一次函數的表達式是y=kx+b (k≠b k、b是常數)，其中是x自變量，y是因變量，讀作y是x的一次函數，當x取一個值時，y有且只有一個值與x對應，如果有兩個或兩個以上的值與x對應，那麼這個函數就不是一次函數。
一次函數表達式求解：
一次函數也叫做線性函數，一般在x，y座標軸中用一條直線來表示，當一次函數中的一個變量的值確定的情況下，可以用一元一次方程來解答出另一個變量的值。
一次函數的表達方式一般都為y=kx+b的函數，叫做y是x的一次函數，當常數項為零時的一次函數，可表示為y=kx（k≠0），這時的常數k也叫比例係數。常用來表示一次函數的方法有解析法，圖像法和列表法。一次函數的解析式一般分為點斜式，兩點式，截距式。
解答一次函數的作法最簡單的就是列表法，取一個滿足一次函數表達式的兩個點的座標，來確定另一個未知數的值。還有一個描點法。一般取兩個點，根據“兩點確定一條直線”的道理，也可叫“兩點法”。通常情況下y=kx+b(k≠0）的圖象過（0，b）和（-b/k，0）兩點即可畫出。
一次函數與一次方程之間的關係：
一次函數、方程和不等式是國中數學的主要內容之一，也是會考的必考知識點，新課程標準把三部分的關係提到了十分明朗化的程度。因此，應該重視這部分內容的教學在教學中，可以從以下幾個知識點進行辨析。
任何一個一元一次方程都可以轉化成ax+b=0（a，b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的值為0時，求相應的自變量的值（從數的角度）；從圖像上來看，就相當於已知直線y=ax+b，確定它與x軸的交點橫座標的值（從形的角度）。
利用函數圖像解方程：-2x+2=0，可以轉化為求一次函數y=-2x+2與x軸交點的橫座標。而y=-2x+2與x軸交點的橫座標為1，所以方程-2x+2=0的解為x=1。
注意：解一元一次方程ax+b=0（a≠0）與求函數y=ax+b(a≠0)的圖像與x軸交點的橫座標是同一個問題。不同的是前者從數的角度來解決問題，後者從形的角度來解決問題。
每個二元一次方程組都對應兩個一次函數，從數的角度來看，解方程組相當於考慮自變量為何值時兩個函數的值相等，以及這個函數是何值；從形的角度來看，解方程組相當於確定兩條直線交點的座標，從而使方程組得出答案。
〖教學目標〗◆1、理解正比例函數、一次函數的概念。◆2、會根據數量關係，求正比例函數、一次函數的解析式。 ◆3、會求一次函數的值。〖教學重點與難點〗◆教學重點：一次函數、正比例函數的概念和解析式。◆教學難點：例2的問題情境比較複雜，學生缺乏這方面的經驗。 〖教學過程〗 比較下列各函數，它們有哪些共同特徵？ 提示：比較所含的代數式均為整式，代數式中表示自變量的字母次數都為一次。 定義：一般地，函數 叫做一次函數。當 時，一次函數 就成為 叫做正比例函數，常數 叫做比例係數。 強調：（1）作為一次函數的解析式 ，其中 中，哪些是常量，哪些是變量？哪一個是自變量，哪一個是自變量的函數？其中 符合什麼條件？ （2）在什麼條件下， 為正比例函數？ （3）對於一般的一次函數，它的自變量的取值範圍是什麼？ 做一做： 下列函數中，哪些是一次函數？哪些是正比例函數？係數 和常數項 的值各為多少？ 例1：求出下列各題中 與 之間的關係，並判斷 是否為 的一次函數，是否為正比例函數： （1） 某農場種植玉米，每平方米種玉米6株，玉米株數 與種植面積 之間的關係。 （2） 正方形周長 與面積 之間的關係。 （3） 假定某種儲蓄的月利率是0.16%，存入1000元本金後。本錢 與所存月數 之間的關係。 