思路。

2、應用數學歸納法證明的不同方法的選擇和解題技巧。

教學過程：

一、複習導入：

1、上節課學習了數學歸納法及運用數學歸納法解題的步驟，請同學們回顧，説出數學歸納法的步驟？

（1）數學歸納法是用於證明某些與自然數有關的命題的一種方法。

（2）步驟：1）歸納奠基;

2）歸納遞推。

2、作業講評：（出示小黑板）

習題：用數學歸納法證明：2+4+6+8+……+2n=n(n+1)

如採用下面的證法，對嗎？

證明：①當n=1時，左邊=2=右邊，則等式成立。

②假設n=k時，（k∈n，k≥1）等式成立，

即2+4+6+8+……+2k=k(k+1)

當n=k+1時，

2+4+6+8+……+2k+2(k+1)

∴ n=k+1時，等式成立。

由①②可知，對於任意自然數n，原等式都成立。

（1）學生思考討論。

（2）師生總結： 1）不正確

2）因為在證明n=k+1時，未用到歸納假設，直接用等差數列求和公式，

違背了數學歸納法本質：遞推性。 二、新知探究

明確了數學歸納法本質，我們共同討論如何用數學歸納法證明不等式。 (出示小黑板)

例1觀察下面兩個數列，從第幾項起an始終小於bn？證明你的結論。 ｛an=n｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81, …… ｛bn=2｝:2,4,8,16,32,64,128,256,512, …… （1）學生觀察思考 （2）師生分析

（3）解：從第5項起，an ＜ bn ，即 n2＜2,n∈n+（n≥5）

證明：（1）當 n=5時，有52＜25，命題成立。 （2）假設當n=k（k≥5）時命題成立 即k＜2

當n=k+1時，因為

（k+1）2=k2+2k+1＜k2+2k+k=k2+3k＜k2+k2=2k2<2×2k=2k+1 所以，（k+1）2＜2k+1 即n=k+1時，命題成立。

由（1）（2）可知n2＜2n（n∈n+，n≥5）

學生思考、小組討論：①放縮技巧：k2+2k+1＜k2+2k+k；k2+3k＜k2+k2

②歸納假設：2k<2×2

例2

證明不等式│sin nθ│≤n│sinθ│(n∈n+)

k n

n2

2k

分析：這是一個涉及正整數n的三角函數問題，又與絕對值有關，在證明遞推關係時，應注意利用三角函數的性質及絕對值不等式。

證明：（1）當 n=1時，上式左邊=│sinθ│=右邊，不等式成立。 （2）假設當n=k（k≥1）時命題成立， 即有│sin kθ│≤k│sinθ│

當n=k+1時，

│sin （k+1）θ│=│sin kθcosθ+cos kθsin θ│ ≤│sin kθcosθ│+│cos kθsin θ│ =│sin kθ││cosθ│+│cos kθ││sin θ│ ≤│sin kθ│+│sin θ│ ≤k│sinθ│+│sin θ│ =（k+1）│sinθ│

所以當n=k+1時，不等式也成立。

由（1）（2）可知，不等式對一切正整數n均成立。

學生思考、小組討論：①絕對值不等式: │a+b│≤ │a│+│b│

②三角函數的有界性：│sinθ│≤1,│cosθ│≤1 ③三角函數的兩角和公式。

（板書）例3 證明貝努力（bernoulli）不等式:

如果x是實數且x＞-1，x≠0,n為大於1的自然數，那麼有（1+x）＞1+nx 分析：①貝努力不等式中涉幾個字母？（兩個：x,n）

②哪個字母與自然數有關？(n是大於1的自然是數)

