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《植樹問題》的教案設計
教學內容
義務教育課程標準實驗教科書（人教版）四年級下冊數學廣角。
教學目標
1.經歷將實際問題抽象成數學模型的過程，掌握種樹棵數與間隔數之間的關係。
2.會應用植樹問題的模型解決一些相關的實際問題，培養學生的應用意識和解決實際問題的能力。
3.感悟構建數學模型是解決實際問題的重要方法之一。
教學重點
讓學生髮現植樹的棵數和間隔數之間的關係，並用發現的規律解決實際問題。
教學過程
一、創設情景，提出問題
情境：同學們參加植樹活動，要根據植樹要求“動腦筋，領樹苗”。
問題：有一條12米長的.小路，一小組要在小路的一邊植樹，要求每隔2米栽一棵（兩端都栽），該領多少棵樹苗呢？ （大屏幕出示）
二、探索規律，建立模型
1．實踐操作，得出結論
（1）初步感知，大膽猜想
你們認為一小組的同學該領多少棵樹苗呢？
（2）動手操作，驗證猜想
用畫圖法或擺一擺的方法“栽一栽”。
2．嘗試不同的栽法，積累研究素材
師：剛才我們是每隔2米栽一棵樹，發現出現了6個間隔，可以栽7棵樹。你們還有不同的栽法嗎？
（1） 激發興趣談栽法
（2） 自由選擇試栽法
（3） 交流彙報作記錄
3．觀察分析，發現規律
師：現在請大家認真觀察一下老師記錄的這些數據，你會不會有所發現呢？先獨立思考，再把你們思考的結果互相説一説。
（1）認真觀察，獨立思考
（2）小組交流，集思廣益
（3）班級彙報，總結規律
三、運用規律，解決問題
1．運用規律，解答117頁的例1。
同學們在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共需要多少棵樹苗？
2．運用規律，解答118頁的“做一做”。
園林工人沿公路一側植樹，每隔6米種一棵，一共種了36棵。從第1棵到最後一棵的距離有多遠？
3．運用規律，解答119頁的“做一做”的第1題。
在一條全長2千米的街道兩旁安裝路燈（兩端也要安裝），每隔50米安一座。一共要安裝多少座路燈？
小結：安裝路燈問題也是一種植樹問題。
“植樹問題”是人教版四年級下冊“數學廣角”的內容，教材將植樹問題分為幾個層次：兩端都栽、只栽一端、兩端都不栽、環形情況以及方陣問題等。其側重點是：在解決植樹問題的過程中，向學生滲透一種在數學學習上、研究問題上都很重要的數學思想方法――化歸思想，同時使學生感悟到應用數學模型解題所帶來的便利。
一、教學目標：
1、知識與技能目標：通過動手實踐，合作探究，讓學生在做數學的過程中經歷由現實問題到數學建模，理解並掌握植樹棵數與間隔數之間的關係。
2、過程與方法目標：通過學生自主實驗、探究、交流、發現規律，培養學生動手操作、合作交流的能力，以及針對不同問題的特點靈活解決的能力。
3、情感與態度目標：讓學生在探索、建模、用模的過程中體驗到學習成功的喜悦和認識歸納規律對後續學習的重要性，培養學生探索歸納規律的意識，體會解決植樹問題的思想方法。
二、教學重點：理解植樹問題棵樹與間隔數之間的關係。
教學難點：會應用植樹問題的模型靈活解決一些相關的實際問題。
三、教具準備：多媒體課件和未完成的表格。
四、教學過程：
課前準備：(多媒體放映牛頓和蘋果的故事)
師：科學家的故事給你什麼啟示?(勤於觀察，善於思考，大膽猜想…)
談話引入：説到不如做到，讓我們從現在開始，看誰的觀察最仔細，看誰的思考最積極，看誰這節課也能從平常的事物中發現規律，準備好了嗎?
(一)、提出問題、引發思考、探究規律。
1、手引發的思考。
師：伸出你的左手，張開手指，用數學的眼光看一看，你發現了什麼?
師：大家都有一雙鋭利的數學眼睛，發現手指與間隔之間也有數學。其實在生活中那些司空見慣的現象，只要用心觀察、思考也能發現他們的數學奧祕。這節課，我們將深入研究類似手指與間隔這樣的數學問題。
2、整體感知、確定研究方向。
課件出示：在15米長的小路一邊種樹，每隔5米種一棵。可能有幾種情況?
展示學生的猜想：(兩端都種，共4棵)(只種一端，3棵)(兩端不種，只2棵)
理解:“間隔”、“間隔數”、“棵數”。
(二)、小組合作，探究規律
1、提出問題。
課件：在全長1000米的孟州市大定路的一邊植樹，每隔10米栽一棵樹(兩端都栽)，一共需要多少棵樹苗?
學生的猜測可能有不同的結果：1000;1001;1002)
2、自主探究。
棵數和間隔數到底之間有什麼關係呢?讓學生大膽地猜想，並用圖示的方法驗證。
課件顯示：隔10米種一棵，再隔10米種一棵……，一直畫到1000米!學生會感覺：這樣一棵一間隔畫下去，方法是可以的，但太麻煩了，又浪費時間。
引導學生：要研究棵數和間隔數之間有什麼關係，有更簡單的方法嗎?
讓學生思考、交流，嘗試從簡單入手，用“把大數變小數”的方法進行研究，滲透“化繁為簡”的數學思想。
3、發現規律。
學生開始動手畫圖、填表、比較分析，然後展示他們的研究結果，發現在小數據中兩端都種的情況下，都有“棵數比間隔數多1”的規律。
師：“棵數比間隔數多1”的規律是同學們用較小的數據研究出來的，如果數據增大，這個規律還成立嗎?
課件動態演示：一個間隔對應一棵，這樣一直對應下去， 1000個間隔就有1000棵，種完了嗎?
