第一篇：證明極限不存在
證明極限不存在
二元函數的極限是高等數學中一個很重要的內容,因為其定義與一元函數極限的定義有所不同,需要定義域上的點趨於定點時必須以任意方式趨近,所以與之對應的證明極限不存在的方法有幾種.其中有一種是找一種含參數的方式趨近,代入二元函數,使之變為一元函數求極限.若最後的極限值與參數有關,則説明二重極限不存在.但在證明這類型的題目時,除了選y=kx這種趨近方式外,許多學生不知該如何選擇趨近方式.本文給出證明一類常見的有理分式函數極限不存在的一種簡單方法.例1證明下列極限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.證明一般地,對於(1)選擇當(x,y)沿直線y=kxy=kx趨近於(0,0)時,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.顯然它隨着k值的不同而改變,故原極限不存在.對於(2)若仍然選擇以上的趨近方式,則不能得到證明.實際上,若選擇(x,y)沿拋物線y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趨近於(0,0),則有l..
2
是因為定義域d={(x,y)|x不等於y}嗎，從哪兒入手呢，請高手指點
沿着兩條直線y=2x
y=-2x趨於(0,0)時
極限分別為-3和-1/3不相等
極限存在的定義要求延任何過(0,0)直線求極限時極限都相等
所以極限不存在
3
lim(x和y)趨向於無窮大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)
證明該極限不存在
lim(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)
=lim(x^2+3y^2)/(x^2+3y^2)-8y^2/(x^2+3y^2)
=1-lim8/
因為不知道x、y的大校
所以lim(x和y)趨向於無窮大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)
極限不存在
4
如圖用定義證明極限不存在~謝謝!!
反證法
若存在實數l，使limsin(1/x)=l，
取ε=1/2，
在x=0點的任意小的鄰域x內，總存在整數n，
①記x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈x，有sin=1，
②記x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈x，有sin=-1，
使|sin-l|<1/3，
和|sin-l|<1/3，
同時成立。
即|1-l|<1/2，|-1-l|<1/2，同時成立。
這與|1-l|+|-1-l|≥|(1-l)-(-1-l)|=2發生矛盾。
所以，使limsin(1/x)=l成立的實數l不存在。
第二篇：如何證明極限不存在
如何證明極限不存在
反證法
若存在實數l，使limsin(1/x)=l，
取ε=1/2，
在x=0點的任意小的鄰域x內，總存在整數n，
①記x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈x，有sin=1，
②記x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈x，有sin=-1，
使|sin-l|<1/3，
和|sin-l|<1/3，
同時成立。
即|1-l|<1/2，|-1-l|<1/2，同時成立。
這與|1-l|+|-1-l|≥|(1-l)-(-1-l)|=2發生矛盾。
所以，使limsin(1/x)=l成立的實數l不存在。
反證法：
一個數列{an}極限存在,另一個數列{bn}極限不存在
假設兩數列之和{cn}的極限存在，那麼bn=cn-an極限也存在(兩個數列和的極限等於兩個數列極限的和)
矛盾
所以原命題成立
令y=x,lim(x,y)趨於(0,0)xy/x+y
=lim(x趨於0)x^2/(2x)=0
令y=x^2-x,lim(x,y)趨於(0,0)xy/x+y
=lim(x趨於0)x^3-x^2/x^2=-1
兩種情況極限值不同，故原極限不存在
2答案：首先需要二項式定理：
(a+b)^n=∑c(i=0–i=n)nia^(n-i)*b^i(式一)
用數學歸納法證此定理：
n=1(a+b)^1a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1
a+b
故此，n=1時，式一成立。
設n1為任一自然數，假設n=n1時，(式一)成立，即：
(a+b)^n1=∑c(i=0–i=n1)n1ia^(n1-i)*b^i(式二)
則，當n=n1+1時:
式二兩端同乘(a+b)
*(a+b)=*(a+b)
=(a+b)^(n1+1)=∑c(i=0–i=(n1+1))(n1+1)ia^((n1+1)-i)*b^i(據乘法分配律)
因此二項式定理(即式一成立)
下面用二項式定理計算這一極限：
(1+1/n)^n(式一)
