函數的單調性、奇偶性、週期性
單調性:定義:注意定義是相對與某個具體的區間而言。
判定方法有:定義法(作差比較和作商比較)
導數法(適用於多項式函數)
複合函數法和圖像法。
應用:比較大小,證明不等式,解不等式。
奇偶性:
定義:注意區間是否關於原點對稱,比較f(x)與f(-x)的關係。f(x)-f(-x)=0f(x)=f(-x)f(x)為偶函數;
f(x)+f(-x)=0f(x)=-f(-x)f(x)為奇函數。
判別方法:定義法,圖像法,複合函數法
應用:把函數值進行轉化求解。
週期性:定義:若函數f(x)對定義域內的任意x滿足:f(x+T)=f(x),則T為函數f(x)的週期。
其他:若函數f(x)對定義域內的任意x滿足:f(x+a)=f(x-a),則2a為函數f(x)的週期。
應用:求函數值和某個區間上的函數解析式。
四、圖形變換:函數圖像變換:(重點)要求掌握常見基本函數的圖像,掌握函數圖像變換的一般規律。
常見圖像變化規律:(注意平移變化能夠用向量的語言解釋,和按向量平移聯繫起來思考)
平移變換y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b
注意:(ⅰ)有係數,要先提取係數。如:把函數y=f(2x)經過平移得到函數y=f(2x+4)的圖象。
(ⅱ)會結合向量的平移,理解按照向量(m,n)平移的意義。
對稱變換y=f(x)→y=f(-x),關於y軸對稱
y=f(x)→y=-f(x),關於x軸對稱
y=f(x)→y=f|x|,把x軸上方的圖象保留,x軸下方的圖象關於x軸對稱
y=f(x)→y=|f(x)|把y軸右邊的圖象保留,然後將y軸右邊部分關於y軸對稱。(注意:它是一個偶函數)
伸縮變換:y=f(x)→y=f(ωx),
y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具體參照三角函數的圖象變換。
一個重要結論:若f(a-x)=f(a+x),則函數y=f(x)的圖像關於直線x=a對稱;
1、求導法則:
(c)/=0這裏c是常數。即常數的導數值為0。
(xn)/=nxn-1特別地:(x)/=1(x-1)/=()/=-x-2(f(x)±g(x))/=f/(x)±g/(x)(k?f(x))/=k?f/(x)
2、導數的幾何物理意義:
k=f/(x0)表示過曲線y=f(x)上的點P(x0,f(x0))的切線的斜率。
V=s/(t)表示即時速度。a=v/(t)表示加速度。
3、導數的應用:
①求切線的斜率。
②導數與函數的單調性的關係
已知(1)分析的定義域;(2)求導數(3)解不等式,解集在定義域內的部分為增區間(4)解不等式,解集在定義域內的部分為減區間。
我們在應用導數判斷函數的單調性時一定要搞清以下三個關係,才能準確無誤地判斷函數的單調性。以下以增函數為例作簡單的分析,前提條件都是函數在某個區間內可導。
③求極值、求最值。
注意:極值≠最值。函數f(x)在區間[a,b]上的值為極大值和f(a)、f(b)中的一個。最小值為極小值和f(a)、f(b)中最小的一個。
f/(x0)=0不能得到當x=x0時,函數有極值。
但是,當x=x0時,函數有極值f/(x0)=0
判斷極值,還需結合函數的單調性説明。
4、導數的常規問題:
(1)刻畫函數(比初等方法精確細微);
(2)同幾何中切線聯繫(導數方法可用於研究平面曲線的切線);
(3)應用問題(初等方法往往技巧性要求較高,而導數方法顯得簡便)等關於次多項式的導數問題屬於較難類型。
2、關於函數特徵,最值問題較多,所以有必要專項討論,導數法求最值要比初等方法快捷簡便。
3、導數與解析幾何或函數圖象的混合問題是一種重要類型,也是大學聯考會考察綜合能力的一個方向,應引起注意。
九、不等式
一、不等式的基本性質:
注意:(1)特值法是判斷不等式命題是否成立的一種方法,此法尤其適用於不成立的命題。
(2)注意課本上的幾個性質,另外需要特別注意:
①若ab>0,則。即不等式兩邊同號時,不等式兩邊取倒數,不等號方向要改變。
②如果對不等式兩邊同時乘以一個代數式,要注意它的正負號,如果正負號未定,要注意分類討論。
③圖象法:利用有關函數的圖象(指數函數、對數函數、二次函數、三角函數的圖象),直接比較大小。
④中介值法:先把要比較的代數式與“0”比,與“1”比,然後再比較它們的大小
二、均值不等式:兩個數的算術平均數不小於它們的幾何平均數。
基本應用:①放縮,變形;
②求函數最值:注意:①一正二定三相等;②積定和最小,和定積。
常用的方法為:拆、湊、平方;
三、絕對值不等式:
注意:上述等號“=”成立的條件;
四、常用的基本不等式:
五、證明不等式常用方法:
(1)比較法:作差比較:
作差比較的步驟:
⑴作差:對要比較大小的兩個數(或式)作差。
⑵變形:對差進行因式分解或配方成幾個數(或式)的完全平方和。
⑶判斷差的符號:結合變形的結果及題設條件判斷差的符號。