師：如果這條路變得很長很長、無限長，兩端都種還有這樣的規律嗎?讓學生從中體會到，不管數字多大，用“一一對應”的方法，最後還要補上一棵才能達到兩端都種的結果。這個環節，潛移默化地滲透“極限”的思想。
4、總結歸納。
歸納“化繁為簡”的解題策略。讓學生體會到研究問題可以從簡單入手，將困難的變為容易的，將複雜的變為簡單的，用這樣的方法，可以有效的解決問題。把抽象的數學化歸思想滲透在教學中，讓學生在“潤物細無聲”中體驗到數學思想方法的價值，提高思維的素質。
5、總結規律。
師：你們能用一個式子把規律表示出來嗎?
【板書】間隔數+1=棵數 棵數-1=間隔數
6、聯繫生活
在我們生活中存在着很多類似植樹問題的現象，你發現了嗎?
讓學生通過舉例，體會到植樹問題在生活中的廣泛應用。同時讓學生清楚地認識到路燈排列、排隊等生活現象都與“植樹問題”有着相同的數學結構，也給這種數學思想以充分的建模。
(三)、點擊生活
①(求間隔數)判斷：元宵節，中華大街一側從頭到尾一共掛了200個大紅燈籠，如果在每兩個燈籠間掛一箇中國結，需要201箇中國結( )
②(求間隔長)公共汽車行駛路線全長9千米，從起點站到終點站共有10個站，相鄰兩站的距離約是多少千米?
③(求棵數)老師登古塔，每層有11個台階，從一層開始一共走了55個台階，龍老師到了第幾層?
④ (求全長)塔樓上敲鐘，從第一敲開始，每隔4秒敲一次，到第5敲時，一共間隔了幾秒鐘?
(四)、拓展延伸。
(課件出示世界著名數學問題)
師：數學史上有個“20棵樹”的植樹問題，幾個世紀以來一直都引起科學家的研究興趣。這就是：‘20棵樹，若每行四棵，問怎樣種植，才能使行數更多?
早在十六世紀，古希臘等國完成了十六行的排列。(出示圖1)
十八世紀，美國數學大師山姆完成了十八行圖譜。(出示圖2)
進入二十世紀，數學愛好者繪製出了二十行圖譜，創造了新紀錄並保持至今。(出示圖3)
(結語)今天進入21世紀，20棵樹，每行4棵，還能有更新的進展嗎?數學界正翹首以待!期待着同學們大膽探索、積極思考，相信你們一定會有更大的收穫!
《植樹問題》教學設計
《植樹問題》教學設計本文來自：教師招考論壇作者：平潭一中九八屆
植樹問題
執教教師：福州市麥頂國小劉凌芳
指導教師：福州市麥頂國小鄭祥東
張尊貴
設計理念
本節課通過解決一個實際問題，引出植樹問題自主探究建立知識模型靈活應用，解決一些實際問題。本節課教學的最終目的是希望學生在學習這節課之後，能明白解決類似植樹問題的題目時，較好的方法是先畫圖，然後根據圖來發現規律，從而解決問題。即利用“數形結合”的思想解決問題。
教學內容
《義務教育課程標準實驗教科書數學》(人教版)四年級上冊第117--118頁例題1及相關練習。
學情與教材分析
綜合實踐活動課是培養學生創新精神和實踐能力的一門重要課程，而創新思維能力是其中的核心問題，它能使學生在各種探究學習活動中，有效地進行幫助學生形成主動探究問題的習慣和能力，為創新能力的發展打下基礎。“植樹問題”是人教版新課程標準實驗教材四年級下冊“數學廣角”的內容。大家都知道，數學的思想方法是數學的靈魂。本冊安排“植樹問題”的目的就是向學生滲透“對應”和“複雜問題從簡單入手”的思想。為此，本課制定了三個教學目標：
1.通過探究發現一條線段上兩端都種、兩端都不種和只種一端三種不同情況植樹問題，初步知道和掌握在一條線段上植樹問題的規律，會正確解決類似的數學問題。
2.學生經歷和體驗“複雜問題簡單化”的解題策略和方法。
3.讓學生感受數學在日常生活中的廣泛應用，嘗試用數學的方法來解決實際生活中的簡單問題，培養學生的應用意識和解決實際問題的能力。
教學目標
1.初步知道和掌握在一條線段上植樹問題的規律，會正確解決類似的數學問題。引導學生用畫線段圖的方法分析理解題意，初步培養學生解決植樹問題的有關能力。
2.經歷用一一對應的數學思想解決實際問題的過程，體驗“複雜問題簡單化”的策略及分析解決問題的方法。初步培養學生的探究意識和能力。
3.體會植樹問題在日常生活中的廣泛應用，激發學生學習情感與求知慾望，滲透對應思想，並對學生進行熱愛勞動，保護環境的教育。
教學重、難點
理解種樹棵樹與間隔數之間的關係，會應用植樹問題的模型解決一些相關的實際問題。
教、學具準備
實物投影儀，線段圖等。
教學過程
一、創設情境，導入新課，滲透對應思想
師：同學們，認得這是什麼嗎?
(課件出示三明治圖片)
師：你能按照一定的順序説説它是由什麼組成的嗎?
師：你們知道這樣的排列叫什麼排列嗎?
師：一片面包間隔一片肉，在數學上，我們把這種排列叫“間隔排列”。
(板書：間隔)
師：下面有個挑戰性的問題。劉老師聽説最近有一個麪包店要做一塊全世界最大的三明治，供幾百人吃一餐。麪包片，肉片按以上間隔排列，正好排完，不用數，你能判斷面包片與肉片誰的數量多?
【設計意圖：以有個挑戰性的問題做一塊全世界最大的三明治，引入本課的學習,增強了學生的好奇心與探究欲,使學生全身心地投入到學習活動中來。】
師：為什麼你認為麪包片多?