用二項式展開得：
(1+1/n)^n=1^n+(n/1)(1/n)+*(1/n)^2+*(1/n)^3+…+*(1/n)^(n-2)+*(1/n)^(n-1)+*(1/n)^n
由於二項展開式係數項的分子乘積的最高次項與(1/n)的次數相同，而係數為1，因此，最高次項與(1/n)的相應次方剛好相約，得1，低次項與1/n的相應次方相約後，分子剩下常數，而分母總餘下n的若干次方，當n-+∞,得0。因此總的結果是當n-+∞，二項展開式係數項的各項分子乘積與(1/n)的相應項的次方相約，得1。餘下分母。於是式一化為：
(1+1/n)^n=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+…+1/n!(式二)
當n-+∞時，你可以用計算機，或筆計算此值。這一數值定義為e。
第三篇：證明二重極限不存在
證明二重極限不存在
如何判斷二重極限(即二元函數極限)不存在,是二元函數這一節的難點,在這裏筆者對這一問題不打算做詳細的討論,只是略談一下在判斷二重極限不存在時,一個值得注意的問題。由二重極限的定義知,要討論limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找幾條通過(或趨於)定點(x0,y0)的特殊曲線,如果動點(x,y)沿這些曲線趨於(x0,y0)時,f(x,y)趨於不同的值,則可判定二重極限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,這一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲線時,是有一定技巧的,不過不管找哪條曲線,這條曲線一定要經過(x0,y0),並且定點是這條曲線的非孤立點,這一點很容易疏忽大意,特別是為圖方便,對於型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的極限,在判斷其不存在時,不少人找的曲線是f(x,y)-g(x,y)=0,這樣做就很容易出錯。例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲線x2y-(x2+y2)=0→(0,0)時,所得的結論就不同(這時f(x,y)→1)。為什麼會出現這種情況呢?仔細分析一下就不難得到答案
2
若用沿曲線，(，y)一g(，y)=0趨近於(，y0)來討論，一0g，y。。可能會出現錯誤，只有證明了(，)不是孤立點後才不會出錯。o13a1673-3878(2014)0l__0l02__02如何判斷二重極限(即二元函數極限)不存在。是二元函數這一節的難點，在這裏筆者對這一問題不打算做詳細的討論。只是略談一下在判斷二重極限不存在時。一個值得注意的問題。由二重極限的定義知，要討論limf(x，y)不存在，通常x—’10y—’y0的方法是：找幾條通過(或趨於)定點(xo，yo)的特殊曲線，如果動點(x，y)沿這些曲線趨於(xo，y。)時，f(x，y)趨於不同的值，則可判定二重極限limf(x，y)不存在，這一方i—’10r’y0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲線時，是有一定技巧的，不過不管找哪條曲線，這條曲線一定要經過(xo，y。)，並且定點是這條曲線的非孤立點，這一點很容易疏忽大意，特別是為圖方便，對於型如2的極限，在判卜’iogx，yy—·y0斷其不存在時，不少人找的曲線是f(x，y)一g(x，y)：0，這樣做就很容易出錯。
3
當沿曲線y=-x+x^2趨於(00)時，極限為lim(-x^2+x^3)/x^2=-1;
當沿直線y=x趨於(00)時，極限為limx^2/2x=0。故極限不存在。
4
x-y+x^2+y^2
f(x,y)=————————
x+y
它的累次極限存在：
x-y+x^2+y^2
limlim————————=-1
y->0x->0x+y
x-y+x^2+y^2
limlim————————=1
x->0y->0x+y
當沿斜率不同的直線y=mx,(x,y)->(0,0)時，易證極限不同，所以它的二重極限不存在。
第四篇：極限不存在的證明
不如何證明極限不存在
一、歸結原則
原理:設f在u0(x0;?')內有定義，limf(x)存在的充要條件是：對任何含於
x?x0
u(x0;?)且以x0為極限的數列?xn?極限limf(xn)都存在且相等。
'
n??
例如：證明極限limsin
x?0
1x
不存在
12n??
證：設xn??
1n?
?,xn?
?
2
(n?1,2,?)，則顯然有
xn?0,xn?0(n??)，si由歸結原則即得結論。
??
?0?0,si?1?1(n??)??xnxn
二、左右極限法
原理：判斷當x?x0時的極限，只要考察左、右極限，如果兩者相等，則極限存在，否則極限不存在。例如：證明f(x)?arctan(因為limarctan(
x?0
?
1x
)
當x
?0
時的極限不存在。
1x)?
1x
)??
?
2
x=0，limarctan(
x?0
?
?
