怎麼證明垂直

第一篇：怎麼證明垂直

怎麼證明垂直

1、

利用勾股定理的逆定理證明

勾股定理的逆定理提供了用計算方法證明兩線垂直的方法，即證明三角形其中一個角等於，由於利用代數的方法，只要能計算出待證直角的對邊的平方和等於另兩邊的平方和即可。

2、

利用“三線合一”證明

要證二線垂直，若能證二線之一是等腰三角形的底邊，另一線是等腰三角形頂角的平分線或底邊上的中線，則二線互相垂直。

3、

利用直角三角形中兩鋭角互餘證明

由直角三角形的定義與三角形的內角和定理可知直角三角形的兩個鋭角和等於90°，即直角三角形的兩個鋭角互餘。

4、

圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等於這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。

5、

利用菱形的對角線互相垂直證明

菱形的對角線互相垂直。

6、

利用全等三角形證明

主要是找出兩線所成的角中有兩角是鄰補角,並且證明這兩角相等,於是就可知這兩角都為,從而直線垂直.

贊同

35

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1利用直角三角形中兩鋭角互餘證明

由直角三角形的定義與三角形的內角和定理可知直角三角形的兩個鋭角和等於90°，即直角三角形的兩個鋭角互餘。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等於這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經過平移後相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直於該平面內的所有直線

一條直線垂直於三角形的兩邊，那麼它也垂直於另外一邊

4三垂線定理在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那麼它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內一條直線和平面的一條斜線垂直，那麼這條直線也垂直於這條斜線在平面內的射影。

2高中立體幾何的證明主要是平行關係與垂直關係的證明。方法如下(難以建立座標系時再考慮)：

ⅰ.平行關係：

線線平行：1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質。4.面面平行的性質。5.垂直於同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行。

ⅱ.垂直關係：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，(更多精彩內容請訪問首頁)那麼這條直線與平面內的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那麼另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那麼這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那麼這兩個平面垂直

線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經過平移後相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直於該平面內的所有直線

一條直線垂直於三角形的兩邊，那麼它也垂直於另外一邊

4三垂線定理在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那麼它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內一條直線和平面的一條斜線垂直，那麼這條直線也垂直於這條斜線在平面內的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關係與垂直關係的證明。方法如下(難以建立座標系時再考慮)：