師：同學們説的真棒！因為前面都是一一對應，最後一個是麪包，所以麪包片多。今天我們就用“一一對應”的思想來研究植樹問題。
(板書：對應、植樹問題)
二、自主學習，合作探究，建立數學模型
㈠探究植樹問題的三種情況
師：幾個月前，我們福州新修建了一條步行街，即台江步行街。
(課件展示台江步行街)
師：這麼美的步行街在建設初期只是一條光禿禿的道路，怎樣美化它呢?可以在街旁種樹！瞧！
(課件出示題目：給1000米長的台江步行街一邊植樹，每隔5米栽一棵，需要準備多少棵樹?)
師：從圖上中你得到什麼信息?要解決什麼問題?
請你先猜一猜。
【設計意圖：猜測是一種培養學生推理能力的好方法。這時學生的思維非常活躍，想表達的慾望也很強烈。所以這時候讓學生先進行猜測是很有必要的，通過驗證證明絕大多數同學的猜測是正確的，這樣學生的研究成果被認可使學生會有一種成就感，從而也更增強了學生學習數學的信心。】
生反饋：
方法一：1000÷5=200(棵)
方法二：1000÷5=200(棵)200+1=201(棵)
…
師：到底哪種答案是正確的呢?咱們可不可以畫圖模擬實際種一種?如果從圖上一棵一棵種到1000米，數一數，是不是就能知道到底誰的答案是正確的了呢?我們用這條線段表示1000米，先在這兒種上一棵，然後隔5米再種一棵，再隔5米再種一棵，再隔5米再種一棵，照這樣一棵一棵的種下去…
師：大家看，已經種了多少米?(40米)這麼長時間才種了40米，一共要種多少米?(1000米)要一棵一棵一棵一直種到1000米呀?！同學們，你有什麼想法?(太累了，太麻煩了，太浪費時間了)
【設計意圖：通過創設植樹的現實問題情境，提出“共需多少棵樹苗的問題”。學生在解答的過程中出現了幾種不同的答案，到底哪種答案對呢?引導學生通過畫圖實際種一種去檢驗。通過模擬種學生體驗到一棵一棵種到1000米太麻煩了，於是老師介紹研究複雜問題的方法：遇到複雜問題想簡單的，從簡單問題入手去研究。(説明：為了使學生對複雜問題簡單化的思想體驗得更深刻，教材原題是在100米的小路的一側植樹我們將100米改為了1000米。)】
師：劉老師也有同感，一棵一棵種到1000米確實太麻煩了。其實，像這種比較複雜的問題，在數學上還有一種更好的研究方法，大家想知道嗎?
師：遇到比較複雜的問題先想簡單的，從簡單的問題入手來研究。比如：1000米的路太長了，我們可以先在短距離的路上種一種，看一看。(板書：從簡單入手)大家想不想用這種方法試一試?
師：“從簡單入手”也是解決問題的一種策略。“1000米”數據比較大，比較複雜，你想從簡單的想起，那麼你想把它先看成多少?
師：大家想的都不錯，那麼我們就從15米想起吧！現在我們把這條15米長的路用一條線段表示，每隔5米栽一棵樹，有幾種植樹方案呢?請你用自己喜歡的圖案表示樹，在線段圖中設計出各種不同的植樹方案，並説明設計理由?然後在小組內交流。
【設計意圖：創設問題情境，放手讓學生想一想、畫一畫、説一説，既滿足了學生的表現慾望，又培養了學生自主探索、小組合作的意識，充分調動學生學習的積極性，把學習的主動權交給了學生。教學形式上，重視學生的獨立探索和合作交流的有機結合，課堂中讓學生根據自己的體驗，用自己的思維方式去探究，去發現，去再創造，使每個學生都有一塊屬於自己思維的開拓區域。從學生已有的生活經驗出發，讓學生自由設計，然後引導學生自主探索、合作交流，得出“兩端要栽：棵數=間隔數+1”，體現了教學方法的開放性。】
(生活動，教師蒐集方案，在展示台上展現)
1.師：現在我們一起來研究同學們設計的方案。
(出示四種方案的線段圖)
師：四種方案都符合設計的要求，誰能説説它們不同的地方在哪裏?
師：請你具體地説一説?
師：這樣就把樹與路，怎麼樣?
師：很好，用一一對應的思想研究植樹方案，第二種呢?
2.師：同學們真聰明，找到了這幾種方案的不同之處。師：同學們真聰明，找到了這幾種方案的不同之處，那它們之間有沒什麼相同的'地方呢?
師：每兩棵樹之間的距離5米就叫做“間距”。(板書：間距)
師：誰來指一指，數一數，第一種方案有幾個“間距”?
師：有3個間距，我們就説它的“間隔數”是3。(板書：間隔數)
3.師：觀察這三種方案，你發現棵數和間隔數之間有什麼關係?
⑴師：兩端都種的情況，你們是怎麼發現棵數比間隔數多1的呢?
師：有沒有其他辦法?
生：一棵樹對應一個間隔，一棵樹對應一個間隔，最後會多1棵樹。
師：剛才同學們用的是“一一對應”的數學思想來解決問題。
⑵師：只種一端的這種方案，怎麼用一一對應的思想解決棵數和間隔數的關係?
⑶師：兩端都不種時為什麼棵數比間隔數少1呢?
㈡探究兩端都種的情況
師：今天由於時間關係，我們先研究兩端都種的情況。那麼這種情況，間隔數和棵樹有什麼關係呢?
(師板書：棵數=間隔數+1)
師：剛才我們從簡單的想起，知道路長15米，間距是5米，你們能不能用計算的方法，求出棵數呢?獨立思考，試着算一算。
師：15米要準備4棵，那麼1000米的路，兩端都種要準備多少棵樹?你會解決嗎?試試看。(課件加上“兩端都種”)
三、課堂小結
師：今天這節課你感受最深的是什麼?
