七年級下冊幾何證明題（新版多篇）

淺談國中幾何證明題教學 篇一

淺談國中幾何證明題教學

學習幾何對培養學生邏輯思維及邏輯推理能力有着特殊的作用。對於眾多的幾何證明題，幫助學生尋找證題方法和探求規律，對培養學生的證題推理能力，往往能夠收到較好的效果，這對學生證明中克服無從下手，胡思亂想，提高解題的正確性和速度，達到熟練技巧是有積極作用的。在幾何證明題教學中，我是從以下幾方面進行的：

一、培養學生學會劃分幾何命題中的“題設”和“結論”。

1、每一個命題都是由題設和結論兩部分組成的，要求學生從命題的結構特徵進行劃分，掌握重要的相關聯詞句。例：“如果？?，那麼？?。”“若？?，則？?”等等。用“如果”或“若”開始的部分就是題設。用“那麼”或“則”開始的部分就是結論。有的命題的題設和結論是比較明顯的。例：如果一個三角形有兩個角相等（題設），那麼這兩個角所對的邊相等（結論）。但有的命題，它的題設和結論不十分明顯，對於這樣的命題，可要求學生將它改寫成“如果？?，那麼？?”的形式。例如：“對頂角相等”可改寫成：“如果兩個角是對頂角（題設），那麼這兩個角相等（結論）”。

以上對命題的“題設”和“結論”劃分只是一種形式上的記憶，不能從本質上解決學生劃分命題的“題設”、“結論”的實質問題，例如：“等腰三角形兩腰上的高相等”學生會認為這個命題較難劃分題設和結論，認為只有題設部分，沒有結論部分，或者因為找不到“如果？?，那麼？?”的詞句，或者不會寫成“如果？?，那麼？?”等的形式而無法劃分命題的題設和結論。

2、正確劃分命題的“題設”和“結論”，必須使學生理解每個數學命題都是一個完整無缺的句子，是對數學的一定內容和一定本質屬性的判斷。而每一個命題都是由題設和結論兩部分組成的，是判斷一件事情的語句。在一個命題中被判斷的“對象”是命題的“題設”，也就是“已知”。判斷出來的“結果”就是命題的“結論”，也就是“求證”。總之，正確劃分命題的“題設”和“結論”，就是要分清什麼是命題中被判斷的“對象”，什麼是命題中被判斷出來的“結果”。

在教學中，要在不斷的訓練中加深學生對數學命題的理解。

二、培養學生將文字敍述的命題改寫成數學式子，並畫出圖形。

1、按命題題意畫出相應的幾何圖形，並標註字母。

2、根據命題的題意結合相應的幾何圖形，把命題中每一個確切的數學概念用它的定義，數學符合或數學式子表示出來。命題中的題設部分即被判斷的“對象”寫在“已知”一項中，結論部分即判斷出來的“結果”寫在“求證”一項中。

例：求證：鄰補角的平分線互相垂直。

已知：如圖∠aoc+∠boc=180°

oe、of分別是∠aoc、∠boc的平分線。

求證：oe⊥of

三、培養學生學會推理證明：

1、幾何證明的意義和要求

對於幾何命題的證明，就是需要作出一判斷，這個判斷不是僅靠觀察和猜想，或反通過實驗和測量感性的判斷，而必須是經過一系列的嚴密的邏輯推理和論證作出的理性判斷。推理論證的過程要符合客觀實際，論證要有充分的根據，不能憑主觀想象。證明中的每一點推理論證的根據就是命題中給出的題設和已證事項，定義、公理和定理。換言之，幾何命題的證明，就是要把給出的結論，用充分的根據，嚴密的邏輯推理加以證明。

2、加強分析訓練、培養邏輯推理能力

由於命題的類型各異，要培養學生分析與綜合的邏輯推理能力，特別要重視問題的分析，執果索因、進而證明，這裏培養邏輯思維能力的好途徑，也是教學的重點和關鍵。在證明的過程中要培養學生：在證明開始時，首先對命題竹：分析、推理，並在草稿紙上把分析的過程寫出來。國中幾何證題常用的分析方法有：

①順推法：即由條件至目標的定向思考方法。在探究解題途徑時，我們從已知條件出發進行推理。順次逐步推向目標，直到達到目標的思考過程。

如：試證：平行四邊形的對角線互相平分。

已知：◇abcd，o是對角線ac和bd的交點。

求證：ca=oc、ob=od

分析：

證明：∵四邊形abcd是◇

∴ ab∥cdab=dc

∴ ∠1=∠4∠2=∠3

在△abo和△cdo中

∴ △abo≌△cdo（asa）

∴ oa=ocob=od

②倒推法：即由目標至條件的定向思考方法。在探究證題途徑時，我們不是從已知條件着手，而是從求證的目標着手進行分析推理，並推究由什麼條件可獲得這樣的結果，然後再把這些條件作結果，繼續推究由什麼條件，可以獲得這樣的結果，直至推究的條件與已知條件相合為止。

如：在△abc中，ef⊥abcd⊥abg在ac上且∠1=∠2，求證：∠agd=∠acb

分析：

要證∠agd=∠acb就要證dg∥bc，就要證：∠1=∠3。要證∠1=∠3，就要證：∠2=∠3證明：△在abc中

③倒推———順推法：就是先從倒推入手，把目探究到一定程度，再回到條件着手順推，如果兩個方向匯合了，問題的條件與目標的聯繫就清楚了，與此同時解題途徑就明確了。

3、學會分析

在幾何證明的教學過程中，要注意培養學生添輔助線的能力，要注意培養學生的創新思維能力和處理問題的機智能力；要使學生認識到在幾何證明題中，輔助線引導適當，可使較難的證明題轉為較易證明題。但輔助線不能亂引，而且有一定目的，在一定的分析基礎上進行的。因此怎樣引輔助線是依據命題的分析而確定的。