。

第二篇：證明垂直習題

線面、面面垂直的判定及性質

一、選擇題

1、已知兩個平面垂直，下列命題

①一個平面內已知直線必垂直於另一個平面內的任意一條直線． ②一個平面內的已知直線必垂直於另一個平面的無數條直線． ③一個平面內的任一條直線必垂直於另一個平面．

④過一個平面內任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直於另一個平面．

其中正確的個數是（） a．３ｂ．２ｃ．１

ｄ．０

2、已知直線l?平面?，有以下幾個判斷：①若m?l，則m//?；②若m??，則m//l；

③若m//?，則m?l；④若m//l，則m??．上述判斷中正確的是（）

ａ．①②③ｂ．②③④ｃ．①③④ｄ．①②④

3、直線a不垂直於平面?，則?內與a垂直的直線有（）

ａ．0條 ｂ．1條ｃ．無數條ｄ．?內所有直線

4、在空間四邊形abcd中，若ab?bc，ad?cd，e為對角線ac的中點，下列判斷正確的是（）

ａ．平面abd?平面bdcｂ．平面abc?平面abd ｃ．平面abc?平面adc

ｄ．平面abc?平面bed

二、填空題

1、已知直線a，b和平面?，且a?b，a??，則b與?的位置關係是．

2、?，?是兩個不同的平面，m，n是平面?及?之外的兩條不同的直線，給出四個論斷：

①m?n；②???；③n??；④m??．以其中三個論斷作為條件，餘下的一個論斷作

為結論，寫出你認為正確的一個命題．

3、設o為平行四邊形abcd對角線的交點，p為平面ac外一點且有pa?pc，pb?pd，則po與平面abcd的關係是．

第 1 頁（共 6 頁三、解答題

1、如圖所示，abcd為正方形，sa?平面abcd，過a且垂直於sc的平面分別交sb，sc，sd於e，f，g．

求證：ae?sb，ag?sd．

s

2、如圖所示，四稜錐p?abcd的底面是正方形，pa?底面abcd，ae?pd，ef//cd，am?ef．

求證：mf⊥ab，mf⊥pc

p

a

）第 1 頁（共 6 頁）

3、如圖，直角△abc所在平面外一點s，且sa?sb?sc，點d為斜邊ac的中點． （1）求證：sd?平面abc；

（2）若ab?bc，求證：bd?面sac．

4、如圖，在正方體abcd—a1b1c1d1中，ef⊥a1d，ef⊥ac，求證：ef∥bd1.

c1

ac

a

5、已知：如圖所示，平面??平面?，????l，在l上取線段ab?4，ac，

bd分別在平面?和平面?內，且ac?ab，db?ab，ac?3，bd?12，求cd長．

6、如圖，在四稜錐p?abcd中平面pad⊥平面abcd，ab?ad，?dab?60?，e，f分別是ap,ab的中點，

求證：（1）ef∥平面pcd，（2）平面bef⊥平面pad

7、如圖，四稜錐p?abcd中，底面abcd是矩形，m，n分別為pa，bc的中點，

pd?平面abcd，pd?ab?

2,cd?1

（1）求證：mn∥平面pcd （2）求證：mc?bd

8、如圖，已知ab?面acd，de?面acd，ac?ad，de?2ab，f為cd中點 （1）求證：af∥面bce （2）求證：面bce?

面cde

9、如圖，在四面體abcd中，cd?cb，ad?bd，e，f分別是ab,bd的中點， 求證：（1）ef∥面acd （2）面efc?

面bcd

a

10、如圖，在正方體abcd—a1b1c1d1中，e是dd1的中點， （1）求be和麪abb1a1所成角的正弦值

（2）在稜c1d1是否存在一點f，使得b1f∥面a1be？並證明你的結論

c1

ac

第三篇：利用全等證明垂直問題

利用全等證明垂直問題

1. 如圖，ad⊥bc於d，ad=bd，de=dc。 猜想並證明be和ac有何關係？

圖19

2.如圖：在△abc中，be、cf分別是ac、ab兩邊上的高，在be上截取bd=ac，在cf的延長線上截取cg=ab，連結ad、ag。 猜想 ad與ag的關係，並證明。a g

fe

b

c

作業：1.如圖，ad是△abc的角平分線，de⊥ab，df⊥ac，垂足分別為e、f，連接ef，ef與ad交於g，ad與eg垂直嗎？證明你的結論。（6分）

2.如圖, 已知: 等腰rt△oab中,∠aob=900, 等腰rt△eof中,∠eof=900, 連結ae、bf. 求證: (1) ae=bf;(2) ae⊥bf.

3.兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，b，c，e在同一條直線上，連結dc．（1）請找出圖2中的全等三角形，並給予證明（説明：結論中不得含有未標識的字母）；（2）證明：dc⊥be．

c

圖1

圖2

利用全等證明線段的相等以及和、差、倍、分問題

1.如圖，△abc中，ab=ac，d是ab上一個動點，df⊥bc於點f，交ca延長線於點e，

（1）試判斷ad、ae的大小關係，並説明理由；（2）當點d在ba的延長線上時，其他條件不變，（1）中的結論是否還成立？請説明理由。

f

備用圖

2.在△abc中，∠c=90°，ac=bc，過點c在△abc的外部作直線mn（如圖（1））， am⊥mn於m，bn⊥mn於n。（1）求證：mn=am+bn。（2）若將條件改為“過點c 在△abc內作直線mn”，其它條件不變，問結論（1）是否仍然成立？如不成立， 它們之間又滿足怎麼的關係，請畫出圖形並證明。

m

c

n

a

b

3.如圖23，△abc中，d是bc的中點，過d點的直線gf交ac於f，交ac的平行線bg於g點，de⊥df，交ab於點e，連結eg、ef.⑴求證：bg=cf ⑵請你判斷be+cf與ef的大小關係，並説明理由。

4.如圖,ad⊥bc,bd=dc,點c在ae的垂直平分線上,ab+bd與de的長度有什麼關係?