（板書）證：（1）當n=2時，左邊=（1+x）=1+2x+x，右邊=1+2x，因x＞0，則原不等式成立．

（在這裏，一定要強調之所以左邊＞右邊，關鍵在於x＞0是由已知條件x≠0獲得，為下面證明做鋪墊）

（2）假設n=k時（k≥2），不等式成立，即（1+x）＞1+kx． 師：現在要證的目標是（1+x）＞1+（k+1）x，請同學考慮．

生：因為應用數學歸納法，在證明n=k+1命題成立時，一定要運用歸納假設，所以當

k+1k

n=k+1時．應構造出歸納假設適應的條件．所以有：（1+x）=（1+x）（1+x），因為x＞

k

-1（已知），所以1+x＞0於是（1+x）（1+x）＞（1+kx）（1+x）．

師：現將命題轉化成如何證明不等式 （1+kx）（1+x）≥1+（k+1）x． 顯然，上式中“=”不成立．

k+1

k2

n

故只需證：（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x． 提問：證明不等式的基本方法有哪些？

生：證明不等式的基本方法有比較法、綜合法、分析法．

（提問的目的是使學生明確在第二步證明中，合理運用歸納假設的同時，其本質是不等式證明，因此證明不等式的所有方法、技巧手段都適用）

生：證明不等式（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x，可採用作差比較法． （1+kx）（1+x）-[1+（k+1）x] =1+x+kx+kx-1-kx-x

=kx＞0（因x≠0，則x＞0）． 所以，（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x． 生：也可採用綜合法的放縮技巧．

（1+kx）（1+x）=1+kx+x+lx=1+（k+1）x+kx．

因為kx＞0，所以1+（k+1）x+kx＞1+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）＞1+（1+k）x成立．

生：……

（學生可能還有其他多種證明方法，這樣培養了學生思維品質的廣闊性，教師應及時引導總結）

師：這些方法，哪種更簡便，更適合數學歸納法的書寫格式？學生用放縮技巧證明顯然更簡便，利於書寫．

（板書）將例3的格式完整規範．

證明：（1）當n=2時，由x≠0得（1+x）=1+2x+x＞1+2x,不等式成立。

（2）假設n=k（k≥2）時，不等式成立， 即有（1+x）＞1+kx 當n=k+1時，

（1+x）k+1=（1+x）（1+x）＞（1+x）（1+kx）

k

k

=1+x+kx+ kx＞1+x+kx=1+（k+1）x 所以當n=k+1時，不等式成立

由①②可知，貝努力不等式成立。

（通過例題的講解，在第二步證明過程中，通常要進行合理放縮，以達到轉化目的） 三、課堂小結

1．用數學歸納法證明，要完成兩個步驟，這兩個步驟是缺一不可的．但從證題的難易來分析，證明第二步是難點和關鍵，要充分利用歸納假設，做好命題從n=k到n=k+1的轉化，這個轉化要求在變化過程中結構不變．

2．用數學歸納法證明不等式是較困難的課題，除運用證明不等式的幾種基本方法外，經常使用的方法就是放縮法，針對目標，合理放縮，從而達到目標． 四、課後作業

1．課本p53：1，3，5 2．證明不等式：

第四篇：數學歸納法證明不等式學案

§2.3用數學歸納法證明不等式

學習目標：1. 理解數學歸納法的定義、數學歸納法證明基本步驟;

2.重、難點：應用數學歸納法證明不等式.

一、知識情景：

關於正整數n的命題(相當於多米諾骨牌),我們可以採用下面方法來證明其正確性：

10.驗證n取時命題( 即n＝n?時命題成立) (歸納奠基）

20.假設當時命題成立，證明當n=k＋1時命題(歸納遞推）.

30. 由10、20知，對於一切n≥n?的自然數n命題！(結論）

要訣: 遞推基礎不可少,歸納假設要用到,結論寫明莫忘掉.

二、數學歸納法的應用：

例1. 用數學歸納法證明不等式sinn?≤nsin?.（n?n?）

例2證明貝努力（bernoulli）不等式:

已知x?r,且x> ?1，且x?0，n?n*，n≥2．求證：(1+x)n>1+nx.

1；

例3 證明: 如果n(n為正整數)個正數a1,a2,?,an的乘積a1a2?an?1,那麼它們的和a1?a2???an≥n.

