《全等三角形（第一課時）》説課稿
一、教材簡介：
義務教育課程標準實驗教科書魯教版五四學制國中數學七年級下冊第十章第一節《全等三角形》第一課時。
二、教學目標：
1、課程標準的要求：
本節課是關於全等三角形的證明的相關知識，需要從全等三角形的三個基本事實出發，利用它們的結論進行一些相關的幾何結論。通過本節課的學習，要使學生能夠掌握證明的基本步驟和書寫格式，能靈活地運用三個基本事實和一個定理來判定兩個三角形全等，並得到相關結論。課標要求儘可能地降低學生的學習難度。對於定理的證明，應該讓學生進行，以便於學生熟悉證明的基本要求和步驟，為今後的做題做準備。
2、對教材的進一步研究：
本節課的教材內容共分三部分：一是有關全等三角形的三個基本事實。這一部分內容在八年級上冊的內容中已經接觸過，學生完成的難度不是太大，基本上都能掌握。在教學過程中教師在引導學生掌握內容的同時可以根據學生的實際情況，複習一下這三個基本事實在運用的過程中的一般思路，為下面定理的證明以及運用定理解題打下基礎。二是aas定理的證明過程，定理的證明過程雖然比較簡單，也應讓學生進行證明，以熟悉證明的基本要求和步驟，為下面的推理證明做準備。本章課本的證明過程沒有標註理由，在實際的教學過程中，教師可以根據學生的實際情況，讓學生有選擇性地對一些步驟加上理由。三是運用有關全等三角形的基本事實和定理來解決相關的問題。在這一部分中，教師的主要職責是幫助學生學習解題思路，交給學生去尋找判定兩個三角形全等的條件，並進一步規範學生的證明過程，讓學生養成良好的學習習慣。
3、學情分析：
在八年級上學期時已經學過了關於全等三角形的幾個基本事實，並能運用這幾個事實來説明兩個三角形全等。本節課實在前面學習過的基礎上進一步學習aas定理並能加以運用。本節課學生學習的重點是熟悉證明的基本要求和步驟，掌握證明線段相等或角相等的一般思路。學生在掌握證明的基本要求和步驟時難度較大，很多學生不能準確、清晰、簡潔地組織證明步驟。教師在教學過程中可以讓學生先自己寫出aas定理的證明過程，然後對照課本的步驟，查漏補缺，找到自己存在的不足，然後加以改正，從而提升學生的寫步驟的能力。同時可以通過本節課的內容幫助學生養成嚴謹的學習習慣。
4、自我背景性經驗剖析：
本節課的內容難度不大，但是是今後解決幾何問題的重要依據和方法，在一些實際問題中也經常需要用到全等三角形的模型，在教學過程中可以加入適當的情景導入，激發學生的學習興趣，通過一些小的例子，使學生明白養成嚴謹的做題習慣的必要性，努力地使學生樂於接受本節課的相關內容。
5、制定本節課具體的課時目標：
（1）全體學生都能説出證明三角形全等的三條基本事實，60%的學生能寫出aas命題的證明，49&的學生能靈活應用sas,asa，sss和aas來判定兩個三角形全等。
（2）三分之二的學生能掌握命題證明的基本步驟和格式，會根據命題寫出已知、求證和證明，並畫出圖形。
（3）30%的學生能認識部分和全等三角形有關的基本圖形，掌握分析法解題的思路。
（4）全體學生養成規範、嚴謹的解題習慣。
三、教材重整：
本節課的內容是在原有的證明三角形全等的基本事實的基礎之上，進一步來證明“aas”定理，並能加以運用，之後可以綜合運用相關的定理進行全等的證明，並掌握證明的基本步驟和書寫格式。為了培養學生的解題思路，為下面命題的證明做準備，我對三條基本事實進行了深加工，用視頻演示的方法對“重疊法”證明全等進行了講解，並讓學生進行模仿，對另外的基本事實進行了簡單的證明，重點培養了 部分學優生的解題思路。這一部分對中等生和學困生的完成情況不做進一步的追究，體現出了差異性。
四、教學過程：
（一）教學範型：本節課是八年級數學差異教學的課程，這是根據我校的數學成績較為落後，學困生較多、學習積極性不高的現狀，所採取的促進不同水平的學生共同發展的一種舉措，倡導差異合作來促進學生的差異化發展，屬於分組共建的模式。
（二）課堂的整體架構：本節課的內容分為四大部分：自主探究、合作交流、鞏固練習、當堂測評。
（1）自主探究：
在這一環節中，先讓學生通過一個知識鏈接對以前學過的知識做一個簡單的回顧，併為後面的學習進行一些知識儲備。這一環節內容難度不大，需要讓全體同學都參與進去，讓全班同學都掌握這一部分。然後進入到本節的探究題目中。
探究分為兩大部分，第一部分是對三條基本事實的證明過程的探究，學生利用自己製作的全等三角形的紙片，結合視頻教學的內容，探討基本事實的證明過程，這一部分的難度較大，在學法指導上明確學生的分工，對於優等生嘗試去解決證明方法的問題，並努力用語言進行交流展示，中等生大致上可以瞭解證明的一般思路即可，而對於學困生，只需要利用手中的紙片，能進行兩個三角形的重疊，明確兩個三角形全等即可。
