淺論離散數學的實際應用
摘要：
離散數學是現代數學的重要分支，是研究離散量的結構及相互關係的學科，它在計算機理論研究及軟、硬件開發的各個領域都有着廣泛的應用。作為一門重要的專業基礎課，對於我們電子專業的同學來説，學習離散數學史有其重要現實意義：它不僅能為我們的專業課學習打下基礎，也為我們今後將要從事的軟、硬件開發和應用研究打下堅實的基礎，同時也有助於培養我們的抽象思維、嚴格的邏輯推理和創新能力。離散數學的應用非常廣泛，本文主要研究其在我們所學的重要課程中的應用：數字電路中的門電路設計、軟件技術基礎中的一些技術以及解決現實生活中的一些問題的應用。
關鍵字：離散數學、電路設計、軟件技術、應用
1、什麼是離散數學
1.1簡介
離散數學(Discrete mathematics)是研究離散量的結構及其相互關係的數學學科，是現代數學的一個重要分支。它在各學科領域，特別在計算機科學與技術領域有着廣泛的應用，同時離散數學也是計算機專業的許多專業課程，如程序設計語言、數據結構、操作系統、編譯技術、人工智能、數據庫、算法設計與分析、理論計算機科學基礎等必不可少的先行課程。
1.2離散數學的內容
離散數學是傳統的邏輯學，集合論（包括函數），數論基礎，算法設計，組合分析，離散概率，關係理論，圖論與樹，抽象代數（包括代數系統，羣、環、域等），布爾代數，計算模型（語言與自動機）等彙集起來的一門綜合學科。離散數學的應用遍及現代科學技術的諸多領域，它通常研究的領域包括：數理邏輯、集合論、代數結構、關係論、函數論、圖論、組合學、數論等。
2、離散數學在門電路設計中的應用
2.1 邏輯門的概念
邏輯門是集成電路中的基本組件。簡單的邏輯門可由晶體管組成。這些晶體管的組合可以使代表兩種信號的高低電平在通過它們之後產生高電平或者低電平的信號。高、低電平可以分別代表邏輯上的“真”與“假”
或二進制當中的1和0，從而實現邏輯運算。常見的邏輯門包括“與”門，“或”門，“非”門，“異或”門（也稱：互斥或）等等。邏輯門可以組合使用實現更為複雜的邏輯運算。
2.2 在門電路設計中的應用
在數字電路中，離散數學的應用主要體現在數理邏輯部分的使用。在數字電路中廣於使用的邏輯代數即為布爾代數。邏輯代數中的邏輯運算與、或、非、異或與離散數學中的合取，析取、否定、異或（排斥或）相對應。
數字電路的學習重點在於掌握電路設計技術，在設計門電路時，要求設計者根據給出的具體邏輯問題，求出實現這一邏輯功能的邏輯電路。一般的設計過程為如下：
首先，進行邏輯抽象。分析給定的邏輯問題，確定輸入、輸出變量，一般把引起事件的原因作為輸入變量，把事件的結果作為輸出變量。再以二值邏輯的0、1兩種狀態分別代表變量的兩種不同狀態，並根據給定的因果關係列出邏輯真值表。於是，這個實際的邏輯問題被抽象成一個邏輯函數了，而且這個邏輯函數是以真值表形式給出的。
然後根據真值表寫出邏輯函數式。在這一步的主要工作為對邏輯函數進行化簡和變換，此時採用的方法一般為使用邏輯代數公式，即離散數學中的命題演算公式將命題公式直接進行化簡；或者用卡諾圖法進行化簡；或者同時採用兩種方法，互相驗證結果是否最簡。但在一般情況下，在真值表中變量較多，邏輯函數式較為複雜時，我們採用卡諾圖法更為方便快捷，且出錯率更低。
在得到最簡邏輯函數式後，選定器件類型，開始構建實際電路。在對所用器件種類有所限制或使用中規模集成電路構建設計好的電路時，需要把函數式變換為適當的形式。此時，我們將採用命題等值演算對函數式進行變換，變換的結果通常為合取範式和析取範式，以便使用最少的器件和最簡單的連線。
3、離散數學在軟件技術中的應用
離散數學作為計算機科學技術的支撐學科之一，它在計算機程序中有着極其重要和廣泛的應用。在軟件技術基礎中，我們所學習的數據結構極其運算，查找與排序技術，數據庫技術，無一不是建立在離散數學的基礎上的。
數據存儲結構分為順序存儲和鏈式存儲兩大類，無論是哪種存儲結構，我們都必須存儲數據元素和元素之間的前後件關係這兩方面的內容。通過數據元素間的特定關係，我們可以得出數據結構的集合，寫出關係矩陣，畫出關係圖。對於線性結構的數據，我們構造順序表或鏈表對數據進行存儲處理和分析，對於非線性結構的數據，我們則經常使用樹和圖來表
示。樹和圖的概念對於非線性結構數據非常重要，例如一個學校的行政層次結構，我們可以用樹來表示，一個城市中的交通路線可以用圖來描述。
在查找和排序技術中，樹顯得尤為重要。在多種排序技術中，樹概念的使用在堆排序技術中直觀可見。堆排序的基本思想是，先將所需要排序的元素用完全二叉樹表示成堆，堆定義為：具有n個元素的序列（h1,h2,„hn），當且僅當滿足hi≥h2i,hi≥h2i+1或hi≤h2i,hi≤h2i+1時稱為堆。然後在調整建堆的過程中，總是將根結點值與左右子樹的根結點值進行比較，若不滿足堆的條件，則將左右子樹根結點值中的大者（或小者）與根結點值進行交換。這個調整過程一直做到所有子樹均為堆為止。查找技術史建立在樹的基礎之上的，首先要構建二叉排序樹，然後在其中進行查找。為提高查找數據的效率，一般採用多層索引樹進行查找。主要的查找方法建立在樹的遍歷基礎上。遍歷一棵樹有3種方法：前序遍歷、中序遍歷和後序遍歷。具體採用哪種遍歷方法由所選擇的查找方法所決定。