此例是為了及時鞏固一次函數、正比例函數的概念，相對比較容易，可以讓學生自己完成。 解：（1）因為每平方米種玉米6株，所以平方米能種玉米 株。得 ， 是 的一次函數，也是正比例函數。 （2）由正方形面積公式，得 ， 不是 的一次函數，也不是正比例函數。 （3）因為該種儲蓄的月利率是0.16%，存 月所得的利息為 ，所以本息和 ， 是 的一次函數，但不是 的正比例函數。 練習：1.已知 若 是 的正比例函數，求 的值。 2.已知 是 的一次函數，當 時， ；當 時， （1） 求 關於 的一次函數關係式。 （2） 求當 時， 的值。 例2：按國家1999年8月30日公佈的有關個人所得税的規定，全月應納税所得額不超過500元的税率為5%，超過500元至XX元部分的税率為10% （1） 設全月應納税所得額為 元，且 。應納個人所得税為 元，求 關於 的函數解析式和自變量的取值範圍。 （2） 小明媽媽的工資為每月2600元，小聰媽媽的工資為每月2800元。問她倆每月應納個人所得税多少元？ 提示：此題較為複雜，而有關個人所得税的計算方法和一些專有名詞學生可能很生疏。所以講解時，首先要幫助學生理解問題，對個人所得税，應納税所得額這些名詞的含義要予以説明。尤其是根據累進税率計算個人所得税的方法，要舉例説明。例如，某人某月工資收入為2400元，則應納税所得額為 ，應納個人所得税為 。講解第（2）題時，要提醒學生注意函數解析式 中自變量 的意義， 表示的是工資中應納税的部分，所以不能把題設中的工資額直接代入函數解析式計算個人所得税。 解：（1） 所求的函數解析式為 ，自變量 的取值範圍為 。 （2）小明媽媽的全月應納税所得額為 將 代入函數解析式，得 小聰媽媽的全月應納税所得額為 將 代入函數解析式，得 答：小明媽媽每月應納個人所得税155元，小聰媽媽每月應納個人所得税175元。 練習：教科書 ，1，2。 作業：教科書 a組 ，b組；作業本（2）。
“説課”是教學改革中湧現出來的新生事物，是進行教學研究、教學交流和教學探討的一種新的教學研究形式，也是集體備課的進一步發展，而【説課稿】則是為進行説課準備的文稿，它不同於教案，教案只説“怎樣教”，説課稿則重點説清“為什麼要這樣教”。下面是關於國中數學説課稿《一次函數的圖像》，歡迎大家借鑑！
國中數學説課稿《一次函數的圖像》
根據新課標的理念，對於本節課，我將以教什麼，怎樣教，為什麼這樣教為思路，從教材分析，學情分析，教學目標分析，教學方法分析，教學過程分析，教學評價六個方面加以説明。
一。教材分析
1.教材的地位和作用
本節教材是國中數學 8年級(下)第18章第3節第二課時的內容，函數是數學中重要的基本概念之一，也是國中數學的重要內容之一，它揭示了現實世界中數量關係之間相互依存和變化的實質，是刻畫和研究現實世界變化規律的重要模型。第18章，既是學生函數的入門，也是進一步學習的基礎。
作為本節內容，一方面，這是在學習了《變量與函數》、《函數的圖像》的基礎上，對函數意義的進一步深入和拓展；另一方面，又為學習《一次函數的性質》等知識奠定了基礎，是進一步研究現實世界中數量關係的工具性內容。鑑於這種認識，我認為，本節課不僅有着廣泛的實際應用，而且起着承前啟後的作用。
2.教學重難點
根據以上對教材的地位和作用，以及學情分析，結合新課標對本節課的要求，我將本節課的重點確定為：一次函數與正比例函數概念、圖像的理解；難點確定為：k、b的取值與一次函數圖像位置的關係。
二。學情分析