例：如圖兩個正方形abcd和oefg的邊長都是a，其中點o交abcd的中心，og、oe分別交cd、bc於h、k。

分析：四邊形okch不是特殊的四邊形，直接計算其面積比較困難，連 oc把它分別割成兩部分，考慮到abcd為正方形，把△ock繞點o按順時針方向旋轉90°到△odh，易證△ock≌△odh∴s△odh

∴sokch=s△och［下轉50頁］

［上接49頁］=s△odh+s△dch=s△ocd

四、培養學生證題時養成規範的書寫習慣

用填充形式訓練學生證題的書寫格式和邏輯推理過程。讓學生也實踐也學習證題的書寫格式，使書寫規範，推理有根據。經過一段時間的訓練後，一轉入學生獨立書寫，這樣，證題的推理過程及書寫都比較規範。

如：已知ab∥ef ∠1+∠2=180°求證：cd∥ef

證：∵∠1+∠2=180°()

綜上可得：對於國中幾何證題，教師要反覆強調這樣一個模式：要什麼———有什麼———缺什麼———補什麼。按照上述模式，反覆訓練，學生是能夠逐步熟悉幾何證題的格式，掌握國中幾何證題的正確方法。

七年級幾何證明題 篇二

七年級幾何證明題

一、

1)d是三角形abc的bc邊上的點且cd=ab，角adb=角bad，ae是三角形abd的中線，求證ac=2ae。

ce垂直ab於e，交bd於o，過o作fg平行ab，交bc於f，交ac於g。求證cd=ga。

延長ae至f，使ae=ef。be=ed，對頂角。證明abe全等於def。=》ab=df，角b=角edf角adb=角bad=》ab=bd，cd=ab=》cd=df。角ade=bad+b=adb+edf。ad=ad=》三角形adf全等於adc=》ac=af=2ae。

題幹中可能有筆誤地方：第一題右邊的e點應為c點，第二題求證的cd不可能等於ga，是否是求證cd=fa或cd=co。如上猜測準確，證法如下：第一題證明:設f是ab邊上中點，連接ef角adb=角bad，則三角形abd為等腰三角形，ab=bd;∵ae是三角形abd的中線，f是ab邊上中點。∴ef為三角形abd對應da邊的中位線，ef∥da，則∠fed=∠adc，且ef=1/2da。∵∠fed=∠adc,且ef=1/2da，af=1/2ab=1/2cd∴△afe∽△cda∴ae:ca=fe:da=af:cd=1:2ac=2ae得證第二題：證明:過d點作dh⊥ab交ab於h，連接oh，則∠dhb=90°；∵∠acb=90°=∠dhb，且bd是角b的平分線，則∠dbc=∠dbh，直角△dbc與直角△dbh有公共邊db;∴△dbc≌△dbh，得∠cdb=∠hdb，cd=hd;∵dh⊥ab，ce⊥ab;∴dh∥ce，得∠hdb=∠cod=∠cdb，△cdo為等腰三角形，cd=co=dh;四邊形cdho中co與dh兩邊平行且相等，則四邊形cdho為平行四邊形，ho∥cd且ho=cd∵gf∥ab，四邊形ahof中，ah∥of，ho∥af，則四邊形ahof為平行四邊形，ho=fa∴cd=fa得證

有很多題

1、已知在三角形abc中，be,cf分別是角平分線，d是ef中點，若d到三角形三邊bc,ab,ac的距離分別為x,y,z，求證：x=y+z

證明；過e點分別作ab,bc上的高交ab,bc於m,n點。

過f點分別作ac,bc上的高交於p,q點。

根據角平分線上的點到角的2邊距離相等可以知道fq=fp,em=en.

過d點做bc上的高交bc於o點。

過d點作ab上的高交ab於h點，過d點作ab上的高交ac於j點。

則x=do,y=hy,z=dj.

因為d是中點，角ane=角ahd=90度。所以hd平行me，me=2hd

同理可證fp=2dj。

又因為fq=fp,em=en.

fq=2dj，en=2hd。

又因為角fqc，doc，enc都是90度，所以四邊形fqne是直角梯形，而d是中點，所以2do=fq+en

又因為

fq=2dj，en=2hd。所以do=hd+jd。

因為x=do,y=hy,z=dj.所以x=y+z。

2、在正五邊形abcde中，m、n分別是de、ea上的點，bm與cn相交於點o，若∠bon=108°，請問結論bm=cn是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請説明理由。

當∠bon=108°時。bm=cn還成立

證明；如圖5連結bd、ce.

在△bci)和△cde中

∵bc=cd,∠bcd=∠cde=108°，cd=de

∴δbcd≌δcde

∴bd=ce,∠bdc=∠ced,∠dbc=∠cen

∵∠cde=∠dec=108°，∴∠bdm=∠cen

∵∠obc+∠ecd=108°，∠ocb+∠ocd=108°

∴∠mbc=∠ncd

又∵∠dbc=∠ecd=36°，∴∠dbm=∠ecn

∴δbdm≌δcne∴bm=cn

3、三角形abc中，ab=ac,角a=58°，ab的垂直平分線交ac與n，則角nbc=()

3°

因為ab=ac，∠a=58°，所以∠b=61°，∠c=61°。

因為ab的垂直平分線交ac於n，設交ab於點d，一個角相等，兩個邊相等。所以，rt△adn全等於rt△bdn

所以∠nbd=58°，所以∠nbc=61°-58°=3°

4、在正方形abcd中，p，q分別為bc，cd邊上的點。且角paq=45°，求證：pq=pb+dq

延長cb到m，使bm=dq，連接ma

∵mb=dqab=ad∠abm=∠d=rt∠

∴三角形amb≌三角形aqd

∴am=aq∠mab=∠daq

∴∠map=∠mab+∠pab=45度=∠paq

∵∠map=∠paq

am=aqap為公共邊

∴三角形amp≌三角形aqp

∴mp=pq

∴mb+pb=pq

∴pq=pb+dq

5、正方形abcd中，點m,n分別在ab,bc上，且bm=bn,bp⊥mc於點p,求證dp⊥np

∵直角△bmp∽△cbp

∴pb/pc=mb/bc

∵mb=bn

正方形bc=dc

∴pb/pc=bn/cd

∵∠pbc=∠pcd

∴△pbn∽△pcd

∴∠bpn=∠cpd

∵bp⊥mc

∴∠bpn+∠npc=90°

∴∠cpd+∠npc=90°

∴dp⊥np。

幾何證明題(提升題 篇三

如圖5，已知四邊形abcd，ab∥dc，點f在ab的延長線上， 連結df交bc於e且s△dce＝s△fbe ．（1）求證：△dce≌△fbe；

（2）若be是△adf的中位線，且be＋fb＝6釐米，求dc＋ad＋ab的長．

ca

圖5

b

f

已知e為平行四邊形abcd中dc邊的延長線的一點，且ce＝dc，連接ae，分別交bc、bd於點f、g，連接ac交bd於o，連接of， 求證：ab＝2of.

