基本不等式教案精品多篇

基本不等式教案 篇一

【教學目標】

1、知識與技能目標

(1)掌握基本不等式 ，認識其運算結構；

(2)瞭解基本不等式的幾何意義及代數意義；

(3)能夠利用基本不等式求簡單的最值。

2、過程與方法目標

(1)經歷由幾何圖形抽象出基本不等式的過程；

(2)體驗數形結合思想。

3、情感、態度和價值觀目標

(1)感悟數學的發展過程，學會用數學的眼光觀察、分析事物；

(2)體會多角度探索、解決問題。

【能力培養】

培養學生嚴謹、規範的學習能力，辯證地分析問題的能力，學以致用的能力，分析問題、解決問題的能力。

【教學重點】

應用數形結合的思想理解不等式，並從不同角度探索不等式 的證明過程。

【教學難點】

基本不等式 等號成立條件。

【教學方法】

教師啟發引導與學生自主探索相結合

【教學工具】

課件輔助教學、實物演示實驗

【教學流程】

SHAPE MERGEFORMAT

【教學過程設計】

創設情景，引入新課

如圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標， 這是根據趙爽弦圖而設計的。用課前摺好的趙爽弦圖示範，比較 4個直角三角形的面積和與大正方形的面積，你會得到怎樣的相 等和不等關係？

趙爽弦圖

1.探究圖形中的不等關係

將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形ABCD中右個全等的直角三角形。

設直角三角形的兩條直角邊長為a，b那麼正方形的邊長為 。這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為 。由於4個直角三角形的面積小於正方形的面積，我們就得到了一個不等式： 。

當直角三角形變為等腰直角三角形，即a=b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有 。

2.得到結論：一般的，如果

3.思考證明：你能給出它的證明嗎？

證明：因為

當

所以， ，即

4.基本不等式

1)特別的，如果a>0，b>0，我們用分別代替a、b ，可得 ，通常我們把上式寫作：

2)從不等式的性質推導基本不等式

用分析法證明：

要證 (1)

只要證 (2)

要證(2)，只要證 a+b- 0 (3)

要證(3)，只要證 ( - ) (4)

顯然，(4)是成立的。當且僅當a=b時，(4)中的等號成立。

3)理解基本不等式 的幾何意義

基本不等式教案 篇二

課題：3.4.3 基本不等式 的應用(二) 科目：數學 教學對象：高二(290)學生 課時：1課時 提供者：劉和安 單位： 姚安一中 一、教學內容分析 本節課的研究是起到了對學生以前所學知識與方法的複習、應用，進而構建他們更完善的知識網絡。數學建模能力的培養與鍛鍊是數學教學的一項長期而艱苦的任務，這一點，在本節課是真正得到了體現和落實。?

根據本節課的教學內容，應用觀察、閲讀、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究，對基本不等式展開實際應用，進行啟發、探究式教學並使用投影儀輔助。? 二、教學目標 (一)知識目標：構建基本不等式解決函數的值域、最值問題；

(二)能力目標：讓學生探究用基本不等式解決實際問題

(三)情感、態度和價值觀目標：

通過具體問題的解決，讓學生去感受、體驗現實世界和日常生活中存在着大量的不等量關係並需要從理性的角度去思考，鼓勵學生用數學觀點進行類比、歸納、抽象，使學生感受數 學、走進數學、培養學生嚴謹的數學學習習慣和良好的思維習慣；? 三、學習者特徵分析 在本節課的教學過程中，仍應強調不等式的現實背景和實際應用，真正地把不等式作為刻畫現實世界中不等關係的工具。通過實際問題的分析解決，讓學生去體會基本不等式所具有的廣泛的實用價值，同時，也讓學生去感受數學的應用價值，從而激發學生去熱愛數學、研究數學。而不是覺得數學只是一門枯燥無味的推理學科。在解決實際問題的過程中，既要求學生能用數學的眼光、觀點去看待現實生活中的許多問題，又會涉及與函數、方程、三角等許多數學本身的知識與方法的處理 四、教學策略選擇與設計 1.採用探究法，按照觀察、閲讀、歸納、思考、交流、邏輯分析、抽象應用的方法進行啟發式教學；?

2.教師提供問題、素材，並及時點撥，發揮老師的主導作用和學生的主體作用；?

3.設計較典型的具有挑戰性的問題，激發學生去積極思考，從而培養他們的數學學習興趣。? 五、教學重點及難點 教學重點：1.構建基本不等式解決函數的值域、最值問題。?

2.讓學生探究用基本不等式解決實際問題；?

教學難點：1.讓學生探究用基本不等式解決實際問題；?

2.基本不等式應用時等號成立條件的考查；?

六、教學過程 教師活動 學生活動 設計意圖 (一)導入新課

(二)推進新課

已知 ，若ab為常數k，那麼a+b的值如何變化？

若a+b為常數s，那麼ab的值如何變化？

老師用投影儀給出本節課的第一組問題

(1)求函數y=2x2+ (x>0)的最小值。?

