第一篇：如何證明面面垂直
如何證明面面垂直
設p是三角形abc所在平面外的一點，p到a,b,c三點的距離相等,角bac為直角，求證：平面pcb垂直平面abc
過p作pq⊥面abc於q，則q為p在面abc的投影，因為p到a，b，c的距離相等，所以有qa=qb=qc，即q為三角形abc的中心，因為角bac為直，所以q在線段bc上，所以在面pcb上有線段pq⊥平面abc，故平面pcb⊥平面abc
2
證明一個面上的一條線垂直另一個面;首先可以轉化成
一個平面的垂線在另一個平面內,即一條直線垂直於另一個平面
然後轉化成
一條直線垂直於另一個平面內的兩條相交直線
也可以運用兩個面的法向量互相垂直。
這是解析幾何的方法。
2
一、國中部分
1利用直角三角形中兩鋭角互餘證明
由直角三角形的定義與三角形的內角和定理可知直角三角形的兩個鋭角和等於90°，即直角三角形的兩個鋭角互餘。
2勾股定理逆定理
3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等於這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。
二、高中部分
線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經過平移後相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。
1向量法兩條直線的方向向量數量積為0
2斜率兩條直線斜率積為-1
3線面垂直，則這條直線垂直於該平面內的所有直線
一條直線垂直於三角形的兩邊，那麼它也垂直於另外一邊
4三垂線定理在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那麼它也和這條斜線垂直。
5三垂線定理逆定理如果平面內一條直線和平面的一條斜線垂直，那麼這條直線也垂直於這條斜線在平面內的射影。
3高中立體幾何的證明主要是平行關係與垂直關係的證明。方法如下(難以建立座標系時再考慮)：
ⅰ.平行關係：
線線平行：1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質。4.面面平行的性質。5.垂直於同一平面的兩條直線平行。
線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內的任一直線與另一平面平行。
面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行。
ⅱ.垂直關係：
線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那麼這條直線與平面內的任一直線垂直。
線面垂直：1.一條直線與一個平面內的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那麼另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那麼這條直線也與另一平面垂直。
面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那麼這兩個平面垂直。
第二篇：怎樣證明面面垂直
怎樣證明面面垂直
如果一平面經過另一平面的垂線，那麼這兩個平面垂直。(面面垂直判定定理)
為方便，下面#後的代表向量。
#cd=#bd-#bc,#ac=#bc-#ba,#ad=#bd-#ba.
對角線的點積：#ac·#bd=(#bc-#ba)·#bd=#bc·#bd-#ba·#bd
兩組對邊平方和分別為：
ab2+cd2=ab2+(#bd-#bc)2=ab2+bd2+bc2-2#bd·#bc
ad2+bc2=(#bd-#ba)2+bc2=bd2+ba2+bc2-2#bd·#ba
則ab2+cd2=ad2+bc2等價於#bd·#bc=#bd·#ba等價於#ac·#bd=0
所以原命題成立，空間四邊形對角線垂直的充要條件是兩組對邊的平方和相等
證明一個面上的一條線垂直另一個面;首先可以轉化成
一個平面的垂線在另一個平面內,即一條直線垂直於另一個平面
然後轉化成
一條直線垂直於另一個平面內的兩條相交直線
也可以運用兩個面的法向量互相垂直。
這是解析幾何的方法。
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一、國中部分
1利用直角三角形中兩鋭角互餘證明
由直角三角形的定義與三角形的內角和定理可知直角三角形的兩個鋭角和等於90°，即直角三角形的兩個鋭角互餘。
2勾股定理逆定理
3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等於這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。
二、高中部分
線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經過平移後相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。
如果一平面經過另一平面的垂線，那麼這兩個平面垂直。(面面垂直判定定理)
1向量法兩條直線的方向向量數量積為0
2斜率兩條直線斜率積為-1
3線面垂直，則這條直線垂直於該平面內的所有直線
一條直線垂直於三角形的兩邊，那麼它也垂直於另外一邊
4三垂線定理在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那麼它也和這條斜線垂直。
5三垂線定理逆定理如果平面內一條直線和平面的一條斜線垂直，那麼這條直線也垂直於這條斜線在平面內的射影。
3高中立體幾何的證明主要是平行關係與垂直關係的證明。方法如下(難以建立座標系時再考慮)：
ⅰ.平行關係：
線線平行：1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質。4(更多請關注：).面面平行的性質。5.垂直於同一平面的兩條直線平行。
線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內的任一直線與另一平面平行。
面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行。
ⅱ.垂直關係：
線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那麼這條直線與平面內的任一直線垂直。
線面垂直：1.一條直線與一個平面內的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那麼另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那麼這條直線也與另一平面垂直。
面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那麼這兩個平面垂直。
第三篇：第四節 利用空間向量求二面角及證明面面垂直
第四節 利用空間向量求二面角及證明面面垂直
一、二面角
二面角??l??，若?的一個法向量為m，?的一個法向量為n，則cos?,??，二面角的大小為?m,n?或???m,n?