數據庫技術主要是實現對數據的加工和管理。在關係模型數據庫中，對數據的操作歸結為各種集合運算。在關係模型的數據語言中，我們除了要運用常規的集合運算（並、交、差、笛卡爾積等）外，還定義了一些專門的關係運算，如投影、選擇、連接等運算。前者是將關係（即二維表）看成元素組的集合，這些運算主要是從二維表中行的方向來進行的；後者主要是從二維表中列的方向來進行運算的。兩者統稱為關係代數。由於這方面的內容在離散數學和軟件技術基礎兩門課程中都剛開始進入學習，所以在此不做進一步的研究。
4、離散數學在現實生活中的應用
離散數學不僅在於軟硬件設計和計算機科學中有着廣泛的應用，同時它也能解決一些生活中的問題，實用而且有趣，以下僅舉一些例子作為説明。
圖是由一些頂點和連接這些頂點的一些邊所組成的離散結構。存在多種不同類型的圖，其間的區別在於連接頂點對的邊的種類和數目。在實際應用中，有值圖廣為使用。例如計算航線網絡裏兩個城市之間航班的不同組合的數目，確定是否可能走遍城市裏所有街道而不重複經過街道，以及求地圖區域着色所需要的顏色數等等。樹在生活中的最常見的應用則是描述一個家族的家譜，同時這種家譜樹在生物遺傳學中對於某個家族的遺傳病史的研究也有很大作用。組合數學這一研究個體安排的學科，是離散數學的重要組成部分，它可以用來求解各種各樣的問題，計算事件的概率，可以用來分析賭博遊戲，如撲克，抽獎，計算及系統中的密碼等等。離散數學可以解決的問題甚多，它包括：
有多少種方式可以在一個計算機系統上選擇一個合法口令？ 贏彩票的概率是多少？
網絡上兩台計算機之間是否有通路？
使用某一運輸系統的兩個城市之間的最短路徑是什麼？
怎樣把整數列表按增序排列？ 完成上述排列需要多少步驟？ 怎樣設計兩個整數相加的電路？ 有多少合法的因特網地址？
如果知道了學習離散數學能解決上述這類問題，你會突然對離散數學產生極大的興趣，你會迫不及待地想學好它，至少我就是這樣的。
參考文獻：
【1】離散數學 耿素雲、屈婉玲、張立昂編著 清華大學出版社
【2】離散數學及其應用（美）Kenneth n著 袁崇義 屈婉玲 王捍貧 劉田 譯 【3】百度百科詞條
首先要明確的是，由於《離散數學》是一門數學課，且是由幾個數學分支綜合在一起的，內容繁多，非常抽象，因此即使是數學系的學生學起來都會倍感困難，對計算科學專業的學生來説就更是如此。大家普遍反映這是大學四年最難學的一門課之一。但鑑於《離散數學》在計算科學中的重要性，這是一門必須牢牢掌握的課程。既 然如此，在學習《離散數學》時，大家最應該牢記的是唐詩“熟讀唐詩三百首，不會做詩也會吟。”學習過程是一個紮紮實實積累的過程，不能打馬虎眼。離散數學是理論性較強的學科，學習離散數學的關鍵是對離散數學（集合論、數理邏輯和圖論）有關基本概念的準確掌握，對基本原理及基本運算的運用，並要多做練習。
《離散數學》的特點是：
1、知識點集中，概念和定理多：《離散數學》是建立在大量概念之上的邏輯推理學科，概念的理解是我們學習這門學科的核心。不管哪本離散數學教材，都會在每一章節列出若干定義和定理，接着就是這些定義定理的直接應用。掌握、理解和運用這些概念和定理是學好這門課的關鍵。要特別注意概念之間的聯繫，而描述這些聯繫的則是定理和性質。
2、方法性強：離散數學的特點是抽象思維能力的要求較高。通過對它的學習，能大大提高我們本身的邏輯推理能力、抽象思維能力和形式化思維能力，從而今後在學習任何一門計算機科學的專業主幹課程時，都不會遇上任何思維理解上的困難。《離散數學》的證明題多，不同的題型會需要不同的證明方法（如直接證明法、反證法、歸納法、構造性證明法），同一個題也可能有幾種方法。但是《離散數學》證明 題的方法性是很強的，如果知道一道題用什麼方法講明，則很容易可以證出來，否則就會事倍功半。因此在平時的學習中，要勤于思考，對於同一個問題，儘可能多探討幾種證明方法，從而學會熟練運用這些證明方法。同時要善於總結，在學習《離 散數學》的過程，對概念的理解是學習的重中之重。一般來説，由於這些概念（定義）非常抽象（學習《線性代數》時會有這樣的經歷），初學者往往不能在腦海中建立起它們與現實世界中客觀事物的聯繫。這往往是《離散數學》學習過程中初學者要面臨的第一個困難，他們覺得不容易進入學習的狀態。因此一開始必須準確、全面、完整地記住並理解所有的定義和定理。具體做法是在進行完一章的學習後，用專門的時間對該章包括的定義與定理實施強記。只有這樣才可能本課程的抽象能夠適應，併為後續學習打下良好的基礎。