【細節一】學生通過觀看視頻，學習基本事實的證明過程，觀看較為認真，為下面的問題解決提供了思路。
設計理念：關注學生在自學能力方面的差異，讓學生通過本環節，學會用模仿的方式來解決數學問題，進一步理解證明兩個三角形全等的幾種方法，為下面定理的證明做準備，同時通過讓學生交流，初步瞭解證明的一般思路和過程，明確應該從哪些方面來説明兩個三角形全等。
第二部分是探究“aas”定理的證明過程。這一部分需要學生首先明確對於命題的證明的一般步驟，這一內容對學生思維能力的要求不高，全體學生基本上都能完成，學困生能明確這一點就可視為合格；中等生在小組合作的前提下能找到相應的證明思路即可，由優等生進行評價、補充；學優生在完成前面內容的基礎上能規範、完整地寫出解題步驟，並能類比這一步驟進行相關的證明方可達標。
【細節二】學生在完成探究二的題目時，由於對以前的知識點不夠熟悉，在不同水平的學生之間存在較大的差異，在小組合作學習時採取一對一的方式，讓學優生幫忙解決。
設計理念：關注學生的基礎差異，防止學生不參與小組合作學習或者直接照抄學優生的答案，努力提升學生的學習積極性。（2）合作交流：
在這一環節中，學生交流展示在上一環節中的學習成果，在展示的過程中，首先教師依據小組合作情況點名展示，主要是對中等生的成果展示，學生的展示重點是對定理證明過程中的操作演示，展示後由其他同學進行補充，補充的內容仍然是以操作為主，優等生可以對證明的思路進行講解。這一環節關注的是不同層次的學生在小組合作學習中的參與度，讓不同水平的學生都能得到參與課堂、展示自我的機會。學生的總體表現較為理想，主動交流的效果比較顯著。
【細節三】學生交流基本事實的證明過程，第一名同學的思路出現較大的問題，由其他同學加以補充，儘管都不是很理想，但是對不同水平的學生的表現都給予肯定。
設計理念：關注學生的思維能力差異和語言表達能力的差異，儘量使全體同學都能參與到課堂中來，提升學生的自信心。多給學困生展示 自我的機會。
【細節四】學生交流探究二的問題的答案，學困生答案很疑惑，通過同學的補充才得以完成。
設計理念：關注班內差異。點名讓學生回答，找出學生容易出現的問題，學生可以主動加以改正。
（3）鞏固練習：
在這一環節中設置的是和本節課內容關係緊密的練習題，讓學生通過解題的形式對本節課的相關知識點加以鞏固。練習題的設置緊扣本節課的知識點，以a、b、c的標記作為題目分層設計的依據，讓不同層次的學生選擇適合自己的學習水平和認知結果的題目。題目的設計做到了分類、分層，使學優生有選擇地多做練習，認識不同的題目類型，中等生有自己的選擇目標和上升的空間，給他們努力地動力，學困生有題可做，能找到自己會做的題目，在掌握基礎知識的同時給自己學習的信心。
（4）當堂檢測：
這一環節是對本堂課學生對知識的掌握情況的一個反饋，檢測題的設置仍然貫徹分類、分層的原則，不同的學生有選擇性地進行測試。在題目上有清晰地分類標誌，滿足不同學生的需要。檢測的時間大約為5分鐘，檢測完成後集體批改，把測試的結果進行小組合作學習的量化。在量化的過程中不是單純地以做對題目的數量來進行加減分，而是以不同層次的學生的總體表現來進行小組考核。比如説每組5/6號同學能完成a組題目即可得到滿分，中等生完成a、b組題目也可得到滿分的形式進行，在很大程度上也保存了學困生的學習興趣。
【細節五】佈置作業。
設計理念：正視學生的差異，關注差異。給學習程度不同的學生布置不同的作業，讓其都能在不同層面上得到發展。
五、自我反思：
本節課上完以後，發現了不少存在的問題，下面對比較突出的問題進行一個總結反思，以便於今後加以改進。
1、本節課的課堂內容設計較為合理，但是課前對學生的基礎與能力預估不夠，對學生有較為嚴重的高估，導致學生不能按時、順利地完成每一環節的要求和內容，從而導致課堂教學時間的安排不夠合理，最後時間較為倉促、緊張，教學內容沒能全部完成。
2、在關注學生的差異性方面，能夠力求關注全體學生，不讓學生有無從下手的感覺，使學困生有事做、有收穫，但是在實際的操作過程中，過於緊張課堂時間，在很多環節上，給學困生的發揮展示空間和時間不足，學生的整體差異體現不夠清楚。
3、課堂氣氛的調度不夠，學生的參與積極性不夠高，小組合作學習時，不能很好地進行交流，課堂不夠活躍。
4、對於學生解題步驟的規範性要求不到位，對於幾何語言的表述強調不夠，會影響今後學生的證明思路。
複習提問 通過前兩個問題複習鞏固上一節所講的知識，通過問題3引導學生認識到三角形全等是證明角相等、線段相等的重要方法，然後設疑，如何證明兩個三角形全等？從而引出課題。
活動二：講授新課 全等三角形的判定條件的探究 首先提出