從心理特徵來説，國中階段的學生邏輯思維從經驗型逐步向理論型發展，觀察能力，記憶能力和想象能力也隨着迅速發展。但同時，這一階段的學生好動，注意力易分散，愛發表見解，希望得到老師的關注或表揚，所以在教學中應抓住這些特點，一方面運用直觀生動的形象，引發學生的興趣，使他們的注意力始終集中在課堂上；另一方面，要創造條件和機會，讓學生髮表見解，發揮學生學習的主動性。
從認知狀況來説，學生在此之前已經學習了《變量與函數》、《函數的圖像》，對函數的意義已經有了初步的認識，這為順利完成本節課的教學任務打下了基礎，但對於函數圖像的理解，由於其抽象程度較高，學生可能會產生一定的困難，所以教學中應注意發展學生數形結合的思想。
三。教學目標分析
新課標指出，教學目標應包括知識與技能目標，過程與方法目標，情感、態度、價值觀目標這三個方面，而這三維目標又應是緊密聯繫的一個有機整體，學生學會知識與技能的過程同時也是學生學會學習，形成正確價值觀的過程，這告訴我們，在教學中應以知識與技能為主線，滲透情感態度價值觀，並把這兩者充分體現在過程與方法中。
1.知識與技能
理解一次函數和正比例函數的圖象是一條直線，熟練地作出一次函數和正比例函數的圖象，掌握 k與b的取值對直線位置的影響。
2.過程與方法
經歷一次函數的作圖過程，探索某些一次函數圖象的異同點；
3.情感態度與價值觀
體會用類比的思想研究一次函數，體驗研究數學問題的常用方法：由特殊到一般，由簡單到複雜。
四。教學方法分析
現代教學理論認為，在教學過程中，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者，教學的一切活動都必須以強調學生的主動性、積極性為出發點。根據這一教學理念，結合本節課的內容特點和學生的年齡特徵，本節課我採用啟發式、討論式以及講練結合的教學方法，以問題的提出、問題的解決為主線，始終在學生知識的“最近發展區”設置問題，倡導學生主動參與教學實踐活動，以獨立思考和相互交流的形式，在教師的知道下發現、分析和解決問題，在引導分析時，給學生流出足夠的思考時間和空間，讓學生去聯想、探索，從真正意義上完成對知識的自我建構。
五。教學過程分析
新課標指出，數學教學過程是教師引導學生進行學習活動的過程，是教師和學生間互動的過程，是師生共同發展的過程。為有序、有效地進行教學，本節課我主要安排以下教學環節：
(一)創設情境
前面我們學習了用描點法畫函數的圖象的方法，下面請同學們根據畫圖象的步驟：列表、描點、連線，在同一平面直角座標系中畫出下列函數的圖象。
(1)y=-1/2x ;(2)y=-1/2x+2; (3) y=3x; (4) y=3x+2。
教學説明：
第一步、對於函數(1)應結合以前函數圖像的作法詳細講解。特別注意學生在列表取值，平面直角座標系的正方向、單位長度，描點的正確性等學生作圖的易錯點。
第二步、學生自主完成函數(2)的圖像。
第三步、同學們觀察並互相討論，並回答：你所畫出的圖象是什麼形狀？
一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線，這條直線通常又稱為直線y=kx+b(k≠0).又因為兩點可以確定一條直線，所以今後畫一次函數圖象時只要取兩點，過兩點畫一條直線就可以了。
第四步、學生用兩點法作出函數(3)(4)的圖像。
觀察上面四個函數的圖象，發現它們都是直線。請同學舉例對他們的發現作出驗證。
設計意圖：教學應從學生已有的知識體系出發，作函數圖像是本節課深入研究一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象的認知基礎，這樣設計有利於引導學生順利地進入學習情境。
(二)探究歸納