師：劉老師也找了些生活中的“植樹問題”。如：上樓梯，鋸木頭，鐘聲等。(課件展示)你還能想出生活中的哪些地方用到“植樹問題”嗎?
師：“植樹問題”在生活中應用比較廣泛，下節課我們繼續學習。
【設計意圖：使學生感受到數學知識源於生活，用於生活，數學就在我們身邊。從而使學生深刻感受到數學的應用價值，激發了學生學習數學的興趣。】
設計思路
在本節課裏，根據課程標準的精神，學習的主要任務定位在“能將植樹問題推廣到生活中的其他問題中，學會通過畫線段圖來分析理解題意”。本節課的教學，有以下思考：
一、挖掘教材內容，發展學生的應用意識
現在的數學教材內容具有一定的抽象性，呈現內容的方式是單一的、靜態的。因此教師要認真鑽研和熟悉教材，把藴涵在教材中的那些可以讓學生開展探究學習的資源挖掘出來，精心設計探究活動。為學生提供合適的、開放的探究學習材料，讓學生進入一個自由選擇、自主發現的學習活動平台。
二、重視數學思想與方法的滲透
學生在經歷“問題情境-探究新知-建立模型-靈活運用”這樣的知識建構過程中，力求參與面“廣”，充分利用小組合作學習形式，
【教材分析】
本冊的“數學廣角”主要是滲透有關植樹問題的方法，通過現實生活中的一些常見的實際問題，讓學生從中發現一些規律，抽取出其中的數學模型，然後再用這些規律來解決生活中的一些簡單實際問題。
在本節課裏，學生第一次接觸到“植樹問題”。解決植樹問題的思想方法是實際生活中應用比較廣泛的“複雜問題簡單化”的數學方法。讓學生能夠理解植樹問題中兩端都栽的情況下數量之間的關係，並能解決生活中的一些簡單實際問題。教學中，要引導學生通過觀察、猜測、實驗、推理等活動，初步體會植樹問題的數學思想方法，感受數學的魅力。同時讓學生學習應用植樹問題的思想方法解決一些簡單的實際問題，培養學生觀察、分析及推理的能力，培養他們探索數學問題的興趣和發現、欣賞數學美的意識。
【學情分析】
“植樹問題”原本屬於經典的奧數教學內容，新課程教材把它放到了 4 年級下冊的 “ 數學廣角 ” 中讓所有的學生學習，説明這一教學內容本身具有很高的數學思維含量和很強的探究空間，既需要教師本身的有效引領，也需要學生的自主探究。從學生的思維特點看， 3 、4 年級的學生仍以形象思維為主，但抽象邏輯思維有了初步的發展，具備了一定的分析綜合、抽象概括、歸類梳理的數學活動經驗。教學時可以從實際的問題入手，引導學生在分析、思考問題的過程中，逐步發現隱含於不同情形中的規律，經歷抽取出數學模型的過程，體驗數學思想方法在解決問題中的應用。
【教學目標】
1. 通過探究發現一條線段上兩端都植樹問題的規律；
2. 使學生經歷和體驗 “ 複雜問題簡單化 ” 的解題策略和方法；
3. 讓學生感受數學在日常生活中的廣泛應用，嘗試用數學的方法來解決實際生活中的簡單問題，培養學生的應用意識和解決實際問題的能力 。
【重點難點】
在探究活動中發現規律，抽取數學模型，並能夠用發現的規律來解決生活中的一些簡單實際問題。通過教學讓學生理解 “ 兩端都種 ” 情況下棵數和間隔數之間的規律，並利用規律來解決生活中的實際問題。
【 教學策略 】
採用自主探究式學習模式，即學生利用學具嘗試動手“ 種樹” ——探究發現規律——應用規律實踐，通過有序的操作、思考、實踐等活動，使學生的所想、所悟與直觀形象結合，經歷知識的探究過程，滲透數學學習方法，深刻體會到解決植樹問題的思想方法內涵。
【教學過程】
一、課前交流，創設情境
（播放樹木圖片）
1. 同學們，看到了什麼？有什麼感受？
2. 剛剛我們彷彿走進了綠色的世界，真是讓人陶醉！這都是植樹造林帶給我們的好處，上到國家領導人，下到中國小生，都經常參加植樹活動（課件：圖片），其實，植樹中還有很多有趣的數學問題，這節課，我們就一起來研究“植樹問題”。（板書課題：植樹問題）
二、共同探究，發現規律
1. 綠化國小四年級的同學在植樹中就遇到了一些問題，我們先來看看一班的（課件 出示：小路全長100 米，現要在一邊種一行樹，每隔5 米種一棵（兩端都種）。一共需要多少棵樹苗？ ）
（1 ）理解信息
師：你認為哪些信息重要（關鍵詞刷紅）
師：你怎樣理解“兩端都種”和“ 每隔5 米 ”
師：兩棵樹之間的空，我們也叫做間隔（課件），你和我之間有沒有間隔，有幾個？請你起立，咱們三個之間有幾個間隔？
（2 ）引發猜想。
師：現在大家就試着做一做吧！
（生試做，指名板演）
師：我們請這幾位同學分別説説他們是怎麼想的
師：這幾種做法的相同點是什麼？不同點是什麼？
師：100 ÷5 得到的20 到底求的是間隔數還是棵樹呢？像這種兩端種樹的問題，棵樹和間隔數之間究竟有什麼關係呢？（課件出示）我們進行一次模擬植樹活動怎麼樣？
（3 ）實驗探究
師：可是身邊沒有樹怎麼辦呢
（用筆、用火柴等）
師：你們真的都很有創意，遇到難解決的問題時，都能想到用身邊簡單的事物做例子來研究，值得表揚，請看活動要求（出示：活動要求：請選擇自己喜歡的方法動手試一試，也可以和同伴們共同研究，思考、交流：你把什麼當成了樹？種了幾棵？有幾個間隔？發現棵數和間隔數之間有什麼關係？），誰來讀讀（學生讀要求），明確要求了嗎？開始吧！
