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一、教學內容分析
本節內容安排在《普通高中課程標準實驗教科書?數學必修5》（北師大版）第二章，正弦定理第一課時，是在高一學生學習了三角等知識之後，顯然是對三角知識的應用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對國中解直角三角形內容的直接延伸，因而定理本身的應用又十分廣泛。
根據實際教學處理，正弦定理這部分內容共分為三個層次：第一層次教師通過引導學生對實際問題的探索，並大膽提出猜想；第二層次由猜想入手，帶着疑問，以及特殊三角形中邊角的關係的驗證，通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”、“ 向量法”等多種方法證明正弦定理，驗證猜想的正確性，並得到三角形面積公式；第三層次利用正弦定理解決引例，最後進行簡單的應用。學生通過對任意三角形中正弦定理的探索、發現和證明，感受“觀察――實驗――猜想――證明――應用”這一思維方法，養成大膽猜想、善於思考的品質和勇於求真的精神。
二、學情分析
布魯納指出，學生不是被動的、消極的知識的接受者，而是主動的、積極的知識的探究者。教師的作用是創設學生能夠獨立探究的情境，引導學生去思考，參與知識獲得的過程。因此，做好“餘弦定理”的教學，不僅能複習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯繫、發展等辯證觀點，而且能培養學生的應用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學習的能力。
三、設計思想：
《正弦定理》一課教學模式和策略設計就是想讓素質教育如何落實在課堂教學的每一個環節上進行一些探索和研究。旨在通過學生自己的思維活動獲取數學知識，提高學生基礎性學力(基礎能力)，培養學生髮展性學力(培養終身學習能力)，誘發學生創造性學力(提高應用能力)，最終達到素質教育目的。為此，我在設計這節課時，採用問題開放式課堂教學模式，以學生參與為主，教師啟發、點撥的課堂教學策略。通過設置開放性問題，問題的層次性推進和教師啟發、點撥發展學生有效思維，提高數學能力，達到上述三種學力的提高、培養和誘發。以學生參與為主，教師啟發、點撥教學策略是體現以學生髮展為本的現代教育觀，在開放式討論過程中，提高學生的數學基礎能力，發展學生的各種數學需要，使其獲得終身受用的數學基礎能力和創造才能。建構主義強調，學生並不是空着腦袋走進教室的。在日常生活中，在以往的學習中，他們已經形成了豐富的經驗，小到身邊的衣食住行，大到宇宙、星體的運行，從自然現象到社會生活，他們幾乎都有一些自己的看法。而且，有些問題即使他們還沒有接觸過，沒有現成的經驗，但當問題一旦呈現在面前時，他們往往也可以基於相關的經驗，依靠他們的認知能力，形成對問題的某種解釋。而且，這種解釋並不都是胡亂猜測，而是從他們的經驗背景出發而推出的合乎邏輯的假設。所以，教學不能無視學生的這些經驗，另起爐灶，從外部裝進新知識，而是要把學生現有的知識經驗作為新知識
的生長點，引導學生從原有的知識經驗中“生長”出新的知識經驗。
為此我們根據“問題教學”模式，沿着“設置情境--提出問題--解決問題--反思應用”這條主線，把從情境中探索和提出數學問題作為教學的出發點，以“問題”為主線組織教學，形成以提出問題與解決問題相互引發攜手並進的“情境--問題”學習鏈，使學生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發現者”和“創造者”，使教學過程成為學生主動獲取知識、發展能力、體驗數學的過程。
根據上述精神，做出瞭如下設計：
1、創設一個現實問題情境作為提出問題的背景；
2、啟發、引導學生提出自己關心的現實問題，逐步將現實問題轉化、抽象成過渡性數學問題，解決過渡性問題時需要使用正弦定理，藉此引發學生的認知衝突，揭示解斜三角形的必要性，並使學生產生進一步探索解決問題的動機。然後引導學生抓住問題的數學實質，將過渡性問題引伸成一般的數學問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對角，求另一邊的對角及第三邊。解決這兩個問題需要先回答目標問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關係？
3、為了解決提出的目標問題，引導學生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然後引導學生對猜想進行驗證。
四、教學目標：
1．讓學生從已有的幾何知識出發, 通過對任意三角形邊角關係的探索，共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關係，引導學生通過觀察，實驗，猜想，驗證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內容及其證明方法，理解三角形面積公式，並學會運用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題。
2．通過對實際問題的探索，培養學生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強學生的協作能力和交流能力，發展學生的創新意識，培養創造性思維的能力。