再觀察上面四個函數的圖象，也就是k、b的取值與一次函數圖像位置的關係：
(1) y=-1/2x+2是由直線y=-1/2x向上移動2個單位得到的；而直線y=3x+2是由直線y=3x分別向上移動2個單位得到的。
(2) y=-1/2x+2與y=3x+2的交點在同一點，是因為兩條直線的b相同；即直線與y軸的交點縱座標取決於b。
由此得出結論，兩個一次函數，當k一樣，b不一樣時有共同點：直線平行，都是由直線y=kx(k≠0)向上或向下移動得到；
不同點：它們與y軸的交點不同。
而當兩個一次函數，b一樣，k不一樣時，有共同點：它們與y軸交於同一點(0，b);不同點：直線不平行。
補充説明：由於上述函數只有b>0的情況，不能體現將正比例函數向下平移，因此我在教學中讓學生自主完成了b<0時的圖像以利於學生理解圖像向下平移的情況。
設計意圖：現代數學教學理論認為：教學必須在學生自主探索，經驗歸納的基礎上獲得，教學中必須展現思維的過程性，在這裏，通過觀察分析、獨立思考、小組交流等活動，引導學生歸納使學生有一個完整的知識形成過程。
(三)實踐應用
1.完成課本例1
注意引導讓學生討論、交流，及時反饋知識在實際中的應用。
2.完成課後練習
設計意圖：幾道例題及練習題由淺入深、由易到難、各有側重，體現新課標提出的讓更多的學生在數學上得到不同發展的教學理念。這一環節總的設計意圖是反饋教學，內化知識。
(四) 小結歸納，拓展深化
我的理解是，小結歸納不應該僅僅是知識的簡單羅列，而應該是優化認知結構，完善知識體系的一種有效手段，為充分發揮學生的主體作用，應從學習的知識、方法、體驗幾個方面進行歸納，我設計了這麼三個問題：
① 通過本節課的學習，你學會了哪些知識；
② 通過本節課的學習，你最大的體驗是什麼；
③ 通過本節課的學習，你掌握了哪些學習數學的方法？
(五)佈置作業，提高升華
以作業的鞏固性和發展性為出發點，我設計了必做題和選做題，必做題是對本節課內容的一個反饋，選做題是對本節課知識的一個延伸。總的設計意圖是反饋教學，鞏固提高。
以上幾個環節環環相扣，層層深入，並充分體現教師與學生的交流互動，在教師的整體調控下，學生通過動腦思考、層層遞進，對知識的理解逐步深入，使課堂效益達到最佳狀態。
六。教學評價
本課教學注意挖掘教材，體現學生的主體地位；同時以問題為載體，探究為主線，有意識地留給學生適度的思維空間，從不同視角上展示不同層次學生的學習水平，使傳授知識與培養能力融為一體。説課對我來説仍是新事物，今後我也將進一步説好課，並希望各位專家領導對本堂説課提出寶貴意見，謝謝大家！
學習目標：
1. 知道一次函數和正比例函數的概念，能根據所給的信息確定一次函數的表達式。
2.自主經歷一次函數概念的抽象概括過程，努力拓展自己的抽象思維能力。
3.感知生活與數學間的聯繫，增強自己的數學應用能力。
學習重點：
1. 一次函數與正比例函數的概念
2. 確定一次函數的表達式
學習難點：
用一次函數解決實際問題
學習過程：
一。學前準備
1. 自學課本157頁到161頁，寫下疑惑摘要：
2. 試寫出下列各題中y與x之間的關係式，判斷y是否為x的函數？
（1） 一棵樹現高50cm，每個月長高2cm，x個月後這棵樹的高度為y（cm）
（2）王大媽買了30元麪粉，又買了某種大米，單價是2.6元，購買x千克大米時，一共花費y元。
（3）某種出租車的起步價是7元（3千米內），以後每走1千米（不足1千米按1千米計算）付2.4元。某人乘出租車x千米（x＞3），付費y元。
二。自學、合作探究
（一）自學、相信自己