（小組合作，教師巡視，找出典型驗證方法）
（4 ）發現規律
師：看來，大家都研究的差不多了，誰願意和大家交流一下這幾個問題？（邊彙報邊板演棵數和間隔數）
師：同學們，我們來看這組實驗數據，誰能用一句話概括你的發現
師：剛剛我們通過這幾種不同的實驗活動，都得到了一個共同的結論，就是兩端種樹時，棵數比間隔數多1 ，用關係式表示是——棵數等於——間隔數+1 （貼圖並板書），間隔數等於——（棵數-1 ），10 個間隔幾棵樹？100 個間隔幾棵樹？100 棵樹有幾個間隔呢？
師：那為什麼棵數會比間隔數多1 呢
師小結：其實這幾位同學用到的是數學中很重要的一種思想，“一一對應”（板書）我們來看，（指板書）一棵樹，後面對應一個間隔，一棵樹，後面對應一個間隔，最後一棵樹後面沒有對應的間隔（畫弧線），所以，不論有幾個間隔，棵數總比間隔數多一。
（5 ）應用規律
師：應用這個規律，我們來看哪個答案是正確的（第一個）
師：先用——100 ÷5=20 ，求出——間隔數，再用——20+1=21 ，求出——棵數（相應板書）那做錯的同學錯在哪了呢？
（6 ）梳理方法。
師小結：問題解決了，現在讓我們一起梳理一下剛才的學習過程，首先對問題進行大膽地——猜想，再通過——實驗，對猜想進行——驗證，然後得出科學的——結論，最後應用結論去解決問題（板書：猜想——實驗——驗證——結論——應用）。這也為我們以後研究問題提供了一些好的方法和思路。你們能用剛剛學到的知識幫助二班和三班解決問題嗎？
三、逆向練習，加深理解
出示：
1. 四年二班在一條直路的一邊植樹，計劃每隔5 米種一棵，需要種21 棵樹（ 兩端都種 ） ，這條直路長多少米？
2. 四年三班在全長100 米的'直路一邊植樹，計劃等距離種21 棵樹（ 兩端都種） ，相鄰兩棵樹間隔多少米？
自己讀讀題，然後解答
（逐個講評）
四、聯繫生活，拓展提升
師：剛剛我們解決了幾個關於植樹的問題，其實生活中還有很多與植樹問題類似的現象，想一想，有哪些？
（鋸木頭 擺花（東西） 站隊上樓梯安路燈等）
師評價：看來你們都有一雙善於發現的眼睛，老師也找到了一些，請看（課件出示圖片，説清與植樹問題的聯繫）
師：聯繫我們都找到了，你們想實際解決一下嗎
出示：
注意：請自由選擇兩道題解決，有餘力的同學也可以全做。遇到問題可以舉例子試試，也可以和同伴共同解決。
1. 安裝路燈
在全長2000 米的街道兩旁安裝路燈（兩端都裝），每隔50 米安裝一座。一共安裝多少座路燈？
2. 排隊問題
早操時排隊，每隔2 米排一人，一排有22 人。這排隊伍是多少米？
3. 上樓梯問題
我們班教室在三樓，我們每天從一層到三層一共要走48 個台階，每層有多少個台階？
4. 敲鐘問題廣場上的大鐘5 時敲響5 下，8 秒敲完。12 時敲12 下，需要多長時間？
師：先讀讀注意事項，然後解答
（生解答，指名板演）
師：誰來説説你解決的是什麼問題？（自選彙報）
師總結：同學們，通過本節課的學習，我們能夠解決直路上兩端種樹以及與之相類似的一些問題，可是四班和五班卻遇到了兩種不同的情況（課件），他們會遇到什麼問題呢？這兩種情況下，棵數和間隔數之間又有什麼關係呢？ 我們下節課再來研究！
【板書設計】
一、教學內容
教科書P117例1
二、教學目標
1、利用熟悉的生活情境，通過動手操作等實踐活動，理解並掌握“兩端都要種”的植樹問題中間隔數與植樹棵數之間的規律。
2、在合作探究中解決問題，建構數學模型，感受數學的簡化思想和應用價值。
3、滲透數形結合的思想，培養學生藉助線段圖來解決問題的意識。
三、教學重點、難點
1、重點：通過探究，發現兩端都栽的情況中“棵數=間隔數+1”
2、難點：利用規律來解決生活中的實際問題。
四、教學準備
小棒、課件、練習本、表格
五、教學過程
（一）創設情境，引入學習
1、每個人都有一雙靈巧的小手，知道嗎，在你的手上，還藏着數學知識呢？請伸出左手找找看，你找到了嗎？
（預設 生：有5根手指 生：有4個空）
像剛才同學們所提到的2根手指間的空格，在數學上我們叫做間隔（板書間隔）
2、生活中很多地方也存在着間隔，你能找到嗎？
（預設 生1：樹木之間有間隔 生2：隊伍之間 生3：欄杆之間也有）指名3人
3、老師也收集了一些（播放課件）
過渡：看來與間隔有關的事物太多了，很有研究的必要，今天這節課我們就來研究與間隔有關的植樹問題。（板書課題）
（二）合作探究“兩端都栽”的規律
1、①課件出示 請看題“學校準備在一條長20米的小路一旁栽樹，每隔5米栽一棵（兩端都栽），一共需要多少棵樹苗？
誰能響亮的讀題？
②從題中你瞭解到了哪些數學信息？
預設 生1這條小路總長20米 生2每隔5米種一棵（5米就是我們所説的間隔長） 生3：兩端都栽（什麼是兩端都栽？2人説）（板書兩端都栽） 生4：一旁
③能試着列列算式來解決嗎？把你的想法列在練習本上。（指名板演）
（預設 生1：20÷5+2=6（棵） 生2：20÷5+1=5（棵））
還有不一樣的嗎？也上來寫寫
説一説你的想法
