怎樣證明面面垂直

第一篇：怎樣證明面面垂直

怎樣證明面面垂直

如果一平面經過另一平面的垂線，那麼這兩個平面垂直。(面面垂直判定定理)

為方便，下面#後的代表向量。

#cd=#bd-#bc,#ac=#bc-#ba,#ad=#bd-#ba.

對角線的點積：#ac·#bd=(#bc-#ba)·#bd=#bc·#bd-#ba·#bd

兩組對邊平方和分別為：

ab2+cd2=ab2+(#bd-#bc)2=ab2+bd2+bc2-2#bd·#bc

ad2+bc2=(#bd-#ba)2+bc2=bd2+ba2+bc2-2#bd·#ba

則ab2+cd2=ad2+bc2等價於#bd·#bc=#bd·#ba等價於#ac·#bd=0

所以原命題成立，空間四邊形對角線垂直的充要條件是兩組對邊的平方和相等

證明一個面上的一條線垂直另一個面;首先可以轉化成

一個平面的垂線在另一個平面內,即一條直線垂直於另一個平面

然後轉化成

一條直線垂直於另一個平面內的兩條相交直線

也可以運用兩個面的法向量互相垂直。

這是解析幾何的方法。

2

一、國中部分

1利用直角三角形中兩鋭角互餘證明

由直角三角形的定義與三角形的內角和定理可知直角三角形的兩個鋭角和等於90°，即直角三角形的兩個鋭角互餘。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等於這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經過平移後相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

如果一平面經過另一平面的垂線，那麼這兩個平面垂直。(面面垂直判定定理)

1向量法兩條直線的方向向量數量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直於該平面內的所有直線

一條直線垂直於三角形的兩邊，那麼它也垂直於另外一邊

4三垂線定理在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那麼它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內一條直線和平面的一條斜線垂直，那麼這條直線也垂直於這條斜線在平面內的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關係與垂直關係的證明。方法如下(難以建立座標系時再考慮)：

ⅰ.平行關係：

線線平行：1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質。4.面面平行的性質。5.垂直於同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行。

ⅱ.垂直關係：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那麼這條直線與平面內的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那麼另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那麼這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那麼這兩個平面垂直。

第二篇：如何證明面面垂直

如何證明面面垂直

設p是三角形abc所在平面外的一點，p到a,b,c三點的距離相等,角bac為直角，求證：平面pcb垂直平面abc

過p作pq⊥面abc於q，則q為p在面abc的投影，因為p到a，b，c的距離相等，所以有qa=qb=qc，即q為三角形abc的中心，因為角bac為直，所以q在線段bc上，所以在面pcb上有線段pq⊥平面abc，故平面pcb⊥平面abc

2

證明一個面上的一條線垂直另一個面;首先可以轉化成

一個平面的垂線在另一個平面內,即一條直線垂直於另一個平面

然後轉化成

一條直線垂直於另一個平面內的兩條相交直線

也可以運用兩個面的法向量互相垂直。

這是解析幾何的方法。

2

一、國中部分

1利用直角三角形中兩鋭角互餘證明

由直角三角形的定義與三角形的內角和定理可知直角三角形的兩個鋭角和等於90°，即直角三角形的兩個鋭角互餘。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等於這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經過平移後相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直於該平面內的所有直線

一條直線垂直於三角形的兩邊，那麼它也垂直於另外一邊

4三垂線定理在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那麼它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內一條直線和平面的一條斜線垂直，那麼這條直線也垂直於這條斜線在平面內的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關係與垂直關係的證明。方法如下(難以建立座標系時再考慮)：

ⅰ.平行關係：

線線平行：1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質。4.面面平行的性質。5.垂直於同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行。

ⅱ.垂直關係：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那麼這條直線與平面內的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內的任一直線垂直。2.一條直線與一(好 範文網)個平面內的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那麼另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那麼這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那麼這兩個平面垂直。

第三篇：面面垂直證明例題

數學面面垂直例題

例4答案：

例8答案：取ac的中點為o，連接op、ob。 ao=oc,pa=pc,故po垂直

ac

第四篇：怎樣證明面面平行

怎樣證明面面平行

線線平行→線面平行如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那麼這條直線和這個平面平行。

線面平行→線線平行如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線就和交線平行。

線面平行→面面平行如果一個平面內有兩條相交直線都平行於另一個平面，那麼這兩個平面平行。

面面平行→線線平行如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那麼它們的交線平行。

線線垂直→線面垂直如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線垂直，那麼這條直線垂直於這個平面。

線面垂直→線線平行如果連條直線同時垂直於一個平面，那麼這兩條直線平行。

線面垂直→面面垂直如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那麼這兩個平面互相垂直。

線面垂直→線線垂直線面垂直定義：如果一條直線a與一個平面α內的任意一條直線都垂直，我們就説直線a垂直於平面α。

面面垂直→線面垂直如果兩個平面互相垂直，那麼在一個平面內垂直於它們交線的直線垂直於另一個平面。

三垂線定理如果平面內的一條直線垂直於平面的血現在平面內的射影，則這條直線垂直於斜線。

2

證明：∵平面α∥平面β

∴平面α和平面β沒有公共點

又a在平面α上，b在平面β上

∴直線a、b沒有公共點

又∵α∩γ=a，β∩γ=b

∴a在平面γ上，b在平面γ上

∴a∥b.

3

用反證法

命題：已知α∥β，ab∈α,求證：ab∥β

證明:假設ab不平行於β

則ab交β於點p，點p∈β

又因為p∈ab，所以p∈α

α、β有公共點p，與命題α∥β不符，所以ab∥β。

4

【直線與平面平行的判定】

定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

【判斷直線與平面平行的方法】

(1)利用定義：證明直線與平面無公共點;

(2)利用判定定理：從直線與直線平行得到直線與平面平行;

(3)利用面面平行的性質：兩個平面平行，則一個平面內的直線必平行於另一個

5

用反證法

命題：已知α∥β，ab∈α,求證：ab∥β

證明:假設ab不平行於β

則ab交β於點p，點p∈β

又因為p∈ab，所以p∈α

α、β有公共點p，與命題α∥β不符，所以ab∥β。

第五篇：面面垂直

?過點p引三條長度相等但不共面的線段pa,pb,pc，且?apb??apc?60，

?bpc?90?，求證：平面abc?平面bpc．

bd，求二面角b?ac?d的正弦如圖，ab?平面bcd，bd?cd，若ab?bc?2

值。

a

b

如圖，已知ab是圓o的直徑，pa垂直於?o所在的平面，c是圓周上不同於a,b的任一點，求證：平面pac?平面pbc．ao b