一、教學目標
知識與技能
（1）理解一元二次方程的意義。
（2）能熟練地把一元二次方程整理成一般形式並能指出它的二次項係數，一次項係數及常數項。
過程與方法
在分析、揭示實際問題的數量關係並把實際問題轉化成數學模型（一元二次方程）的過程中，使學生感受方程是刻畫現實世界數量關係的工具，增加對一元二次方程的感性認識。
情感、態度與價值觀
通過探索建立一元二次方程模型的過程，使學生積極參與數學學習活動，增進對方程的認識，發展分析問題、解決問題的能力。
二、教材分析：
教學重點難點
重點：經歷建立一元二次方程模型的過程，掌握一元二次方程的一般形式。
難點：準確理解一元二次方程的意義。
三、教學方法
創設情境——主體探究——合作交流——應用提高
四、學案
（1）預學檢測
3x-5=0是什麼方程？一元一次方程的定義是怎樣的？其一般形式是怎樣的？
五、教學過程
（一）創設情境、導入新
（1）自學本P2—P3並完成書本
（2）請學生分別回答書本內容再
（二）主體探究、合作交流
（1）觀察下列方程：
（35-2x）2=900 4x2-9=0 3y2-5y=7
它們有什麼共同點？它們分別含有幾個未知數？它們的左邊分別是未知數的幾次幾項式？
（2）一元二次方程的概念與一般形式？
如果一個方程通過移項可以使右邊為0，而左邊是隻含一個未知數的二次多項式，那麼這樣的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是已知數 a≠0），其中，a、b、c分別稱為二次項係數、一次項係數和常數項，如x2-x=56
（三）應用遷移、鞏固提高
例1：根據一元二次方程定義，判斷下列方程是否為一元二次方程？為什麼？
x2-x=1 3x(x-1)=5(x+2) x2=(x-1)2
例2：將方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，並寫出其中的二次項係數、一次項係數和常數項。
解：去括號得
3x2-3x=5x+10
移項，合併同類項，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0
其中二次項係數為3，一次項係數為-8，常數項為-10.
學生練習：書本P4練習
（四）總結反思 拓展昇華
總結
1、一元二次方程的定義是怎樣的？
2、一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0（a≠0），一元二次方程的項及係數都是根據一般式定義的，這與多項式中的項、次數及其係數的定義是一致的。
3、在實際問題轉化為一元二次方程數學模型的過程中，體會學習一元二次方程的必要性和重要性。
反思
方程ax3+bx2+cx+d=0是關於x的一元二次方程的條是a=0且b≠0，是一元一次方程的條是a=b=0 且c≠0.
（五）佈置作業
（1）必做題P4習題1.1A組 1.2
（2）選做題： 若xm-2=9是關於x的一元二次方程，試求代數式（m2-5m+6）÷（m2-2m）的值。
一元二次方程的應用（一）
一、素質教育目標
（－）知識教學點：使學生會用列一元二次方程的方法解有關數與數字之間關係的應用題。
（二）能力訓練點：通過列方程解應用問題，進一步提高分析問題、解決問題的能力。
二、教學重點、難點
1.教學重點：會用列一元二次方程的方法解有關數與數字之間的關係的應用題。
2.教學難點 ：根據數與數字關係找等量關係。
三、教學步驟
（一）明確目標
（二）整體感知：
（三）重點、難點的學習和目標完成過程
1.複習提問
（1）列方程解應用問題的步驟？
①審題，②設未知數，③列方程，④解方程，⑤答。
（2）兩個連續奇數的表示方法是，2n+1，2n-1；2n-1，2n-3；……（n表示整數）.
2.例1 兩個連續奇數的積是323，求這兩個數。
分析：（1）兩個連續奇數中較大的奇數與較小奇數之差為2，（2）設元（幾種設法） .設較小的奇數為x，則另一奇數為x+2， 設較小的奇數為x-1，則另一奇數為x+1； 設較小的奇數為2x-1，則另一個奇數2x+1.
