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正文
第一篇：餘弦定理證明過程
在△abc中，設bc＝a，ac＝b，ab＝c，試根據b，c，a來表示a。 分析：由於國中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應添加輔助線構造直角三角形，在直角三角形內通過邊角關係作進一步的轉化工作，故作cd垂直於ab於d，那麼在rt△bdc中，邊a可利用勾股定理用cｄ、ｄb表示，而cd可在rt△aｄc中利用邊角關係表示，db可利用ab－ad轉化為ad，進而在rt△aｄc內求解。
解：過c作cd⊥ab，垂足為d，則在rt△cｄb中，根據勾股定理可得： a2＝cｄ2＋bｄ2
∵在rt△aｄc中，cｄ2＝b2－aｄ2
又∵bｄ2＝（c－aｄ）2＝c2－2c·aｄ＋aｄ2
∴a2＝b2－aｄ2＋c2－2c·aｄ＋aｄ2＝b2＋c2
－2c·aｄ 又∵在rt△aｄc中，ad＝b·cosa ∴a2＝b2＋c2－2bccosa類似地可以證明b2＝a2＋c2－2accosb，c2＝a2＋b2－2abcosc
第二篇：餘弦定理證明
餘弦定理證明
在任意△abc中,作ad⊥bc.
∠c對邊為c，∠b對邊為b，∠a對邊為a-->
bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c
勾股定理可知：
ac²=ad²+dc²
b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²
b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb
b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²
b²=c²+a²-2ac*cosb
所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac
2
如右圖，在abc中，三內角a、b、c所對的邊分別是a、b、c.以a為原點，ac所在的直線為x軸建立直角座標系，於是c點座標是(b，0)，由三角函數的定義得b點座標是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).現將cb平移到起點為原點a，則ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根據三角函數的定義知d點座標是(acos(π-c)，asin(π-c))即d點座標是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可證asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可證b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和餘弦定理證明完畢。3△abc的三邊分別為a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別為,mc,應用餘弦定理證明:
mb=(1/2)
mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
同理可得：
mb=
mc=
4
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
證畢。
第三篇：餘弦定理證明過程
餘弦定理證明過程
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
證畢。
2
在任意△abc中,作ad⊥bc.
∠c對邊為c，∠b對邊為b，∠a對邊為a-->
bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c
勾股定理可知：
ac²=ad²+dc²
b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²
b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb
b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²
b²=c²+a²-2ac*cosb
所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac
2
如右圖，在abc中，三內角a、b、c所對的邊分別是a、b、c.以a為原點，ac所在的直線為x軸建立直角座標系，於是c點座標是(b，0)，由三角函數的定義得b點座標是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).現將cb平移到起點為原點a，則ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根據三角函數的定義知d點座標是(acos(π-c)，asin(π-c))即d點座標是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可證asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可證b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和餘弦定理證明完畢。3△abc的三邊分別為a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別為,mc,應用餘弦定理證明:
mb=(1/2)
mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述m(更多好範文請關注：)a表達式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
同理可得：
mb=
mc=
4
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
證畢。
第四篇：餘弦定理的證明方法
餘弦定理的證明方法
在△abc中，ab=c、bc=a、ca=b
則c^2=a^2+b^2-2ab*cosc
a^2=b^2+c^2-2bc*cosa
b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
下面在鋭角△中證明第一個等式，在鈍角△中證明以此類推。
過a作ad⊥bc於d，則bd+cd=a
由勾股定理得：
c^2=(ad)^2+(bd)^2，(ad)^2=b^2-(cd)^2
所以c^2=(ad)^2-(cd)^2+b^2
=(a-cd)^2-(cd)^2+b^2
=a^2-2a*cd+(cd)^2-(cd)^2+b^2
=a^2+b^2-2a*cd
因為cosc=cd/b
所以cd=b*cosc
所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosc
在任意△abc中,作ad⊥bc.