3．通過學生自主探索、合作交流，親身體驗數學規律的發現，培養學生勇於探索、善於發現、不畏艱辛的創新品質，增強學習的成功心理，激發學習數學的興趣。
4．培養學生合情合理探索數學規律的數學思想方法，通過平面幾何、三角形函數、正弦定理、向量的數量積等知識間的聯繫來體現事物之間的普遍聯繫與辯證統一。
五、教學重點與難點
教學重點：正弦定理的發現與證明；正弦定理的簡單應用。
教學難點：正弦定理的猜想提出過程。
六教學過程
1、設置情境
利用投影展示：一條河的兩岸平行，河寬d=1km，因上游突發洪水，在洪峯到來之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及人員用船轉運到正對岸的碼頭B處或其下游1 km的碼頭C處。已知船在靜水中的速度?Ovl?O= 5 km?Mh，水流速度?Ov2?O=3 km?Mh。
2、提出問題
師：為了確定轉運方案，請同學們設身處地地考慮一下有關的問題，將各自的問題經小組(前後4人為一小組)彙總整理後交給我。
待各小組將題紙交給老師後，老師篩選幾張有代表性的題紙通過投影向全班展示，經大家歸納整理後得到如下的5個問題：
(l)船應開往B處還是C處？
(2)船從A開到B、C分別需要多少時間？
(3)船從A到B、C的距離分別是多少？
(4)船從A到B、C時的速度大小分別是多少？
(5)船應向什麼方向開，才能保證沿直線到達B、C？
師：大家討論一下，應該怎樣解決上述問題？
大家經過討論達成如下共識：要回答問題(l)，需要解決問題(2)，要解決問題(2)，需要先解決問題(3)和(4)，問題(3)用直角三角形知識可解，所以重點是解決問題(4)，問題(4)與問題(5)是兩個相關問題，因此，解決上述問題的關鍵是解決問題(4)和(5)。
師：請同學們根據平行四邊形法則，先在練習本上做出與問題對應的示意圖，明確已知什麼，要求什麼，怎樣求解。
生：船從A開往B的情況如圖2，根據平行四邊形的性質及解直角三角形的知識，可求得船在河水中的速度大小?Ov?O及vl與v2的夾角θ：
生：船從A開往C的情況如圖3，?OAD?O=?Ov1?O= 5，?ODE?O=?OAF?O=?Ov2?O=3，易求得∠AED =∠EAF = 450，還需求θ及v。我不知道怎樣解這兩個問題，因為以前從未解過類似的問題。
師：請大家想一下，這兩個問題的數學實質是什麼？
部分學生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。
師：請大家討論一下，如何解決這兩個問題？
生：在已知條件下，若能知道三角形中兩條邊與其對角這4個元素之間的數量關係，則可以解決上述問題，求出另一邊的對角。
生：如果另一邊的對角已經求出，那麼第三個角也能夠求出。只要能知道三角形中兩條邊與其對角這4個元素的數量關係，則第三邊也可求出。
生：在已知條件下，如果能知道三角形中三條邊和一個角這4個元素之間的數量關係，也能求出第三邊和另一邊的對角。
師：同學們的設想很好，只要能知道三角形中兩邊與它們的對角間的數量關係，或者三條邊與一個角間的數量關係，則兩個問題都能夠順利解決。下面我們先來解答問題：三角形中，任意兩邊與其對角之間有怎樣的數量關係？
3、解決問題
師：請同學們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？
眾學生：先從特殊事例入手，尋求答案或發現解法。直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中試探一下。
師：請各小組研究在Rt△ABC中，任意兩邊及其對角這4個元素間有什麼關係？
多數小組很快得出結論：a／sinA = b／sinB = c／sinC。
師：a／sinA = b／sinB = c／sinC在非Rt△ABc中是否成立？
眾學生：不一定，可以先用具體例子檢驗。若有一個不成立，則否定結論；若都成立，則説明這個結論很可能成立，再想辦法進行嚴格的證明。
師：這是個好主意。請每個小組任意做出一個非Rt△ABC，用量角器和刻度尺量出各邊的長和各角的大小，用計算器作為計算工具，具體檢驗一下，然後報告檢驗結果。
幾分鐘後，多數小組報告結論成立，只有一個小組因測量和計算誤差，得出否定的結論。教師在引導學生找出失誤的原因後指出：此關係式在任意△ABC中都能成立，請大家先考慮一下證明思路。
生：想法將問題轉化成直角三角形中的問題進行解決。
生：因為要證明的是一個等式，所以應先找到一個可以作為證明基礎的等量關係。
師：在三角形中有哪些可以作為證明基礎的等量關係呢？
學生七嘴八舌地説出一些等量關係，經討論後確定如下一些與直角三角形有關的等量關係可能有利用價值：1、三角形的面積不變；2、三角形同一邊上的高不變；3、三角形外接圓直徑不變。
師：據我所知，從AC+CB=AB出發，也能證得結論，請大家討論一下。
生：要想辦法將向量關係轉化成數量關係。
生：利用向量的數量積運算可將向量關係轉化成數量關係。
生：還要想辦法將有三個項的關係式轉化成兩個項的關係式。
生：因為兩個垂直向量的數量積為0，可考慮選一個與三個向量中的一個向量(如向量AC)垂直的向量與向量等式的兩邊分別作數量積。
師：同學們通過自己的努力，發現並證明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意兩邊與其對角的關係，請大家留意身邊的事例，正弦定理能夠解決哪些問題。
4.運用定理，解決例題
師生活動：
教師：引導學生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。