以上分析是在教師的引導下，學生回答，有三種設法，就有三種列法，找三位學生使用三種方法，然後進行比較、鑑別，選出最簡單解法。
解法（一）
設較小奇數為x，另一個為x+2，
據題意，得x（x+2）=323.
整理後，得x2+2x-323=0.
解這個方程，得x1=17，x2=-19.
由x=17得x+2=19，由x=-19得x+2=-17，
答：這兩個奇數是17，19或者-19，-17.
解法（二）
設較小的奇數為x-1，則較大的奇數為x+1.
據題意，得（x-1）（x+1）=323.
整理後，得x2=324.
解這個方程，得x1=18，x2=-18.
當x=18時，18-1=17，18+1=19.
當x=-18時，-18-1=-19，-18+1=-17.
答：兩個奇數分別為17，19；或者-19，-17.
解法（三）
設較小的奇數為2x-1，則另一個奇數為2x+1.
據題意，得（2x-1）（2x+1）=323.
整理後，得4x2=324.
解得，2x=18，或2x=-18.
當2x=18時，2x-1=18-1=17；2x+1=18+1=19.
當2x=-18時，2x-1=-18-1=-19；2x+1=-18+1=-17
答：兩個奇數分別為17，19；-19，-17.
引導學生觀察、比較、分析解決下面三個問題：
1.三種不同的設元，列出三種不同的方程，得出不同的x值，影響最後的結果嗎？
2.解題中的x出現了負值，為什麼不捨去？
答：奇數、偶數是在整數範圍內討論，而整數包括正整數、零、負整數。3.選出三種方法中最簡單的一種。
練習
1.兩個連續整數的積是210，求這兩個數。
2.三個連續奇數的和是321，求這三個數。
3.已知兩個數的和是12，積為23，求這兩個數。
學生板書，練習，回答，評價，深刻體會方程的思想方法。例2 有一個兩位數等於其數字之積的3倍，其十位數字比個位數字小2，求這兩位數。
分析：數與數字的關係是：
兩位數=十位數字×10+個位數字。
三位數=百位數字×100+十位數字×10+個位數字。
解：設個位數字為x，則十位數字為x-2，這個兩位數是10（x-2）+x.
據題意，得10（x-2）+x=3x（x-2），
整理，得3x2-17x+20=0，
當x=4時，x-2=2，10（x-2）+x=24.
答：這個兩位數是24.
練習1 有一個兩位數，它們的十位數字與個位數字之和為8，如果把十位數字與個位數字調換後，所得的兩位數乘以原來的兩位數就得1855，求原來的兩位數。（35，53）
2.一個兩位數，其兩位數字的差為5，把個位數字與十位數字調換後所得的數與原數之積為976，求這個兩位數。
教師引導，啟發，學生筆答，板書，評價，體會。
（四）總結，擴展
1奇數的表示方法為 2n+1，2n-1，……（n為整數）偶數的表示方法是2n（n是整數），連續奇數（偶數）中，較大的與較小的差為2，偶數、奇數可以是正數，也可以是負數。
數與數字的關係
兩位數=（十位數字×10）+個位數字。
三位數=（百位數字×100）+（十位數字×10）+個位數字。
……
2.通過本節課內容的比較、鑑別、分析、綜合，進一步提高分析問題、解決問題的能力，深刻體會方程的思想方法在解應用問題中的用途。
四、佈置作業
教材P.42中A1、2、
一元二次方程的應用（一）
一、素質教育目標
（－）知識教學點：使學生會用列一元二次方程的方法解有關數與數字之間關係的應用題。
（二）能力訓練點：通過列方程解應用問題，進一步提高分析問題、解決問題的能力。
二、教學重點、難點
1.教學重點：會用列一元二次方程的方法解有關數與數字之間的關係的應用題。
2.教學難點 ：根據數與數字關係找等量關係。
三、教學步驟
（一）明確目標
（二）整體感知：
（三）重點、難點的學習和目標完成過程
1.複習提問
（1）列方程解應用問題的步驟？
①審題，②設未知數，③列方程，④解方程，⑤答。
（2）兩個連續奇數的表示方法是，2n+1，2n-1；2n-1，2n-3；……（n表示整數）.