學數學就要做數學，《離散數學》的學習也不例外。學習數學不僅限於學習數學知識，更重要的還在於學習數學思維方法。要做到這一點，學習者將要面臨的第二個困難是需要花費大量的時間做課後習題。但是切記離散數學的題目數量自然是無窮無盡的，但題目的種類卻很有限。尤其是在命題證明的過程中，最重要的是要掌握證明的思路和方法。解離散數學的題，方法是非常重要的，如果拿到一道題，立即能夠看出它所屬的類型及關聯的知 識點，就不難選用正確的方法將其解決，反之則事倍功半。例如在命題邏輯部分，無非是這麼幾種題目：將自然語言表述的命題符號化，等價命題的相互轉化（包括化為主合取範式與主析取範式），以給出的若干命題為前提進行推理和證明。相應的對策也馬上就可以提出來。以推理題為例，主要是利用P、T規則，加上藴涵和等價公式表，由給定的前提出發進行推演，或根據題目特點採用真值表法、CP規則和反證法。由此可見，在平常學習中，要善於總結和歸納，仔細體會題目類型和此類題目的解題套路。如此多作練習，則即使遇到比較陌生的題也可以較快地領悟其本質，從而輕鬆解出。
因此，只要肯下功夫，人人都能有紮實的基礎，擁有足夠的數學知識，特別是能大大提高本身的邏輯推理能力、抽象思維能力和形式化思維能力，從而今後在學習任何一門計算機科學的專業主幹課程時，都不會遇上任何思維理解上的困難。
如何學好離散數學
離散數學是現代數學的一個重要分支，是計算機科學中基礎理論的核心課程。離散數學以研究離散量的結構和相互間的關係為主要目標，其研究對象一般地是有限個或可數個元素，因此他充分描述了計算機科學離散性的特點。由於離散數學在計算機科學中的重要性，因此，許多大學都把它作為研究生入學考試的專業課程中的一門，或者是一門中的一部分。
作為計算機系的一門課程，離散數學有與其它課程相通相似的部分，當然也有它自身的特點，現在我們就它作為考試內容時具有的特點作一個簡要的分析。
1、定義和定理多。
離散數學是建立在大量定義上面的邏輯推理學科。因而對概念的理解是我們學習這門學科的核心。在這些概念的基礎上，特別要注意概念之間的聯繫，而描述這些聯繫的實體則是大量的定理和性質。
在考試中的一部分內容就是考察大家對定義和定理的識記、理解和運用。如2002年上海交通大學的試題，問什麼是相容關係。如果知道的話，很容易得分；如果不清楚，那麼無論如何也得不到分數的。這類型題目往往因其難度低而在複習中被忽視。實際上這是一種相當錯誤的認識，在研究生入學考試的專業課試題中，經常出現直接考查對某知識點的識記的題目。對於這種題目，考生應該能夠準確、全面、完整地再現此知識點。任何的模糊和遺漏，都會造成極為可惜的失分。我們建議讀者，在複習的時候，對重要知識的記憶，務必以上面提到的“準確、全面、完整”為標準來要求自己，不能達到，就説明還不過關，還要下工夫。關於這一點，在後續章節中我們仍然會強調，使之貫穿於整個離散數學的複習過程中。
離散數學的定義主要分佈在集合論的關係和函數部分，還有代數系統的羣、環、域、格和布爾代數中。一定要很好地識記和理解。
2、方法性強。
離散數學的證明題中，方法性是非常強的，如果知道一道題用怎樣的方法證明，很輕易就可以證出來，反之則事倍功半。所以在平常複習中，要善於總結，那麼遇到比較陌生的題也可以遊刃有餘了。在本書中，我們為讀者總結了不少解題方法。讀者首先應該熟悉並且會用這些方法。同時我們還鼓勵讀者勤于思考，對於一道題，儘可能地多探討幾種解法。
3、有窮性。
由於離散數學較為“呆板”，出新題比較困難，不管什麼考試，許多題目是陳題，或者稍作變化的來的。“熟讀唐詩三百首，不會做詩也會吟。”如果拿到一本習題集，從頭到尾做過，甚至背會的話。那麼，在考場上就會發現絕大多數題見過或似曾相識。這時，要取得較好的成績也就不是太難的事情了。
本書是專門針對研究生入學考試而編寫的，適合於讀者對研究生入學考試的複習。如果還有時間的話，我們可以推薦兩本習題集。一本是左孝凌老師等編寫的《離散數學理論、分析、題解》，另一套有三本，是耿素雲老師等編寫的《離散數學習題集》。這兩套書大多數題都是相同的，只是由於某些符號和定義的不同，使得題目的設定和解法有些不同而已。
現在我們就分析一下研究生入學考試有哪些題型，以及我們應如何應付。
1、基礎題
基礎題就是考察對定義的識記，以及簡單的證明和推理。題目主要集中在數理邏輯部分和集合論部分。這些題目不需要思考，很容易上手。
這一部分的題目主要問題是要防止粗心大意和對定義記憶似是而非而丟的分數。不重視這一點的人將會在考試中吃大虧。如在主合取範式中，極大項編碼對應的指派與真值表對應的指派相反，這一點在許多的參考書裏也會犯錯誤；還有是要防止沒有按照一定的方法而引起的錯誤，如我們在數理邏輯或者集合論裏作等價推演，可以省略若干不重要的步驟，只要老師和考生都清楚就可以了，而在推理理論裏則不能省略任何步驟，否則被認為是邏輯錯誤。
我們在學習中，還要注意融會貫通，例如，數理邏輯和集合論是相通的，因此記憶或者總結方法的時候可以綜合起來，這樣便於比較和理解。
2、定理應用題
本部分是最“死”的一部分，它主要體現了離散數學的方法性強的特點。並且這一部分佔了考試內容的大部分，我們必須在這一部分下功夫，記住了各種方法，也就拿到了離散數學的大部分分數。
下面我們就列出常用的幾種應用：
●證明等價關係：即要證明關係有自反、對稱、傳遞的性質。