三、當堂檢測

1、（1）不等式2n?n4對哪些正整數n成立？證明你的結論。

（2）求滿足不等式(1?1n

n

)?n的正整數n的範圍。

2、用數學歸納法證明

2n?2?n2(n?n*)．

§2.3用數學歸納法證明不等式作業紙班級姓名

1、用數學歸納法證明3≥n(n≥3,n∈n)第一步應驗證()

a.n=1b.n=2c.n=3d.n=4 2、觀察下面兩個數列，從第幾項起an始終小於bn？證明你的結論。

｛an=n｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81, ……｛bn=2｝:2,4,8,16,32,64,128,256,512, …… k

2n

3、用數學歸納法證明：對於任意大於1的正整數n，不等式122?132???1n?1n

?n都成立。

4、若a、b、c三個正數成等差數列，公差d?0，自然數n?2，求證：an?cn?2bn

。

第五篇：數學歸納法證明不等式教案

§2.3用數學歸納法證明不等式

學習目標：1. 理解數學歸納法的定義、數學歸納法證明基本步驟;

2.重、難點：應用數學歸納法證明不等式.

一、知識情景：

1. 關於正整數n的命題(相當於多米諾骨牌),我們可以採用下面方法來證明其正確性：

10.驗證n取第一個值時命題成立( 即n＝n?時命題成立) (歸納奠基） ；

20. 假設當n=k時命題成立，證明當n=k＋1時命題也成立(歸納遞推）.

30. 由10、20知，對於一切n≥n?的自然數n命題都成立！(結論）

要訣: 遞推基礎不可少,歸納假設要用到,結論寫明莫忘掉.

二、數學歸納法的應用：

例1. 用數學歸納法證明不等式sinn?≤nsin?.（n?n?）

證明：（1）當 n=1時，上式左邊=│sinθ│=右邊，不等式成立。

（2）假設當n=k（k≥1）時命題成立，即有│sin kθ│≤k│sinθ│

當n=k+1時，│sin （k+1）θ│=│sin kθcosθ+cos kθsin θ│

≤│sin kθcosθ│+│cos kθsin θ│

=│sin kθ││cosθ│+│cos kθ││sin θ│

≤│sin kθ│+│sin θ│≤k│sinθ│+│sin θ│=（k+1）│sinθ│

所以當n=k+1時，不等式也成立。

由（1）（2）可知，不等式對一切正整數n均成立。

例2． 證明貝努力（bernoulli）不等式:

已知x?r,且x> ?1，且x?0，n?n*，n≥2．求證：(1+x)n>1+nx.

證明：（1）當n=2時，由x≠0得（1+x）2=1+2x+x2＞1+2x,不等式成立。

（2）假設n=k（k≥2）時，不等式成立，即有（1+x）k＞1+kx

當n=k+1時，

（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k＞（1+x）（1+kx）=1+x+kx+ kx2＞1+x+kx=1+（k+1）x 所以當n=k+1時，不等式成立

由（1）（2）可知，貝努力不等式成立。

例3 證明: 如果n(n為正整數)個正數a1,a2,?,an的乘積a1a2?an?1,

那麼它們的和a1?a2???an≥n.

三、當堂檢測

1、（1）不等式2n?n4對哪些正整數n成立？證明你的結論。

1（2）求滿足不等式(1?)n?n的正整數n的範圍。n

n2*2?2?n(n?n)． 2、用數學歸納法證明

證明：（1） 當n=1時， 2?2?1，不等式成立； 當n=2時， 2?2?2，不等式成立；當n=3時， 2?2?3，不等式成立．

*n?k(k?3,k?n)時不等式成立，即 2k?2?k2． （2）假設當

k?1k222則當n?k?1時， 2?2?2(2?2)?2?2k?2?(k?1)?k?2k?3， 122232

2kk?3∵，∴?2k?3?(k?3)(k?1)?0，（*）

k?1222k?122?2?(k?1)?k?2k?3?(k?1)2?2?(k?1)從而， ∴． 即當n?k?1時，不等式

也成立． 由（1），（2）可知，2?2?n對一切n?n都成立．

四、課堂小結

1．用數學歸納法證明，要完成兩個步驟，這兩個步驟是缺一不可的．但從證題的難易來分析，證明第二步是難點和關鍵，要充分利用歸納假設，做好命題從n=k到n=k+1的轉化，這個轉化要求在變化過程中結構不變．

2．用數學歸納法證明不等式是較困難的課題，除運用證明不等式的幾種基本方法外，經常使用的方法就是放縮法，針對目標，合理放縮，從而達到目標．

n2*