問題1：兩個三角形三條邊相等、三個角相等，這兩個三角形全等嗎？學生通過觀察圖形和課件演示，會很容易作出懇定的回答。
問題2：兩個三角形全等是不是一定要六個條件呢？若滿足這六個條件中的一個、兩個或三個條件它們是否全等呢？然後教師引導學生分別從“角”和“邊”的角度分析一個條件、兩個條件各有幾種情形。引導全班同學首先共同完成滿足一個條件的情況的探究，然後指導學生分組討論，對滿足兩個條件的 情況進行探究，並在組內交流，教師深入小組參與活動，傾聽學生交流，並幫助學生比較各種情況。最後由教師在投影上給出滿足一個條件和兩個條件的幾組三角形，學生通過觀察圖形就會得到一結論：兩個三角形若滿足這六個條件中的一個或兩個條件是不能保證兩個三角形一定全等的。
問題3：兩個三角形若滿足這六個條件中的三個條件能保證它們全等嗎？滿足三個條件有幾種情形呢？由學生分組討論、交流，最後教師總結，得出可分為四種情況，即三邊對應相等、三角對應相等、兩邊一角對應相等、兩角一邊對應相等。告訴學生這一節先探究兩個三角形滿足三條邊相等時，兩個三角形是否全等？對於此問題我是這樣引導學生探究的，先讓學生在練習本上各畫一個邊長分別為2、3、4的三角形（當然在這裏要先給學生講清楚已知三邊如何畫三角形，並且讓學生牢記此種畫三角形的方法），學生畫好之後剪下來，同桌之間進行比較、驗證，看它們是否重合。同時教師在投影上給出兩個邊長為2、3、4的三角形，通過課件演示，學生會看到兩個三角形的三邊對應相等，它們是全等的。從而得到全等三角形的判定方法，即：有三條邊對應相等的兩個三角形是全等三角形。得到全等三角形的判定條件之後，還要給學生講清楚證明三角形全等的書寫格式，即：先要寫出在那兩個三角形中，然後用大括號把全等的三個條件括住，最後寫出全等的結論。由於學生剛開始學習全等三角形的證明，對三角形全等的書寫格式還不熟悉，所以教師在此要強調三角形全等的書寫格式以及應注意的問題。
活動三：題例訓練 例1是兩道填空題，需要補全三角形全等的條件，在講解此題時關鍵是讓學生看清圖中兩個三角形全等已具備哪些條件，還缺什麼條件，把所缺的條件補上即可。通過此題要使學生進一步掌握三角形全等的判定條件及證明三角形全等的書寫格式和應注意的問題。
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（二）探索三角形全等的條件
1、一張長方形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片，再將這兩張紙片擺成如下圖形式，使點b、f、c、d
mn⑴求證：ab⊥ed；
⑵若pb＝bc，請找出圖中與此條件有關的一對全等三角形，並給予證明
2、如圖，在△abc中，ac＝bc，∠acb＝90°，ad平分∠bac，be⊥ad交ac的延長線於f，e為垂足，則結論：①ad＝bf；②cf＝cd；③ac＋cd＝ab；④be＝cf；⑤bf＝2be.其中正確的是（）
3、如圖，點c在線段ab上，da ⊥ab，eb⊥ab，fc⊥ab，且da＝bc，eb＝ac，fc＝ab，∠afb＝51°，求∠fcdbedcae
acbf________________________________________________________________________________________________________________
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4、如圖，四邊形abcd中，ab∥cd，ad∥bc，o為對角線ac的中點，過點o作一條直線分別與ab、cd交於點m、n，點e、f在直線m、n上，且oe＝of.⑴圖中共有幾對全等三角形，請把它們都寫下來； ⑵求證：∠mae＝∠ncf
aebmoncdf5、在△abc中，高所在直線ad和be交於h點，且bh＝ac，則∠abc＝_____________.6、下列三個判斷：
⑴有兩邊及其中一邊上的高對應相等的兩個三角形全等； ⑵有兩邊及第三邊上的高對應相等的兩個三角形全等； ⑶一邊及其它兩邊上的高對應相等的兩個三角形全等。上述判斷是否正確？若正確，説明理由；若不正確，請舉出反例。________________________________________________________________________________________________________________
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（三）全等三角形的應用