●證明偏序關係：即要證明關係有自反、反對稱、傳遞的性質。（特殊關係的證明就列出來兩種，要證明剩下的幾種只需要結合定義來進行）。
X，使得f(x)=y。Y，都有xY，即要證明對於任意的y●證明滿射：函數f：X X，且x1≠x2，則f(x1)Y，即要證明對於任意的x1、x2●證明入射：函數f：X ≠f(x2)；或者對於任意的f(x1)=f(x2)，則有x1=x2。
●證明集合等勢：即證明兩個集合中存在雙射。有三種情況：第一、證明兩個具體的集合等勢，用構造法，或者直接構造一個雙射，或者構造兩個集合相互間的入射；第二、已知某個集合的基數，如果為א，就設它和R之間存在雙射f，然後通過f的性質推出另外的雙射，因此等勢；如果為א0，則設和N之間存在雙射；第三、已知兩個集合等勢，然後再證明另外的兩個集合等勢，這時，先設已知的兩個集合存在雙射，然後根據剩下題設條件證明要證的兩個集合存在雙射。●證明羣：即要證明代數系統封閉、可結合、有幺元和逆元。（同樣，這一部分能夠作為證明題的概念更多，要結合定義把它們全部搞透徹）。
●證明子羣：雖然子羣的證明定理有兩個，但如果考證明子羣的話，通常是第二個定理，即設S,則是羣，S是G的非空子集，如果對於S中的任意元素a和b有a*b-1是的子羣。對於有限子羣，則可考慮第一個定理。
●證明正規子羣：若H，有a-1G，有aH=Ha，或者對於任意的h是一個子羣，H是G的一個子集，即要證明對於任意的a H。這是最常見的題目中所使用的方法。*h*a
●證明格和子格：子格沒有條件，因此和證明格一樣，證明集合中任意兩個元素的最大元和最小元都在集合中。
圖論雖然方法性沒有前幾部分的強，但是也有一定的方法，如最長路徑法、構造法等等。
3、難題
難題就是考試中比較難以下手，大多考生作不出來，用來拉開分數檔次的題。那麼，遇到難題我們怎麼下手分析呢？
難題主要有以下四種，我們來逐一進行分析：
①綜合題
綜合題就是內容涵蓋若干章的問題，這樣的題大多數是在羣論裏面的陪集、拉格朗日定理、正規子羣、商羣這一部分中。這一部分結合的內容很多，而且既複雜又難理解，是整個離散數學中的難點。
首先拉格朗日定理把羣和等價關係、劃分結合在一起，又與羣的階數相掛鈎（在子羣中有一部分階方面的題是比較難的題，它的解法依據就在此處）；然後商羣將兩個羣結合在一起，因為兩個羣的元素是不同的，因此必須時刻概念清楚才不至於混亂；接着同餘關係把羣和關係相結合，定義了一種新的關係；自然同態把正規子羣和商羣相聯繫，也成為某些證明題的着眼處；核的定義和羣同態定理給出了正規子羣的另一種證明方法，因為核就是正規子羣……
當然，綜合題不僅此一處，離散數學是一個融會貫通的學科，像集合論，圖論等都()可能成為綜合題的命題點。
對於綜合題，我們可以從兩方面下手，首先不管題設如何，看所要證明的問題，按照定理應用的題型着眼，設出所需要的格式，然後進行進一步推演；其次可以先看題設，應用已知條件的性質定理向前推幾步，看看哪一個性質更能夠接近所問，題目也就迎刃而解了。
②例外題
例外題有兩個含義，首先是對於定理應用題而言的，對於一個概念的判定定理和性質定理不是唯一的，而定理應用題是給出的是最常出題的定理，因此有的考題可能考出一個不常用的定理。
其次例外題還有一種題型是與我們平常思維相悖的問題，如：有一些題目給出一個結論，説如果它正確的話請指出來，錯誤的話則請證明，憑做題經驗通常是要選擇證明的那條思路。其實也不妨用一些時間看看能不能指出來，從而不用證明。請看下面的例子：
③ 偏題
常常有的參考書會説某某章是非重點，不會考到之類的話，這是非常錯誤和有害的。其結果是令這些章成為讀者複習中的盲點，成為難題的又一種。這些章通常概念少，定理不多，因此題目本身不難。但由於沒有好好複習或者根本沒有複習，考試中又出了題目，故此拿不到分數則是非常令人懊喪的。所以我們建議讀者進行全面複習，除非是所報考院校明確説明不考的部分，其餘內容一律要認真複習。即使是複習時間比較少，也必須做到至少是瞭解了基本概念和定義。對於離散數學而言，函數一章中的基數部分和格和布爾代數一章是人們容易忽略的問題。
我們平時複習的時候，不管是什麼課程，一定不能留死角，而這些地方出的題目由於它的本身內容的侷限性，又往往是非常簡單的。丟了十分可惜。
④ 錯題
專業課的題目是由較少老師出的，並不像基礎課那樣經過多方面的論證，因此出錯題也不奇怪（雖然非常非常之少），如果我們遇到了一道題目，經過我們判斷和推演得到相悖的答案，不要過分迷信題目的權威性，因為它可能是錯題。
下面講一下離散證明題的證明方法：
1、直接證明法
直接證明法是最常見的一種證明的方法，它通常用作證明某一類東西具有相同的性質，或者符合某一些性質必定是某一類東西。
直接證明法有兩種思路，第一種是從已知的條件來推出結論，即看到條件的時候，並不知道它怎麼可以推出結論，則可以先從已知條件按照定理推出一些中間的條件（這一步可能是沒有目的的，要看看從已知的條件中能夠推出些什麼），接着，選擇可以推出結論的那個條件繼續往下推演；另外一種是從結論反推回條件，即看到結論的時候，首先要反推一下，看看從哪些條件可以得出這個結論（這一步也可能是沒有目的的，因為並不知道要用到哪個條件），以此類推一直到已知的條件。通常這兩種思路是同時進行的。