a

o

d

g

當代數式x+3x+5的值為7時，代數式3x+9x－2的值是_________．

2

2

b

fe

24如圖所示，△abc中，∠bca=90°，d、e分別是ac、ab的中點，f在bc的延長線上， ∠cdf=∠a，求證：四邊形decf是平行四邊形

f c

e

b

d c

e

（第24題）

a

25如圖，在△abc中，？acb?90，cd⊥ab於d， ae評分∠bac交cd於f， eg⊥ab 於g.求證：四邊形cegf是菱形。

（第25題）

24、閲讀下面的題目及分析過程，並按要求進行證明．

已知：如圖，e是bc的中點，點a在de上，且∠bae=∠cde．求證：ab=cd

分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等．因此，要證ab=cd，必須添加適當的輔助線，構造全等三角形或等腰三角形．現給出如下三種添加輔助線的方法，請任意選擇其中一種，對原題進行證明．

25、如圖1，點c為線段ab上一點，△acm， △cbn是等邊三角形，直線an、mc交於點e, 直線bm、nc交於點f。 (1)求證：an=bm；

（2）求證： △cef為等邊三角形；

（3）將△acm繞點c按逆時針方向旋轉900，其他條件不變，在圖2中補出符合要求的圖形，並判斷第（1）、（2）兩小題的結論是否仍然成立（不要求證明）。

七、24.選擇第（1）種。證明：延長de到點f,使ef=de；∵點e是bc中點；∴be=ce；又∵∠bef=∠ced （對頂角相等）；∴△bef≌△ced(sas)；∴bf=cd，∠ f=∠cde；又∵∠bae=∠cde；∴∠bae=∠f；∴bf=ab；∴ab=cd。 八、25.（1）證明：∵△acm、△cbn是等邊三角形；∴ac=mc,bc=nc, ∠acm=60°，∠bcn=60°；∴∠mcn=180°-60°-60°=60°；∴∠acn=∠acm +∠mcn =60°+60°=120°， ∠bcm=∠bcn +∠mcn =60°+60°=120°；∴∠acn=∠bcm；∴△acn≌△mcb(sas)；∴an=bm.

（2） 證明：∵△acn≌△mcb；∴∠anc=∠mbc；又∵∠mcn=∠bcn=60°， bc=nc；∴△ecn≌△fcb(aas)；∴ec=fc；又∵∠mcn=60°；∴△cef為等邊三角形。 （3）補全圖形如下：

第（1）小題的結論還成立，但第（2）小題的結論不成立。

24．（本小題10分）閲讀探索：“任意給定一個矩形a，是否存在另一個矩形b，它的周長和麪積分別是已知矩形周長和麪積的一半？”（完成下列空格） （1）當已知矩形a的邊長分別為6和1時，小亮同學是這樣研究的：

7?

？x?y?

設所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意得方程組：？2

？xy?3?

，

消去y化簡得：2x2?7x?6?0，

∵△＝49－48>0，∴x1，x2 ． ∴滿足要求的矩形b存在．

（2）如果已知矩形a的邊長分別為2和1，請你仿照小亮的方法研究是否存在滿足要求的矩形b．

（3）如果矩形a的邊長為m和n，請你研究滿足什麼條件時，矩形b存在？

25、已知菱形abcd的周長為20cm；，對角線ac + bd =14cm，求ac、bd的長； 26如圖，在⊿abc中，∠bac =90?，ad⊥bc於d，ce平分∠acb，交ad於g，交ab於e，ef⊥bc於f，求證：四邊形aefg是菱形； a

c

e

gd

f

b

27、如圖，正方形abcd中，過d做de∥ac，∠ace =30?，ce交ad於點f，求證：ae = af；ab

cdf已知：正方形abcd，e為bc延長線上一點，ae交bd於f，交dc於g，m為ge中點，求證：cf⊥cm

ad

m

bc

e

2、如圖，ad是△abc的角平分線，ad的中垂線分別交ab、bc的延長線於點f、e求證：(1) ∠ead=∠eda；(2) df∥ac；(3) ∠eac=∠b.

3、如圖，△abc中，∠acb=90°，d為ab中點，四邊形bced為平行四邊形。，de、ac相交於點f.求證：（1）點f為ac中點；

（2）試確定四邊形adce的形狀，並説明理由；

（3）若四邊形adce為正方形，△abc應添加什麼條件，並證明你的結論

b d c e

e

bc

4、如圖，在△abc中，∠acb＝90°，bc的垂直平分線de交bc於d，交ab於e，f在de上，並且af＝ce。

（1）求證：四邊形acef是平行四邊形；

（2）當∠b的大小滿足什麼條件時，四邊形acef是菱形？請回答並證明你的結論；

（3）四邊形acef有可能是正方形嗎？為什麼？

f

e

b

d

ac

d

ac

b用關係式．如圖，等腰梯形abcd中，ad∥bc，∠dbc=45o。翻摺梯形abcd，使點b重合於點d，摺痕分別交邊ab、bc於點f、30e。若ad=2，bc=8， 求：（1）be的長。（2）cd：de的值。

