關鍵詞：FCM，Gap，聚類有效性
一 引言
聚類分析是數理統計中研究“物以類聚”的一種方法。聚類分析是一種無監督分類工具，其目的是在沒有先驗知識的前提下基於某個相似性度量找出屬於同一屬性集的數據，繼而將數據對象集合分成不同的類，因此它是挖掘數據未知的、具有潛在應用價值的信息的一種很好的方法。介於其在海量數據處理中顯現出的優勢，使得它在數據挖掘、模式識別、圖像處理、經濟學(尤其是市場研究方面)等領域得到了廣泛的應用。免費論文。然而，正是由於聚類分析的無監督特性，導致了數據最佳的聚類數很難確定，這就是聚類分析面臨的最主要的問題。免費論文。
二 FCM方法
經典分類學是從單個因素或有限幾個因素出發，憑經驗和專業知識對事物分類，這種分類具有非此即彼的特性，分出的類別界限很清晰。免費論文。隨着認識的深入，發現這種分類不適用於具有模糊性的分類問題，如圖像中的區域之間的邊界就往往是模糊不清的。1965年，Zadeh提出了著名的模糊集理論，創建了一個新的學科—模糊數學。
用普通數學方法進行分類的聚類法稱為普通聚類分析，而把應用模糊數學方法進行分析的聚類分析稱為模糊聚類分析。。。在實際中應用最為廣泛的是模糊C一均值算法(FCM:Fuzzy C-Means)。。FCM算法首先是由為Ruspini提出的，但真正有效的方法是由Dunn給出的。1974年Dunn將硬C--均值聚類算法推廣到模糊情形，同年Bezdek將Dunn的方法一般化，給出了基於目標函數模糊聚類的一般描述：
其中，表示隸屬第類的隸屬度函數，表示與的距離，為平滑指數。聚類準則為取為極小值。
1980年Bezdek證明了模糊C-均值聚類算法的收斂性並討論了模糊C一均值聚類算法與硬C一均值聚類算法的關係。從此，基於目標函數的模糊聚類方法蓬勃發展起來。
三 模糊聚類有效性函數
不少學者為估計數據集存在的最佳聚類數進行了大量地研究，基於模糊聚類分析的最佳聚類數的研究，也取得了豐富的成果。1974年，Dunn給出瞭如下的有效性判別函數：
其中，
1974年，Bezdek給出瞭如下有效性判別函數：
1991年，和定義瞭如下有效性判別函數，在實際應用中取得很好的效果。
四 一種新的聚類有效性函數
2000年， Tibshirani R等提出了Gap統計量，並用它來估計最佳聚類數。方法通過引入一個參考分佈，用gap統計量刻畫樣本觀察值與它們在這個參考分佈下的期望值之間的差異，最後通過這個統計量得到最佳聚類數的估計。
其中，表示在某參考分佈下的期望，一維情況下通常取均勻分佈為參考分佈，最佳聚類數即出現在取最大值時。
實驗證明應用Gap統計量確定最佳分類數取得比較好的效果，但同時我們注意到Gap統計量方法只考慮了數據的幾何特徵，沒有考慮到數據分類的模糊性，所以我們對Gap統計量的方法加以改進，引入數據的模糊特性，從而使分類數的確定更加合理準確。具體方法如下：
令，其中是隸屬第i類的隸屬度函數，是第i類的質心（均值）。從而定義函數：
表示在某參考分佈下的期望，一維情況下通常取均勻分佈為參考分佈。這樣最佳聚類數出現在取最大值時。
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關鍵詞：模糊綜合評判 正射影像 影像質量
中圖分類號： O185 文獻標識碼： A 文章編號：
前言