2、反證法
反證法是證明那些“存在某一個例子或性質”，“不具有某一種的性質”，“僅存在唯一”等的題目。
它的方法是首先假設出所求命題的否命題，接着根據這個否命題和已知條件進行推演，直至推出與已知條件或定理相矛盾，則認為假設是不成立的，因此，命題得證。
3、構造法
證明“存在某一個例子或性質”的題目，我們可以用反證法，假設不存在這樣的例子和性質，然後推出矛盾，也可以直接構造出這麼一個例子就可以了。這就是構造法，通常這樣的題目在圖論中多見。值得注意的是，有一些題目其實也是本類型的題目，只不過比較隱蔽罷了，像證明兩個集合等勢，實際上就是證明“兩個集合中存在一個雙射”，我們即可以假設不存在，用反證法，也可以直接構造出這個雙射。
4、數學歸納法
數學歸納法是證明與自然數有關的題目，而且這一類型的題目可以遞推。作這一類型題目的時候，要注意一點就是所要歸納內容的選擇。
摘要：起初，集合論主要是對分析數學中的“數集”或幾何學中的“點集”進行研究。但是隨着科學的發展，集合論的概念已經深入到現代各個方面，成為表達各種嚴謹科學概念必不可少的數學語言。隨着計算機時代的到來，集合的元素已由傳統的“數集”和“點集”拓展成包含文字、符號、圖形、圖表和聲音等多媒體信息，構成了各種數據類型的集合。
關鍵詞：集合論、計算機、應用
1、集合論的歷史。
集合論是一門研究數學基礎的學科。集合論是現代數學的基礎，是數學不可或缺的基本描述工具。可以這樣講，現代數學與離散數學的“大廈”是建立在集合論的基礎之上的。21世紀數學中最為深刻的活動，就是關於數學基礎的探討。這不僅涉及到數學的本性，也涉及到演繹數學的正確性。數學中若干悖論的發現，引發了數學史上的第三次危機，而這種悖論在集合論中尤為突出。
集合論是德國著名數學家康托爾(or)於19世紀末創立的。
十七世紀數學中出現了一門新的分支：微積分。在之後的一二百年中這一嶄新學科獲得了飛速發展並結出了豐碩成果。其推進速度之快使人來不及檢查和鞏固它的理論基礎。十九世紀初，許多迫切問題得到解決後，出現了一場重建數學基礎的運動。正是在這場運動中，康托爾開始探討了前人從未碰過的實數點集，這是集合論研究的開端。
經歷二十餘年後，集合論最終獲得了世界公認。到二十世紀初集合論已得到數學家們的贊同。數學家們樂觀地認為從算術公理系統出發，只要藉助集合論的概念，便可以建造起整個數學的大廈。在1900年第二次國際數學大會上，著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣佈“?數學已被算術化了。我們可以説，現在數學已經達到了絕對的嚴格。”然而這種自得的情緒並沒能持續多久。
這一僅涉及集合與屬於兩個最基本概念的悖論如此簡單明瞭以致根本留不下為集合論漏洞辯解的餘地。號稱“天衣無縫”、“絕對嚴密”的數學陷入了自相矛盾之中。從此整個數學的基礎被動搖了，由此引發了數學史上的第三次數學危機。
危機產生後，眾多數學家投入到解決危機的工作中去。1908年，德國數學家策梅羅(elo)提出公理化集合論，試圖把集合論公理化的方法來消除悖論。他認為悖論的出現是由於康托爾沒有把集合的概念加以限制，康托爾對集合的定義是含混的．策梅羅希望簡潔的公理能使集合的定義及其具有的性質更為顯然。策梅羅的公理化集合論後來演變成ZF或ZFS公理系統。從此原本直觀的集合概念被建立在嚴格的公理基礎之上，從而避免了悖論的出現。這就是集合論發展的第二個階段：公理化集合論。與此相對應，在1908年以前由康托爾創立的集合論被稱為樸素集合論。
2、集合論在計算科學中的應用。
集合論在計算機科學中的應用集合論包括集合、關係和函數3部分。1)集合集合不僅可以表示數，而且可以像數一樣進行運算，還
可以用於非數值信息的表示和處理，如數據的增加、刪除、排序以及數據間關係的描述，有些很難用傳統的數值計算來處理的問題，卻可以用集合來處理。因此，集合論在程序語言、數據結構、數據庫與知識庫、形式語言和人工智能等領域得到了廣泛應用。2)關係關係也廣泛地應用於計算機科學技術中，例如計算機程序的輸入和輸出關係、數據庫的數據特性關係和計算機語言的字符關係等，是數據結構、情報檢索、數據庫、算法分析、計算機理論等計算機領域中的良好數據工具。另外，關係中劃分等價類的思想也可用於求網絡的最小生成樹等圖的算法中。3)函數函數可以看成是一種特殊的關係，計算機中把輸入、輸出間的關係看成是一種函數。類似地，在開關理論、自動機原理和可計算性理論等領域中，函數都有極其廣泛的應用，其中雙射函數是密碼學中的重要工具。
起初，集合論主要是對分析數學中的“數集”或幾何學中的“點集”進行研究。但是隨着科學的發展，集合論的概念已經深入到現代各個方面，成為表達各種嚴謹科學概念必不可少的數學語言。