1.某彈簧的自然長度為3cm，在彈性限度內，所掛物體的質量x每增加1kg，彈簧長度y增加0.5cm。
（1）計算所掛物體質量分別為1kg、2kg、3kg、4kg、5kg時彈簧長度，填表：
x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
（2）請寫出y與x之間的關係式。
2.某汽車油箱中原有汽油100l，汽車每行駛50km耗油9l。
（1）完成下表
行駛x/km
0
50
100
150
200
300
剩油量y/l
（2）請寫出y與x之間的關係式。
（二）思索、交流
1.觀察上面各題結果，關係式有什麼特點？能否用自己的話説説可以表示成什麼樣的形式？
2.練習
寫出下列各題中x與y之間的關係式。判斷y是否為x的一次函數？是否為正比例函數？
（1） 汽車以60km/h的速度勻速行駛，行駛路程y（km）與行駛時間x（h）間的關係。
（2） 圓的面積y（cm2）與它的半徑x（cm）之間的關係。
（3）如圖，甲、乙兩地相距100千米，現有一列火車從乙地出發，以80千米/時的速度向丙地行駛。設x（時）表示行駛時間，y（千米）表示火車與甲地的距離。甲 乙 丙
（三）應用、探究
1.我國現行個人工資、薪金所得税徵收辦法規定：月收入低於1000元的部分不收税；月收入超過1000元但低於1300元的部分徵收5%的所得税……
（1）當月收入大於1000元而小於1300元時，寫出應繳所得税y（元）與月收入x（元）之間的關係式。
（2）某人月收入1260元，應繳納所得税多少元？
（3）如某人本月繳所得税12元，則此人本月工資多少元？
2.某聯通公司的手機收費標準如下：每部手機每月繳納月租費25元，另每通話1分鐘交費0.18元。
(1)寫出每月應繳費用y（元）與通話時間x（分）之間的關係式。
(2)自己提出一個問題並解決。
3.某電信公司的手機收費標準如下：沒有月租費，但通話1分鐘交費0.6元。請完成上題中的問題。
思考：你能結合2、3兩題提一個問題嗎？試試看，並解決。
三。學習體會
1. 體會一次函數與正比例函數的概念以及兩者之間的關係。
2. 知道一次函數的表達式是什麼？
四。自我測試
1. 選擇
（1）下列各式中，表示y是x的正比例函數的是（ ）
a.y=x+1 b.y= c.y=x2 d.y=
（2）等腰三角形的周長為12，腰為x，底邊為y，則底邊y與腰x之間的關係式為
a.y=12-2x b.y=6-x c.y= d.y=
2. 填空
從a地向b地打長途電話，按時收費，3分鐘內收費2.4元，每加1分，加收1.2元，如時間t≥3時，電話費y（元）與t（分）之間的關係是 ，
是 函數。
3.解決問題
有一種電腦的收費方式如下：第一次付費XX元就把電腦搬回家，但每月需向廠家付250元。
（1）若分期付款需x月，寫出共付費y(元)與x（月）之間的關係式
（2）如需交6個月的分期付款，共付費多少元？
（3）如這個電腦共付費4900元，那麼需交多少個月的分期付款？
五。自我提高
某批發商欲將一批海產品委託汽車運輸公司由a地運往到b地，路程為120千米，汽車的速度為60千米/時，貨運公司的收費項目及收費標準如下表：
運輸量單價 （元/噸·千米）
冷藏費單價 （元/噸·時）
過路費（元）
2
5
200
1、設該批發商待運的海產品有x噸，貨運公司要收取的費用為y元，試寫出y與x之間的關係式。
2、如該批發商想運送5噸的海產品，付出運費1400元，運輸公司願意嗎？假如你是公司的經理，你接受嗎？
教學目標：
1、知道與正比例函數的意義。
2、能寫出實際問題中正比例關係與關係的解析式。