學生：討論正弦定理可以解決的問題類型：
①如果已知三角形的任意兩個角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如 ；
②如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊與另兩角，如 。
師生：例1的處理，先讓學生思考回答解題思路，教師板書，讓學生思考主要是突出主體，教師板書的目的是規範解題步驟。
例1：在 中，已知 ， ， ，解三角形。
分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內角和為 求出第三個角∠C，再由正弦定理求其他兩邊。
例2：在 中，已知 ， ， ，解三角形。
例2的處理，目的是讓學生掌握分類討論的數學思想，可先讓中等學生講解解題思路，其他同學補充交流
5. 反饋練習（教科書第5頁的練習）
6.嘗試小結：
教師：提示引導學生總結本節課的主要內容。
學生：思考交流，歸納總結。
師生：讓學生嘗試小結，教師及時補充，要體現：
（1）正弦定理的內容（ ）及其證明思想方法。
（2）正弦定理的應用範圍：①已知三角形中兩角及一邊，求其他元素；②已知三角形中兩邊和其中一邊所對的角，求其他元素。
（3）分類討論的數學思想。
7.作業設計
作業：第10頁[習題1.1]A組第1、2題。
七.教學反思
在本課的教學中，教師立足於所創設的情境，通過學生自主探索、合作交流，親身經歷了提出問題、解決問題、應用反思的過程，學生成為正弦定理的“發現者”和“創造者”，切身感受了創造的苦和樂，知識目標、能力目標、情感目標均得到了較好的落實。
創設數學情境是這種教學模式的基礎環節，教師必須對學生的身心特點、知識水平、教學內容、教學目標等因素進行綜合考慮，對可用的情境進行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。這種教學模式主張以問題為連線組織教學活動，以學生作為提出問題的主體，因此，如何引導學生提出問題是教學成敗的關鍵。教學實驗表明，學生能否提出數學問題，不僅受其數學基礎、生活經歷、學習方式等自身因素的影響，還受其所處的環境、教師對提問的態度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創設適宜的數學情境，而且要真正轉變對學生提問的態度，提高引導水平，一方面要鼓勵學生大膽地提出問題，另一方面要妥善處理學生提出的問題。教師還要積極引導學生對所提的問題進行分析、整理，篩選出有價值的問題，注意啟發學生揭示問題的數學實質，將提問引向深入.
[正弦定理概念教學設計]
正弦定理的教學設計
一教學內容分析
正弦定理是《普通高中課程標準數學教科書數學(必修5)》(人教版)第一章第一節的主要內容它既是國中解直角三角形內容的直接延拓也是三角函數一般知識和平面向量等知識在三角形中的具體運用是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產生活實際問題的重要工具因此具有廣泛的應用價值。為什麼要研究正弦定理?正弦定理是怎樣發現的?其證明方法是怎樣想到的?還有別的證法嗎?這些都是教材沒有回答而確實又是學生所關心的問題。
本節課是正弦定理教學的第一課時其主要任務是引入並證明正弦定理在課型上屬於定理教學課。因此做好正弦定理的教學不僅能複習鞏固舊知識使學生掌握新的有用的知識體會聯繫發展等辯證觀點而且通過對定理的探究能使學生體驗到數學發現和創造的歷程進而培養學生提出問題解決問題等研究性學習的能力。
二學生學習情況分析
學生在國中已經學習瞭解直角三角形的內容在必修4中又學習了三角函數的基礎知識和平面向量的有關內容對解直角三角形三角函數平面向量已形成初步的知識框架這不僅是學習正弦定理的認知基礎同時又是突破定理證明障礙的強有力的工具。正弦定理是關於任意三角形邊角關係的重要定理之一《課程標準》強調在教學中要重視定理的探究過程並能運用它解決一些實際問題可以使學生進一步瞭解數學在實際中的應用從而激發學生學習數學的興趣也為學習正弦定理提供一種親和力與認同感。
三設計思想
培養學生學會學習學會探究是全面發展學生能力的重要前提是高中新課程改革的主要任務。如何培養學生學會學習學會探究呢?建構主義認為：知識不是被動吸收的而是由認知主體主動建構的。這個觀點從教學的角度來理解就是：知識不是通過教師傳授得到的而是學生在一定的情境中運用已有的學習經驗並通過與他人(在教師指導和學習夥伴的幫助下)協作主動建構而獲得的建構主義教學模式強調以學生為中心視學生為認知的主體教師只對學生的意義建構起幫助和促進作用。本節正弦定理的教學將遵循這個原則而進行設計。
四教學目標
1知識與技能：通過對任意三角形的邊與其對角的關係的探索掌握正弦定理的內容及其證明方法。
2過程與方法：讓學生從已有的`知識出發,共同探究在任意三角形中邊與其對角的關係引導學生通過觀察歸納猜想證明由特殊到一般得到正弦定理等方法體驗數學發現和創造的歷程。
3情感態度與價值觀：在平等的教學氛圍中通過學生之間師生之間的交流合作和評價實現共同探究教學相長的教學情境。
五教學重點與難點
重點：正弦定理的發現和推導
難點：正弦定理的推導
教學準備：製作多媒體課件學生準備計算器直尺量角器。
六教學過程設計
（一）設置情境
教師：展示情景圖如圖1船從港口B航行到港口C測得BC的距離為
船在港口C卸貨後繼續向港口A航行由於船員的疏忽沒有測得CA距離如果船上有測角儀我們能否計算出AB的距離?