④我發現你們雖然意見不統一，但是有一步卻是相同的，找到了嗎？20÷5是什麼意思？
指名2人説（板書總長÷間隔長=間隔數）齊讀1次
2、①到底哪種答案是正確的，你有什麼方法來驗證一下，同桌一起討論一下。
（預設 生1：用手掌中的間隔現象來説明 生2：用小棒來模擬種一種
生3：畫線段圖來驗證一下）
方法有很多，但是畫線段圖是最常見、最一般的方法。
②你打算怎麼畫，能介紹一下嗎？
生介紹，師板畫
介紹，我們可以取任意長代表5米，這樣5米5米地畫，一直畫到20米，（出示課件）幾個間隔，幾棵小樹？（4個間隔 5棵數）
通過線段圖，我們清楚的看出正確答案應該是20÷5+1=5（棵））
3、①如果老師將總長和間隔長進行變換，你能自己迅速畫出線段圖得出間隔數和棵數嗎？
兩端都栽的情況下
同桌合作完成表格第2、3兩行。
②展示1個學生的作品，課件出示
觀察大屏幕上的數據，想一想在兩端都栽的情況下，棵數與間隔數存在怎樣的規律？
指名3人説（在説時強調條件是兩端都栽的情況下） （板書 棵數=間隔數+1 間隔數=棵數－1） 加上條件再齊讀一次
4、驗證規律
①在兩端都栽的情況下，是不是棵數與間隔數都存在這種規律呢？想自己再來驗證一下嗎？②請在表格的剩餘兩行自設總長和間隔長畫一畫線段圖（注意你所設制的總長必須要能被間隔長整除）想一想怎樣才能提高速度，間隔數太多了好不好？
③同桌再次合作，教師巡視
④彙報，教師記錄結果
⑤通過這些數據，你有什麼要説的嗎？為什麼棵數總比間隔數多1？
700個間隔，幾棵樹？ 1000棵數幾個間隔？
（三）練習生活，拓展應用
生活中有很多類似問題也能用植樹問題的規律來解決，比如裝路燈，設車站，做樓梯，鋸木頭等等，一起去看看吧！
1、在一條全長400米的街道兩旁掛燈籠，每隔8米掛一個（兩端都掛），一共需要多少個燈籠？女生讀題 學生獨立列式，説一説你的理解
2、劉翔一共要跨10個欄，每兩個欄之間的間隔長是10米，求從第一個欄到最後一個欄一共有多長？男生讀題 剛才求的是棵數，現在求的是（總長）要求總長必須知道什麼條件獨立列式，彙報結果，説説理解。
3、你看過鐘錶嗎？
你聽——噹噹，這是幾時；噹噹噹這是幾時，有幾個間隔？
在鐘聲裏也有數學問題，一起去看看吧！
出示廣場上的大鐘5時敲響5下，敲響第一下到第五下用了8秒，12時敲響了12下，需要多長時間？
（四）課堂小結，留下懸念
1、這節課同學們都表現得非常認真，積極，想一想在這節課上你有什麼收穫？
2、收穫那麼多，老師真為你感到高興，其實植樹問題中還有很多數學問題，你比如説一頭栽一頭不栽，兩頭都不栽，在封閉圖形上栽等等，他們又存在怎樣的規律？就讓我們帶着對這些問題的思考迎接下節課的學習吧！
教學內容：人教版義務教育課程標準實驗教材四年級（下冊）第117---118 頁例1 。
教學目標：
1 . 通過探究發現一條線段上兩端要種和兩端不種兩種不同情況植樹問題 的規律。
2 . 使學生經歷和體驗“複雜問題簡單化”的解題策略和方法。
3 . 讓學生感受數學在日常生活中的廣泛應用，嘗試用數學的方法來解決實際生活中的簡單問題，培養學生的應用意識和解決實際問題的能力。
一、談話引入，明確課題
同學們，很高興認識你們，握握手吧。其實我們的雙手不僅能傳達友誼，而且還與數學有着緊密的聯繫呢。（伸開五指）這是幾？生：5
師：每個手指之間還有什麼？生：空……
師：在數學上，也叫間隔。五個手指幾個空？4 個呢？三個呢？
師：今天我們就來學習與間隔有關的植樹問題。
二、引導探究，發現“兩端要種”的規律
1 . 創設情境，提出問題。
①課件出示圖片。
介紹：這是新修的一條公路。公路中間有一條綠化帶，現在要在綠化帶中種一行樹，怎麼種呢？
出示題目：這條公路全長1000 米，每隔5 米種一棵樹（兩端要種）。一共需要多少棵樹苗？
②理解題意。
a. 指名讀題，從題中你瞭解到了哪些信息？
b. 理解“兩端”是什麼意思？
指名説一説，然後師實物演示：指一指哪裏是這根小棒的兩端？
説明：如果把這根小棒看作是這條綠化帶，在綠化帶的兩端要種就是在綠化帶的兩頭要種。
③算一算，一共需要多少棵樹苗？
④反饋答案。
方法一：1000 ÷5=200 （棵）
方法二：1000 ÷5=200 （棵） 200 +2=202 （棵）
方法三：1000 ÷5=200 （棵） 200 +1=201 （棵）
師：現在出現了三種答案，而且每種答案都有不少的支持者，到底哪種答案是正確的呢？咱們可不可以畫圖模擬實際種一種？如果從圖上一棵一棵種到1000 米，數一數，是不是就能知道到底誰的答案是正確的了呢？
2. 簡單驗證，發現規律。
①畫圖實際種一種。
課件演示：我們用這條線段表示這條綠化帶。“兩端要種”，我們從綠化帶的這頭開始，先在頭兒上種上一棵，然後隔5 米再種一棵，再隔5 米再種一棵，再隔5 米再種一棵，照這樣一棵一棵的種下去……
師：大家看，已經種了多少米？（45 米）這麼長時間才種了45 米，一共要種多少米？（1000 米）要一棵一棵一棵一直種到1000 米呀？！同學們，你有什麼想法？（太累了，太麻煩了，太浪費時間了）