四、讀句畫圖，並證明

22．已知點e是正方形abcd的邊cd上一點，點f是cb的延長線上一點，且ea⊥af。

求證：de=bf。

23．已知在⊿abc中，∠bac=90o，延長ba到點d，使ad=

12

ab，點e、f分別為邊bc、

ac的中點。（1）求證：df=be。（2）過點a作ag∥bc，交df於點g，求證：ag=dg。

五、論證題

24．如圖，在等腰直角⊿abc中，o是斜邊ac的中點，p是斜邊ac

a

o

e

b

d

c

上的一個動點，d為bc上的一點，且pb=pd，de⊥ac，垂足為e。（1） 試論證pe與bo的位置關係和大小關係。

（2） 設ac=2a ， ap=x ， 四邊形pbde的面積為y ， 試寫出y與x

之間的函數關係式，並寫出自變量x的取值範圍。

25．如圖，梯形abcd，ab∥cd，ad=dc=cb，ae、bc的延長線相交於點g，ce⊥ag於e，

cf⊥ab於f。

（1） 請寫出圖中4組相等的線段（已知的相等線段除外）。

（2） 選擇（1）中你所寫出的一組相等線段，説明它們相等的理由。

六、觀察——度量——證明

26．用兩個全等的等邊三角形⊿abc、⊿acd拼成菱形abcd。把一個含60o角的三角尺

與這個菱形疊合，使三角尺的60o角的頂點與點a重合，兩邊分別與ab、ac重合。將三角尺繞點a按逆時針方向旋轉。

（1） 當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊bc、cd相交於點e、f時（如圖1），通過觀察或測量be、cf的長度，你能得出什麼結論？並證明你的結論。 （2） 當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊bc、cd的延長線相交於點e、f時（如圖2），

你在（1）中得到的結論還成立嗎？簡要説明理由。

b

ec

b

ce圖2

ed

c

a

f

b

d

a

圖1

會考數學幾何證明題 篇四

會考幾何證明題

一、證明兩線段相等1、真題再現

18．如圖3，在梯形abcd中，ad∥bc，ea⊥ad，m是ae上一點，

2．如圖，在△abc中，點p是邊ac上的一個動點，過點p作直線mn∥bc，設mn交

∠bca的平分線於點e，交∠bca的外角平分線於點f． (1)求證：pe＝pf；

（2）*當點p在邊ac上運動時，四邊形bcfe可能是菱形嗎？説明理由；

ap 3

（3）*若在ac邊上存在點p，使四邊形aecf是正方形，且．求此時∠a

bc2

的大小．

c

二、證明兩角相等、三角形相似及全等 1、真題再現

∠bae?∠mce，∠mbe?45．

（1）求證：be?me． （2）若ab?7，求mc的長．

b

n

e

圖3

21、（8分）如圖11，一張矩形紙片abcd，其中ad=8cm，ab=6cm，先沿對角線bd摺疊，點c落在點c′的位置，bc′交ad於點g. （1）求證：ag=c′g；

（2）如圖12，再摺疊一次，使點d與點a重合，的摺痕en，en角ad於m，求em的長。

2、類題演練

1、如圖，分別以rt△abc的直角邊ac及斜邊ab向外作等邊△acd、等邊△abe．已知∠bac=30o，ef⊥ab，垂足為f，連結df． e （1）試説明ac=ef；

（2）求證：四邊形adfe是平行四邊形．

22、（9分）ab是⊙o的直徑，點e是半圓上一動點（點e與點a、b都不重合），

點c是be延長線上的一點，且cd⊥ab，垂足為d，cd與ae交於點h，點h與點a不重合。

（1）（5分）求證：△ahd∽△cbd

（2）（4分）連hb，若cd=ab=2，求hd+ho的值。

a

o d

b

e 20．如圖9，四邊形abcd是正方形，be⊥bf，be=bf，ef與bc交於點g。 （1）求證：△abe≌△cbf；（4分）

（2）若∠abe=50o，求∠egc的大小。（4分）

c

b

圖9

第20題圖

如圖8，△aob和△cod均為等腰直角三角形，∠aob＝∠cod＝90o，d在ab上． （1）求證：△aoc≌△bod；（4分） （2）若ad＝1，bd＝2，求cd的長．（3分）

o

圖8 2、類題演練

1、（肇慶2014） （8分）如圖，已知∠acb＝90°，ac＝bc，be⊥ce於e，ad⊥ce於d，

ce與ab相交於f． (1)求證：△ceb≌△adc； e (2)若ad＝9cm，de＝6cm，求be及ef的長．

ac

bc、cd、da上的2、（佛山2014）已知，在平行四邊形abcd中，efgh分別是ab、

點，且ae=cg，bf=dh，求證：？aeh≌？cgf

b f

c

3、（茂名2014）如圖，已知oa⊥ob，oa＝4，ob＝3，以ab為邊作矩形c abcd，使

ad＝a，過點d作de垂直oa的延長線交於點e． (1)證明：△oab∽△eda； bd (2)當a為何值時，△oab≌△eda？*請説明理由，並求此時點 c到oe的距離． o a e

圖1

三、證明兩直線平行 1、真題再現

（2014年）22．（10分）如圖10-1，在平面直角座標系xoy中，點m在x軸的正半軸上， ⊙m交x軸於 a、b兩點，交y軸於c、d兩點，且c為ae的中點，ae交y軸於g點，若點a的座標為（－2，0），ae?8 （1)(3分）求點c的座標。

（2)(3分）連結mg、bc，求證：mg∥bc

圖10－1

2、類題演練

1、（湛江2014） （10分）如圖，在□abcd中，點e、f是對角線bd上的兩點，且be＝df．

d

求證：(1)△abe≌△cdf；(2)ae∥cf．c

四、證明兩直線互相垂直 1、真題再現

18．（７分）如圖7，在梯形abcd中，ad∥bc, ab?dc?ad，

？adc?120．

（1）（３分）求證：bd?dc

b

c

bd （2）（４分）若ab?4，求梯形abcd的面積

圖7

o a

e 圖2

2、類題演練

1．已知：如圖，在△abc中，d是ab邊上一點，⊙o過d、b、c三點，？doc?2?acd?90?．

（1）求證：直線ac是⊙o的切線；

（2）如果？acb?75?，⊙o的半徑為2，求bd的長．

2、如圖，以△abc的一邊ab為直徑作⊙o，⊙o與bc邊的交點d恰好為bc的中點。過點d作⊙o的切線交ac邊於點e.