並加以證明。（10分）a

bdce5. 已知：三角形abc中，∠a＝90°，ab＝ac，d為bc的中點，（1）如圖，e，

f分為ab,ac上的點，且be＝af，求證：△def為等腰直角三角形．（2）若e，f分別為ab,ca延長線上的點，仍有be＝af，其他條件不變，那麼，△def是否仍為等腰直角三角形？證明你的結論．

4. 如圖在?afd和?ceb中，點a，e，f，c在同一條直線上

??d

有下面四個論斷：（1）ad =cb ， （2）ae =cf ， （3）?b

一道數學問題，並寫出解答過程.

利用全等證明角的相等以及和、差、倍、分問題

1.如圖22⑴，ab=cd，ad=bc，o為ac中點，過o點的直線分別與ad、bc相

交於點m、n，那麼∠1與∠2有什麼關係？請説明理由。

若過o點的直線旋轉至圖⑵、⑶的情況，其餘條件不變，那麼圖⑴中的∠1與∠2的關係成立嗎？請説明理由。

，

（4）ad //bc .請用其中三個作為條件，餘下一個作為結論，編

2．（2014年綿陽市）如圖，△abc中，e、f① ad平分∠bac，② de⊥ab，df⊥ac，

③ ad⊥ef．以此三個中的兩個為條件，另一個為結論，可構成三個命題，

即：

①② ? ③，①③ ? ②，②③ ? ①．

（1）試判斷上述三個命題是否正確（直接作答）； （2）請證明你認為正確的命題．

22．如圖，給出五個等量關係：①ad?bc ②ac?bd ③ce?de ④?d??c⑤?dab??cba．請你以其中兩個為條件，另三個中的一個為結論，推出一個

正確

的結論（只需寫出一種情況），並加以證明．

已知：

求證：證明：

22．如圖，給出五個等量關係：①ad?bc ②ac?bd ③c

e?de am④?d??c

17．本題9分，工人師傅要檢查人字樑的∠b和∠c是否相等，但他手邊沒有量角器，只有一個刻度尺．他是這樣操作的： ①分別在ba和ca上取be?cg； ②在bc上取bd?cf；

③量出de的長a米，fg的長b米．

如果a?b，則説明∠b和∠c是相等的．他的這種做法合理嗎？為什麼？ ⑤?dab??cba．請你以其中兩個為條件，另三個中的一個為結論， 推出一個正確的結論（只需寫出一種情況），並加以證明．8

分 o n b

已知： e

求證：

證明：

b

16．如圖9所示，△abc是等腰直角三角形，∠acb＝90°，ad是bc邊上的中線，過c作ad的垂線，交ab於點e，交ad於點f，求證：∠adc＝∠．

a b

22. 如圖,有一池塘,要測池塘兩端a、b的距離,可先在平地上取一個可以直接到達e

和b的點c,連結ac並延長到d,使cd=ca.連結bc並延長到e,使ec=cb,圖9

a

連結de,量出de的長,就是a、b的距離.寫出你的證明．

d

f

第四篇：證明垂直位置關係

第五課時學案垂直的證明方法

命題預測

從近幾年的大學聯考試題來看，線面垂直的判定與性質、面面垂直的判定與性質等是大學聯考的熱點,題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高．客觀題突出“小而巧”，主要考查垂直的判定及性質；主觀題考查較全面，在考查上述知識的同時，還注重考查空間想象、邏輯推理以及分析問題、解決問題的能力．