例1．如圖，正三稜柱abc?a1b1c1中，e為bb1的中點，aa1?a1b1，求平面a1ec與平面a1b1c1所成鋭角的大小。
例2．（05年全國）如圖，在四稜錐v-abcd
vad是正三角形,平面vad⊥底面abcd． （1）證明ab⊥平面vad；
（2）求面vad與面vbd所成的二面角的大小．
練習：如圖，稜長為1的正方體 abcd?a1b1c1d1中，e是cc1的中點，
求二面角b?b
1e?d的餘弦值。
12
二．證面面垂直
若平面?的一個法向量為，平面?的一個法向量為，且?，則???。
例3．在四稜錐p-abcd中，側面pcd是正三角形，且與底面abcd垂直，已知底面是面積為23的菱形，
?adc?600，m是pb的中點。
（1）求證：pa?cd
（2）求二面角p?ab?d的度數； （3）求證：平面pab?平面cdm。
練習：（04年遼寧）已知四稜錐p-abcd中，底面abcd是菱形，?dab?60?,pd?平面abcd，pd=ad，點e為ab的中點，點f為 pd的中點。
（1）證明平面ped⊥平面pab；
（2）求二面角p-ab-f的平面角的餘弦值.
作業：
1．（04年廣東）如圖，在長方體abcd?a1b1c1d1中，
已知ab?4,ad?3,aa1?2,e,f分別是線段ab,bc上的點，且eb?fb?1。 （ⅰ）求二面角c-de-c1的正切值；
（ⅱ）求直線ec1與fd1所成角的餘弦值。
13
2．（05年全國）已知四稜錐p-abcd的底面為直角梯形，ab∥dc，?dab?90?,pa?底面abcd，且pa=ad=dc=
ab=1，m是pb的中點。 2
（1）證明：面pad⊥面pcd； （2）求ac與pb所成的角；
（3）求面amc與面bmc所成二面角的大小。
3．已知四稜錐p-abcd的底面是邊長為2的正方形，側稜pa?底面abcd，pa＝2，m、n分別是ad、bc的中點，mq?pd於q
（1）求證：平面pmn?平面pad；
（2）求pm與平面pcd所成角的正弦值； （3）求二面角p?mn?q的餘弦值。
4．（06年全國）如圖，在直三稜柱abc－a1b1c1中，ab＝bc， d、e分別為bb1、ac1的中點．
（1）證明：ed為異面直線bb1與ac1的公垂線； （2）設aa1＝ac＝2ab，求二面角a1－ad－c1的大小．
14
c
b1 d
e
c
a
b
5． （04年浙江）如圖，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互
相垂直，ab=，af=1，m是線段ef的中點。
（1）求證：am//平面bde； （2）求二面角a?df?b的大小；
（3）試在線段ac上確定一點p，使得pf與bc所成的角是60?。
6．（05年湖南）如圖1，已知abcd是上．下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸oo1折成直二面角，如圖2.
（1）證明：ac⊥bo1；
（2）求二面角o-ac-o1的大小。
7．（06年山東）如圖，已知四稜錐p-abcd的底面abcd為 等腰梯形，ab∥dc,ac⊥bd,ac與bd相交於點o，且頂點 p在底面上的射影恰為點o，又bo=2,po=,pb⊥pd. (1)求異面直線pd與bc所成角的餘弦值； (2)求二面角p-ab-c的大小； (3)設點m在稜pc上，且pc⊥平面bmd.