（1）求證：de⊥ac；

（2）若∠abc=30°，求tan∠bco的值。（第2題圖） 3．（2014年深圳二模） 如圖所示，矩形abcd中，點e在cb的延長線上，使ce＝ac，連結ae，點f是ae的中點，連結bf、df，求證：bf⊥

df

cd於f，若⊙o的半徑為r求證：ae·af＝2 r

2、類題演練

1．在△abc中，ac＝bc，∠acb＝90°，d、e是直線ab上兩點．∠dce＝45° （１）當ce⊥ab時，點d與點a重合，顯然de＝ad＋be（不必證明） （２）如圖，當點d不與點a重合時，求證：de＝ad＋be

（３）當點d在ba的延長線上時，（２）中的結論是否成立？畫出圖形，説明理由．

2、（本小題滿分10分）

如圖，已知△abc，∠acb=90o，ac=bc，點e、f在ab上，∠ecf=45o，（1）求證：△acf∽△bec（5分）

（2）設△abc的面積為s，求證：af·be=2s（3）

3、（2）如圖，ab為⊙o的直徑，bc切⊙o於b，ac交⊙o於d.

①求證：ab=ad·ac. a ②當點d運動到半圓ab什麼位置時，△abc為等腰直角三角形，為什麼？

五、證明比例式或等積式 1、真題再現

1．已知⊙o的直徑ab、cd互相垂直，弦ae交

第3題圖

b

第3（2）題圖

c

4、（本小題滿分9分）

如圖，ab為⊙o的直徑，劣弧bc?be，bd∥ce，連接ae並延長交bd於d．

求證：（1）bd是⊙o的切線；

2、類題演練

1、如圖5，在等腰梯形abcd中，ad∥bc．

求證：∠a＋∠c＝180°

·ad． （2）ab?ac

b

第4題圖

？?

5、如圖所示，⊙o中，弦ac、bd交於e，bd?2ab。

2ab?ae·ac；（1）求證：

，2、如圖，在rt△abc中，？c?90°點e在斜邊ab上，

以ae為直徑的⊙o與bc相切於點d. （1）求證：ad平分？bac. （2）若ac?3，ae?4.

①求ad的值；②求圖中陰影部分的面積。

3、如圖，ab是⊙o的直徑，點c在ba的延長線上，直

線cd與⊙o相切於點d，弦df⊥ab於點e，線段cd?10，連接bd.

（1）求證：？cde?2?b；

（2）若bd:ab?2，求⊙o的半徑及df的長。

七、證明線段的和、差、倍、分 1、真題再現

22、（9分）ab是⊙o的直徑，點e是半圓上一動點（點e與點a、b都不重合），

點c是be延長線上的一點，且cd⊥ab，垂足為d，cd與ae交於點h，點h與

（2）延長eb到f，使ef=cf，試判斷cf與⊙o的位置關係，並説明理由。

六、證明角的和、差、倍、分 1、真題再現

21．（本題8分）如圖10，ab是⊙o的直徑，ab=10， dc切⊙o於點c，ad⊥dc，垂足為d，ad交⊙o於點e。 （1）求證：ac平分∠bad；（4分） 3

（2）若sin∠bec=，求dc的長。（4分）

第3題圖

點a不重合。

（1）（5分）求證：△ahd∽△cbd

（2）（4分）連hb，若cd=ab=2，求hd+ho的值。

圖10

c

2、類題演練

1．（1）如圖1，已知矩形abcd中，點e是bc上的一動點，過點e作ef⊥bd於點

f，eg⊥ac於點g，ch⊥bd於點h，試證明ch=ef+eg;

圖1

d

g

圖3

（2） 若點e在ｂｃ的延長線上，如圖2，過點e作ef⊥bd於點f，eg⊥ac的延長線於點g，ch⊥bd於點h， 則ef、eg、ｃh三者之間具有怎樣的數量關係，直接寫出你的猜想；

（3） 如圖3，bd是正方形abcd的對角線，l在bd上，且bl=bc, 連結cl，點e是

cl上任一點， ef⊥bd於點f，eg⊥bc於點g，猜想ef、eg、bd之間具有怎樣的數量關係，直接寫出你的猜想；(4) 觀察圖1、圖2、圖3的特性，請你根據這一特性構造一個圖形，使它仍然

具有ef、eg、ｃh這樣的線段，並滿足（1）或（2）的結論，寫出相關題設的條件和結論。 2. 設點e是平行四邊形abcd的邊ab的中點，f是bc邊上一點，線段de和af相交於點p，點q在線段de上，且aq∥pc． (1)證明：pc＝2aq．

（2）當點f為bc的中點時，試比較△pfc和梯形apcq

面積的大小關係，並對你的結論加以證明．

八、其他 1、真題再現

如圖5，在梯形abcd中，ab∥dc， db平分∠adc，過點a作ae∥bd，交cd的

延長線於點e，且∠c＝2∠e． ab（1）求證：梯形abcd是等腰梯形．

（2）若∠bdc＝30°，ad＝5，求cd的長． d dc2、類題演練 圖 5

1．（肇慶2014）如圖，四邊形abcd是平行四邊形，ac、bd交於點o，∠1＝∠2．

（1）求證：四邊形abcd是矩形；

（2）若∠boc＝120°，ab＝4cm，求四邊形abcddc

2、。如圖（2），ab是⊙o的直徑，d是圓上一點，ad＝dc，連結ac，過點d作弦ac的平行線mn.