隨着計算機時代的到來，集合的元素已由傳統的“數集”和“點集”拓展成包含文字、符號、圖形、圖表和聲音等多媒體信息，構成了各種數據類型的集合。集合不僅可以用來表示數及其運算，更可以用來表示和處理非數值信息。數據的增加、刪除、修改、排序以及數據間關係的描述等這些很難用傳統的數值計算操作，可以很方便地用集合運算來處理。從而集合論在編譯原理、開關理論、信息檢索、形式語言、數據庫和知識庫、CAD、CAM、CAI及AI等各個領域得到了
廣泛的應用，而且還得到了發展，如扎德(Zadeh)的模糊集理論和保拉克(Pawlak)的粗糙集理論等等。集合論的方法已經成為計算科學工作者不可缺少的數學基礎知識。
參考文獻：〔1〕屈婉玲，耿素雲，等。離散數學[M]。北京：高等教育出版社，20xx。
〔2〕KennethH。Rosen。離散數學及其應用[M]。北京：機械工業出版社，20xx。
〔3〕陳敏，李澤軍。離散數學在計算機學科中的應用[J]。電腦知識與技術，20xx。
〔4〕龔靜，王青川。數理邏輯在計算機科學中的`應用淺析[J]。青海科技，20xx。
【摘要】離散數學是計算機科學與技術專業一門重要的專業基礎課。本文對離散數學的教學內容、教學手段及教學方法進行了探討。首先根據學校技術應用型大學的辦學方略，精選教學內容，注重知識應用能力；其次探討了教學手段和方法，通過課程引入激發學習興趣，注重課堂討論分析，加強實驗教學，注重類比歸納，進行多媒體輔助教學，從而提高離散數學的教學效果。
【關鍵詞】離散數學；教學內容；教學方法；教學手段
1.引言
離散數學是現代數學的重要分支，是計算機科學與技術專業的重要基礎課，主要研究離散結構和離散數量的關係。隨着計算機科學技術的迅猛發展，離散數學越來越重要，其基本理論在計算機理論研究以及計算機軟件、硬件開發的各個領域都有廣泛的應用[1]。
離散數學的授課內容主要分為數理邏輯，集合論，代數結構、圖論，組合分析以及形式語言與自動機等幾大分支，課程概念較多，定義及定理比較抽象，理論性較強[2]。在教學過程中，如果只從數學方面講授定義定理，學生理解起來比較困難，容易對本課程的學習失去興趣。因此，設計精彩的教學內容，改進教學方法，探討教學手段，以提高學生學習的主動性和積極性，具有重要的意義。
2.精選教學內容改變教學觀念
2.1精選教學內容
離散數學是計算機科學與技術本科專業的一門基礎課，眾多本科高校均開設此課程，其教材也非常豐富。因此，需要教師在符合學校自身辦學方略和培養目標的基礎上，精選教學內容。筆者工作單位上海電機學院是一所具有技術應用型本科內涵實質和行業大學屬性特徵的全日制普通本科院校，辦學方略注重技術立校，應用為本，因此從學校學生培養方案和學校特色出發，對本課程的教學不能照搬研究型大學的授課方式和教學內容。應該從學生的自身素質以及課程應用性的角度出發精選授課內容，培養學生對課程內容的實際應用能力，讓學生從枯燥的數學概念中走出來，達到學以致用的目的。
2.2改變教學觀念
在離散數學課程的教學過程中，如果採取傳統的教師講授，學生課堂聽課的方式，學生普遍覺得內容枯燥，提不起學習興趣。因此教師應在傳統課堂教學方法的基礎上，注重學生的發展和參與，應以教師為主導，以學生為主體，在授課過程中從教師為主體變為以學生為主體，在教學過程中設置問題情境，啟發學生主動思考，激發學生學習興趣。
如在講授圖論中最短路徑的Dijkstra算法時，如果只是教師講授算法，學生理解起來比較困難，對算法的具體應用也無法熟練掌握。教師在授課中可結合計算機網絡實例，從實際問題出發，讓學生根據實際案例探索算法，發表自己的觀點，主動的參與到學習過程中。教師在這個過程從講台走入到學生中間，與學生交流，引導學生對知識從淺到深的分析和理解，並控制學生探討時間，最後帶動學生歸納總結，讓學生作為主體參與在課堂教學過程中，培養學生掌握完整的知識體系。
3.改進教學方法，研究教學手段
在教學過程中，運用好的教學方法和教學手段，可以激發學生學習離散數學的興趣，提高授課質量，幫助學生系統性的掌握所學知識並加以運用。
3.1注重課程引入
離散數學的定義比較多，學生在學習過程中經常覺得課程的概念非常多，很難掌握並很容易忘記。這就需要教師在講授定義和定理時，注重知識引入的過程，啟發學生學習興趣並留下深刻的印象。如在講授命題符號化時，如果直接給出命題符號化的定義，學生不知道這個定義在實際問題如何應用。在講解過程中，可首先給出一些大家在日常生活中常見的語句，讓學生判斷語句真假，往往會引起學生的興趣，在此之後引導學生思考如何將這些語句用數學方式描述，進而給出命題符號化的概念。通過這樣的引入，學生對定義的理解會比較透徹，可以做到知其然並知其所以然。
教師還可以在課堂最後，提出趣味性的問題，讓學生課下思考，作為下一堂課的引入。如在講解歐拉圖的概念之前，可畫一幅圖讓學生思考是否可以一筆畫成，學生會非常踴躍的回答並在課下做出思考，這樣在下節課講授時，學生會非常感興趣，促進了學生對知識的渴求和理解。
3.2課堂討論分析
