目錄
正文
第一篇：餘弦定理及其證明
餘弦定理及其證明
1.三角形的正弦定理證明：
步驟1.
在鋭角△abc中，設三邊為a，b，c。作ch⊥ab垂足為點h
ch=a·sinb
ch=b·sina
∴a·sinb=b·sina
得到
a/sina=b/sinb
同理，在△abc中，
b/sinb=c/sinc
步驟2.
證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：
如圖，任意三角形abc,作abc的外接圓o.
作直徑bd交⊙o於d.
連接da.
因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠dab=90度
因為同弧所對的圓周角相等,所以∠d等於∠c.
所以c/sinc=c/sind=bd=2r
a/sina=bc/sind=bd=2r
類似可證其餘兩個等式。
2.三角形的餘弦定理證明：
平面幾何證法：
在任意△abc中
做ad⊥bc.
∠c所對的邊為c，∠b所對的邊為b，∠a所對的邊為a
則有bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c
根據勾股定理可得：
ac^2=ad^2+dc^2
b^2=(sinb*c)^2+(a-cosb*c)^2
b^2=sin^2b*c^2+a^2+cos^2b*c^2-2ac*cosb
b^2=(sin^2b+cos^2b)*c^2-2ac*cosb+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosb
cosb=(c^2+a^2-b^2)/2ac
3
在△abc中，ab=c、bc=a、ca=b
則c^2=a^2+b^2-2ab*cosc
a^2=b^2+c^2-2bc*cosa
b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
下面在鋭角△中證明第一個等式，在鈍角△中證明以此類推。
過a作ad⊥bc於d，則bd+cd=a
由勾股定理得：
c^2=(ad)^2+(bd)^2，(ad)^2=b^2-(cd)^2
所以c^2=(ad)^2-(cd)^2+b^2
=(a-cd)^2-(cd)^2+b^2
=a^2-2a*cd+(cd)^2-(cd)^2+b^2
=a^2+b^2-2a*cd
因為cosc=cd/b
所以cd=b*cosc
所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosc
題目中^2表示平方。
2
談正、餘弦定理的多種證法
聊城二中魏清泉
正、餘弦定理是解三角形強有力的工具，關於這兩個定理有好幾種不同的證明方法.人教a版教材《數學》(必修5)是用向量的數量積給出證明的，如是在證明正弦定理時用到作輔助單位向量並對向量的等式作同一向量的數量積，這種構思方法過於獨特，不易被初學者接受.本文試圖通過運用多種方法證明正、餘弦定理從而進一步理解正、餘弦定理，進一步體會向量的巧妙應用和數學中“數”與“形”的完美結合.
定理：在△abc中，ab=c,ac=b,bc=a,則
(1)(正弦定理)==;
(2)(餘弦定理)
c2=a2+b2-2abcosc,
b2=a2+c2-2accosb,
a2=b2+c2-2bccosa.
一、正弦定理的證明
證法一：如圖1，設ad、be、cf分別是△abc的三條高。則有
ad=b•sin∠bca，
be=c•sin∠cab，
cf=a•sin∠abc。
所以s△abc=a•b•csin∠bca
=b•c•sin∠cab
=c•a•sin∠abc.
證法二：如圖1，設ad、be、cf分別是△abc的3條高。則有
ad=b•sin∠bca=c•sin∠abc，
be=a•sin∠bca=c•sin∠cab。
證法三：如圖2，設cd=2r是△abc的外接圓
的直徑，則∠dac=90°，∠abc=∠adc。
證法四：如圖3，設單位向量j與向量ac垂直。
因為ab=ac+cb，
所以j•ab=j•(ac+cb)=j•ac+j•cb.
因為j•ac=0，
j•cb=|j||cb|cos(90°-∠c)=a•sinc，
j•ab=|j||ab|cos(90°-∠a)=c•sina.
二、餘弦定理的證明
法一：在△abc中，已知，求c。
過a作，
在rt中，，
法二：
，即：
法三：
先證明如下等式：
⑴
證明：
故⑴式成立，再由正弦定理變形，得
結合⑴、有
即.
同理可證
.
三、正餘弦定理的統一證明
法一：證明：建立如下圖所示的直角座標系，則a=(0，0)、b=(c,0)，又由任意角三角函數的定義可得：c=(bcosa,bsina)，以ab、bc為鄰邊作平行四邊形abcc′，則∠bac′=π-∠b，
∴c′(acos(π-b),asin(π-b))=c′(-acosb,asinb).
根據向量的運算：
=(-acosb,asinb)，
=-=(bcosa-c,bsina),
(1)由=：得
asinb=bsina,即
=.
同理可得：=.
∴==.
(2)由=(b-cosa-c)2+(bsina)2=b2+c2-2bccosa，
又||=a,
∴a2=b2+c2-2bccosa.
同理：
c2=a2+b2-2abcosc;
b2=a2+c2-2accosb.
法二：如圖5，
,設軸、軸方向上的單位向量分別為、，將上式的兩邊分別與、作數量積，可知
，
即
將(1)式改寫為
化簡得b2-a2-c2=-2accosb.