2
，limarctan(
x?0
?
1x
)?lim?arctan(
x?0
1x
)，
所以當x?0時，arctan(
1x
)的極限不存在。
三、證明x??時的極限不存在
原理：判斷當x?
?
時的極限，只要考察x???與x???時的極限，如果兩者
相等，則極限存在，否則極限不存在。例如：證明f(x)?ex在x?
x???
?
時的極限不存在
x???
x???
xxxx
因為lime?0，lime???；因此，lime?lime
x???
所以當x?
四、柯西準則
?
時，ex的極限不存在。
0'
原理：設f在u(x0;?)內有定義，limf(x)存在的充要條件是：任給?
x?x0
?0
，存
在正數?(???)，使得對任何x?,x???u0(x0;?)，使得f(x?)?f(x??)??0。 例如：在方法一的例題中，取?0?1，對任何??0，設正數n?
x??1
n?,x???1
n??1?，令?
2即證。
五、定義法
原理：設函數f(x)在一個形如(a,??)的區間中有定義，對任何a?r，如果存在
?0?0，使對任何x?0都存在x0?x,使得f(x0)?a??0,則f(x)在x???
x???時沒有極限。 例如：證明limcosx不存在
設函數f(x)?cosx，f(x)在(0,??)中有定義，對任何a?r，不妨設a?取?0?120,，於是對任何??0，取?0?0 反證法（利用極限定義） 數學歸納法
第五篇：極限證明
極限證明
1.設f(x)在(??,??)上無窮次可微，且f(x)??(xn)(n???)，求證當k?n?1時，?x， limf(k)(x)?0． x???
2.設f(x)??0sinntdt，求證：當n為奇數時，f(x)是以2?為週期的周期函數；當n為
偶數時f(x)是一線性函數與一以2?為週期的周期函數之和． x
f(n)(x)?0．?{xn}?3.設f(x)在(??,??)上無窮次可微；f(0)f?(0)?0xlim求證：n?1，???
?n，0?xn?xn?1，使f(n)(xn)?0．
sin(f(x))?1．求證limf(x)存在． 4.設f(x)在(a,??)上連續，且xlim???x???
5.設a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,證明權限limn??xn存在並求極限值。
6.設xn?0,n?1,2,?.證明：若limxn?1?x,則limxn?x. n??xn??n
7.用肯定語氣敍述：limx???f?x????.
8.a1?1,an?1?1,求證：ai有極限存在。 an?1
t?x9.設函數f定義在?a,b?上，如果對每點x??a,b?,極限limf?t?存在且有限（當x?a或b時，
為單側極限）。證明：函數f在?a,b?上有界。
10.設limn??an?a,證明：lima1?2a2???nana?. n??2n2
11.敍述數列?an?發散的定義，並證明數列?cosn?發散。
12.證明：若???
af?x?dx收斂且limx???f?x???，則??0.
11?an?收斂。?,n?1,2,?.求證：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?
n
14.證明公式?k?11k?2n?c??n，其中c是與n無關的常數，limn???n?0.
15.設f?x?在[a,??)上可微且有界。證明存在一個數列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f'?xn??0.
16.設f?u?具有連續的導函數，且limu???f'?u??a?0,d??x,y?|x2?y2?r2,x,y?0
??
?r?0?.
i
?1?證明：limu??f?u????;?2?求ir???f'?x2?y2?dxdy;?3?求limr2
r??
d
r
17.設f?x?於[a,??)可導，且f'?x??c?0?c為常數?,證明：
?1?limx???f?x????;?2?f?x?於[a,??)必有最小值。
18.設limn???an?a,limn???bn?b,其中b?0,用??n語言證明lim
ana?.
n???bbn
?sn?x??19.設函數列?sn?x??的每一項sn?x?都在x0連續，u是以x0為中心的某個開區間，
在u??x0?內閉一致收斂於s?x?,又limn??sn?x0????,證明：lims?x????.
x?x0
20.敍述並證明limx???f?x?存在且有限的充分必要條件?柯西收斂原理?
??a
23.設?
f(x)= 0. 證明xlimf(x)dx收斂,且f(x)在?a,???上一致連續，???