15
pm
??,問?為何值時， mc
第四篇：面面垂直證明例題
數學面面垂直例題
例4答案：
例8答案：取ac的中點為o，連接op、ob。 ao=oc,pa=pc,故po垂直
ac
第五篇：本節課學生學習的起點是如何利用判定定理證明線面、面面垂直。障...
本節課學生學習的起點是如何利用判定定理證明線面、面面垂直。障礙點是線線、線面、面面垂直的相互轉化，並能靈活應用相互轉化。因此本節課的重點是如何靈活應用線線、線面、面面垂直的相互轉化完成垂直關係的證明
課題：垂直關係
教學分析
垂直關係是一種非常重要的位置關係，它不僅應用較多，而且是平行關係的轉化手段，可以説垂直關係是立體幾何的核心內容之一，也是大學聯考熱點內容。
垂直的性質定理在立體幾何中有着特殊的地位和作用。在鞏固線線垂直和麪面垂直的基礎上，討論垂直的性質定理及其應用時，要注意是立體幾何最難的定理，往往是一個複雜問題的開端，先由面面垂直轉化為線面垂直，否則無法解決問題。
三維目標
1.探究垂直的判定定理，培養學生的空間想象能力。
2.掌握垂直的判定定理的應用，培養學生分析問題、解決問題的能力。
3.探究垂直的性質定理，進一步培養學生的空間想象能力。
4.垂直的性質定理的應用，培養學生的推理能力。
5.通過垂直的性質定理的學習，培養學生的轉化思想。
重點難點
教學重點:(1)垂直關係的判定定理及其應用 (2)垂直的性質定理
教學難點:(1)應用判定定理解決問題(2）性質定理的應用
課時安排：1課時.
教學手段：多媒體.
教學過程：
一、知識回顧
1、線面垂直的判定方法
(1)定義——如果一條直線和一個平面內的任意一條直線都垂直，則直線與平面垂直。
(2)判定定理——如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，則直線與平面垂直。
?
?l?b?a???l???b??a?b?a?l?a
2線面垂直的性質
(1)如果一條直線和一個平面垂直則這條直線垂直於平面內的任意一條直線。
(2)性質定理——如果兩條直線同垂直於一個平面，則這兩條直線平行。
3、面面垂直的判定方法
（1)定義-----如果兩個平面所成的二面角是直二面角，則這兩個平面垂直。
（2)判定定理-----如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直α⊥β，α∩β＝l???m⊥β. 用符號表示為mα，m⊥l?
4面面垂直的性質
如果兩個平面垂直，則在一個平面內垂直於它們的交線的直線垂直於另一個平面
二、課堂演練
1．在三稜錐v－abc中，va＝vc，ab＝bc，則下列結論一定成立的是()
a．va⊥bcb．ab⊥vc
c．vb⊥acd．va⊥vb
2．設l、m、n均為直線，其中m、n在平面α內，則“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()
a．充分不必要條件b．必要不充分條件
c．充要條件d．既不充分也不必要條件
3．關於直線m、n與平面α、β，有以下四個命題：
①若m∥α，n⊥β且α⊥β，則m∥n.
②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m⊥n；
③若m⊥α，n∥β且α∥β，則m⊥n；
④若m∥α，n∥β且α⊥β，則m∥n；
其中真命題的序號是()
a．①②
c．①④b．③④ d．②③第4題圖
4．△abc，∠abc＝90°，pa⊥平面 abc，則圖中直角三角形的個數是________．
三、典例精析
例1如圖，ab是圓o的直徑，c是異於a，b的圓周上的任意一點，pa垂直於圓o所在的平面。求證：（1）bc⊥面pac（2)若ah⊥pc,則ah⊥面pbc
?c b 例2如圖，已知pa┴ 矩形abcd所在平面，m、n分別是ab、pc的中點 求證： （1）mn┴cd(2） 若?pda?
p 45，求證：mn面pcd
四、小結：三種垂直關係的轉化
m d c
五、作業：課時作業
六、教學反思：本節課重點是利用判定定理證明線面、面面垂直，及三種垂直關係的轉化
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