學生：思考提出測量角AC。
教師：若已知測得
如何計算AB兩地距離?
師生共同回憶解直角三角形①直角三角形中已知兩邊可以求第三邊及兩個角。②直角三角形中已知一邊和一角可以求另兩邊及第三個角。
教師引導：
是斜三角形能否利用解直角三角形精確計算AB呢?
設計意圖：興趣是最好的老師。如果一節課有良好的開頭那就意味着成功的一半。因此我通過從學生日常生活中的實際問題引入激發學生思維激發學生的求知慾引導學生轉化為解直角三角形的問題在解決問題後對特殊問題一般化得出一個猜測性的結論猜想培養學生從特殊到一般思想意識培養學生創造性思維能力。
（二）數學實驗驗證猜想
教師：給學生指明一個方向我們先通過特殊例子檢驗
是否成立舉出特例。
(1)在△ABC中ABC分別為
對應的邊長a：b：c為1：1：1對應角的正弦值分別為
引導學生考察
的關係。(學生回答它們相等)
(2)在△ABC中ABC分別為
對應的邊長a：b：c為1：1：
對應角的正弦值分別為
1;(學生回答它們相等)
(3)在△ABC中ABC分別為
對應的邊長a：b：c為1：
：2對應角的正弦值分別為
1。(學生回答它們相等)(圖3)
教師：對於
呢?
學生：思考交流得出如圖4在Rt
ABC中設BC=a,AC=b,AB=c,
則有
又
,
則
從而在直角三角形ABC中
教師：那麼任意三角形是否有
呢?
藉助於電腦與多媒體利用《幾何畫板》軟件演示正弦定理教學課件。邊演示邊引導學生觀察三角形形狀的變化與三個比值的變化情況。
結論：
對於任意三角形都成立。
設計意圖：通過《幾何畫板》軟件的演示使學生對結論的認識從感性逐步上升到理性。
（三）證明猜想得出定理
師生活動：
教師：我們雖然經歷了數學實驗多媒體技術支持對任意的三角形如何用數學的思想方法證明
呢?前面探索過程對我們有沒有啟發?學生分組討論每組派一個代表總結。(以下證明過程根據學生回答情況進行敍述)
學生：思考得出
(1)在
中成立如前面檢驗。
(2)在鋭角三角形中如圖5設
(3)在鈍角三角形中如圖6設
同鋭角三角形證明可知
教師：我們把這條性質稱為正弦定理：在一個三角形中各邊和它所對角的正弦的比相等即
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教師：還有其它證明方法嗎?
學生：思考得出分析圖形(圖7)對於任意△ABC由國中所學過的面積公式可以得出：
而由圖中可以看出：
等式
中均除以
後可得
即
教師邊分析邊引導學生同時板書證明過程。
在剛才的證明過程中大家是否發現三角形高
三角形的面積：
能否得到新面積公式
學生：
得到三角形面積公式
設計意圖：經歷證明猜想的過程進一步引導啟發學生利用已有的數學知識論證猜想力圖讓學生體驗數學的學習過程。
（四）利用定理解決引例
師生活動：
教師：現在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。
學生：馬上得出
在
中
（五）瞭解解三角形概念
設計意圖：讓學生了解解三角形概念形成知識的完整性。
教師：一般地把三角形的三個角
和它們的對邊
叫做三角形的元素已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。
設計意圖：利用正弦定理重新解決引例讓學生體會用新的知識新的定理解決問題更方便更簡單激發學生不斷探索新知識的慾望。
（六）運用定理解決例題
師生活動：
教師：引導學生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。
學生：討論正弦定理可以解決的問題類型：
(1)如果已知三角形的任意兩個角與一邊求三角形的另一角和另兩邊如
;
(2)如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角求另一邊與另兩角如
。
師生：例1的處理先讓學生思考回答解題思路教師板書讓學生思考主要是突出主體教師板書的目的是規範解題步驟。