師：老師也有同感，一棵一棵種到1000 米確實太麻煩了。其實，像這種比較複雜的問題，在數學上還有一種更好的研究方法，大家想知道嗎？這種方法可不是一般的方法。大家聽好嘍，這種方法就是：遇到比較複雜的問題先想簡單的，從簡單的問題入手來研究。比如：1000 米的路太長了，我們可以先在短距離的路上種一種，看一看。大家想不想用這種方法試一試？
②畫一畫，簡單驗證，發現規律。
a. 先種15 米，還是每隔5 米種一棵，畫圖種一種，看種了多少棵？比一比，看誰畫得快種的好。（板書：3 段 4 棵）
b. 跟上面一樣，再種25 米看一看，這次你又分了幾段，種了幾棵？（板書：5 段 6 棵）
c. 任意選擇一段距離再種一種，看這次你又分了幾段，種了幾棵？從中你發現了什麼？
（板書： 2 段 3 棵；7 段 8 棵；10 段 11 棵。）
d. 你發現了什麼？
小結：你們真了不起，發現了植樹問題中非常重要的一個規律，那就是：
（板書：兩端要種：棵樹= 段數+1 ）
③應用規律，解決問題。
a. 課件出示：前面例題
問：應用這個規律，前面這個問題，能不能解決了？那個答案是正確的？
1000 ÷5=200 這裏的200 指什麼？
200 +1=201 為什麼還要+1 ？
師：這個“祕方”好不好？
通過簡單的例子，發現了規律，應用這個規律解決了這個複雜的問題。以後，再遇到“兩端要種”求棵樹，知道該怎麼做了嗎？
b. 解決實際問題
運動會上，在筆直的跑道的一側插彩旗，每隔10 米插一面（兩端要插）。這條跑道長100 米，一共要插多少面彩旗？（ 學生獨立完成。）
問：這道題是不是應用植樹問題的規律解決的？
師：看來，應用植樹問題的規律，不僅僅能解決植樹的問題，生活中很多類似的現象也能用植樹問題的規律來解決。你還知道生活中那些問題也是這樣的。
三、迴歸生活，實際應用
1 . 一根木頭長8 米，每2 米鋸一段。一共要鋸幾次？（學生獨立完成。）
8 ÷2=4 （段）
4 —1=3 （次）
問：為什麼要—1 ？這相當於今天學習的植樹問題中的那種情況？
2 . 我們身邊類似的數學問題。
①看，這一列共有幾個同學？（4 個）如果每相鄰兩個同學的距離是1 米，從第1 個同學到最後一個同學的距離是多少米？如果這一列共有10 個同學呢？100 個同學呢？
②這一列還是4 個同學，如果每相鄰兩個同學之間的距離是2 米，從第一個同學到最後一個同學的距離是多少米呢？
3 .在一條路的一側種樹，每隔6 米種一棵，一共種了41 棵樹。從第1 棵樹到最後一棵樹的距離是多少米？
五、全課總結
通過今天的學習，你有哪些收穫？
師：通過今天的學習，我們不僅發現了植樹問題中兩端要種和兩端不種的規律，而且還學習了一種研究問題的方法，那就是遇到複雜問題先想簡單的。植樹中的學問還有很多，有興趣的同學，課下可以查閲有關的資料繼續研究。
【教學內容】
《義務教育課程標準實驗教科書・數學》(人教版)五年級上冊第106頁例1，處理練習二十四第2、5題及有關的做一做。
【課程標準】
《植樹問題》屬於“綜合應用”領域中的內容。課程標準的要求是：“通過數學活動了解數學與生活的廣泛聯繫，學會綜合運用所學的知識和方法解決簡單的實際問題，加深對所學知識的理解，獲得運用數學解決問題的思考方法，並能與他人進行合作交流。”
【學情與教材分析】
就本套教材的知識體系來説，在實際生活中，學生都經歷過植樹活動、上樓梯等“植樹問題”的原型，只是對於很好的理解這個數學模型還需很多的練習。本節課的教學充分利用學生熟悉的生活情境，讓他們在解決問題的過程中發現規律，找到解決問題的有效方法，經歷分析、思考問題的過程，探究並掌握最基本的植樹規律――“兩端都栽”的“植樹問題”中的規律，同時也為後面學習“兩端都栽”和“封閉圖形植樹”等不同情形的“植樹問題”打基礎。
【學習目標】
1、學生利用熟悉的生活情境，通過動手操作等實踐活動，理解並掌握“兩端都栽”的“植樹問題”中間隔數與植樹棵數之間的規律。
2、學生通過合作探究、解決問題，建構數學模型，感受數學的簡化思想和應用價值。
3、學生通過畫線段圖，藉助圖形解決問題的能力得到提高，感受數形結合的思想。
【教學重點】
發現非封閉圖形中植樹的棵數與間隔數之間的關係，並用發現的規律解決實際問題。
【教學準備】多媒體課件。
【評價設計】
1、交流式評價：通過課堂上學生回答問題情況，師生交流情況和生生對話交流情況檢測學習目標1的達成;
2、表現性評價：通過小組合作操作過程、討論表現、學生問題彙報情況檢測目標2的達成;
3、選擇性反應評價：通過課堂上提問，課後拓展練習檢測植樹問題的掌握情況，檢測學習目標3的達成。
【學習過程】
一、生活引入、認識間隔。
1、生活中的植樹問題
(1)猜謎語
兩棵小樹十個叉,不長葉子不開花。能寫會算還會畫,天天干活不説話。
談話：每位同學都有一雙靈巧的小手，它不但會寫字、畫畫、做事，而且在它裏面還藏着有趣的數學問題，大家想不想一起去看一看?請舉起你的左手。
師：現在請每位同學將五指張開，數一數，張開後有幾個空隙?