（1）求證：mn是⊙o的切線； （2）已知ab?10，ad?6，求弦bc的長。圖（2）

3、如圖，四邊形abcd是平行四邊形，以ab為直徑的⊙o經過點d，e是⊙o上

．一點，且？aed?45°

（1）試判斷cd與⊙o的位置關係，並説明理由；

（2）若⊙o的半徑為3cm，ae?5cm，求？ade的正弦值。

（第3題）

廣西南寧歷年會考數學簡單幾何證明題 篇五

2014年

23．將圖8（1）中的矩形abcd沿對角線ac剪開，再把△abc沿着ad方向平移，得到圖8（2）中的△a?bc?，除△adc與△c?ba?全等外，你還可以指出哪幾對全等的三．．．角形（不能添加輔助線和字母）？請選擇其中一對加以證明．

b c

圖8（2）

？

2014年

21．如圖10，在△abc中，點d，e分別是ab，ac邊的中點，若把△ade繞着點e順時針旋轉180°得到△cfe．

（1）請指出圖中哪些線段與線段cf相等；

（2）試判斷四邊形dbcf是怎樣的四邊形？證明你的結論．

bf圖10

2014年

21．如圖8，在△abc中，d是bc的中點，de?ab，df?ac，垂足分別是e，f，be?cf．

（1）圖中有幾對全等的三角形？請一一列出； （2）選擇一對你認為全等的三角形進行證明．

（注意：在試題捲上作答無效） ．．．．．．．．．

e d 圖8 c

2014年

23．如圖11，pa、pb是半徑為1的⊙o的兩條切線，點a、b分別為切點，？apb?60°，op與弦ab交於點c，與⊙o交於點

d．

（1）在不添加任何輔助線的情況下，寫出圖中所有的全等三角形； （2）求陰影部分的面積（結果保留π）．

圖11

2014年

21、某廠房屋頂呈人字架形（等腰三角形），如圖8所示，已知ac?bc?8m，？a?30°，cd?ab，於點d．

（1）求？acb的大小。

（2）求ab的長度。

c a d 圖8 b

23．如圖10，已知rt△abc≌rt△ade，？abc?？ade?90°，bc與de相交於

eb．點f，連接cd，

（1）圖中還有幾對全等三角形，請你一一列舉。

（2）求證：cf?ef.

a df b c 圖10

2014年

23．如圖，點b、f、c、e在同一直線上，並且bf＝ce，∠b＝∠c． (1)請你只添加一個條件（不再加輔助線），使得△abc≌△def．

你添加的條件是：． f (2)添加了條件後，證明△abc≌△def．

2014年

22．如圖所示，∠bac=∠abd=90°，ac=bd，點o是ad，bc

的交點，點e是ab的中點．

（1）圖中有哪幾對全等三角形？請寫出來；

（2）試判斷oe和ab的位置關係，並給予證明．

2014年

23、如圖11，在菱形abcd中，ac是對角線，點e、f

分別是邊bc、ad的中點。 c e

（1）求證：abe≌cdf。

（2）若∠b=60°，ab=4，求線段ae的長。

圖11

會考數學幾何證明題 篇六

會考數學幾何證明題

在▱abcd中，∠bad的平分線交直線bc於點e，交直線dc於點f.

（1）在圖1中證明ce=cf;

（2）若∠abc=90°，g是ef的中點（如圖2），直接寫出∠bdg的度數；

第一個問我會，求第二個問。。需要過程，快呀！

連接gc、bg

∵四邊形abcd為平行四邊形，∠abc=90°

∴四邊形abcd為矩形

∵af平分∠bad

∴∠daf=∠baf=45°

∵∠dcb=90°，df∥ab

∴∠dfa=45°，∠ecf=90°

∴△ecf為等腰rt△

∵g為ef中點

∴eg=cg=fg

∵△abe為等腰rt△，ab=dc

∴be=dc

∵∠cef=∠gcf=45°→∠beg=∠dcg=135°

∴△beg≌△dcg

∴bg=dg

∵cg⊥ef→∠dgc+∠dgb=90°

又∵∠dgc=∠bge

∴∠bge+∠dgb=90°

∴△dgb為等腰rt△

∴∠bdg=45°

分析已知、求證與圖形，探索證明的思路。

對於證明題，有三種思考方式：

（1）正向思維。對於一般簡單的題目，我們正向思考，輕而易舉可以做出，這裏就不詳細講述了。

（2）逆向思維。顧名思義，就是從相反的方向思考問題。運用逆向思維解題，能使學生從不同角度，不同方向思考問題，探索解題方法，從而拓寬學生的解題思路。這種方法是推薦學生一定要掌握的。在國中數學中，逆向思維是非常重要的思維方式，在證明題中體現的更加明顯，數學這門學科知識點很少，關鍵是怎樣運用，對於國中幾何證明題，最好用的方法就是用逆向思維法。如果你已經上九年級了，幾何學的不好，做題沒有思路，那你一定要注意了：從現在開始，總結做題方法。同學們認真讀完一道題的題幹後，不知道從何入手，建議你從結論出發。例如：可以有這樣的思考過程：要證明某兩條邊相等，那麼結合圖形可以看出，只要證出某兩個三角形相等即可；要證三角形全等，結合所給的條件，看還缺少什麼條件需要證明，證明這個條件又需要怎樣做輔助線，這樣思考下去……這樣我們就找到了解題的思路，然後把過程正着寫出來就可以了。這是非常好用的方法，同學們一定要試一試。

（3）正逆結合。對於從結論很難分析出思路的題目，同學們可以結合結論和已知條件認真的分析，國中數學中，一般所給的已知條件都是解題過程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路，比如給我們三角形某邊中點，我們就要想到是否要連出中位線，或者是否要用到中點倍長法。給我們梯形，我們就要想到是否要做高，或平移腰，或平移對角線，或補形等等。正逆結合，戰無不勝。

幾何證明 篇七

幾何證明（一）

例1. 已知：a，b，c三點在同一直線上，△abd和△bce都是等邊三角形，ae交bd於m，cd交be於n求證：mn∥ac

c

例2.已知：ad是rt△abc斜邊上的高，角平分線be交ad於f，eg⊥bc交bc於g

求證：fg∥ac，ag⊥be

例3. △abc中∠abc=∠acb =80°，點p在ab上，且∠bpc=30°，求證：ap=bc

例4. 從三角形的一個頂點向其他的兩個角的平分線引垂線，兩個垂足的連線平行於這個角的對邊。

例5.已知：正方形abcd中，p是ac上的任意點，過點p作pe⊥ab作pf⊥bc。求證：pd⊥ef

例6： △abc內，∠bac=60?，∠acb=40?，p，q分別在邊bc,ca上，並且ap,bq分別是∠bac，∠abc的角平分線，求證：bq+aq=ab+bp.