例1：在
中已知
解三角形。
分析已知三角形中兩角及一邊求其他元素第一步可由三角形內角和為
求出第三個角C再由正弦定理求其他兩邊。
例2：在
中已知
解三角形。
例2的處理目的是讓學生掌握分類討論的數學思想可先讓中等學生講解解題思路其他同學補充交流。
學生：反饋練習(教科書第5頁的練習)
用實物投影儀展示學生中解題步驟規範的解答。
設計意圖：自己解決問題提高學生學習的熱情和動力使學生體驗到成功的愉悦感變要我學為我要學我要研究的主動學習。
（七）嘗試小結：
教師：提示引導學生總結本節課的主要內容。
學生：思考交流歸納總結。
師生：讓學生嘗試小結教師及時補充要體現：
(1)正弦定理的內容(
)及其證明思想方法。
(2)正弦定理的應用範圍：①已知三角形中兩角及一邊求其他元素;②已知三角形中兩邊和其中一邊所對的角求其他元素。
(3)分類討論的數學思想。
設計意圖：通過學生的總結培養學生的歸納總結能力和語言表達能力。
（八）作業設計
作業：第10頁[習題1.1]A組第12題。
一、教學內容分析
本節課是高一數學第五章《三角比》第三單元中正弦定理的第一課時，它既是國中“解直角三角形”內容的直接延拓，也是座標法等知識在三角形中的具體運用，是生產、生活實際問題的重要工具，正弦定理揭示了任意三角形的邊角之間的一種等量關係，它與後面的餘弦定理都是解三角形的重要工具。
本節課其主要任務是引入證明正弦定理及正弦定理的基本應用，在課型上屬於“定理教學課”。因此，做好“正弦定理”的教學，不僅能複習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯繫、發展等辯證觀點，學生通過對定理證明的探究和討論，體驗到數學發現和創造的歷程，進而培養學生提出問題、解決問題等研究性學習的能力。
二、學情分析
對高一的學生來説，一方面已經學習了平面幾何，解直角三角形，任意角的三角比等知識，具有一定觀察分析、解決問題的能力;但另一方面對新舊知識間的聯繫、理解、應用往往會出現思維障礙，思維靈活性、深刻性受到制約。根據以上特點，教師恰當引導，提高學生學習主動性，注意前後知識間的聯繫，引導學生直接參與分析問題、解決問題。
三、設計思想：
培養學生學會學習、學會探究是全面發展學生能力的重要方面，也是高中新課程改革的主要任務。如何培養學生學會學習、學會探究呢?建構主義認為：“知識不是被動吸收的，而是由認知主體主動建構的。”這個觀點從教學的角度來理解就是：知識不僅是通過教師傳授得到的，更重要的是學生在一定的情境中，運用已有的學習經驗，並通過與他人(在教師指導和學習夥伴的幫助下)協作，主動建構而獲得的，建構主義教學模式強調以學生為中心，視學生為認知的主體，教師只對學生的意義建構起幫助和促進作用。本節“正弦定理”的教學，將遵循這個原則而進行設計。
四、教學目標：
1、在創設的問題情境中，讓學生從已有的幾何知識和處理幾何圖形的常用方法出發，探索和證明正弦定理，體驗座標法將幾何問題轉化為代數問題的優越性，感受數學論證的嚴謹性.
2、理解三角形面積公式，能運用正弦定理解決三角形的兩類基本問題，並初步認識用正弦定理解三角形時，會有一解、兩解、無解三種情況。
3、通過對實際問題的探索，培養學生的數學應用意識，激發學生學習的興趣，讓學生感受到數學知識既來源於生活，又服務與生活。
五、教學重點與難點
教學重點：正弦定理的探索與證明;正弦定理的基本應用。
教學難點：正弦定理的探索與證明。
突破難點的手段：抓知識選擇的切入點，從學生原有的認知水平和所需的知識特點入手，教師在學生
主體下給於適當的提示和指導。
六、複習引入：
1.在任意三角形行中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關係?是否可以把邊、角關係準確量化?
2.在ABC中，角A、B、C的正弦對邊分別是a,b,c，你能發現它們之間有什麼關係嗎?