綜合評判是對有多種屬性的事物，或者説其總體優劣受多種因素影響的事物，做出一個能合理地綜合這些屬性或因素的總體評判。例如，產品質量的評估就是一個多因素、多指標的複雜的評估過程，不能單純地用好與壞來區分。而模糊邏輯是通過使用模糊集合來工作的，作為一種精確解決不精確不完全信息的方法，其最大特點就是用它可以比較自然地處理人類思維的主動性以及模糊性。因此對這些諸多因素進行綜合，才能做出比較合理的評價，在大多數情況下，評判涉及模糊因素，用模糊數學的方法進行評判是一條可行的，而且也是一條較好的途徑。
模糊綜合評判提供了一種研究模糊現象的工具，在具體應用上也並不複雜，重要的是在所研究領域引入這種概念和方法。模糊數學引入國內後，在醫學、經濟、氣象、農業等領域得到許多應用，這大概是由於在這些部門中存在大量模糊現象，但在遙感領域中，模糊數學應用的比較少，但隨着遙感業在國內的興起和發展，這些理論也逐漸被引入其中。
正射影像是遙感業的主要產品之一，隨着遙感測量業的發展，相繼有大量的數字正射影像圖被生產，對其質量進行快速、合理、科學的評價，已成為測量人士研究的一個方面。基於正射影像質量由多種因素決定，每種因素又是比較模糊的概念，本文決定採用模糊綜合評判的方法。
2．模糊綜合評判理論
2.1 模糊向量與隸屬函數
設A是論域X上的一個模糊子集，。
由於模糊子集具有外延的不確定性，用數值表示元素xi屬於該模糊子集A的程度，稱為xi的隸屬度， 稱為A的隸屬函數，其取值區間為[0,1]。由隸屬度組成的向量稱為模糊向量，模糊向量具有兩重性：①表示一個模糊子集。②表示一個模糊關係。例如：A=(0.4,0.2,0.8,0.6)表示模糊子集A由4個元素組成，每個元素隸屬於該模糊子集的程度不同，數值越大表示隸屬程度越高，數值越小表示隸屬程度越低。
隸屬函數是模糊數學中的一個重要概念。研究模糊現象首先就要確定它的隸屬函數，隸屬函數的確定通常取決於模糊現象的具體特性，通常採用的求得方法為經驗估計，統計計算，函數計算等。
2．1 模糊關係和模糊矩陣
設有兩個有限集X和Y，X=（x1,x2,,xn）,Y=(y1,y2,,ym), 稱的模糊子集R為X到Y模糊關係，記做。R的隸屬函數，表示，具有模糊關係R的程度。模糊關係可以用一個矩陣R表示
,=,0≤≤1
稱這樣的矩陣為模糊關係矩陣，或簡稱模糊矩陣。
2．3 模糊關係的合成與模糊算子
設模糊矩陣表示兩個模糊關係，則R和S的合成運算定義為：,其中
R=，S=，Q=，。
模糊矩陣的合成運算對應於相應的模糊關係合成。
模糊算子“﹡”是指在模糊計算過程中模糊向量運算規則，可以根據模糊合成的概念構造不同的模糊算子，最常用的有以下幾種算子：
() 表示兩個模糊向量對應元素兩者相乘 結果取大；
()表示兩個模糊向量對應元素兩者相乘 結果求和；
()表示兩個模糊向量對應元素兩者取小 結果取大。
3．應用模糊綜合評判理論對正射影像進行評價
3．1 確定影響正射影像質量各因素的隸屬函數並建立模糊關係矩陣
根據以前對正射影像進行質量評定的經驗和原則，取X為評價因素集，Y為評語集。即
X={x1位置精度，x2含雲量，x3圖象色彩}
Y=（y1很好，y2好，y3一般，y3差）
由於位置精度和含雲量都是可以實際計算的量，對其相對各種評語隸屬度的計算，採用定量分析的方式。而圖象色彩，我們主要採用定性分析，其相對各種評語的隸屬度採用經驗評估的方式得出。
3.1.1 影像的位置精度和含雲量的隸屬函數如下圖；
圖1影像位置精度的隸屬函數圖像