24.設a1>0，an?1＝an＋，證明＝1 nan25.設f?x?在a的某領域內有定義且有界，對於充分小的h，m?h?與m?h?分別表示f?x?在
?a?h,a?h?上的上、下確界，又設?hn?是一趨於0的遞減數列，證明：
1）limn??m?hn?與limn??m?hn?都存在；
2)limn?0m?h??limn??m?hn?,limn?0m?h??limn??m?hn?;
3)f?x?在x?a處連續的充要條件是llimn??m?hn??imn??m?hn?26設?xn?滿足：|xn?1?xn|?|qn||xn?xn?1|,|qn|?r?1|,證明?xn?收斂。
27.設an?a,用定義證明:limn???an?a
28.設x1?0，xn?1?
31?xn
,(n?1,2,?)，證明limxn存在並求出來。
n??3?xn
??
29.用“???語言”證明lim30.設f(x)?
(x?2)(x?1)
?0
x?1x?3
x?2
，數列?xn?由如下遞推公式定義：x0?1，xn?1?f(xn)，(n?0，x?1
n??
1，2，?)，求證：limxn?2。
31.設fn(x)?cosx?cos2x???cosnx，求證：
（a）對任意自然數n，方程fn(x)?1在[0,?/3)內有且僅有一個正根；
（b）設xn?[0,1/3)是fn(x)?1的根，則limxn??/3。
n??
32.設函數f(t)在(a,b)連續，若有數列xn?a,yn?a(xn,yn?(a,b))使
limf(xn)?a(n??)及limf(yn)?b(n??)，則對a，b之間的任意數?，
可找到數列xn?a，使得limf(zn)??
33.設函數f在[a,b]上連續，且
f?0,記fvn?f(a?v?n),?n?
?exp{
b?a
，試證明：n
1b
lnf(x)dx}(n??)並利用上述等式證明下?ab?a
式
2?
?
2?
ln(1?2rcosx?r2)dx?2lnr(r?1)
f(b)?f(a)
?k
b?a
34.設f‘(0)?k,試證明lim
a?0?b?0?
35.設f(x)連續，?(x)??0f(xt)dt，且lim
x?0
論?'(x)在x?0處的連續性。
f(x)
，求?'(x)，並討?a（常數）
x
36． 給出riemann積分?af(x)dx的定義，並確定實數s的範圍使下列極限收斂
i1
lim?()s。 n??ni?0n
?x322
,x?y?0?2
37.定義函數f?x???x?y2. 證明f?x?在?0,0?處連續但不可微。
?0,x?y?0?
n?1
b
38.設f是?0,??上有界連續函數，並設r1,r2,?是任意給定的無窮正實數列，試證存在無窮正實數列x1,x2,?,使得：limn???f?xn?rn??f?xn???0.
39.設函數f?x?在x?0連續，且limx?0
f?2x??f?x??a,求證：f'?0?存在且等於a.
x
1n
40.無窮數列?an??,bn?滿足limn??an?a,limn??bn?b,證明:lim?aibn?1-i?ab.
n??ni?1
41.設f是?0,??上具有二階連續導數的正函數，且f'?x??0,f''有界，則limt??f'?t??0
42.用???分析定義證明limt??1
x?31
? x2?92
43.證明下列各題
?1?設an??0,1?，n?1,2,?,試證明級數?2nann?1?an?n收斂；
n?1
?
?2?設?an?為單調遞減的正項數列，級數?n2014an收斂，試證明limn2014an?0;
n??
n?1
?
?3?設f?x?在x?0附近有定義，試證明權限limx?0f?x?存在的充要條件是：對任何趨於0的數列?xn??,yn?都有limn???f?xn??f?yn???0.
?1?44.設?an?為單調遞減數列的正項數列，級數?anln?1?an?0???收斂，試證明limn??n?n?1?
a?1。 45.設an?0，n=1,2， an?a?0,(n??),證 limn
n??
?
46.設f為上實值函數，且f（1）＝1，f?（x）＝〔1(內容來源好 範文網)，＋?〕
limf（x）存在且小於1＋。
x?＋?4
，證明x?1）2
x2＋f（x）
?
47.已知數列{an}收斂於a，且
a?a???asn?，用定義證明{sn}也收斂於a
n
48.若f?x?在?0,???上可微，lim
n??
f(x)
?0，求證?0,???內存在一個單
x??x
調數列{?n}，使得lim?n???且limf?(?n)?0
n??
x??e?sinx?cosx?,x?0
49.設f?x???2,確定常數a,b,c,使得f''?x?在???,??處處存在。
??ax?bx?c,x?0
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