(2)求函數y=x2+ (x>0)的最小值。?

(3)求函數y=3x2-2x3(0

(4)求函數y=x(1-x2)(0

(5)設a>0，b>0，且a2+ =1，求 的最大值。?

(三)合作探究 我們來考慮運用正數的算術平均數與幾何平均數之間的關係來解答這些問題。根據函數最值的含義，我們不難發現若平均值不等式的某一端為常數，則當等號能夠取到時，這個常數即為另一端的一個最值。 ?

(四)例題精析？

【例】某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為4 800 m3，深為 3 m.如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，怎樣設計水池能使總造價最低？最低總造價是多少？

當且僅當a=b時，a+b就有最小值為2k.?

當且僅當a=b時，ab就有最大值 (或ab有 最大值 ).?

學生完成

留五分鐘的時間讓學生思考，合作交流

(根據學生完成的典型情況，找五位學生到黑板板演，然後老師根據學生到黑板板演的完成情況再一次作點評)?

學生思考、回答，

2020高中數學基本不等式教學教案 篇三

【教學目標】

1.知識與技能：學會推導並掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，並掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等；

2.過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；

3.情態與價值：通過本節的學習，體會數學來源於生活，提高學習數學的興趣

【教學重點】

應用數形結合的思想理解不等式，並從不同角度探索不等式 的證明過程；

【教學難點】

基本不等式 等號成立條件

【教學過程】

1.課題導入

基本不等式 的幾何背景：

如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關係或不等關係嗎？

教師引導學生從面積的關係去找相等關係或不等關係

2.講授新課

1.探究圖形中的不等關係

將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形ABCD中右個全等的直角三角形。設直角三角形的兩條直角邊長為a，b那麼正方形的邊長為 。這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為 。由於4個直角三角形的面積小於正方形的面積，我們就得到了一個不等式： 。

當直角三角形變為等腰直角三角形，即a=b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有 。

2.得到結論：一般的，如果

3.思考證明：你能給出它的證明嗎？

證明：因為

當

所以， ，即

4.1)從幾何圖形的面積關係認識基本不等式

特別的，如果a>0，b>0，我們用分別代替a、b ，可得 ，

通常我們把上式寫作：

2)從不等式的性質推導基本不等式

用分析法證明：

要證 (1)

只要證 a+b (2)

要證(2)，只要證 a+b- 0 (3)

要證(3)，只要證 ( - ) (4)

顯然，(4)是成立的。當且僅當a=b時，(4)中的等號成立。

3)理解基本不等式 的幾何意義

探究：課本第98頁的“探究”

在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a，BC=b。過點C作垂直於AB的弦DE，連接AD、BD。你能利用這個圖形得出基本不等式 的幾何解釋嗎？

易證Rt△ACD∽Rt△DCB，那麼CD2=CA·CB

即CD= .

這個圓的半徑為 ，顯然，它大於或等於CD，即 ，其中當且僅當點C與圓心重合，即a=b時，等號成立。

因此：基本不等式 幾何意義是“半徑不小於半弦”

評述：1.如果把 看作是正數a、b的等差中項， 看作是正數a、b的等比中項，那麼該定理可以敍述為：兩個正數的等差中項不小於它們的等比中項。

2.在數學中，我們稱 為a、b的算術平均數，稱 為a、b的幾何平均數。本節定理還可敍述為：兩個正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數。

例1 已知x、y都是正數，求證：

(1) ≥2;

(2)(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.

分析：在運用定理： 時，注意條件a、b均為正數，結合不等式的性質(把握好每條性質成立的條件)，進行變形。

解：∵x，y都是正數 ∴ >0， >0，x2>0，y2>0，x3>0，y3>0

(1) =2即 ≥2.

(2)x+y≥2 >0 x2+y2≥2 >0 x3+y3≥2 >0

∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥2 ·2 ·2 =8x3y3

即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.

3.隨堂練習

1.已知a、b、c都是正數，求證

(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc

分析：對於此類題目，選擇定理： (a>0，b>0)靈活變形，可求得結果。

解：∵a，b，c都是正數

∴a+b≥2 >0

b+c≥2 >0

c+a≥2 >0

2020高中數學基本不等式教學教案 篇四

一、教學目標

知識與技能：

1.理解兩個正數的算術平均數不小於他們之積的2倍的不等式的證明。

2.理解兩個正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數的證明以及幾何解釋。

過程與方法

本節的學習是學生對不等式認知的一次飛躍。要善於引導學生從數和形倆方面深入的探究不等式的證明，從而進一步突破難點。基本不等式的證明要注重嚴密性，每一步都有理論依據，培養學生的邏輯能力。

情感，態度與價值觀

培養學生舉一反三地邏輯推理能力，並通過不等式的幾何解釋，豐富學生數形結合的想象力。引導學生領會運用基本不等式 的三個限制條件(一正二定三相等)在解決最值中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略。

教學重點和難點

重點：應用數形結合的思想理解基本不等式，並從不同角度探索不等式 的證明過程；

難點：理解“=”成立的充要條件。

三、教學過程：

1.動手操作，幾何引入

如圖是2002年在北京召開的第24屆國際數學家大會會標，會標是根據我國古代數學家趙爽的“弦圖”設計的，該圖給出了迄今為止對勾股定理最早、最簡潔的證明，體現了以形證數、形數統一、代數和幾何是緊密結合、互不可分的。

探究一：在這張“弦圖”中能找出一些相等關係和不等關係嗎？

在正方形 中有4個全等的直角三角形。設直角三角形兩條直角邊長為 ，

那麼正方形的邊長為 .於是，

4個直角三角形的面積之和 ，

正方形的面積 .