預測2014年大學聯考仍將以線面垂直、面面垂直為主要考查點，重點考查學生的空間想象以及邏輯推理能力．

考點1 直線與平面垂直的判定與性質

例1、（08天津）如圖，在四稜錐p?abcd中，底面abcd是矩形． 已知ab?3,ad?2,pa?2,pd?22,?pab?60?． （ⅰ）證明ad?平面pab；

（ⅱ）求異面直線pc與ad所成的角的大小； （ⅲ）求二面角p?bd?a的大小．

變式1：如圖，已知三稜錐a－bpc中,ap⊥pc,ac⊥bc，m為ab中點，d為pb中點，且△pmb為正三角形．求證：(1)md∥平面apc；(2)bc⊥平面apc.

變式2：（12全國理）如圖，四稜錐p-abcd中，底面abcd為菱形，pa⊥底面abcd，

ac=2pa=2，e是pc上的一點，pe=2ec.

（ⅰ）證明：pc⊥平面bed；

（ⅱ）設二面角a-pb-c為90°，求pd與平面pbc所成角的大小.

變式3：（06福建）如圖，四面體abcd中，o、e分別是bd、bc的中點

，

ca?cb?cd?bd?2,ab?ad?

（i）求證：ao?平面bcd；（ii）求異面直線ab與cd所成角的大小；（iii）求點e到平面acd的距離。

b

e

變式4：（11大綱理） 如圖，四稜錐s?abcd中， ab?cd,bc?cd，側面sab為等邊三角形，ab?bc?2,cd?sd?1．

（ⅰ）證明：sd?平面sab;（ⅱ）求ab與平面sbc所成角的大小．

例2、（08二）如圖，正四稜柱abcd?a1b1c1d1中，aa1?2ab?4，點e在cc1上

ac1

且c1e?3ec．（ⅰ）證明：a1c?平面bed；（ⅱ）求二面角a1?de?b的大小．ec

例3、（04湖北）在稜長為1的正方體abcd－a1b1c1d1中，e 是稜bc的中點，點f是稜cd上的動點。（1）試確定點f的位置，使得d1e⊥平面ab1f；

（2）當d1e⊥平面ab1f時，求二面角c1―ef―a的大小。

例4、（12北京理）如圖1，在rt△abc中，∠c=90°，bc=3，ac=6，d，e分別是ac，ab上的點，且de∥bc，de=2，將△ade沿de折起到△a1de的位置，使a1c⊥cd,如圖2. (i)求證：a1c⊥平面bcde；

(ii)若m是a1d的中點，求cm與平面a1be所成角的大小；

(iii)線段bc上是否存在點p，使平面a1dp與平面a1be垂直？説明理由

（ⅰ）證明：面pad⊥面pcd；

考點2 平面與平面垂直的判定與性質

例1、(2014〃大學聯考江蘇卷)如圖，在四稜錐p－abcd中，平面pad⊥平面abcd，ab＝ad， ∠bad＝60°，e，f分別是ap，ad的中點．求證：(1)直線ef∥平面pcd； (2)平面bef⊥平面pad

變式1：如圖，在直三稜柱:abc－a1b1c1中,aa1＝ab＝bc＝3，ac＝2，d是ac的中點． (1)求證：b1c∥平面a1bd；

(2)求證：平面a1bd⊥平面acc1a1； (3)求三稜錐a－a1bd的體積．

變式2：（08湖南）如圖，四稜錐p-abcd的底面abcd是邊長為1的菱形，∠bcd＝60°，e是cd的中點，pa⊥底面abcd，pa＝2.

（ⅰ）證明：平面pbe⊥平面pab;

（ⅱ）求平面pad和平面pbe所成二面角（鋭角）的大小.

變式3：（09北京）如圖，四稜錐p?abcd的底面是正方形，

pd?底面abcd，點e在稜pb上.