3、滲透數學建模的思想，使學生體會到數學的抽象性和廣泛的應用性。
4、激發學生學習數學的興趣，培養學生分析問題、解決問題的能力。
教學重點：對於與正比例函數概念的理解。
教學難點：根據具體條件求與正比例函數的解析式。
教學方法：結構教學法、以學生“再創造”為主的教學方法
教學過程：
1、複習舊課
前面我們學習了函數的相關知識，(教師在黑板上畫出本章結構並讓學生説出前三節的內容)
2、引入新課
就象以前我們學習方程、一元一次方程；不等式、一元一次不等式的內容時一樣，我們在學習了函數這個概念以後，要學習一些具體的函數，今天我們要學習的是。
顧名思義，誰能根據這個名字，類比一元一次方程、一元一次不等式的概念能舉出一些的例子？（學生完全具備這種類比的能力，所以要快、不要耽誤太多時間叫幾個同學回答就可以了。教師將學生的正確的例子寫在黑板上）
這些函數有什麼共同特點呢？(注意根據學生情況適當引導，看能否歸納出一般結果。)不難看出函數都是用自變量的一次式表示的，可以寫成
（ ）
的形式。
一般地，如果
（ 是常數， ）（括號內用紅字強調）
那麼y叫做x的。
特別地，當b＝0時， 就成為
（ 是常數， ）
3、例題講解
例1、某油管因地震破裂，導致每分鐘漏出原油30公升
（1）如果x 分鐘共漏出y 公升，寫出y與x之間的函數關係式
（2）破裂3.5小時後，共漏出原油多少公升
分析：y與x成正比例
解：（1）
（2） （升）
第 1 2 頁
11.2 一次函數
§11.2.1 正比例函數
教學目標
1.認識正比例函數的意義。
2.掌握正比例函數解析式特點。
3.理解正比例函數圖象性質及特點。
4.能利用所學知識解決相關實際問題。
教學重點
1.理解正比例函數意義及解析式特點。
2.掌握正比例函數圖象的性質特點。
3.能根據要求完成轉化，解決問題。
教學難點
正比例函數圖象性質特點的掌握。
教學過程
ⅰ.提出問題，創設情境
一九九六年，鳥類研究者在芬蘭給一隻燕鷗（候鳥）套上標誌環。4個月零1周後人們在2.56萬千米外的澳大利亞發現了它。
1.這隻百餘克重的小鳥大約平均每天飛行多少千米（精確到10千米）？
2.這隻燕鷗的行程y（千米）與飛行時間x（天）之間有什麼關係？
3.這隻燕鷗飛行1個半月的行程大約是多少千米？
我們來共同分析：
一個月按30天計算，這隻燕鷗平均每天飛行的路程不少於：
25600÷（30×4+7）≈200（km）
若設這隻燕鷗每天飛行的路程為200km，那麼它的行程y（千米）就是飛行時間x（天）的函數。函數解析式為：
y=200x（0≤x≤127）
這隻燕鷗飛行1個半月的行程，大約是x=45時函數y=200x的值。即
y=200×45=9000（km）
以上我們用y=200x對燕鷗在4個月零1周的飛行路程問題進行了刻畫。儘管這只是近似的，但它可以作為反映燕鷗的行程與時間的對應規律的一個模型。
類似於y=200x這種形式的函數在現實世界中還有很多。它們都具備什麼樣的特徵呢？我們這節課就來學習。
ⅱ.導入新課
首先我們來思考這樣一些問題，看看變量之間的對應規律可用怎樣的函數來表示？這些函數有什麼共同特點？
1.圓的周長l隨半徑r的大小變化而變化。
2.鐵的密度為7.8g/cm3.鐵塊的質量m（g）隨它的體積v（cm3）的大小變化而變化。
3.每個練習本的厚度為0.5cm.一些練習本摞在一些的總厚度h（cm）隨這些練習本的本數n的變化而變化。
4.冷凍一個0℃的物體，使它每分鐘下降2℃.物體的温度t（℃）隨冷凍時間t（分）的變化而變化。
答應：1.根據圓的周長公式可得：l=2 r.
2.依據密度公式p= 可得：m=7.8v.