Fig1 the membership function image of location accuracy of images
圖2影像含雲量的隸屬函數圖像
Fig2 The membership function image of cloud contained in the images
3.1.2 建立影像位置精度和含雲量的隸屬函數
由圖1得影像位置精度的隸屬函數如下：
由圖2得影像含雲量的隸屬函數如下：
3.1.3 建立圖像色彩的隸屬度函數
對圖像色彩相對各種評語隸屬度的確定，採用經驗評估的方式，即：針對特定圖像，我們找來n專業個人士對它的m個評語，給出相應的隸屬度值，再對這些隸屬度取平均，即得出較合理，較準確的圖像色彩隸屬度，採用下面公式進行計算：
Yj=1/n (j=1,2.,,m)
其中Yj為第j種評語的隸屬度，aij為底i個人針對第j個評語給出的經驗值。
3.1.4 得出模糊關係矩陣
根據以上圖像質量各種影響因素隸屬度的確定方式，得出實際待評價圖像的模糊關係矩陣，並採用一定方法得出各因素的影響權重。需要強調圖像位置精度的確定，採用找出一系列明顯地物點的位置精度，然後對其求平均，做為該幅影像的位置精度。含雲量的確定採用面積統計的方式求出，即求出雲面積佔總圖像面積的百分比。
最後得出模糊關係矩陣如下：
表1模糊關係矩陣
Tab.1 Fuzzy relation matrix
考慮評價正射影像以位置精度為最重要，含雲量次之，圖像色彩不太重要，故權重分配為： A=(0.7,0.25,0.05)
3.2 對隸屬度矩陣和權值矩陣進行模糊矩陣複合運算，並對結果進行分析。
利用“∧，∨”算子進行模糊矩陣複合運算，得出模糊評價結果矩陣 =(0.05,0.6,0.4,0)。模糊評價結果矩陣實際上是一個一維向量，它包含4個元素，依據最大隸屬度原則，可以由結果矩陣得出評價結果，圖像質量好。這與我們專業人士直接的評價結果很吻合。
4．結論
採用模糊綜合評判的方法，對遙感正射影像質量進行評價，較主觀評價更科學，更合理，更具有可信度。因為其會考慮了多個影響圖像質量的因素，並依據其對圖像質量影響的程度給出相應的權重。模糊綜合評判方法，對專業人士來説可能不是那麼重要，但卻給非專業人士提供了合理確定圖像質量的好方法。
本文依據現有經驗，僅考慮了幾個影響因素，在以後工作過程中，還可能發現更多影響圖像質量的因素，都可以加入這個評判過程，使所得評價結果更接近客觀實際。
參考文獻
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關鍵詞：模糊神經網絡；股票預測
一、引言
中國股市經過十餘年的發展，應該説已經取得十分巨大的成就，但是與國外成熟股市相比仍然是一個新興市場。事實上，探索和研究股票價格波動的複雜性和規律性，是許多經濟工作者，尤其是證券研究者一直追求的目標。
股票交易數據預測是一種時間序列預測方法。時間序列預測法是依據預測對象過去的統計數據，找到其隨時間變化的規律，建立時序模型，以判斷未來數值的預測方法。其基本思想是：過去的變化規律會持續到未來，即未來是過去的延伸。一般一維時間序列預測方法有移動平均與分解方法、指數平滑方法、狀態空間模型等。這些預測方法經過長期的發展，在定量預測模型和定性預測模型等方面都有長足的進步。但是，當系統具有較強的非線性時，這些方法的適應性卻是有限的，在實際的預測環境中常常失去效用，因此用這些傳統的預測方法解決這類問題十分困難。
二、神經網絡和模糊邏輯結合的可能性