師：在數學上，我們把這個空隙叫做“間隔”。剛才，我們把五指張開，有4個空隙，也就是有4個間隔。
師：5個手指之間有4個間隔，那麼4個手指之間有幾個間隔呢?3個手指之間呢?
(2)人民大會堂前面的柱子和間隔數。
師：通過剛才我們找手指數和間隔數，以及找柱子數和間隔數，你發現了什麼?誰來説一説。(手指數比間隔數多1或間隔數比手指數少1)
2、引入植樹問題。
談話：數學無處不在。通過剛才的觀察與思考，你能從中發現規律，繼而運用規律解決生活中一些簡單而又實際的問題嗎?
下面，讓我們一起進入今天的學習有趣的植樹問題。(板書課題)
二、自主探究、發現規律。
1、引出需要，提出設計要求。
談話：學校準備對校園作進一步綠化，打算聘請校園設計師一名。要求設計植樹方案一份，擇優錄取。大家願意嘗試一下嗎?我們先來看看學校的設計內容吧!
課件出示：
招聘啟事
學校將對校園進一步綠化，特聘請校園設計師一名。要求設計植樹方案一份，擇優錄取。
設計內容：在全長20米的小路一邊植樹，請按照每隔5米栽一棵的要求設計一份植樹方案，並説明理由。(可用線段圖表示)
外國語國小
2014年3月7日
學生動手嘗試，彙報“兩端都栽”，“兩端都不栽”和“一端栽，一端不栽”植樹方案。
2、根據植樹方式，探究棵數與間隔數之間的關係。
(1)根據學生彙報，課件演示各種方案，強調一邊植樹，兩端都栽的含義，並引出本節課要學習的內容。
師：今天這些課我們着重來研究“兩端都栽”的植樹問題。(板書)
(2)課件出示引例：在全長20米的小路的一邊植樹，每隔5米栽一棵(兩端都栽)。一共需要多少棵樹苗?
師提問：我們在瞭解題意的情況下，解決的過程能直接用除法“20÷5=4”一步到位解答這個關於“兩端都要栽”的植樹問題嗎?讓我們現在就來驗證一下吧!
師出示植樹示意圖。並提問：直接用除法“20÷5=4”能一步到位解答這個關於“兩端都要栽”的植樹問題嗎?
師：有沒有同學可以用簡潔明瞭的方法幫助大家理解呢?
(3)畫線段圖來幫助理解：我們用一條線段來代表20米長的小路，再用幾個點或短豎線來代表小樹苗。
介紹線段圖並指出線段圖可以很好地幫助我們思考。接着提問： “20÷5=4”得到的只是一個什麼樣的數?植樹的“棵數”要在“20÷5=4”的基礎上怎麼辦?
3、利用線段圖，探究規律。
剛才我們研究了每隔5米栽一棵的情況，如果我們換一下間隔數，是不是還有這樣的規律呢，請你用畫線段圖的方法來驗證一下。
學生小組合作，並彙報植樹問題研究報告表。
線路長
間隔長（米）
間隔數（個）
棵數（棵）
20米
5
2
5
3
4、總結規律。
師：通過剛才的研究活動，當“在一條線路的一側，兩端都要栽”時，植樹的“棵數”與“間隔數”有什麼關係?(師根據學生回答板書)
間隔數=線路長÷間隔長
棵數=間隔數+1
5、列式解答引例和例1。
三、聯繫生活，建構模型。
提問：在“植樹問題”中，一定要是“樹”嗎?除了“樹”，還能換成別的事物嗎?誰能舉幾個這樣的例子?
學生自由説生活中的例子。
反饋後小結：通過剛才的發言，我們知道植樹問題普遍地存在於我們的生活當中。手指的個數、樓層數、隊伍中的人數，教室的燈和課桌、馬路邊的路燈、花盆等就相當於我們上面提到的樹的棵數，而手指的間隔、人與人之間的距離等等就相當於間隔數，所以，類似於兩端都種的這種植樹問題的數量間的關係問題都可以用“棵數=間隔數+1”這個關係式來計算。
四、應用模型，解決實際。
1、選擇
(1)16名國小生排成一列縱隊，每兩名國小生之間相距1米，這列隊伍長( )米。
A、17 B、16 C、15 D、14
(2)校運會的運動場上，1條跑道有2條石灰線，4條跑道有( )條石灰線。
A、8 B、7 C、6 D、5
2、5路公共汽車行駛路線全長12km相鄰兩站之間的路程都是1km。一共設有多少個車站?
3、廣場上的大鐘5時敲響5下，8秒鐘敲完。12時敲響12下，敲完需要多長時間?
4、在一條全長2km的街道兩旁安裝路燈(兩端也要安裝)，每隔50m安一盞。一共要安裝多少盞路燈?
5、教室位於教學樓五樓的四(1)班的同學們，準備從教室下樓做廣播操。已知這棟教學樓每層台階都是22級，同學們一共下了多少級台階?
五、總結收穫。
今天，我們一起探討學習了植樹問題中兩端都要栽的情況，談談你有哪些收穫?
師：這節課我們學習了植樹問題，並能利用植樹問題解決生活中類似的實際問題，解答時要重點分清栽樹的棵數與間隔數間的關係，後面還有一些假如只栽一端或兩端都不栽，那又會是什麼情形呢?希望大家開動腦筋，靈活處理，在課下去探究一下吧!
六、兒歌
小樹苗，栽一栽，
兩端都栽問題來，
間隔數多1是棵數，
棵數少1是間隔數，
怎樣求出間隔數?
全長除以間隔長度。
[植樹問題教學設計]
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