（ⅰ）求證：平面aec?平面pdb；

（ⅱ）當pd?

且e為pb的中點時，求ae與平面pdb所成

的角的大小.

變式4：（05）已知四稜錐p-abcd的底面為直角梯形，ab∥dc，?dab?90?

,pa?底面abcd，

且pa=ad=dc=

12

ab=1，m是pb的中點。

（ⅱ）求ac與pb所成的角；

（ⅲ）求面amc與面bmc所成二面角的大小。

例2、（12大學聯考江蘇）如圖，在直三稜柱abc?a1b1c1中，a1b1?a1c1，d，e分別是稜bc，cc1上的點（點d 不同於點c），且ad?de，f為b1c1的中點． 求證：（1）平面ade?平面bcc1b1；（2）直線a1f//平面ade．

變式：（11遼寧理） 如圖，四邊形abcd為正方形，pd⊥平面abcd，pd∥qa，qa=ab=2pd． （i）證明：平面pqc⊥平面dcq； （ii）求二面角q—bp—c的餘弦值．

例3、如圖，四稜錐p－abcd中,底面abcd是∠dab＝60°的菱形,側面pad為正三角形,其所在平面垂直於底面abcd.(1)求證：ad⊥pb； (2)若e為bc邊的中點，能否在稜pc上找到一點f，使平面def⊥平面abcd？並證明你的結論．

第五篇：高中立體幾何證明垂直的專題訓練

高中立體幾何證明垂直的專題訓練

深圳龍崗區東昇學校—— 羅虎勝

立體幾何中證明線面垂直或面面垂直都可轉化為 線線垂直，而證明線線垂直一般有以下的一些方法： （1） 通過“平移”。

（2） 利用等腰三角形底邊上的中線的性質。 （3） 利用勾股定理。

（4） 利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直徑所對的圓周角是直角，等等。

(1)通過“平移”,根據若a//b,且b?平面?,則a?平面?

1．在四稜錐p-abcd中，△pbc為正三角形，ab⊥平面pbc，ab∥cd，ab=

dc，2

e為pd中點.求證：ae⊥平面pdc.

分析：取pc的中點f，易證ae//bf，易證

bf⊥平面pdc

2．如圖，四稜錐p－abcdabcd，∠pda=45°，點e為稜ab的中點． 求證：平面pce⊥平面pcd；

分析：取pc的中點g，易證eg//af，又易證af於是eg⊥平面pcd,則平面pce⊥平面pcd

（第2題圖）

3、如圖所示，在四稜錐p?ab中，

a?b平面,pab//cd,pd?ad,e是pb的中點，f是cd上的點，且

df?

ab,ph為?pad中ad邊上的高。 2

（1）證明：ph?平面abcd；

（2

）若ph?1，ad?fc?1，求三稜錐e?bcf的體積； （3）證明：ef?平面pab.

分析：要證ef?平面pab，只要把fe平移到dg，也即是取ap的中點g，易證ef//gd, 易證dg⊥平面pab

4.如圖所示, 四稜錐p?abcd底面是直角梯形

ba?ad,cd?ad,cd?2ab,pa?底面abcd,

e為pc的中點, pa＝ad。 證明: be?平面pdc;

分析：取pd的中點f，易證af//be, 易證af⊥平面pdc

（2）利用等腰三角形底邊上的中線的性質

5、在三稜錐p?abc中，ac?bc?2， ?acb?90?，pc?ac．ap?bp?ab，（ⅰ）求證：pc?ab；

（ⅱ）求二面角b?ap?c的大小；

p

a

c

b

6、如圖，在三稜錐p?abc中，⊿pab是等邊三角形，∠pac=∠pbc=90 o 證明：ab⊥pc

因為?pab是等邊三角形，?pac??pbc?90?, 所以rt?pbc?rt?pac,可得ac?bc。 如圖，取ab中點d，連結pd,cd, 則pd?ab,cd?ab, 所以ab?平面pdc, 所以ab?pc。