神經網絡的興趣在於人腦的微觀結構。並通過有自學習、自組識、自適應功能的神經網絡上的非線性並行分散動力學，對無法語言化的模式信息進行處理。模糊邏輯根據人為定義的隸屬函數和一系列並串行的規則，用邏輯推理去處理各種模糊性的信息，是通過模仿人的思維方式來表示和分析不確定、不精確信息的方法和工具。儘管“模糊”這個詞在這裏容易使人產生誤解，實際上在模糊邏輯控制中的每一個特定的輸入都對應着一個實際的輸出。所以模糊邏輯本身並不模糊，模糊邏輯並不是“模糊的”邏輯，而是用來對“模糊”進行處理以達到消除模糊的邏輯，它是一種精確解決不精確、不完全信息的方法，其最大特點就是用它可以比較自然地處理人的概念，是一種更人性化的方法。在處理數據時，模糊邏輯更能容忍噪音干擾和元器件的變化，使系統適應性更好模。糊邏輯還對使產品開發週期縮短而編程更容易。通過模糊化樣本，提高了樣本集中各樣本的質量，進而改進能量函數。用神經網絡去預測股票，在對信息的推理上還存在相當大的困難；而在信息的獲取方面，模糊技術也顯得十分軟弱。
因此本文根據模糊邏輯和神經網絡的各自長處把它們結合起來，利用這種方法對股票預測進行研究。模糊系統提供了一種推論式語句用來逼近人的推理能力和並且應用到基於知識的系統中。模糊邏輯理論是用一種數學工具來獲取人們認知過程。然而，模糊邏輯中有個共同的瓶頸是它們都依賴於由領域專家給出的規則，而且，不存在正式的框架來選擇模糊系統的各種參數，因此，調整參數的方法是模糊系統的一個重要研究課題。另一方面，神經網絡所具有一些重要的有點，比如學習能力、自適應能力、容錯能力等，所以神經網絡能夠處理複雜的、非線性的以及不確定性問題。正是因為如此，可以相信它們具有構建與人們人之有關的各種行為的潛能。但是神經網絡的主要問題是它沒有明確的物理意義，使用者不知道這些網絡是如何運轉的。這就是為何神經網絡總是被稱為“黑箱”的原因。對以一個訓練好的神經網絡，其連接權值不能清楚地説明網絡是如何處理數據的，其含義是什麼。特別是，現在的神經網絡理論還沒有提供一種方法來預測訓練好了的網絡的輸出。因此，在實際應用中造成了一些不確定性。
把模糊系統和神經網絡的結合成為模糊神經網絡，該網絡致力於獲得兩種系統的優點而克服各自的缺點。正如前文提到的，神經網絡的優點在於，第一個是能夠生成不需要明確表現知識的規則；第二個是其強大的自學能力。模糊系統的優點在於，第一個是能用模糊性的語言表達知識；第二個是能用簡單的預算來實現知識的模糊推理。兩者的結合可以解決模糊系統中的只是抽取問題以及專家知識也能很容易融合到神經網絡中，避免了初值選擇的任意性。
三、模糊神經網絡的模型設計
1、模型的結構
模糊神經網絡與一般的神經網絡相類似，通常分為前向型模糊神經網絡和反饋型模糊神經網絡兩類。本文采用的就是前向型模糊神經網絡。該網絡是可以實現模糊映射關係的模糊神經網絡。一個前向型模糊神經網絡可分為五層組成，分別為輸入層、模糊化層、模糊推理層、去模糊化層和輸出層。圖1-1為含有兩個輸入層節點、一個輸出節點的一個基本前向模糊神經網絡結構。
輸入層指的是接受外部輸入信號的一層，並將輸入值傳送給模糊化層的模糊單元；模糊化層的作用是按模糊規則將輸入值轉換為一定的模糊度，是對模糊信息進行預處理的網層。模糊推理層是前向型模糊神經網絡的核心，其網絡參數是由具體問題所確定的；去模糊化層接受經中間層處理的數據，並按照模糊度函數將數據進行非模糊化處理；最後輸出層給出確定性求解結果。