2.例1 兩個連續奇數的積是323，求這兩個數。
分析：（1）兩個連續奇數中較大的奇數與較小奇數之差為2，（2）設元（幾種設法） .設較小的奇數為x，則另一奇數為x+2， 設較小的奇數為x-1，則另一奇數為x+1； 設較小的奇數為2x-1，則另一個奇數2x+1.
以上分析是在教師的引導下，學生回答，有三種設法，就有三種列法，找三位學生使用三種方法，然後進行比較、鑑別，選出最簡單解法。
解法（一）
設較小奇數為x，另一個為x+2，
據題意，得x（x+2）=323.
整理後，得x2+2x-323=0.
解這個方程，得x1=17，x2=-19.
由x=17得x+2=19，由x=-19得x+2=-17，
答：這兩個奇數是17，19或者-19，-17.
解法（二）
設較小的奇數為x-1，則較大的奇數為x+1.
據題意，得（x-1）（x+1）=323.
整理後，得x2=324.
解這個方程，得x1=18，x2=-18.
當x=18時，18-1=17，18+1=19.
當x=-18時，-18-1=-19，-18+1=-17.
答：兩個奇數分別為17，19；或者-19，-17.
解法（三）
設較小的奇數為2x-1，則另一個奇數為2x+1.
據題意，得（2x-1）（2x+1）=323.
整理後，得4x2=324.
解得，2x=18，或2x=-18.
當2x=18時，2x-1=18-1=17；2x+1=18+1=19.
當2x=-18時，2x-1=-18-1=-19；2x+1=-18+1=-17
答：兩個奇數分別為17，19；-19，-17.
引導學生觀察、比較、分析解決下面三個問題：
1.三種不同的設元，列出三種不同的方程，得出不同的x值，影響最後的結果嗎？
2.解題中的x出現了負值，為什麼不捨去？
答：奇數、偶數是在整數範圍內討論，而整數包括正整數、零、負整數。3.選出三種方法中最簡單的一種。
練習
1.兩個連續整數的積是210，求這兩個數。
2.三個連續奇數的和是321，求這三個數。
3.已知兩個數的和是12，積為23，求這兩個數。
學生板書，練習，回答，評價，深刻體會方程的思想方法。例2 有一個兩位數等於其數字之積的3倍，其十位數字比個位數字小2，求這兩位數。
分析：數與數字的關係是：
兩位數=十位數字×10+個位數字。
三位數=百位數字×100+十位數字×10+個位數字。
解：設個位數字為x，則十位數字為x-2，這個兩位數是10（x-2）+x.
據題意，得10（x-2）+x=3x（x-2），
整理，得3x2-17x+20=0，
當x=4時，x-2=2，10（x-2）+x=24.
答：這個兩位數是24.
練習1 有一個兩位數，它們的十位數字與個位數字之和為8，如果把十位數字與個位數字調換後，所得的兩位數乘以原來的兩位數就得1855，求原來的兩位數。（35，53）
2.一個兩位數，其兩位數字的差為5，把個位數字與十位數字調換後所得的數與原數之積為976，求這個兩位數。
教師引導，啟發，學生筆答，板書，評價，體會。
（四）總結，擴展
1奇數的表示方法為 2n+1，2n-1，……（n為整數）偶數的表示方法是2n（n是整數），連續奇數（偶數）中，較大的與較小的差為2，偶數、奇數可以是正數，也可以是負數。
數與數字的關係
兩位數=（十位數字×10）+個位數字。
三位數=（百位數字×100）+（十位數字×10）+個位數字。
……
2.通過本節課內容的比較、鑑別、分析、綜合，進一步提高分析問題、解決問題的能力，深刻體會方程的思想方法在解應用問題中的用途。
四、佈置作業
教材P.42中A1、2、
本節是一元二次方程的應用的繼續和發展，由於能用一元二次方程解的應用題，一般都可以用算術方法解而需要用一元二次方程來解的應用題，一般説是不能用算術方法來解的，所以講本節可以使學生認識到用代數方法解應用題的優越性和必要性。
列一元二次方程解應用題，其應用相當廣泛，如在幾何、物理及其他學科中都有應用；其數量關係也比可以用一元一次方程解決的問題複雜的多。因此，本節所學習的內容，不僅是中學數學中的重點，也是難點。
在教學過程中，通過列一元二次方程解應用題提高學生的邏輯思維能力和分析、解決問題的能力。
教學內容
一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關概念．
教學目標
瞭解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；應用一元二次方程概念解決一些簡單題目．
1．通過設置問題，建立數學模型，模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義．
2．一元二次方程的一般形式及其有關概念．
3．解決一些概念性的題目．