在離散數學教學過程中，如果教師在講台上一味的講解，學生聽課時很容易覺得枯燥和疲勞。在授課過程中，教師可以圍繞授課內容，提出一些問題進行討論，帶動學生思考。同時，鼓勵學生在課堂上提出問題，教師可以安排學生之間互相討論。如在講授謂詞邏輯中的推理理論時，可以舉實際生活中趣味推理的例子，讓學生理解知識如何運用，並讓學生思考自己在平時遇到的推理問題是否可以用課上的知識解決。通過這樣的啟發討論，學生對知識的學習興趣很高並可以做到舉一反三，透徹掌握知識內容。
3.3加強實驗教學
離散數學的基本理論在計算機領域內有着廣泛應用，因此在授課過程中應避免單一的理論教學，逐步加強實驗教學，將離散數學的理論與計算機實踐及其他課程有機結合[3]。如在講授最優樹的Huffman算法時，可以開展實驗課，在講授算法原理的同時，將學生帶入實驗機房，讓學生自己設計算法流程圖，並編寫程序，通過上機的方式掌握算法的本質。通過實驗教學，學生可將所學理論應用於實際案例中，加深對知識的理解，還可以提高學生的學習興趣和編程能力，並掌握所學內容與其他相關計算機知識的聯繫，培養了學生綜合運用知識的能力。
3.4注重類比歸納總結
離散數學的概念較多，內容抽象，學生難以理解，但是很多內容之間則存在一定的聯繫，教師可通過類比歸納的方式，幫助學生理解。如數理邏輯中，謂詞邏輯的推理理論和命題邏輯的推理理論，在理解上有一定的聯繫，因此在講授謂詞邏輯的過程中，可以與命題邏輯的推理論相比較，分析異同。再如圖論中的歐拉圖和哈密爾頓圖的定義，可以用類比的方法，讓學生直觀理解二者的含義和區別[4]。同時，教師可以在授課過程中適時的歸納總結。比如學完數理邏輯後，可以對數理邏輯的兩章內容進行歸納，提取出知識主線，加強學生對知識由淺入深的掌握。
3.5多媒體輔助教學
在離散數學的教學過程中，可以靈活的採取多媒體輔助教學。教師可根據教學內容的不同增加趣味性的背景知識，通過圖像、聲音和動畫，使學生直觀的接受新內容。採用多媒體輔助教學，不是意味着教師用PPT把授課的內容逐行展示，這樣和傳統的板書教學差別不大。教師應該將傳統的教學方式與多媒體教學相結合，如圖論部分，在講授歐拉圖，哈密爾頓圖，最小生成樹等內容時，可將重要內容用Flash動畫的形式進行動態展示，在做動畫的過程中從學生的角度出發，靈活的加入聲音、圖像，吸引學生興趣，這樣學生可以很容易的理解算法，增加了學習的直觀性。
4.總結
作為計算機專業重要的基礎課，離散數學廣泛應用於計算機的各個領域。因此，提高教學質量，改進教學手段，探討教學方法，成為教師在授課過程中一直不斷探索的課題。本文根據筆者的教學經驗，從教學內容、教學觀念、教學方法和教學手段幾個方面進行了探討。在今後的課程教學中，我們還需不斷創新教學方法，使離散數學課程的教學質量和效果進一步提高。
參考文獻：
[1]耿素雲，屈婉玲，張立昂。離散數學[M].第四版。北京：清華大學出版社，20xx.
[2]左孝凌，李為鑑，劉永才。離散數學[M].上海：上海科學技術文獻出版社，1982.
[3]郭曉姝。離散數學教學模式改進探討[J].計算機教育，20xx(3)：69-72.
[4]趙青杉，孟國豔。關於離散數學教學改革的思考[J].忻州師範學院學報，20xx(5)：65-68.
離散數學心得體會
在學習離散數學之前，就聽學過的學長學姐説：“離散數學特別難，老師上課用Ppt，一學期下來感覺會像天書一般被邏輯推理、各種關係公式以及圖論徹底弄糊塗，但是這門課有特別重要尤其是對於計算機專業，所以要好好學習。”對於剛剛學過難懂的高數的我，心中很是沒有底氣學習這門學科，但是在這學期對於離散數學的學習之後，感覺與學長學姐所説的還是有相當大的差異。
離散數學本身對絕大多數學生來説是一門十分困難的課程，這個不可否認，但是通過這一學期的學習，我對這門課程有一些初步的瞭解，現在的心情和當初也很不相同。對於所有的學科而言都不會是很容易就能夠很輕鬆的學懂並掌握，因此難於不難也是因人而異的。這其中很大一部分決定性原因則是在於對於一門學科的努力程度與投入時間的相對比例，在離散數學中概念絕對性的多，也非常的抽象難以理解，所以不經過多次反覆的練習與鞏固知識點，想在短時間內有飛速的提高是比非常還困難的。我認為離散數學的學習就應該按照預習聽課複習並多次回顧的流程學習的基礎上面，掌握一定的學習技巧和認真聽取老師講解時總結的方法，這樣腳踏實地，離散數學也一定會學好，這門對記憶力、理解力和能力高度挑戰的學科也自然會被更多的人喜愛。
