第一篇：如何證明等差數列
如何證明等差數列
設等差數列an=a1+(n-1)d
最大數加最小數除以二即
/2=a1+(n-1)d/2
{an}的平均數為
sn/n=/n=a1+(n-1)d/2
得證
1三個數abc成等差數列，則c-b=b-a
c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)
b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)
因c-b=b-a，則(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)
即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)
所以a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)成等差數列
等差：an-(an-1)=常數(n≥2)
等比：an/(an-1=常數(n≥2)
等差：an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)
等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).
2
我們推測數列{an}的通項公式為an=5n-4
下面用數學規納法來證明：
1)容易驗證a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推測均成立
2)假設當n≤k時，推測是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)
則sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2
於是s(k+1)=a(k+1)+sk
而由題意知：(5k-8)s(k+1)-(5k+2)sk=-20k-8
即：(5k-8)*-(5k+2)sk=-20k-8
所以(5k-8)a(k+1)-10sk=-20k-8
即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)
所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4
即知n=k+1時，推測仍成立。
3
在新的數列中
an=s
=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)
a(n-1)=s
=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)
an-a(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)
=4d+4d+4d+4d+4d
=20d(d為原數列公差)
20d為常數,所以新數列為等差數列上，an=5n-4即為數列的通項公式，故它為一等差數列。
4
a(n+1)-2an=2(an-2an-1)a(n+1)-2an=3*2^(n-1)兩邊同時除2^(n+1)得-an/2^n=3/4即{an/2^n}的公差為3/4an除以2的n次方為首項為1/2公差為3/4的等差數列
5
那麼你就設直角三角形地三條邊為a，a+b,a+2b
於是它是直角三角形得到
a²+(a+b)²=(a+2b)²
所以a²+a²+2ab+b²=a²+4ab+4b²
化簡得a²=2ab+3b²
兩邊同時除以b²
解得a/b=3即a=3b
所以三邊可以寫為3b，3b+b。3b+2b
所以三邊之比為3：4：5
6
設等差數列an=a1+(n-1)d
最大數加最小數除以二即
/2=a1+(n-1)d/2
{an}的平均數為
sn/n=/n=a1+(n-1)d/2
得證
第二篇：等差數列的證明
等差數列的證明
1三個數abc成等差數列，則c-b=b-a
c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)
b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)
因c-b=b-a，則(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)
即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)
所以a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)成等差數列
等差：an-(an-1)=常數(n≥2)
等比：an/(an-1=常數(n≥2)
等差：an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)
等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).
2
我們推測數列{an}的通項公式為an=5n-4
下面用數學規納法來證明：
1)容易驗證a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推測均成立
2)假設當n≤k時，推測是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)
則sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2
於是s(k+1)=a(k+1)+sk
而由題意知：(5k-8)s(k+1)-(5k+2)sk=-20k-8
即：(5k-8)*-(5k+2)sk=-20k-8
所以(5k-8)a(k+1)-10sk=-20k-8
即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)
所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4
即知n=k+1時，推測仍成立。
3
在新的數列中
an=s
=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)
a(n-1)=s
=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)
an-a(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)
=4d+4d+4d+4d+4d
=20d(d為原數列公差)
20d為常數,所以新數列為等差數列上，an=5n-4即為數列的通項公式，故它為一等差數列。
4
a(n+1)-2an=2(an-2an-1)a(n+1)-2an=3*2^(n-1)兩邊同時除2^(n+1)得-an/2^n=3/4即{an/2^n}的公差為3/4an除以2的n次方為首項為1/2公差為3/4的等差數列
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證明：
an=sn-sn-1=n(a1+an)/2-(n-1)(a1+an-1)/2
2an=na1+nan-na1-nan-1+a1+an-1
(n-2)an=(n-1)*(an-1)-a1(1)
同理
(n-1)*(an+1)=nan-a1(2)
(1)-(2)
得到
(2n-2)an=(n-1)*(an-1)+(n-1)(an+1)
2an=an-1+an+1
所以an+1-an=an-an-1
所以數列{an}是等差數列
那麼你就設直角三角形地三條邊為a，a+b,a+2b
於是它是直角三角形得到
a²+(a+b)&su(感謝訪問本站：)p2;=(a+2b)²
所以a²+a²+2ab+b²=a²+4ab+4b²
化簡得a²=2ab+3b²
兩邊同時除以b²
解得a/b=3即a=3b
所以三邊可以寫為3b，3b+b。3b+2b
所以三邊之比為3：4：5
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設等差數列an=a1+(n-1)d
最大數加最小數除以二即
/2=a1+(n-1)d/2
{an}的平均數為
sn/n=/n=a1+(n-1)d/2
得證
第三篇：等差數列證明
設數列｛an｝的前n項和為sn，若對於所有的正整數n，都有sn=n(a1+an)/2,求證：｛an｝是等差數列
解：證法一：令d=a2－a1，下面用數學歸納法證明an=a1+（n－1）d（n∈n*） ①當n=1時，上述等式為恆等式a1=a1，
當n=2時，a1+（2－1）d=a1+（a2－a1）=a2，等式成立.