4．態度、情感、價值觀
4．通過生活學習數學，並用數學解決生活中的問題來激發學生的學習熱情．
重難點關鍵
1．重點：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關概念並用這些概念解決問題．
2．難點關鍵：通過提出問題，建立一元二次方程的數學模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念．
教學過程
一、複習引入
學生活動：列方程．
問題（1）《九章算術》“勾股”章有一題：“今有户高多於廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問户高、廣各幾何？”
大意是説：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那麼門的高和寬各是多少？
如果假設門的高為x尺，那麼，這個門的寬為_______尺，根據題意，得________．
整理、化簡，得：__________．
問題（2）如圖，如果 ，那麼點C叫做線段AB的黃金分割點．
如果假設剪後的正方形邊長為x，那麼原來長方形長是________，寬是_____，根據題意，得：_______．
整理，得：________．
老師點評並分析如何建立一元二次方程的數學模型，並整理．
二、探索新知
學生活動：請口答下面問題．
（1）上面三個方程整理後含有幾個未知數？
（2）按照整式中的多項式的規定，它們最高次數是幾次？
（3）有等號嗎？或與以前多項式一樣只有式子？
老師點評：（1）都只含一個未知數x；（2）它們的最高次數都是2次的；（3）都有等號，是方程．
因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），並且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一個關於x的一元二次方程，經過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．
一個一元二次方程經過整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）後，其中ax2是二次項，a是二次項係數；bx是一次項，b是一次項係數；c是常數項．
例1．將方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，並寫出其中的二次項係數、一次項係數及常數項．
分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必須運用整式運算進行整理，包括去括號、移項等．
解：去括號，得：
40-16x-10x+4x2=18
移項，得：4x2-26x+22=0
其中二次項係數為4，一次項係數為-26，常數項為22．
例2．（學生活動：請二至三位同學上台演練） 將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，並寫出其中的二次項、二次項係數；一次項、一次項係數；常數項．
分析：通過完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．
解：去括號，得：
x2+2x+1+x2-4=1
移項，合併得：2x2+2x-4=0
其中：二次項2x2，二次項係數2；一次項2x，一次項係數2；常數項-4．
三、鞏固練習
教材P32 練習1、2
四、應用拓展
例3．求證：關於x的方程（2-8+17）x2+2x+1=0，不論取何值，該方程都是一元二次方程．
分析：要證明不論取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明2-8+17≠0即可．
證明：2-8+17=（-4）2+1
∵（-4）2≥0
∴（-4）2+1>0，即（-4）2+1≠0
∴不論取何值，該方程都是一元二次方程．
五、歸納小結（學生總結，老師點評）
本節課要掌握：
（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次項、二次項係數，一次項、一次項係數，常數項的概念及其它們的運用．
六、佈置作業
教材分析
1．本節在引言中的方程基礎上，首先通過兩個實際問題，進一步引出一元二次方程的具體例子，然後引導學生觀察出它們的共同點，得出一元二次方程的定義。
2．書中的定義是以未知數的個數和次數為標準，用文字的形式給出的。一元二次方程都可以整理為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，即一元二次方程的一般形式。