結論：
證明：(向量法)過A作單位向量j垂直於AC，由AC+CB=AB邊同乘以單位向量。
正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。
一、教學內容：
本節課主要通過對實際問題的探索，構建數學模型，利用數學實驗猜想發現正弦定理，並從理論上加以證實，最後進行簡單的應用。
二、教材分析：
1、教材地位與作用：本節內容安排在《普通高中課程標準實驗教科書.數學必修5》（A版）第一章中，是在高二學生學習了三角等知識之後安排的，顯然是對三角知識的應用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對國中解直角三角形內容的直接延伸，而定理本身的應用（定理應用放在下一節專門研究）又十分廣泛，因此做好該節內容的教學，使學生通過對任意三角形中正弦定理的探索、發現和證實，感受“類比--猜想--證實”的科學研究問題的思路和方法，體會由“定性研究到定量研究”這種數學地思考問題和研究問題的思想，養成大膽猜想、善於思考的品質和勇於求真的精神。
2、教學重點和難點：重點是正弦定理的發現和證實；難點是三角形外接圓法證實。
三、教學目標：
1、知識目標：
把握正弦定理，理解證實過程。
2、能力目標：
（1）通過對實際問題的探索，培養學生數學地觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。
（2）增強學生的協作能力和數學交流能力。
（3）發展學生的創新意識和創新能力。
3、情感態度與價值觀：
（1）通過學生自主探索、合作交流，親身體驗數學規律的發現，培養學生勇於探索、善於發現、不畏艱辛的創新品質，增強學習的成功心理，激發學習數學的愛好。
（2）通過實例的社會意義，培養學生的愛國主義情感和為祖國努力學習的責任心。
四、教學設想：
本節課採用探究式課堂教學模式，即在教學過程中，在教師的啟發引導下，以學生獨立自主和合作交流為前提，以“正弦定理的發現”為基本探究內容，以四周世界和生活實際為參照對象，為學生提供充分自由表達、質疑、探究、討論問題的機會，讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，將自己所學知識應用於對任意三角形性質的深入探討。讓學生在“活動”中學習，在“主動”中發展，在“合作”中增知，在“探究”中創新。設計思路如下：
教學過程：（一）創設問題情景
課前放映一些有關軍事題材的圖片，並在課首給出引例：一天，我核潛艇A正在某海域執行巡邏任務，突然發現其正東處有一敵艇B正以30海里/小時的速度朝北偏西40°方向航行。經研究，決定向其發射魚雷給以威懾性打擊。已知魚雷的速度為60海里/小時，問怎樣確定發射角度可擊中敵艦？
[設計一個學生比較感興趣的實際問題，吸引學生注意力，使其立刻進入到研究者的角色中來！]
（二）啟發引導學生數學地觀察問題，構建數學模型。
用幾何畫板模擬演示魚雷及敵艦行蹤,在探討魚雷發射角度的過程中，抽象出一個解三角形問題：
1、考察角A的範圍，回憶“大邊對大角”的性質
2、讓學生猜測角A的準確角度，由AC=2BC,從而B=2A
從而抽象出一個雛形:
3、測量角A的實際角度,與猜測有誤差,從而產生矛盾:
定性研究如何轉化為定量研究?
4、進一步修正雛形中的公式,啟發學生大膽想象:以及等
[直覺先行,思辨引路,在矛盾衝突中引發學生積極的思維!]
（三）引導學生用“特例到一般”的研究方法，猜想數學規律。
提出問題:
1、如何對以上等式進行檢驗呢?激發學生思維，從自身熟悉的特例（直角三角形）入手進行研究，篩選出能成立的等式（）。
2、那這一結論對任意三角形都適用嗎？指導學生用刻度尺、圓規、計算器等工具對一般三角形進行驗證。
3、讓學生總結實驗結果，得出猜想：
在三角形中，角與所對的邊滿足關係
[“特例→類比→猜想”是一種常用的科學的研究思路！]
（四）讓學生進行各種嘗試，探尋理論證明的方法。
提出問題:
1、如何把猜想變成定理呢？使學生注意到猜想和定理的區別，強化學生思維的嚴密性。
2、怎樣進行理論證明呢？培養學生的轉化思想，通過作高轉化為熟悉的直角三角形進行證明。
3、你能找出它們的比值嗎？藉以檢驗學生是否掌握了以上的研究思路。用幾何畫板動畫演示，找到比值，突破難點。
4、將猜想變為定理，並用以解決課首提出的問題，並進行適當的思想教育。
[學生成為發現者，成為創造者！讓學生享受成功的喜悦！]
（五）反思總結，佈置作業
1、正弦定理具有對稱和諧美
2、“類比→實驗→猜想→證明”是一種常用的研究問題的思路和方法
課下思考：三角形中還有其它的邊角定量關係嗎？
六、板書設計：
正弦定理
問題：大邊對大角→邊角準確的量化關係？
研究思路：特例→類比→實驗→猜想→證明
結論：在△ABC中，邊與所對角滿足關係：
七、課後反思