本文采用的是TS模糊神經網絡。該神經網絡分為輸入層、模糊化層、模糊規則計算層和輸出層(包括去模糊化)。輸入層與輸入向量xi連接，節點數與輸入向量的維數相同。模糊化層採用隸屬度函數(公式1-1)對輸入值進行模糊化得到模糊隸屬度值μ。模糊規則計算層採用模糊連乘(公式1-2)計算得到φ。輸出層採用(公式1-3)計算模糊神經網絡的輸出。下面給出各公式：
1-1
式中，分別為隸屬度函數的中心和寬度；k為輸入參數；n為模糊子集數。
1-2
1-3
式中為模糊系統參數。
2、模糊神經網絡的學習算法
(1)誤差計算
式中，yd為網絡期望輸出；yc是網絡實際輸出，e為期望輸出和實際輸出的誤差。
(2)係數修正
式中，為神經網絡係數；α為網絡學習率；xj為網絡輸入參數；φi為輸入參數隸屬度連乘積。
(3)參數修正
式中，、分別為隸屬度函數的中心和寬度。
3、預測模型的結構設計和參數的設定
網絡結構的選擇需要考慮以下因素：軟硬件實現的難易程度、訓練速度和網絡的推廣能力等，其中網絡的推廣能力是最主要的，網絡結構設計至今還沒有確定的方法可循。14世紀的法國修道士 提出過一個最簡單原則：“與己知事實滿意符合(一致)的理論中最簡單者就是最好的理論”,後人稱此原則為“奧克姆剃刀”。由此產生了一個公認的指導原則：“在沒有其他經驗知識時，能與給定樣本滿意符合(一致)的最簡單(規模最小的網絡就是最好的選擇”。這相當於在樣本點的誤差在允許範圍條件下用參數最少的模型去逼近一個未知的非線性映射。
從總體上來説，網絡結構設計並沒有固定可循的步驟，有許多參數要靠經驗選擇，並通過試驗加以比較。規模小的網絡的泛化能力強，同時也易於理解和抽取規則、知識，便於軟硬件實現。通常情況下，由於訓練樣本有限，所以把泛化能力作為主要要求，強調選擇能達到要求的最小網絡。理論證明，一個三層網絡可以任意逼近一個非線性連續函數。
基於T-S模糊神經網絡的算法流程如圖1-2所示。其中模糊神經網絡構建根據訓練樣本維數確定模糊神經網絡的輸入和輸出的節點以及模糊隸屬度函數個數。由於輸入數據為開盤價，最高價，最低價，收盤價這四組數據，所以為n=4維的，輸出的是次日的開盤價格即輸出數據為1維的。在模糊化層中，該層有nm個節點，利用K-means法對樣本進行聚類分析得到模糊規則數以確定m。在聚類分析得出m=2所以得到節點數為8,該模糊神經網絡的結構為4-8-1。在根據T-S的模型，所以選擇5組係數ρi。
雖然權值隨迭代而更新，一般都是收斂的，但是如果初始值設置的太大的話會影響該網絡，會使網絡飽和的很快。初始的權值對收斂速度也會造成影響。實驗表明，初始權值只要不是過大，對網絡整體的性能的影響並不大，一般可選在(-0.5,0.5),本文取權值為0。由於本文的隸屬度函數利用的是高斯函數，所以高斯函數中的中心和寬度隨機得到。
在學習率和網絡參數的選擇上，若選擇的太小，會使網絡參數修改量過小，收斂的速度緩慢；若選擇的太大，雖然可以加快了學習的速度，但是有可能導致在穩定點附近進行持續的振盪，難以收斂，目前在理論上還沒有明確的確定學習率的方法，對於具體問題需要進行試驗，通過實驗比較出適合的學習率，本文在通過實驗選取學習率為0.025,網絡參數選取0.001,最大迭代次數選取為100。
四、實證分析
1、預測的效果
選取綠景地產(000502)2010年1月20日連續120個交易日的數據作為訓練和預測樣本。其中使用前100個交易日的指標作為訓練樣本訓練網絡，用後20個數據進行樣本預測。