3、本節始終都有列方程的內容，這樣安排一方面是分散列方程這一教學難點，化整為零地培養由實際問題抽象出方程模型的能力；另一方面是為由一些具體的方程歸納出一元二次方程的概念。
學情分析
1、通過課堂練習，大部分學生對概念基本理解，能夠找出各項係數，但有少數學困生對於係數符號沒有掌握。
2、部分學生由於基礎較薄弱，用一元二次方程解決實際問題有一定的`難度，解決這問題要以多練為主。
3、學生認知障礙點：一元二次方程與不等式和整式的綜合運用能力有待提高。
教學目標
1、從實際問題引出一元二次方程，使學生進一步體會方程是刻畫現實世界中數量關係的一個有效數學模型，培養學生分析問題和解決問題的能力及用數學的意識。
2、使學生正確理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，並能將一元二次方程轉化為一般形式，正確識別二次項係數、一次項係數及常數項。
3、通過概念教學，培養學生的觀察、類比、歸納能力，同時通過變式練習，使學生對概念理解具備完整性和深刻性。
教學重點和難點
1、重點：概念的形成及一般形式。
2、難點：從實際問題引出一元二次方程；正確識別一般形式中的“項”及“係數”。
教材分析
一元二次方程是一種數學建模的方法，它有着廣泛的實際背景，可以作為許多實際問題的數學模型。它體現了數學的轉化思想，學好一元二次方程是學好二次函數不可或缺的，一元二次方程是高中數學的奠基工程。是本書的重點內容，為後續學習打下良好的基礎。
學情分析
1、經過兩年的合作，我們班的學生已比較配合我上課，同時九年級學生觀察、類比、概括、歸納能力也都比較強，不過對應用題的分析他們還是覺得很頭疼，在今後應用題的教學中需進一步加強。
2、一元二次方程是在學習《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基礎之上學習的，一元二次方程是一次方程向二次方程的轉化，是低次方程轉向高次方程求解方法的階梯。一元二次方程又是二次函數的特例。
教學目標
一、知識目標
1、在分析、揭示實際問題的數量關係並把實際問題轉化為數學模型（一元二次方程）的過程中，使學生感受方程是刻畫現實世界數量關係的工具，，增加對一元二次方程的感性認識。
2、理解一元二次方程的概念。
3、掌握一元二次方程的一般形式，正確認識二次項係數、一次項係數及常數項。
二、能力目標
1、通過一元二次方程的引入，培養學生建模思想，歸納、分析問題及解決問題的能力。
2、由知識來源於實際，樹立轉化的思想，由設未知數、列方程向學生滲透方程的思想，進一步提高學生分析問題、解決問題的能力。
四、情感目標
1、培養學生主動探究知識、自主學習和合作交流的意識。
2、激發學生學數學的興趣，體會學數學的快樂，培養用數學的意識
教學重點和難點
教學重點: 一元二次方程的概念和它的一般形式
難點:1、從實際問題中抽象出一元二次方程。2、正確識別一般式中的“項”及“係數”
教學目標
1、瞭解整式方程和一元二次方程的概念；
2、知道一元二次方程的一般形式，會把一元二次方程化成一般形式。
3、通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源於實踐又反過來作用於實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。
教學重點和難點：
重點：一元二次方程的概念和它的一般形式。
難點：對一元二次方程的一般形式的正確理解及其各項係數的確定。
教學建議：
1、教材分析：
1)知識結構：本小節首先通過實例引出一元二次方程的概念，介紹了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各項的名稱。
2)重點、難點分析
理解一元二次方程的定義：
是一元二次方程的重要組成部分。方程，只有當時，才叫做一元二次方程。如果且，它就是一元二次方程了。解題時遇到字母系數的方程可能出現以下情況：
（1)一元二次方程的條件是確定的，如方程( ），把它化成一般形式為，由於，所以，符合一元二次方程的定義。
（2）條件是用“關於的一元二次方程”這樣的語句表述的，那麼它就隱含了二次項係數不為零的條件。如“關於的一元二次方程”，這時題中隱含了的條件，這在解題中是不能忽略的。
（3）方程中含有字母系數的項，且出現“關於的方程”這樣的語句，就要對方程中的字母系數進行討論。如：“關於的方程”，這就有兩種可能，當時，它是一元一次方程；當時，它是一元二次方程，解題時就會有不同的結果。
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