②假設當n=k（k∈n，k≥2）時命題成立，即ak=a1+（k－1）d 由題設，有sk?
k(a1?ak)(k?1)(a1?ak?1)
,sk?1?， 22
(k?1)(a1?ak?1)k(a1?ak)
?+ak+1
22
又sk+1=sk+ak+1，所以
將ak=a1+（k－1）d代入上式，
得（k+1）（a1+ak+1）=2ka1+k（k－1）d+2ak+1 整理得（k－1）ak+1=（k－1）a1+k（k－1）d ∵k≥2，∴ak+1=a1+［（k+1）－1］d. 即n=k+1時等式成立.
由①和②，等式對所有的自然數n成立，從而{an}是等差數列. 證法二：當n≥2時，由題設，sn?1?
(n?1)(a1?an?1)n(a1?an)
,sn?
22
所以an?sn?sn?1?
n(a1?a2)(n?1)(a1?an?1)
? 22
(n?1)(a1?an?1)n(a1?an)
?同理有an?1?
22
從而an?1?an?
(n?1)(a1?an?1)(n?1)(a1?an?1)
?n(a1?an)?
22
整理得：an+1－an=an－an－1，對任意n≥2成立.
從而{an}是等差數列.
評述：本題考查等差數列的基礎知識，數學歸納法及推理論證能力，教材中是由等差數列的通項公式推出數列的求和公式，本題逆向思維，由數列的求和公式去推數列的通項公式，有一定的難度.考生失誤的主要原因是知道用數學歸納法證，卻不知用數學歸納法證什麼，這裏需要把數列成等差數列這一文字語言，轉化為數列通項公式是an=a1+（n－1）d這一數學符號語言.證法二需要一定的技巧.
第四篇：等差數列的證明
一、 等差數列的證明 利用等差（等比）數列的定義
在數列{an}中，若an?an?1?d
二．運用等差中項性質
an?an?2?2an?1?{an}是等差數列
三．通項與前n項和法
若數列通項an能表示成an?an?b（a，b為常數）的形式，則數列?an?是等差數列； 若數列?an?的前n項和sn能表示成sn?an2?bn (a，b為常數)的形式，則數列?an?等差數列；
例1.若sn是數列?an?的前n項和，sn?n2,則?an?是().
ａ．等比數列，但不是等差數列ｂ.等差數列，但不是等比數列ｃ．等差數列，而且也是等比數列ｄ.既非等比數列又非等差數列
練習：已知數列前n項和sn?n2?2n，求通項公式an，並説明這個數列是否為等差數列。
練習：設數列?an?的前n項的和sn?n2?2n?4,?n?n??，
⑴寫出這個數列的前三項a1,a2,a3；
⑵證明：數列?an?除去首項後所成的數列a2,a3,a4?是等差數列。
例2：已知數列?an?滿足a1?1，an?2an?1?2
（ⅰ）求證：數列?n?n?2?， ?an?是等差數列； n?2??