本節課授課對象為實驗班的學生，學習基礎較好。同時，考慮到這是一節探究課，授課前並沒有告訴學生授課內容。學生在未經預習不知正弦定理內容和證明方法的前提下，在教師預設的思路中，一步步發現了定理並證明了定理，感受到了創造的快樂，激發了學習數學的興趣。
（一）、通過創設教學情境，激活了學生思維。從認知的角度看，情境可視為一種信息載體，一種知識產生的背景。本節課數學情境的創設突出了以下兩點：
1．從有利於學生主動探索設計數學情境。新課標指出：學生的數學學習內容應當是現實的、有趣的和富有挑戰性的。從心理學的角度看，青少年有一種好奇的心態、探究的心理。因此，本教案緊緊地抓住高二學生的這一特徵，利用“正弦定理的發現和證明”這一富有挑戰性和探索性的材料，精心設計教學情境，使學生在觀察、實驗、猜想、驗證、推理等活動中，逐步形成創新意識。
2.以問題為導向設計教學情境。“問題是數學的心臟”，本節課數學情境的設計處處以問題為導向：“怎樣調整發射角度呢？”、“我們的工作該怎樣進行呢？”、“我們的‘根據地’是什麼？”、“對任意三角形都成立嗎？”……促使學生去思考問題，去發現問題。
（二）、創造性地使用了教材。數學教學的核心是學生的“再創造”，新課標提倡教師創造性地使用教材。本節課從問題情境的創造到數學實驗的操作，再到證明方法的發現，都對教材作了一定的調整和拓展，使其更符合學生的思維習慣和認知水平，使學生在知識的形成過程、發展過程中展開思維，發展了學生的能力。
（三）數學實驗走進了課堂，這一樸實無華而又意義重大的科學研究的思路和方法給了學生成功的快樂；這一思維模式的養成也為學生的終身發展提供了有利的武器。
一些遺憾：由於這種探究課型在平時的教學中還不夠深入，有些學生往往以一種觀賞者的身份參與其中，主動探究意識不強，思維水平沒有達到足夠的提升。但相信隨着課改實驗的深入，這種狀況會逐步改善。
一些感悟：輕鬆愉快的課堂是學生思維發展的天地，是合作交流、探索創新的主陣地，是思想教育的好場所。新課標下的課堂是學生和教師共同成長的舞台！
/《正弦定理》教案
一、教學內容分析
本節課是高一數學第五章《三角比》第三單元中正弦定理的第一課時，它既是國中“解直角三角形”內容的直接延拓，也是座標法等知識在三角形中的具體運用，是生產、生活實際問題的重要工具，正弦定理揭示了任意三角形的邊角之間的一種等量關係，它與後面的餘弦定理都是解三角形的重要工具。
本節課其主要任務是引入證明正弦定理及正弦定理的基本應用，在課型上屬於“定理教學課”。因此，做好“正弦定理”的教學，不僅能複習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯繫、發展等辯證觀點，學生通過對定理證明的探究和討論，體驗到數學發現和創造的歷程，進而培養學生提出問題、解決問題等研究性學習的能力。
二、學情分析
對高一的學生來説，一方面已經學習了平面幾何，解直角三角形，任意角的三角比等知識，具有一定觀察分析、解決問題的能力；但另一方面對新舊知識間的聯繫、理解、應用往往會出現思維障礙，思維靈活性、深刻性受到制約。根據以上特點，教師恰當引導，提高學生學習主動性，注意前後知識間的聯繫，引導學生直接參與分析問題、解決問題。
三、設計思想：
培養學生學會學習、學會探究是全面發展學生能力的重要方面，也是高中新課程改革的主要任務。如何培養學生學會學習、學會探究呢?建構主義認為：“知識不是被動吸收的，而是由認知主體主動建構的。”這個觀點從教學的角度來理解就是：知識不僅是通過教師傳授得到的，更重要的是學生在一定的情境中，運用已有的學習經驗，並通過與他人(在教師指導和學習夥伴的幫助下)協作，主動建構而獲得的，建構主義教學模式強調以學生為中心，視學生為認知的主體，教師只對學生的意義建構起幫助和促進作用。本節“正弦定理”的教學，將遵循這個原則而進行設計。
四、教學目標：
1、在創設的問題情境中，讓學生從已有的幾何知識和處理幾何圖形的常用方法出發，探索和證明正弦定理，體驗座標法將幾何問題轉化為代數問題的優越性，感受數學論證的嚴謹性。
2、理解三角形面積公式，能運用正弦定理解決三角形的兩類基本問題，並初步認識用正弦定理解三角形時，會有一解、兩解、無解三種情況。
3、通過對實際問題的探索，培養學生的數學應用意識，激發學生學習的興趣，讓學生感受到數學知識既來源於生活，又服務與生活。
五、教學重點與難點
教學重點：正弦定理的探索與證明；正弦定理的基本應用。
教學難點：正弦定理的探索與證明。
突破難點的手段：抓知識選擇的切入點，從學生原有的認知水平和所需的知識特點入手，教師在學生主體下給於適當的提示和指導。
六、複習引入：
1、在任意三角形行中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關係?是否可以把邊、角關係準確量化?
2、在ABC中，角A、B、C的正弦對邊分別是a,b,c，你能發現它們之間有什麼關係嗎?