例7：設等腰直角三角形abc中，d是腰ac的中點，e在斜邊bc上，且ae⊥bd，求證： ∠bda=∠edc

例8： 設△abe, △acf都是等腰直角三角形，ae,af分別是各自的斜邊，g是ef中點，求證：⊿gcb也是等腰直角三角形

例9： 分別以△abc的邊ab,ac為邊在△abc外側作等邊三角形△abe,△acf，d,m,n分別為bc,ae,af的中點，求證：△dmn為等邊三角形。

例10已知：⊙o和⊙q相交於a，b，⊙q經過點o，c是⊙o優弧ab上的一點，cb延長線交⊙q於d，

求證：do⊥ac

d

練習：

1、四邊形abcd中，∠a＝∠b，ad＝bc，則ab∥cd

2、分別以△abc的邊ab和bc為一邊，向形外作兩個正方形abef和bcgh，求證 ah＝ce，ah⊥ce

3、已知：d，e，f是△abc邊bc，ca，ab的中點，h，g在形外，且he

11⊥ac，he＝ac，gd⊥bc，gd＝bc 22

求證：△f(小編推薦你關注好範文 網dg≌△heffg⊥fh

七年級幾何證明題 篇八

七年級幾何證明題

一、

1)d是三角形abc的bc邊上的點且cd=ab，角adb=角bad，ae是三角形abd的中線，求證ac=2ae。

（2）在直角三角形abc中，角c=90度，bd是角b的平分線，交ac於d，ce垂直ab於e，交bd於o，過o作fg平行ab，交bc於f，交ac於g。求證cd=ga。

延長ae至f，使ae=ef。be=ed，對頂角。證明abe全等於def。=》ab=df，角b=角edf角adb=角bad=》ab=bd，cd=ab=》cd=df。角ade=bad+b=adb+edf。ad=ad=》三角形adf全等於adc=》ac=af=2ae。

題幹中可能有筆誤地方：第一題右邊的e點應為c點，第二題求證的cd不可能等於ga，是否是求證cd=fa或cd=co。如上猜測準確，證法如下：第一題證明:設f是ab邊上中點，連接ef角adb=角bad，則三角形abd為等腰三角形，ab=bd;∵ae是三角形abd的中線，f是ab邊上中點。∴ef為三角形abd對應da邊的中位線，ef∥da，則∠fed=∠adc，且ef=1/2da。∵∠fed=∠adc,且ef=1/2da，af=1/2ab=1/2cd∴△afe∽△cda∴ae:ca=fe:da=af:cd=1:2ac=2ae得證第二題：證明:過d點作dh⊥ab交ab於h，連接oh，則∠dhb=90°；∵∠acb=90°=∠dhb，且bd是角b的平分線，則∠dbc=∠dbh，直角△dbc與直角△dbh有公共邊db;∴△dbc≌△dbh，得∠cdb=∠hdb，cd=hd;∵dh⊥ab，ce⊥ab;∴dh∥ce，得∠hdb=∠cod=∠cdb，△cdo為等腰三角形，cd=co=dh;四邊形cdho中co與dh兩邊平行且相等，則四邊形cdho為平行四邊形，ho∥cd且ho=cd∵gf∥ab，四邊形ahof中，ah∥of，ho∥af，則四邊形ahof為平行四邊形，ho=fa∴cd=fa得證

有很多題

1、已知在三角形abc中，be,cf分別是角平分線，d是ef中點，若d到三角形三邊bc,ab,ac的距離分別為x,y,z，求證：x=y+z

證明；過e點分別作ab,bc上的高交ab,bc於m,n點。

過f點分別作ac,bc上的高交於p,q點。

根據角平分線上的點到角的2邊距離相等可以知道fq=fp,em=en.

過d點做bc上的高交bc於o點。

過d點作ab上的高交ab於h點，過d點作ab上的高交ac於j點。

則x=do,y=hy,z=dj.

因為d是中點，角ane=角ahd=90度。所以hd平行me，me=2hd

同理可證fp=2dj。

又因為fq=fp,em=en.

fq=2dj，en=2hd。

又因為角fqc，doc，enc都是90度，所以四邊形fqne是直角梯形，而d是中點，所以2do=fq+en

又因為

fq=2dj，en=2hd。所以do=hd+jd。

因為x=do,y=hy,z=dj.所以x=y+z。

2、在正五邊形abcde中，m、n分別是de、ea上的點，bm與cn相交於點o，若∠bon=108°，請問結論bm=cn是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請説明理由。

當∠bon=108°時。bm=cn還成立

證明；如圖5連結bd、ce.