∠c對邊為c，∠b對邊為b，∠a對邊為a-->
bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c
勾股定理可知：
ac²=ad²+dc²
b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²
b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb
b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²
b²=c²+a²-2ac*cosb
所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac
2
如右圖，在abc中，三內角a、b、c所對的邊分別是a、b、c.以a為原點，ac所在的直線為x軸建立直角座標系，於是c點座標是(b，0)，由三角函數的定義得b點座標是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).現將cb平移到起點為原點a，則ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根據三角函數的定義知d點座標是(acos(π-c)，asin(π-c))即d點座標是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可證asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可證b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和餘弦定理證明完畢。3△abc的三邊分別為a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別為,mc,應用餘弦定理證明:
mb=(1/2)
mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
同理可得：
mb=
mc=
4
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
證畢。
第五篇：大學聯考考餘弦定理證明
從大學聯考考餘弦定理證明談起【題1】 敍述並證明勾股定理（1979年全國卷，四題）. 【説明】 這道大題，在總分為110分的考卷上，理科佔6分，文科佔9分.理科的評分標準是：（1）敍述勾股定理（2分）；（2）證明勾股定理（4分）.
【題2】 （1980·理科四題（滿分8分））寫出餘弦定理（只寫一個公式即可），並加以證明
【插話】 對這道題目，人們雖然不感到新鮮，但有一個期待，期待着標準答案中有“新鮮東西”出現.後來一看，非常“失望”，該題對餘弦定理的證明，依賴的仍然是勾股定理.
【題3】（2014年四川）
（文）（19）（本小題滿分12分）
；
2由推導兩角和的正弦公式
，求.（ⅰ）1證明兩角和的餘弦公式（ⅱ）已知
解：(1)①如圖，在執教座標系xoy內做單位圓o，並作出角α、β與－β，使角α的始邊為ox，交⊙o於點p1，終邊交⊙o於p2；角β的始邊為op2，終邊交⊙o於p3；角－β的始邊為op1，終邊交⊙o於p4.
則p1(1,0),p2(cosα,sinα)
p3(cos(α＋β),sin(α＋β)),p4(cos(－β),sin(－β))
由p1p3＝p2p4及兩點間的距離公式，得
[cos(α＋β)－1]＋sin(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]＋[sin(－β)－sinα]
展開並整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.?②由①易得cos(
sin(α＋β)＝cos[
＝cos(－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)] －α)＝sinα,sin(－α)＝cosα 2222－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)
＝sinαcosβ＋cosαsinβ??????????????6分
(2)∵α∈(π,),cosα＝－
∴sinα＝－
∵β∈(，π),tanβ＝－
∴cosβ＝－,sinβ＝
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝(－)×(－)－(－
)× ＝ （理）（19）（本小題滿分12分）
（ⅰ）1證明兩角和的餘弦公式
2由推導兩角和的正弦公式
，且，求cosc. ； . （ⅱ）已知△abc的面積
解：(1)①如圖，在執教座標系xoy內做單位圓o，並作出角α、β與－β，使角α的始邊為ox，
交⊙o於點p1，終邊交⊙o於p2；角β的始邊為op2，終邊交⊙o於p3；角－β的始邊為op1，終邊交⊙o於p4.
則p1(1,0),p2(cosα,sinα)p3(cos(α＋β),sin(α＋β)),p4(cos(－β),sin(－β))
由p1p3＝p2p4及兩點間的距離公式，得
[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2
展開並整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.????????4分
②由①易得cos(
sin(α＋β)＝cos[
＝cos(－α)＝sinα,sin(－(α＋β)]＝cos[(－α)＝cosα －α)＋(－β)] －α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)
＝sinαcosβ＋cosαsinβ??????????????6分
(2)由題意，設△abc的角b、c的對邊分別為b、c
則s＝bcsina＝
＝bccosa＝3＞0
∴a∈(0,
2 ),cosa＝3sina 2又sina＋cosa＝1，∴sina＝,cosa＝
由題意，cosb＝,得sinb
＝
∴cos(a＋b)＝cosacosb－sinasinb＝ 故cosc＝cos[π－(a＋b)]＝－cos(a＋b)＝－
【題4】（2014年陝西） ??????????12分
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