結論：
證明：(向量法)過A作單位向量j垂直於AC，由AC+CB=AB邊同乘以單位向量。
正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。
七、教學反思
本節是“正弦定理”定理的第一節，在備課中有兩個問題需要精心設計。一個是問題的引入，一個是定理的證明。通過兩個實際問題引入，讓學生體會為什麼要學習這節課，從學生的“最近發展區”入手進行設計，尋求解決問題的方法。具體的'思路就是從解決課本的實際問題入手展開，將問題一般化導出三角形中的邊角關係——正弦定理。因此，做好“正弦定理”的教學既能複習鞏固舊知識，也能讓學生掌握新的有用的知識，有效提高學生解決問題的能力。
1、在教學過程中，我注重引導學生的思維發生，發展，讓學生體會數學問題是如何解決的，給學生解決問題的一般思路。從學生熟悉的直角三角形邊角關係，把鋭角三角形和鈍角三角形的問題也轉化為直角三角形的性，從而得到解決，並滲透了分類討論思想和數形結合思想等思想。
2、在教學中我恰當地利用多媒體技術，是突破教學難點的一個重要手段。利用《幾何畫板》探究比值的值，由動到靜，取得了很好的效果，加深了學生的印象。
3、由於設計的內容比較的多，教學時間的超時，這説明我自己對學生情況的把握不夠準確到位，致使教學過程中時間的分配不夠適當，教學語言不夠精簡，今後我一定避免此類問題，爭取更大的進步。
大家好，今天我向大家説課的題目是《正弦定理》。下面我將從以下幾個方面介紹我這堂課的教學設計。
一、教材分析
本節知識是必修五第一章《解三角形》的第一節內容，與國中學習的三角形的邊和角的基本關係有密切的'聯繫與判定三角形的全等也有密切聯繫，在日常生活和工業生產中也時常有解三角形的問題，而且解三角形和三角函數聯繫在大學聯考當中也時常考一些解答題。因此，正弦定理和餘弦定理的知識非常重要。
根據上述教材內容分析，考慮到學生已有的認知結構心理特徵及原有知識水平，制定如下教學目標：
認知目標：通過創設問題情境，引導學生髮現正弦定理的內容，掌握正弦定理的內容及其證明方法，使學生會運用正弦定理解決兩類基本的解三角形問題。
能力目標：引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，培養學生的創新意識和觀察與邏輯思維能力，能體會用向量作為數形結合的工具，將幾何問題轉化為代數問題。
情感目標：面向全體學生，創造平等的教學氛圍，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，調動學生的主動性和積極性，激發學生學習的興趣。
教學重點：正弦定理的內容，正弦定理的證明及基本應用。 教學難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數。
二、教法
根據教材的內容和編排的特點，為是更有效地突出重點，空破難點，以學業生的發展為本，遵照學生的認識規律，本講遵照以教師為主導，以學生為主體，訓練為主線的指導思想， 採用探究式課堂教學模式，即在教學過程中，在教師的啟發引導下，以學生獨立自主和合作交流為前提，以“正弦定理的發現”為基本探究內容，以生活實際為參照對象，讓學生的思維由問題開始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推導，並逐步得到深化。
三、學法
指導學生掌握“觀察――猜想――證明――應用”這一思維方法，採取個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，將自己所學知識應用於對任意三角形性質的探究。讓學生在問題情景中學習，觀察，類比，思考，探究，概括，動手嘗試相結合，體現學生的主體地位，增強學生由特殊到一般的數學思維能力，形成了實事求是的科學態度，增強了鍥而不捨的求學精神。
四、教學過程
(一)創設情境(3分鐘)
“興趣是最好的老師”，如果一節課有個好的開頭，那就意味着成功了一半，本節課由一個實際問題引入，“工人師傅的一個三角形模型壞了，只剩下如右圖所示的部分，∠A=47°,∠B=53°,AB長為1m,想修好這個零件，但他不知道AC和BC的長度是多少好去截料，你能幫師傅這個忙嗎?”激發學生幫助別人的熱情和學習的興趣，從而進入今天的學習課題。
(二)猜想―推理―證明(15分鐘)
激發學生思維，從自身熟悉的特例(直角三角形)入手進行研究，發現正弦定理。 提問：那結論對任意三角形都適用嗎?(讓學生分小組討論，並得出猜想)
在三角形中，角與所對的邊滿足關係
注意：1.強調將猜想轉化為定理，需要嚴格的理論證明。
2.鼓勵學生通過作高轉化為熟悉的直角三角形進行證明。
3.提示學生思考哪些知識能把長度和三角函數聯繫起來，繼而思考向量分析層面，用數量積作為工具證明定理，體現了數形結合的數學思想。
(三)總結--應用(3分鐘)
1.正弦定理的內容，討論可以解決哪幾類有關三角形的問題。
2.運用正弦定理求解本節課引入的三角形零件邊長的問題。自己參與實際問題的解決，能激發學生知識後用於實際的價值觀。
(四)講解例題(8分鐘)
1.例1. 在△ABC中，已知A=32°,B=81.8°,a=42.9cm.解三角形.
例1簡單，結果為唯一解，如果已知三角形兩角兩角所夾的邊，以及已知兩角和其中一角的對邊，都可利用正弦定理來解三角形。
2. 例2. 在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形.
例2較難，使學生明確，利用正弦定理求角有兩種可能。要求學生熟悉掌握已知兩邊和其中
一邊的對角時解三角形的各種情形。完了把時間交給學生。
(五)課堂練習(8分鐘)
1.在△ABC中,已知下列條件,解三角形. (1)A=45°,C=30°,c=10cm (2)A=60°,B=45°,c=20cm
2. 在△ABC中,已知下列條件,解三角形. (1)a=20cm,b=11cm,B=30° (2)c=54cm,b=39cm,C=115°
學生板演，老師巡視，及時發現問題，並解答。
(六)小結反思(3分鐘)
1.它表述了三角形的邊與對角的正弦值的關係。
2.定理證明分別從直角、鋭角、鈍角出發，運用分類討論的思想。
3.會用向量作為數形結合的工具，將幾何問題轉化為代數問題。
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