（ⅱ）求數列?an?的通項公式。
練習：已知數列?an?滿足a1?2，an?1?an， 1?2an（ⅰ）求證：數列??1??是等差數列； a?n?（ⅱ）求數列?an?的通項公式。
第五篇：已知數列{an}是等差數列,設bn=a2n 1-a2n證明：數列{bn}是等差數列
已知數列{an}是等差數列，設ｂｎ＝ａ2n+1－ａ2n證明：數列｛ｂn｝是等差數列
思路：這個題的方法和上課講的方法是一致的，你沒有做出來，是因為忽略了數列{an}是等差數列這個條件，這個條件就以為着對於{an}來説，前後兩項的差為常數
證明：設等差數列{an}的公差為d
bn?1?bn
2222?(an?2?an?1)?(an?1?an)
?(an?2?an?1)(an?2?an?1)?(an?1?an)(an?1?an)
?d(an?2?an?1)?d(an?1?an)
?d(an?2?an?1?an?1?an)
?d(an?2?an)
?d?2d
?2d2
⊙已知函數ｆ﹙ｘ）＝ｘ3＋ｘ，ｇ（ｘ）＝（ｘ2＋ａｘ＋４）÷ｘ （１）若對任意的ｘ1屬於【１，３】，存在ｘ2屬於【１，３】，使得ｆ（ｘ1）≥ｇ（ｘ2）成立，求ａ的取值範圍。
（２）若對任意的ｘ1，ｘ2屬於【１，３】都有ｆ（ｘ1）≥ｇ（ｘ2）成立，求ａ的取值範圍。思路：第2問是恆成立問題，你説的對，第一個問不是。因為是“存在ｘ2”，所
以應該滿足的條件是f(x)的最大值大於等於g(x)的最大值，f(x)的最小值大於等於g(x)的最小值，
解：f(x)通過求導可求得值域為f(x1)?[2,30]，g(x2)?x?4?a?[4?a,5?a] x
?30?5?a所以（1）解不等式?，解不等式即可 2?4?a?
（2）2?5?a，解不等式即可
⊙設ｍ屬於ｒ，在平面直角座標系中，已知向量ａ＝（ｍｘ，ｙ＋１），向量ｂ＝（ｘ，ｙ－１），向量ａ⊥向量ｂ，動點ｍ（ｘ，ｙ）的軌跡為ｅ。
已知ｍ＝１／４，證明：存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡ｅ恆有兩個交點ａ，ｂ，且ｏａ⊥ｏｂ(ｏ為座標原點），並求出該圓的方程。
思路：該題就是一個“直線和圓錐曲線相交”的問題，方法是韋達定理法。關於解析幾何的大題，我會在寒假的時候，重點訓練大家的，這種題的特點是運算量大，思路倒是沒有什麼問題。先根據向量垂直，求出m的軌跡方程為橢圓。然後在根據圓的性質：切點與圓心的連線與切線垂直，切點與圓心的距離等於半徑，再加上向量垂直，即可求解。
?12x2
222?y2?1 解：?b?x?y?1?0?x?4y?4?44
設圓的切線的切點座標為p(x0,y0)，則k0p?y0x，因為op和ab垂直，所以kab??0，x0y0則設直線ab的方程：y?y0??x0(x?x0)帶入到橢圓方程中，得： y0
2(y0?4x0)x?8x0rx?4r?4y0?0?x1?x2?222248x0r2
y0?4x022,x1x2?4r4?4y0y0?4x0222
r2?x0x1r2?x0x2又因為0a?0p?x1x2?y1y2?0?x1x2?()()?0y0y0
?x1x2?r2?x0(x1?x2)?0
將上面求得的x1?x2?8x0r2
y0?4x022,x1x2?4r4?4y0y0?4x0222帶入到上式中，整理可求得
r2?4422，即圓的方程為x?y? 55
⊙設ａ＞１，則雙曲線ｘ2÷ａ2－ｙ2÷（ａ＋１）2＝１的離心率ｅ的取值範圍是？ a2?(a?1)21解：e??2a??2?5 aa
總結;最後求範圍是根據對勾函數求的，如果不懂，可以參考函數課程中的“分式函數”這節課。
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