全等三角形常用來轉移線段和角，用它來證明：
①線段和角的等量關係 ②線段和角的和差倍分關係
③直線與直線的平行或垂直等位置關係
1、如圖，已知bd、ce分別是△abc的邊ac和ab上的高，點p在bd的延長線上，bp＝ac，點q在ce上，cq＝ab.試判斷ap與aq的關係，並證明。2、如圖，ad是△abc的高，e為ac上一點，be交ad於點f，且bf＝ac，fd＝cd，求證：be⊥ac
faadqpebce3、（2012〃阜新會考）如圖，在△abc中，ab＝ac,ad＝ae,∠bac＝∠dac＝90°.⑴當點d在ac上時，如圖①,線段bd,ce有怎樣的數量和位置關係？證明你猜想的結論。⑵將圖①中的△ade繞點a順時針旋轉α角(0°＜α＜90°)，如圖②，線段bd、ce有怎樣的數量關係和位置關係？dc①aedbc②________________________________________________________________________________________________________________
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4、在△abc中，ab＝ac，點d是直線 bc上一點（不與b、c重合），以ad為一邊在ad的右側作△ade，使ad＝ae，∠dae＝∠bac，連接ce.⑴如圖①，當點d在線段bc上時，若∠bac＝90°，則∠bce＝_______度。⑵設∠bac＝α，∠bce＝β
a、如圖②，當點d在線段bc上移動時，α，β之間有怎樣的數量關係？請説明理由。b、當點d在直線bc上移動時，α，β之間有怎樣的數量關係？c①aec②________________________________________________________________________________________________________________
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（四）輔助線作法之連接法
在幾何證明中，常通過添加輔助線來構造全等三角形。常見的添加輔助線方法有：連接法、截長補短法、倍長中線法、翻折法、旋轉法以及利用特殊條件構造全等三角形等等。1、如圖，△abc的兩條高bd，ce相交於點p，且pd＝pe.證明∶ac＝ab
2、已知ab＝de，bc＝ef，∠b＝∠e，af＝cd 求證：ac∥df
3、如圖，ab交cd於點o，ad、cb的延長線相交於點e，且oa＝oc，ea＝ec.∠a＝∠c嗎？點o在∠aec的平分線上嗎？
ebcdoabcdafeaebdpc________________________________________________________________________________________________________________
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（五）輔助線作法之倍長中線法
在題目條件中含有中線的問題，我們常用的輔助線就是將中線延長一倍，其目的是為了得一對全等三角形，將分散的條件集中到一個三角形中去。1、△abc中，ab＝5，ac＝3，求中線ad的取值範圍。2、如圖，在△abc中，ad是∠bac的平分線，又是bc上的中線
求證：ab＝ac
3、（2014〃襄陽九年級模擬）在△abc中，d是邊bc上的一點，且cd＝ab，∠bad＝∠bda，ae是△abd的中線。求證∶ac＝2ae
bedcabdcaabdc________________________________________________________________________________________________________________
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afe4、（競賽014）△abc中，d為bc的中點，de⊥df交ab，ac於點e，f.求證：be＋cf＞ef
6、（競賽015）例：已知ad是△abc的中線，be交ac於點e，交ad於點f，且ae＝ef.求證：ac＝bf
bdcaefdbc________________________________________________________________________________________________________________