（3）利用勾股定理

7、如圖，四稜錐p?abcd的底面是邊長為1

的正方形，pa?cd,pa?1,pd?求證:pa?平面abcd；

_ b

_ a

_d

_c

8、如圖1，在直角梯形abcd中，ab//cd，ab?ad，且ab?ad?

cd?1． 2

現以ad為一邊向形外作正方形adef，然後沿邊ad將正方形adef翻折，使平面

adef與平面abcd垂直，m為ed的中點，如圖2．（1）求證：am∥平面bec；

（2）求證：bc?平面bde；

e

m

e

c

f

mc

b

a

9、如圖，四面體abcd中，o、

e分別是bd、bc的中點，

ca?cb?cd?bd?2,ab?ad? （1）求證：ao?平面bcd；

（2）求異面直線ab與cd所成角的大小；

（1）證明：連結oc?bo?do,ab?ad,?ao?bd.

b

e

?bo?do,bc?cd,?

co?bd.

在?aoc中，由已知可得ao?1,co? 而ac?2,

?ao2?co2?ac2,??aoc?90o,即ao?oc.

?bd?oc?o, ?ao?平面bcd

,bc?cd，側面sab為等邊三角形，

10、如圖，四稜錐s?abcd中，ab?bc

ab?bc?2,cd?sd?1．

（ⅰ）證明：sd?平面sab;

（ⅱ）求ab與平面sbc所成角的大小．

解法一：

（i）取ab中點e，連結de，則四邊形

bcde為

矩形，de=cb=2，連結se，則se?ab,se?又sd=1，故ed?se?sd，所以?dse為直角。

由ab?de,ab?se,de?se?e，得ab?平面sde，所以ab?sd。sd與兩條相交直線ab、se都垂直。

所以sd?平面sab。

（4）利用三角形全等或三角行相似

11．正方體abcd—a1b1c1d1中o為正方形abcd的中心，m為bb1的中點， 求證：d1o⊥平面mac.

分析：法一：取ab的中點e，連a1e,oe,易證△abm≌a1ae, 於是am⊥a1e,又∵oe⊥平面abb1a1∴oe⊥am, ∴am⊥平面oea1d1∴am⊥d1o

法二：連om,易證△d1do∽obm,於是d1o⊥om

12．如圖，正三稜柱abc—a1b1c1的所有稜長都為2， d為cc1中點. 求證：ab1⊥平面a1bd；

分析： 取bc的中點e，連ae,b1e,易證△dcb≌△ebb1，

從而bd⊥eb1

13、.如圖，已知正四稜柱abcd—a1b1c1d1中， 過點b作b1c的垂線交側稜cc1於點e，交b1c於點f， 求證：a1c⊥平面bde；

（5）利用直徑所對的圓周角是直角

ab是圓o的直徑，c是圓周上一點，pa⊥平面abc. ）求證：平面pac⊥平面pbc；

（2）若d也是圓周上一點，且與c分居直徑ab的兩側，試寫出圖中所有互

相垂直的各對平面.

p

a

15、如圖，在圓錐po中，已知poo的直徑ab?2,c是狐ab的中點，d為

ac的中點．證明：平面pod?平面pac;

16、如圖，在四稜錐p?abcd中，底面abcd是矩形，pa?平面abcd．以bd的中點o為球心、bd為直徑的球面交pd於點m．

求證：平面abm⊥平面pcd； ．

證：依題設，ｍ在以ｂｄ為直徑的球面上，則ｂｍ⊥ｐｄ. 因為ｐａ⊥平面ａｂｃｄ，則ｐａ⊥ａｂ，又ａｂ⊥ａｄ， 所以ａｂ⊥平面ｐａｄ，則ａｂ⊥ｐｄ，因此有ｐｄ⊥平面ａｂｍ，所以平面ａｂｍ⊥平面ｐｃｄ.

b

6