即b2=a2+c2-2accosb.(4)
第二篇：正、餘弦定理及其應用
龍源期刊網
正、餘弦定理及其應用
作者：夏志輝
來源：《數學金刊·大學聯考版》2014年第10期
正、餘弦定理及其應用是高中數學的一個重要內容，是大學聯考必考知識點之一，也是解三角形的重要工具，常常會結合三角函數或平面向量的知識來考查其運用.
重點難點
在大學聯考中，本部分知識所考查的有關試題大多為容易題. 在客觀題中，突出考查正、餘弦定理及其推論所涉及的運算；在解答題中，通常聯繫三角恆等變形、三角形內角和定理、三角形面積公式等知識進行綜合考查，常見的有證明、判斷、求值（求解斜三角形中的基本元素：角、面積等）及解決實際問題等題型.
重點：①正確理解正、餘弦定理的概念，瞭解正、餘弦定理之間的內在聯繫，掌握公式的一些常用變形；②判斷三角形的形狀；③解斜三角形；④運用正、餘弦定理解決一些實際問題以及與其他知識相互滲透的綜合問題.
難點：①解三角形時解的情況的討論；②正、餘弦定理與三角恆等變換等知識相互聯繫的綜合問題.
第三篇：餘弦定理證明過程
在△abc中，設bc＝a，ac＝b，ab＝c，試根據b，c，a來表示a。 分析：由於國中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應添加輔助線構造直角三角形，在直角三角形內通過邊角關係作進一步的轉化工作，故作cd垂直於ab於d，那麼在rt△bdc中，邊a可(收藏好 範 文，請便下次訪問)利用勾股定理用cｄ、ｄb表示，而cd可在rt△aｄc中利用邊角關係表示，db可利用ab－ad轉化為ad，進而在rt△aｄc內求解。
解：過c作cd⊥ab，垂足為d，則在rt△cｄb中，根據勾股定理可得： a2＝cｄ2＋bｄ2
∵在rt△aｄc中，cｄ2＝b2－aｄ2
又∵bｄ2＝（c－aｄ）2＝c2－2c·aｄ＋aｄ2
∴a2＝b2－aｄ2＋c2－2c·aｄ＋aｄ2＝b2＋c2
－2c·aｄ 又∵在rt△aｄc中，ad＝b·cosa ∴a2＝b2＋c2－2bccosa類似地可以證明b2＝a2＋c2－2accosb，c2＝a2＋b2－2abcosc
第四篇：餘弦定理證明
餘弦定理證明
在任意△abc中,作ad⊥bc.
∠c對邊為c，∠b對邊為b，∠a對邊為a-->
bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c
勾股定理可知：
ac²=ad²+dc²
b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²
b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb
b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²
b²=c²+a²-2ac*cosb
所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac
2
如右圖，在abc中，三內角a、b、c所對的邊分別是a、b、c.以a為原點，ac所在的直線為x軸建立直角座標系，於是c點座標是(b，0)，由三角函數的定義得b點座標是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).現將cb平移到起點為原點a，則ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根據三角函數的定義知d點座標是(acos(π-c)，asin(π-c))即d點座標是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可證asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可證b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和餘弦定理證明完畢。3△abc的三邊分別為a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別為,mc,應用餘弦定理證明:
mb=(1/2)
mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
同理可得：
mb=
mc=
4
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
證畢。
第五篇：怎麼證明餘弦定理
怎麼證明餘弦定理
證明餘弦定理：
因為過c作cd垂直於ab，ad=bcosa;所以(c-bcosa)^2+(bsina)^2=a^2。
又因為b^2-(bcosa)^2=(bsina)^2，所以(c-x)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2，
所以c^2-2cbcosa+(bcosa)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2，
所以c^2-2cbcosa+b^2=a^2，
所以c^2+b^2-a^2=2cbcosa，
所以cosa=(c^2+b^2-a^2)/2bc
同理cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosc=(a^2+b^2-c^2)/2ab
2
在任意△abc中,作ad⊥bc.
∠c對邊為c，∠b對邊為b，∠a對邊為a-->
bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c
勾股定理可知：
ac²=ad²+dc²
b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²
b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb
b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²
b²=c²+a²-2ac*cosb
所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac
2
如右圖，在abc中，三內角a、b、c所對的邊分別是a、b、c.以a為原點，ac所在的直線為x軸建立直角座標系，於是c點座標是(b，0)，由三角函數的定義得b點座標是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).現將cb平移到起點為原點a，則ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根據三角函數的定義知d點座標是(acos(π-c)，asin(π-c))即d點座標是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可證asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可證b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和餘弦定理證明完畢。3△abc的三邊分別為a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別為,mc,應用餘弦定理證明:
mb=(1/2)
mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
同理可得：
mb=
mc=
4
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
證畢。
本站向各位推薦其他精彩文章：
餘弦定理的多種證明
餘弦定理證明過程
餘弦定理的證明方法
餘弦定理的三種證明
用複數證明餘弦定理
蒙田範文網