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（六）輔助線作法之截長補短法
截長法：在第三條線段上截下一段使其等於兩條線段中的一條，再證明剩餘部分與另一條相等。補短法：把兩條線段中的一條補到另一條線段上去，證明所得新線段與第三條線段相等。1、已知ac∥bd，ea，eb分別平分∠cab和∠dba，點e在cd上。求證：ab＝ac＋bd
2、在四邊形abcd中，ac平分∠bad，ce⊥ab於點e，且ae＝½（ab＋ad）.求證∶∠b＋∠d＝180°
3、如圖，已知△abc中，∠a＝90°，ab＝ac，d為ac的中點，ae⊥bd於e，延長ae交bc於f.求證：∠adb＝∠cdf
________________________________________________________________________________________________________________
bfcaecdabadebced周老師·數學培優
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4、如圖，∠c＝90°，ac＝bc，ad是∠bac的角平分線。求證∶ac＋cd＝ab
12、如圖，已知ab＝cd＝ae＝bc＋de＝2，∠abc＝∠aed＝90°，dae________________________________________________________________________________________________________________
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（七）輔助線作法之利用特殊條件構造全等三角形
2、（2012〃“華羅庚杯”）如圖，在△abc中，ac＝½ab，ad平分∠bac，且ad＝bd 求證：cd⊥ac
acbd________________________________________________________________________________________________________________
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（八）全等三角形在動態幾何中的運用
1、(競賽〃014〃3)如圖，△abc的邊bc在直線l上，ac⊥bc，且ac＝bc.△efp的邊fp也在直線l上，邊ef與邊ac重合，且ef＝fp.⑴在圖①中，請你通過觀察、測量、猜想並寫出ab與ap所滿足的數量關係和位置關係；⑵將△efp沿直線l向左平移到圖②的位置時，ep交ac於點q,連接ap,bq.猜想並寫出bq與ap所滿足的數量關係和位置關係，並證明你的猜想；⑶將△efp沿直線l向左平移到圖③的位置時，ep的延長線交ac的延長線於點q,連接ap,bq.你認為⑵中所猜想的bq與ap的數量關係和位置關係還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請説明理由。a(e)eaeaqllbc(f)pfpbclbfcp q________________________________________________________________________________________________________________
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（九）探究角平分線
一、知識清單
角平分線的定義：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的角平分線。三角形的角平分線定義：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，連結這個角的頂點和與對邊交點的線段叫做三角形的角平分線（也叫三角形的內角平分線）.由定義可知，三角形的角平分線是一條線段。角平分線性質：
1、角平分線上的點，到這個角的兩邊的距離相等。2、角平分線分得的兩個角相等，都等於該角的一半。3、三角形的三條角平分線交於一點，且到各邊的距離相等，這個點稱為內心。二、方法點撥
證明角平分線有兩種方法：一是運用定義證明兩個角相等；二是運用角平分線的判定方法。三、規律清單