注意:若兩個正數作差比較有困難,可以通過它們的平方差來比較大小。
(2)綜合法:由因導果。
(3)分析法:執果索因。基本步驟:要證……只需證……,只需證……
(4)反證法:正難則反。
(5)放縮法:將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的。
放縮法的方法有:
⑴添加或捨去一些項,
⑵將分子或分母放大(或縮小)
⑶利用基本不等式,
(6)換元法:換元的目的就是減少不等式中變量,以使問題化難為易,化繁為簡,常用的換元有三角換元和代數換元。
(7)構造法:通過構造函數、方程、數列、向量或不等式來證明不等式;
十、不等式的解法:
(1)一元二次不等式:一元二次不等式二次項係數小於零的,同解變形為二次項係數大於零;注:要對進行討論:
(2)絕對值不等式:若,則;;
注意:
(1)解有關絕對值的問題,考慮去絕對值,去絕對值的方法有:
⑴對絕對值內的部分按大於、等於、小於零進行討論去絕對值;
(2)。通過兩邊平方去絕對值;需要注意的是不等號兩邊為非負值。
(3)。含有多個絕對值符號的不等式可用“按零點分區間討論”的方法來解。
(4)分式不等式的解法:通解變形為整式不等式;
(5)不等式組的解法:分別求出不等式組中,每個不等式的解集,然後求其交集,即是這個不等式組的解集,在求交集中,通常把每個不等式的解集畫在同一條數軸上,取它們的公共部分。
(6)解含有參數的不等式:
解含參數的不等式時,首先應注意考察是否需要進行分類討論。如果遇到下述情況則一般需要討論:
①不等式兩端乘除一個含參數的式子時,則需討論這個式子的正、負、零性。
②在求解過程中,需要使用指數函數、對數函數的單調性時,則需對它們的底數進行討論。
③在解含有字母的一元二次不等式時,需要考慮相應的二次函數的開口方向,對應的一元二次方程根的狀況(有時要分析△),比較兩個根的大小,設根為(或更多)但含參數,要討論。
用樣本的數字特徵估計總體的數字特徵
1、本均值:
2、樣本標準差:
3、用樣本估計總體時,如果抽樣的方法比較合理,那麼樣本可以反映總體的信息,但從樣本得到的信息會有偏差。在隨機抽樣中,這種偏差是不可避免的。
雖然我們用樣本數據得到的分佈、均值和標準差並不是總體的真正的分佈、均值和標準差,而只是一個估計,但這種估計是合理的,特別是當樣本量很大時,它們確實反映了總體的信息。
4、(1)如果把一組數據中的每一個數據都加上或減去同一個共同的常數,標準差不變
(2)如果把一組數據中的每一個數據乘以一個共同的常數k,標準差變為原來的k倍
(3)一組數據中的值和最小值對標準差的影響,區間的應用;
“去掉一個分,去掉一個最低分”中的科學道理
兩個變量的線性相關
1、概念:
(1)迴歸直線方程(2)迴歸係數
2、最小二乘法
3、直線迴歸方程的應用
(1)描述兩變量之間的依存關係;利用直線迴歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數量關係
(2)利用迴歸方程進行預測;把預報因子(即自變量x)代入迴歸方程對預報量(即因變量Y)進行估計,即可得到個體Y值的容許區間。
(3)利用迴歸方程進行統計控制規定Y值的變化,通過控制x的範圍來實現統計控制的目標。如已經得到了空氣中NO2的濃度和汽車流量間的迴歸方程,即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度。
4、應用直線迴歸的注意事項
(1)做迴歸分析要有實際意義;
(2)迴歸分析前,先作出散點圖;
(3)迴歸直線不要外延。
空間角問題
(1)直線與直線所成的角
①兩平行直線所成的角:規定為。
②兩條相交直線所成的角:兩條直線相交其中不大於直角的角,叫這兩條直線所成的角。
③兩條異面直線所成的角:過空間任意一點O,分別作與兩條異面直線a,b平行的直線,形成兩條相交直線,這兩條相交直線所成的不大於直角的角叫做兩條異面直線所成的角。
(2)直線和平面所成的角
①平面的平行線與平面所成的角:規定為。
②平面的垂線與平面所成的角:規定為。
③平面的斜線與平面所成的角:平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的鋭角,叫做這條直線和這個平面所成的角。
求斜線與平面所成角的思路類似於求異面直線所成角:“一作,二證,三計算”。
在“作角”時依定義關鍵作射影,由射影定義知關鍵在於斜線上一點到面的垂線,
在解題時,注意挖掘題設中兩個主要信息:
(1)斜線上一點到面的垂線;
(2)過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直,由面面垂直性質易得垂線。
(3)二面角和二面角的平面角