如圖1-3為訓練網絡的效果圖，該結果是用歸一化後的數據。
表 1-1列出真實值和預測值以及預測的相對誤差((真實值-預測值)/真實值):
2、網絡性能的評價
對神經網絡常用的預測性能的評價指標常用的有RRMS,MPE,mpe,PC。選取綠景地產(000502)2010年1月20日連續120個交易日的數據作為訓練和預測樣本。其中使用前100個交易日的指標作為訓練樣本訓練網絡，用後20個數據進行樣本預測。本系統的各項性能指標如下：
相對均方根誤差：RRMS=0.63%最大誤差：MPE=0.19元 正確趨勢率：PCD=65%
從以上指標看出用該模糊神經網絡進行預測是有效的，預測系統式成功的。
五、總結
股票市場是反映經濟的“晴雨表”,其作用不但被政府重視，而且受投資大眾的普遍關注，股票市場中的收益伴隨着風險，以最小風險獲得最大收益是每個投資者的目標，所以研究股票市場內在規律及其預測具有重大的意義和應用的價值。股票交易數據預測是時間序列預測。在股票市場這個極其複雜的系統中，它所具有的非線性和高噪聲等因素決定了股票預測的過程的複雜與困難，傳統預測方法很難應用於此，難以建立有效的數學模型。
神經網絡是一種很好的時間序列預測方法。神經網絡具有逼近任意複雜連續函數關係的能力，而這些能力正是傳統方法所不具有的。本文把模糊邏輯和神經網絡相結合起來，首先介紹了模糊系統和神經網絡的基本知識以及二者結合的可能性。然後建立模糊神經網絡模型並用於股票價格的預測，運用相關分析在剔除了與預測指標相關性較小的指標，簡化了模糊神經網絡的結構，並在實際的試驗中確定了相關網絡係數的初始值，簡要的介紹了建模的工具，並用設立模糊等級對模糊神經網絡的有效性進行了評價，在通過實證分析證實了網絡系統基本上達到了預想的要求。
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[關鍵詞] 灰色模糊評價 項目投資 決策分析
項目投資決策需要考慮很多不確定的影響因素，選用單項財務指標進行評價，其本身都有一定的片面性，根據不同的指標值來決策有可能會得出不同的結果。綜合考慮財務因素和非財務因素，對項目進行綜合評價能夠選擇那些最優的項目方案。本文嘗試應用灰色模糊綜合評價方法進行項目投資決策分析。
一、灰色模糊綜合評價的特點和方法綜述
項目投資決策領域中普遍存在不確定性決策問題，不確定性主要有：一個是主觀不確定性，即人的思維模糊性；另一個是信息不完全、不充分所造成的客觀不確定性，即灰性。在一個信息不完全的問題中，往往存在許多模糊的因素；具有模糊因素的一個問題可能不具備完全充分的數據與信息。灰色是量的概念，模糊是質的範疇。因此用灰色模糊概念來探討項目投資決策問題，能夠更好地構建具有柔性的決策模型，且使決策結果更加接近實際。
許多學者對灰色模糊綜合評價進行了研究，筆者歸納分析主要有以下幾種方法：(1)用灰色關聯分析選定評定因素，確定權重集，進行模糊綜合評判；（2）運用灰色系統理論確定評估灰類，計算灰色評估係數，得出灰色評估權向量和矩陣，依據模糊數學理論形成評判矩陣，進行模糊評價；（3）將評價對象的模糊綜合評判結果矩陣視為比較數列，計算各個比較數列和各參考數列的灰色關聯度，根據關聯度大小對評價對象進行優劣排序；（4）使用模糊綜合評判和灰色關聯綜合評價法，分別進行評判，然後再將結果進行綜合集成；（5）用模糊數學中的廣義距離來表示參考序列和比較序列的差異程度，然後用灰色關聯分析法進行綜合評判；（6）根據灰色理論的差異信息原理，構造灰色隸屬度算子，形成新的模糊隸屬度矩陣，然後進行模糊綜合評判；(7)以灰色模糊關係為基礎，將隸屬度和灰度綜合到評判過程中，進行灰色模糊綜合評判；（8)根據灰色模糊數學理論，用區間數來表示隸屬度，並將隸屬度和灰度綜合起來，建立區間數灰色模糊綜合評判數學模型，進行評價；（9）使用灰色關聯繫數法構建模糊評判矩陣，然後再進行模糊綜合評判。