①遇到角平分線，可從角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線段(圖1).②遇到角平分線，常可利用翻折法或截長補短法解題(圖2).③有兩條角平分線(內角或外角)交於一點，則連接該點與三角形第三個頂點的線段會平分一個內角或外角(圖3).④有垂直於角平分線的線段，則延長這條線段以利用三線合一解題(圖4).⑤遇到角內的一點到角的兩邊有垂線段時，就連接這點與角的頂點，看能否平分已知角(圖5).⑥遇到有多條角平分線時，可嘗試用整體的思想解題(圖6).⑦有翻折條件時，除注意全等的結論，還應關注折線就是角平分線、是對稱軸（如圖7）.⑧角平分線、平行線、等腰三角形三個條件中出現任意兩個，常可直接得到另一個(如圖8）bdafaegdbdbc圖2b圖1cd圖3dcbc________________________________________________________________________________________________________________
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aa
cfebdc圖4bfe
decf圖5
adba1d2b3a1apfc'd'dad2cb圖6ef1＋2＋3＝90°1＋2＝90°－½bcbec圖7b圖8cd
四、真題訓練
1、(2011〃鄂州〃競賽〃018 〃重慶會考）如圖，△abc的外角∠acd的平分線cp與內角∠abc的平分線bp相交於點p，若∠bpc＝40°，則∠cap＝2、(競賽〃019)如圖，∠b＝∠c＝90°，m是bc的中點，dm平分∠adc.求證：am平分∠dab
dcmab________________________________________________________________________________________________________________
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3、(競賽〃019)如圖，在△abc中，∠bac＝90°,ab＝ac,be平分∠abc,ce⊥1求證：ce＝ bd 2
bca
4、如圖，在△abc中，ad平分∠bac，bd＝cd 求證：∠b＝∠c
5、如圖，在rt△abc中，∠c＝90°，ac＝bc，ad是∠bac的平分線，交bc於d，de⊥ab於e，若ab＝10cm，則△dbe的周長是多少？
abdcaecdb6、（2011，恩施會考）ad是△abc的角平分線，df⊥ab，垂足為f，de＝dg，△adg和△aed的面積分別為50和39，則△edf的面積為多少？
befgdc________________________________________________________________________________________________________________
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7、如圖，△abc中，ad平分∠bac，dg⊥bc且平分bc，de⊥ab於e，df⊥ac於 f.求證：be＝cf
8、在△abc中，ad是∠bac的平分線，e、f分別為ab、ac上的點，且∠edf＋∠baf＝180°
⑴求證：de＝df ⑵如果把最後一個條件改為ae＞af，且∠aed＋∠afd＝180°，那麼結論還成立嗎？
9、如圖，已知ab＝ac，be⊥ac於e，cf⊥ab於f，be與cf交於點d 求證：點d在∠bac的平分線上。10、如圖，在四邊形abcd中，對角線ac平分∠bad，ab＞ad，下列結論正確的是()－ad＞cb－cd －ad＝cb－cd －ad＜cb－cd －cd與cb－cd的大小關係不確定
bcaaebgcfdafebdcbfdaecd________________________________________________________________________________________________________________
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11、（競賽014）如圖，已知△abc中，∠b＝60°，∠bac，∠bca的平分線ad，ce相交於點o.求證：dc＋ae＝ac
12、(競賽〃019)如圖，已知△abc，p為內角平分線ad、be、cf的交點，過點p作pg⊥bc於g點。試説明∠bpd與∠cpg的大小關係，並説明理由。