①二面角的定義:從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的稜,這兩個半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角:以二面角的稜上任意一點為頂點,在兩個面內分別作垂直於稜的兩條射線,這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。
兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角,那麼這兩個平面垂直;反過來,如果兩個平面垂直,那麼所成的二面角為直二面角
④求二面角的方法
定義法:在稜上選擇有關點,過這個點分別在兩個面內作垂直於稜的射線得到平面角
垂面法:已知二面角內一點到兩個面的垂線時,過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角
一、集合、簡易邏輯(14課時,8個)
1、集合;2.子集;3.補集;4.交集;5.並集;6.邏輯連結詞;7.四種命題;8.充要條件。
二、函數(30課時,12個)
1、映射;2.函數;3.函數的單調性;4.反函數;5.互為反函數的函數圖象間的關係;6.指數概念的擴充;7.有理指數冪的運算;8.指數函數;9.對數;10.對數的運算性質;11.對數函數。12.函數的應用舉例。
三、數列(12課時,5個)
1、數列;2.等差數列及其通項公式;3.等差數列前n項和公式;4.等比數列及其通頂公式;5.等比數列前n項和公式。
四、三角函數(46課時,17個)
1、角的概念的推廣;2.弧度制;3.任意角的三角函數;4.單位圓中的三角函數線;5.同角三角函數的基本關係式;6.正弦、餘弦的誘導公式;7.兩角和與差的正弦、餘弦、正切;8.二倍角的正弦、餘弦、正切;9.正弦函數、餘弦函數的圖象和性質;10.周期函數;11.函數的奇偶性;12.函數的圖象;13.正切函數的圖象和性質;14.已知三角函數值求角;15.正弦定理;16.餘弦定理;17.斜三角形解法舉例。
五、平面向量(12課時,8個)
1、向量;2.向量的加法與減法;3.實數與向量的積;4.平面向量的座標表示;5.線段的定比分點;6.平面向量的數量積;7.平面兩點間的距離;8.平移。
六、不等式(22課時,5個)
1、不等式;2.不等式的基本性質;3.不等式的證明;4.不等式的解法;5.含絕對值的不等式。
七、直線和圓的方程(22課時,12個)
1、直線的傾斜角和斜率;2.直線方程的點斜式和兩點式;3.直線方程的一般式;4.兩條直線平行與垂直的條件;5.兩條直線的交角;6.點到直線的距離;7.用二元一次不等式表示平面區域;8.簡單線性規劃問題;9.曲線與方程的概念;10.由已知條件列出曲線方程;11.圓的標準方程和一般方程;12.圓的參數方程。
八、圓錐曲線(18課時,7個)
1、橢圓及其標準方程;2.橢圓的簡單幾何性質;3.橢圓的參數方程;4.雙曲線及其標準方程;5.雙曲線的簡單幾何性質;6.拋物線及其標準方程;7.拋物線的簡單幾何性質。
九、直線、平面、簡單何體(36課時,28個)
1、平面及基本性質;2.平面圖形直觀圖的畫法;3.平面直線;4.直線和平面平行的判定與性質;5.直線和平面垂直的判定與性質;6.三垂線定理及其逆定理;7.兩個平面的位置關係;8.空間向量及其加法、減法與數乘;9.空間向量的座標表示;10.空間向量的數量積;11.直線的方向向量;12.異面直線所成的角;13.異面直線的公垂線;14.異面直線的距離;15.直線和平面垂直的性質;16.平面的法向量;17.點到平面的距離;18.直線和平面所成的角;19.向量在平面內的射影;20.平面與平面平行的性質;21.平行平面間的距離;22.二面角及其平面角;23.兩個平面垂直的判定和性質;24.多面體;25.稜柱;26.稜錐;27.正多面體;28.球。
十、排列、組合、二項式定理(18課時,8個)
1、分類計數原理與分步計數原理;2.排列;3.排列數公式;4.組合;5.組合數公式;6.組合數的兩個性質;7.二項式定理;8.二項展開式的性質。
十一、概率(12課時,5個)
1、隨機事件的概率;2.等可能事件的概率;3.互斥事件有一個發生的概率;4.相互獨立事件同時發生的概率;5.獨立重複試驗。
選修Ⅱ(24個)
十二、概率與統計(14課時,6個)
1、離散型隨機變量的分佈列;2.離散型隨機變量的期望值和方差;3.抽樣方法;4.總體分佈的估計;5.正態分佈;6.線性迴歸。
十三、極限(12課時,6個)
1、數學歸納法;2.數學歸納法應用舉例;3.數列的極限;4.函數的極限;5.極限的四則運算;6.函數的連續性。
十四、導數(18課時,8個)
1、導數的概念;2.導數的幾何意義;3.幾種常見函數的導數;4.兩個函數的和、差、積、商的導數;5.複合函數的導數;6.基本導數公式;7.利用導數研究函數的單調性和極值;8.函數的值和最小值。
十五、複數(4課時,4個)
1、複數的概念;2.複數的加法和減法;3.複數的乘法和除法;4.複數的一元二次方程和二項方程的解法。