通過這學期的學習，我對於離散數學的幾點小總結是，離散數學一定要帶着問題進行概念的學習和理解，這就有別於其他學科可以不預習直接聽課，也會達到一定的學習效果，但是離散數學其中的概念如果不事先進行預習熟悉，直接上課聽講，一定會被弄的暈頭轉向，猶如老虎吃天無從下口，自然不會達到認真聽講的作用，所以預習是必不可少的對於離散數學；就像數理邏輯這部分的抽象知識一樣，如果僅僅是上課聽一下老師的講解，然後置之不理，所學的知識點沒有幾天就會全部還給課本，這主要在於我們沒有掌握離散數學中一些概念定理的實質，因此我們應該在聽課的同時反覆斟酌課本中的例子，再結合概念定理進行理解，這樣才會做到知識的深入理解和較長期的記憶；離散數學學習中也一定要積極思考問題，尤其是在老師停下課程，讓大家進行思考或者做練習時，這不僅説明這個知識點需要做更進一步的理解或者這個知識點的重要性，而更重要的是要鍛鍊培養我們的課堂思維能力，因此我們一定要認真仔細的跟着老師的引導積極思考；温故而知新，最後一定要有條理的進行定期總結回顧，這樣不僅可以複習前面學習過可能忘記的知識點，還可以做到新舊知識點的融合，能夠加深對於前面遺留問題的解決且為新知識的理解鋪路；另一方面，我覺的我們學生必須掌握離散數學這門課程的重點和難點，一門課程肯定有其重難點，只有明確了重難點，我們才能更好的掌握該門課程。這僅僅是我一學期以來學習離散數學的幾個屬於自己的小總結，但是我認為在業精於勤荒於嬉是永遠的真諦的同時，我們更應該加強現在學科方法的總結與思考裏的鍛鍊。
我認為對於離散數學的學時確實有點少，高數課程一週要學習三節課，然而學習難度更勝一籌的離散數學卻一週僅有兩節課，大量的新知識點在有限的時間內全部拋出，讓本來就對離散數學感覺恐慌的同學更加無法接受，自然學習的效果會有所降低，教學的目的在一定程度上面也不會達到。總之，這樣相對較少的學時安排繁重的教與學的任務，不僅使老師增加授課壓力，也使大多數同學們感覺學習離散數學的挑戰性更大，也更加害怕學習，但是離散數學作為一門很重要的學科，如果學習不好，會對以後其他學科的學習造成一些隱性的阻礙。
對於我們的教材選用，我認為還是非常的好，但有點小問題就是例題太少，這也可能會減少授課時的學時，但對於部分難理解的章節，還是希望有更多的例題作為大家學習的引導，這樣對於大家的課前預習與下課後的自主學習可能會好點，然後結合後面的作業題，大家反覆練習可能會更容易理解與學習。
張老師手寫板書為主、電子教案為輔的教學方式非常適用於離散數學這門課。在上了這學期的課之後，再重新與學長學姐的話進行對比，我認為像離散數學這門概念既多又抽象的學科，採取這種的教學方式，大家都更加容易理解知識點，能夠更的上老師的講課節奏、有思考的時間，更容易讓大家產生學習興趣。離散數學是我們計算機學科的一門很重要的專業基礎課程，它在計算機科學中有着廣泛的應用。面對學習離散數學概念較多，理論性強，定義、定理比較多，一時難以理解和記憶，不過張老師總能用容易能使學生接受的定義方式，對不同的定義、定理找出它們之間的相互聯繫，便於我們理解。興趣是學習之母，學習任何一門科學，都需要有興趣。有了興趣，自然也就有了動力。張老師的教學，讓我們在學習的同時也培養了我們的學習興趣，有利於我們更好的理解概念定理。另外，離散數學概念繁雜，學起來難免有些枯燥，張老師也適當穿插介紹一些知識點在計算機學科專業中的應用，具有非常大的啟發性。可以讓我們瞭解離散數學的實際應用，增加學習興趣。學習好一門課要老師和學生的配合，老師可以多多瞭解我們的學習狀況，多多互動，活躍課堂氣氛，有利於我們更好的相關知識定理。總之，學好離散數學課要雙方的努力，更要雙方的配合。張老師這次讓全班同學都寫建議，就是一個很好的互動，相信以後學習離散數學課的同學們會感覺到更加精彩的離散數學教學方式。
在這學期學習了離散數學這門課程，對於一個愛好數學的我來説，我是非常受益的。同時，離散數學作為一門與計算機學科相關的專業基礎課，對我學專業知識也有很大的幫助。學習離散數學，可以培養我們的邏輯思維方式，對於我們學習計算機方向的學生來説是非常有用的。尤其是在計算機編程方面對邏輯思維就有一定的要求。離散數學這門課程，是一門比較難學的課程，它有太多的概念、定義，需要我們有很好的記憶力，但是要完全記住這麼多的概念、定義是非常困難的。所以説我們在有好的記憶力之外，還要運用理解記憶的方法來解決，這樣我們就不必花費過多的時間和精力去記憶這麼多的概念和定義了。離散數學作為一門理科學科，在我看來最好的學習方法就是多動手、多做題，在做題得過程中，慢慢積累做題得經驗，同時也可以對概念和定義有一個更深層次的理解。學習各個學科都有其各自的學習方法與思維方式，只有運用對了學習方法才能更好的學習這門課程。學習一門課程都是為了解決實際問題，學習離散數學也不例外。學通了一門課程才能在解決問題的時候不會走彎路。離散數學是一門比較難學的課程，在學習的過程中，也肯定會遇到許多的問題，但是通過反覆的理解概念及做練習題和與其他同學的交流，最後還是會解決這些問題。學習離散數學的過程中，也有許多的樂趣。但在輕鬆學習的過程中，還得從中學到東西，學到道理。我在學習這門課程之後，對我的專業知識方面有了很大的幫助，讓我的思維有了進一步的發散，使我在其他的學科中受益匪淺。
總之，通過這學期張老師講解的離散數學課程，使我思考抽象問題的思維方式又得到了鍛鍊，能力有所提高，而且為以後專業課程的學習打下了良好的基礎，最後非常感謝張老師這一學期的辛勤教學。
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