在△bci)和△cde中

∵bc=cd,∠bcd=∠cde=108°，cd=de

∴δbcd≌δcde

∴bd=ce,∠bdc=∠ced,∠dbc=∠cen

∵∠cde=∠dec=108°，∴∠bdm=∠cen

∵∠obc+∠ecd=108°，∠ocb+∠ocd=108°

∴∠mbc=∠ncd

又∵∠dbc=∠ecd=36°，∴∠dbm=∠ecn

∴δbdm≌δcne∴bm=cn

3、三角形abc中，ab=ac,角a=58°，ab的垂直平分線交ac與n，則角nbc=()

3°

因為ab=ac，∠a=58°，所以∠b=61°，∠c=61°。

因為ab的垂直平分線交ac於n，設交ab於點d，一個角相等，兩個邊相等。所以，rt△adn全等於rt△bdn

所以∠nbd=58°，所以∠nbc=61°-58°=3°

4、在正方形abcd中，p，q分別為bc，cd邊上的點。且角paq=45°，求證：pq=pb+dq

延長cb到m，使bm=dq，連接ma

∵mb=dqab=ad∠abm=∠d=rt∠

∴三角形amb≌三角形aqd

∴am=aq∠mab=∠daq

∴∠map=∠mab+∠pab=45度=∠paq

∵∠map=∠paq

am=aqap為公共邊

∴三角形amp≌三角形aqp

∴mp=pq

∴mb+pb=pq

∴pq=pb+dq

5、正方形abcd中，點m,n分別在ab,bc上，且bm=bn,bp⊥mc於點p,求證dp⊥np

∵直角△bmp∽△cbp

∴pb/pc=mb/bc

∵mb=bn

正方形bc=dc

∴pb/pc=bn/cd

∵∠pbc=∠pcd

∴△pbn∽△pcd

∴∠bpn=∠cpd

∵bp⊥mc

∴∠bpn+∠npc=90°

∴∠cpd+∠npc=90°

∴dp⊥np。

2013幾何證明 篇九

2013幾何證明

1、（2013年普通高等學校招生統一考試重慶數學（理）試題（含答案））如圖，在ABC

中，C900,A600,AB20,過C作ABC的外接圓的切線CD,BDCD,BD與外接

圓交於點E,則DE的長為_____

_____

2、（2013年普通高等學校招生統一考試天津數學（理）試題（含答案））如圖， △ABC為圓的內接三角形，BD為圓的弦， 且BD//AC. 過點A 做圓的切線與DB的延長線交於點E, AD與BC交於點F. 若AB =

AC, AE = 6, BD = 5, 則線段CF的長為

______.

3、（2013年普通高等學校招生統一考試廣東省數學（理）卷（純WORD版））（幾何證明選講選做題）如圖，AB

是圓O的直徑，點C在圓O上，延長BC到D使BCCD,過C作圓O的切線交AD於E.若

AB6,ED2,則BC_________.

E

第15題圖

4、（2013年大學聯考四川卷（理））設P1,P2,，Pn為平面內的n個點，在平面內的所有點中，若點P到

P1,P2,，Pn點的距離之和最小，則稱點P為P1,P2,，Pn點的一個“中位點”。例如，線段AB上的任意點都是端點A,B的中位點。則有下列命題:

①若A,B,C三個點共線，C在線AB上，則C是A,B,C的中位點；[來源:學#科#網] ②直角三角形斜邊的點是該直角三角形三個頂點的中位點； ③若四個點A,B,C,D共線，則它們的中位點存在且唯一； ④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點。

其中的真命題是____________.（寫出所有真命題的序號數學社區）

5、（2013年大學聯考陝西卷（理））B. （幾何證明選做題） 如圖， 弦AB與CD相交於O內一點E, 過E作

BC的平行線與AD的延長線相交於點P. 已知PD=2DA=2, 則PE=_____.

6、

（2013年大學聯考湖南卷（理））如圖2,O中，弦AB,CD相交於點

P,PAPB

2,PD1,則圓心O到弦CD的距離為____________.

7、（2013年大學聯考湖北卷（理））如圖，圓O上一點C在直線AB上的射影為D,點D在半徑OC上的射

影為E.若AB3AD,則CE

EO的值為___________. C

A

B

第15題圖

8、（2013年大學聯考北京卷（理））如圖，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓11.修4-1:幾何證明選講]本小題滿分10分。

如圖，AB和BC分別與圓O相切於點D,C,AC經過圓心O,且BC2OC O相交於D.若PA=3,PD：DB9：16,則PD=_________;AB=___________.

求證:AC2AD[來源:學。科。網]

9、選修4—1幾何證明選講:如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD於點

D,E,F分別為弦AB與弦AC上的點，且BCAEDCAF,B,E,F,C四點共圓。

(Ⅰ)證明:CA是△ABC外接圓的直徑；

(Ⅱ)若DBBEEA,求過B,E,F,C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值。

10、選修4-1:幾何證明選講

如圖，AB為O直徑，直線CD與O相切於垂直於CD於D，BC垂直於CD於

C，EF,垂直於F,連接AE,BE.證明:

(I)FEBCEB;(II)EF2ADBC.

七年級幾何證明題 篇十

七年級幾何證明題

1、如圖，ad∥bc，∠b=∠d，求證：ab∥cd。

a

b

d

c

2、如圖cd⊥ab，ef⊥ab，∠1=∠2，求證：∠agd=∠acb。

a

d

g

/

f

3

bec

3、如圖，已知∠1=∠2，∠c=∠cdo，求證：cd∥op。

d

p

/

c

ob

4、如圖∠1=∠2，求證：∠3=∠4。

a

/

b

c

42

d

5、已知∠a=∠e，fg∥de，求證：∠cfg=∠b。

a

b

c f d

e

6、已知，如圖，∠1=∠2，∠2+∠3=1800

，求證：a∥b，c∥d。

cd

a

b

7、如圖，ac∥de，dc∥ef，cd平分∠bca，求

a

證：ef平分∠bed。

d

f

b

e

c

8、已知，如圖，∠1=450，∠2=1450，∠3=450

，∠4=1350，求證：l1∥l2，l3∥l5，l2∥l4。

l3

l11 l2

3

4

4

l5

9、如圖，∠a=2∠b，∠d=2∠c，求證：ab∥cd。

c

a

b

10、如圖，ef∥gh，ab、ad、cb、cd是∠eac、∠fac、∠gca、∠hca的平分線，求證：∠bad=∠b=∠c=∠d。

a

e

f

b g

c

h

11、已知，如圖，b、e、c在同一直線上，∠a=∠dec，∠d=∠bea，∠a+∠d=900

，求證：ae⊥de，ab∥cd。

a

d

be