由圖可知 ，即 .

探究二：先將兩張正方形紙片沿它們的對角線折成兩個等腰直角三角形，再用這兩個三角形拼接構造出一個矩形(兩邊分別等於兩個直角三角形的直角邊，多餘部分摺疊).假設兩個正方形的面積分別為 和 ( )，考察兩個直角三角形的面積與矩形的面積，你能發現一個不等式嗎？

通過學生動手操作，探索發現：

2.代數證明，得出結論

根據上述兩個幾何背景，初步形成不等式結論：

若 ，則 .

若 ，則 .

學生探討等號取到情況，教師演示幾何畫板，通過展示圖形動畫，使學生直觀感受不等關係中的相等條件，從而進一步完善不等式結論：

(1)若 ，則 ;(2)若 ，則

請同學們用代數方法給出這兩個不等式的證明。

證法一(作差法)：

，當 時取等號。

(在該過程中，可發現 的取值可以是全體實數)

證法二(分析法)：由於 ，於是

要證明？ ，只要證明？ ， 即證？ ，

即？ ，該式顯然成立，所以 ，當 時取等號。

得出結論，展示課題內容

基本不等式：

若 ，則 (當且僅當 時，等號成立)

若 ，則 (當且僅當 時，等號成立)

深化認識：

稱 為 的幾何平均數；稱 為 的算術平均數

2020高中數學基本不等式教學教案 篇五

[教學目標]

依據《新標準》對《不等式》學段的目標要求和本班學生實際情況，特確定如下目標：

1、知識與能力目標：理解掌握基本不等式，並能運用基本不等式解決一些簡單問題(求最值、證明不等式);培養學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。

2、過程與方法目標：按照創設情景，提出問題→ 剖析歸納證明→ 幾何解釋→ 應用(最值的求法、不等式的證明)的過程呈現。啟動觀察、分析、歸納、總結、抽象概括等思維活動，培養學生的思維能力，體會數學概念的學習方法，通過運用多媒體的教學手段，引領學生主動探索基本不等式性質，體會學習數學規律的方法，體驗成功的樂趣。

3、情感與態度目標：通過問題情境的設置，使學生認識到數學是從實際中來，培養學生用數學的眼光看世界，通過數學思維認知世界，從而培養學生善於思考、勤於動手的良好品質。

二、[教學重點]

基本不等式 的證明過程及應用。

三、[教學難點]

1、基本不等式成立時的三個限制條件(簡稱一正、二定、三相等)的正確理解；

2、靈活利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。

四、[教學方法]

本節課採啟發誘導、講練結合的教學方法，結合現代信息技術多媒體課件、幾何畫板作為教學輔助手段，加深學生對基本不等式的理解。

[教學用具]

多媒體、幾何畫板

六、[教學過程]

教學過程設計以問題為中心，以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調過程，符合學生的認知規律，使數學教學過程成為學生對知識的再創造、再發現的過程，從而培養學生的創新意識。

具體過程安排如下：

(一)、創設情景，提出問題；

上圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客。

[問]你能在這個圖中找出一些相等關係或不等關係嗎？

利用圖中相關面積間存在的數量關係，抽象出不等式 。在此基礎上，引導學生認識基本不等式。

同時，(幾何畫板輔助教學)通過幾何畫板演示，

讓學生更直觀的抽象、歸納出結論：

(二)、抽象歸納：

一般地，對於任意實數 ，有 ，當且僅當 時，等號成立。

[問] 你能給出它的證明嗎？

學生在黑板上板書。

特別地，當 時，在不等式 中，以 、分別代替 ，得到什麼？

答案： 。

【歸納總結】

如果 都是正數，那麼 ，當且僅當 時，等號成立。

我們稱此不等式為基本不等式。 其中 稱為 的算術平均數， 稱為 的幾何平均數。

(三)、理解昇華：

1、文字語言敍述：

兩個正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數。

2、符號語言敍述：

若 ，則有 ，當且僅當 時， 。

[問] 怎樣理解“當且僅當”?

3、探究基本不等式證明方法：

[問] 如何證明基本不等式？

方法一：作差比較或由 展開證明。

方法二：分析法。

分析法，實際上是尋找結論的充分條件，執果索因的一種思維方法。

4、探究基本不等式的幾何意義：