bdgcaaeobdcfpe________________________________________________________________________________________________________________
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（十）應用線段垂直平分線的性質和判定解題
一、知識清單
定義：經過線段中點並且垂直於這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。線段垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。線段垂直平分的判定：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。
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一、知識要點
二、例題解析
【例1】如圖，點b、e、c、f在同一條直線上，ab＝de，ac＝df，be＝cf，求證：∠a＝∠d
【例2】如圖，等腰△abc與△ade中，ab＝ac，ad＝ae，且∠cab＝∠ead，求證：ce＝bd
【練】如圖，點a、b、c、d在同一條直線上，ac＝bd，ae⊥ab，cd⊥df，ae＝df，求證：∠e＝∠f
【例3】如圖，ab＝dc，ad＝bc，de＝bf，求證：be＝df
【練】如圖，ae＝cf，ad∥bc，ad＝cb(1)求證：△adf≌△cbe
(2)如果將△bec沿ca邊方向平行移動，可有右圖，上述條件不變，結論仍成立嗎？
【例4】如圖，d點在ab上，點e在ac上，be和cd相交於點o，ab＝ac，∠b＝∠c，求證：(1)△abe≌△acd；(2)bd＝ce
【練】如圖，ab＝ac，ad＝ae，∠1＝∠2，求證：△abd≌△ace
【例5】如圖，△abc≌△a1b1c1，ad、a1d1分別是△abc和△a1b1c1的高，求證：ad＝a1d1
【練】(1)如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：ac＝ad
(2)如圖，ab⊥bc，ad⊥dc，垂足分別為b、d，∠1＝∠2，求證：ab＝ad
【例6】如圖，ab＝ac，ad＝ae，ab、dc相交於點m，ac、be相交於點n，∠dab＝∠eac，求證：am＝an
【例7】如圖，△abc中，∠bac＝90°，ab＝ac，ae是過a的一條直線，且點b、c在ae的異側，bd⊥ae於d，ce⊥ae於e(1)求證：bd＝de＋ce
(2)如圖，若點b、c在ae的同側時，其餘條件不變，請問bd與de、ce的關係如圖（bd＜ce），請給予證明
【例8】如圖，bd、ce分別是鋭角△abc的邊ac和ab上的高，點p在bd的延長線上，bp＝ac，點q在ce上，cq＝ab，求證：(1)ap＝aq；(2)ap⊥aq
【例9】如圖，ad為△abc的中線，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：be＋cf＞ef
【例10】如圖，ad為△abc的中線，求證：ab＋ac＞2ad
三、反饋練習
1．如圖，ab＝dc，ac＝bd，求證：∠a＝∠d
2．如圖，ab＝ad，∠1＝∠2，ac＝ae，求證：de＝bc
3．如圖，b、d、c在一條直線上，ab＝bc，bd＝ec，ab⊥bc，ec⊥bc，求證：af⊥be
4．如圖，bd、ac交於o，∠1＝∠2，∠d＝∠c，求證：ac＝bd
5．如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，e是ad上一點，求證：bd＝cd
6．如圖，ab＝ac，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：△abe≌△acd
7．如圖，在rt△abc中，∠bac＝90°，ab＝ac，p為bc延長線上任一點，過b、c兩點分別作直線ap的垂線be、cf，e、f分別為垂足(1)求證：be＋cf＝ef
(2)若p為線段bc上任意一點，其它條件不變，試問：線段be、cf、ef的長度之間是否存在某種確定的數量關係？請畫出圖形，證明你的結論
8．如圖，在△abc外有rt△abd和rt△ace，∠dab＝eac＝90°，ad＝ab，ac＝ae，cd與be交於m，求證：dc＝be，dc⊥be
9．如圖，d為bc中點，de⊥df，e、f分別在ab、ac上，求證：ef－be＜fc
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