基於灰色關聯分析的模糊綜合評價法，方法簡便，易於操作。綜合考慮項目投資指標的特點，本文采用此法進行投資決策分析。
二、灰色模糊綜合評價的數學模型的建立
1.建立綜合評價的因素集。因素集是以影響評價對象的各種因素為元素所組成的一個普通集合，通常用u表示，即：u=（u1, u2,…,um)，其中元素ui（i=l,2，…，m）代表影響評價對象的第i個因素。
2.確定因素權向量。評價工作中，各因素的重要程度有所不同，為此，給各因素ui（i=1, 2，…，m）確定一個權重ai(i=1,2，…，m)，各因素的權重集合的模糊集，用A表示：A=(a1, a2，…，am）。
3.基於灰色關聯分析的模糊關係矩陣
(1)確定比較數列（評價對象）和參考數列（評價標準）設評價對象為m個，評價指標為n個，則比較數列為
用矩陣形式可表示為：
式中（1）
為第i個方案的第k個指標的評價值；取每個指標的最佳值為參考數列的實體，則有參考數列
式中
(2)指標值的規範化處理要確定數列的灰關聯繫數，需要對數據列進行生成處理。對時間序列數據的處理，常用的處理方法有：初值化，最小值化，最大值化，平均值化，區間值化等。對於非時間序列的數據不存在運算關係，採用指標區間值化，歸一化，標準化等處理方法。本文采用規範化公式：
（2）
利用(2)式對(1)式進行規範化處理
(3)確定灰關聯繫數
其中：是分辨係數，且，通常取為0.5
以幾何意義來講，關聯繫數與隸屬度是相似的，於是可得模糊關係矩陣[9]
(4)建立綜合評價模型。確定R 、A之後，通過模糊變換將u上的模糊向量A變為v上的模糊向量B，即：
其中，“・”稱為廣義模糊綜合評價合成算子有無窮多種，但實際中經常採用的有幾種，本文根據具體情況採用加權平均法，上式即為綜合評價模型。
(5)模糊評價。根據各個因素在評判集上的隸屬度。得到評判指標之後，便可根據最大隸屬原則選擇最大評判指標max bj所相對應的方案為評判結果。
三、應用
某工程有以下四種方案，現使用灰色模糊綜合評價進行分析
1.選擇評價指標，建立評價指標集。根據具體情況，選擇總投資額、投資回收期、期望淨現值、內部收益率、環境影響評價作為評價指標，組成評價指標集。
2.確定權重。根據德爾菲法，由專家確定各指標權重（0.25 0.15 0.3 0.2 0.1）
3.確定最有指標集，構造初始矩陣並規範化
4.計算灰色關聯繫數並建立灰色模糊關係矩陣
5.模糊評價
由前面求得的A、R,根據B=A・R,可得B=（0.4555 0.758 0.793 .0375）即方案1、2、3、4的評價值分別為0.4555，0.758，0.793，0.375。根據最大隸屬原則，方案3為最優方案。
四、結論
灰色模糊綜合評價模型及其算法，具有嚴密的數學邏輯推理，方法簡便易行，應用於項目投資決策分析具有較高的實踐價值。
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