3.據題意可知： h=0.5n.
4.據題意可知：t=-2t.
我們觀察這些函數關係式，不難發現這些函數都是常數與自變量乘積的形式，和y=200x的形式一樣。
一般地，形如y=kx（k是常數，k≠0）的函數，叫做正比例函數（proportional func-tion），其中k叫做比例係數。
我們現在已經知道了正比例函數關係式的特點，那麼它的圖象有什麼特徵呢？
[活動一]
畫出下列正比例函數的圖象，並進行比較，尋找兩個函數圖象的相同點與不同點，考慮兩個函數的變化規律。
1.y=2x 2.y=-2x
結論：
1.函數y=2x中自變量x可以是任意實數。列表表示幾組對應值：
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -6 -4 -2 0 2 4 6
畫出圖象如圖（1）.
2.y=-2x的自變量取值範圍可以是全體實數，列表表示幾組對應值：
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 6 4 2 0 -2 -4 -6
畫出圖象如圖（2）.
3.兩個圖象的共同點：都是經過原點的直線。
不同點：函數y=2x的圖象從左向右呈上升狀態，即隨着x的增大y也增大；經過第一、三象限。函數y=-2x的圖象從左向右呈下降狀態，即隨x增大y反而減小；經過第二、四象限。
嘗試練習：
在同一座標系中，畫出下列函數的圖象，並對它們進行比較。
1.y= x 2.y=- x
x -6 -4 -2 0 2 4 6
y= x
-3 -2 -1 0 1 2 3
y=- x
3 2 1 0 -1 -2 -3
比較兩個函數圖象可以看出：兩個圖象都是經過原點的直線。函數y= x的圖象從左向右上升，經過三、一象限，即隨x增大y也增大；函數y=- x的圖象從左向右下降，經過二、四象限，即隨x增大y反而減小。
讓學生在完成上述練習的基礎上總結歸納出正比例函數解析式與圖象特徵之間的規律：正比例函數y=kx（k是常數，k≠0）的圖象是一條經過原點的直線。當x>0時，圖象經過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當k<0時，圖象經過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小。
正是由於正比例函數y=kx（k是常數，k≠0）的圖象是一條直線，我們可以稱它為直線y=kx.
[活動二]
經過原點與點（1，k）的直線是哪個函數的圖象？畫正比例函數的圖象時，怎樣畫最簡單？為什麼？
讓學生利用總結的正比例函數圖象特徵與解析式的關係，完成由圖象到關係式的轉化，進一步理解數形結合思想的意義，並掌握正比例函數圖象的簡單畫法及原理。
結論：
經過原點與點（1，k）的直線是函數y=kx的圖象。
畫正比例函數圖象時，只需在原點外再確定一個點，即找出一組滿足函數關係式的對應數值即可，如（1，k）.因為兩點可以確定一條直線。
ⅲ.隨堂練習
用你認為最簡單的方法畫出下列函數圖象：
1.y= x 2.y=-3x
ⅳ.課時小結
本節課我們通過實例瞭解了正比例函數解析式的形式及圖象的特徵，並掌握圖象特徵與關係式的聯繫規律，經過思考、嘗試，知道了正比例函數不同表現形式的轉化方法，及圖象的簡單畫法，為以後學習一次函數奠定了基礎。
ⅴ.課後作業
1、 習題11.2─1、2、6題。
2、 《課堂感悟與探究》
ⅵ.活動與探究
某函數具有下面的性質：
1.它的圖象是經過原點的一條直線。
2.y隨x增大反而減小。
請你舉出一個滿足上述條件的函數，寫出解析式，畫出圖象。
解：函數解析式：y=-0.5x
x 0 2
y 0 -1
板書設計
§11.2.1 正比例函數
一、正比例函數定義
二、正比例函數圖象特徵
三、正比例函數圖象特徵與解析式的關係規律
四、隨堂練習
備課資料
汽車由天津駛往相距120千米的北京，s（千米）表示汽車離開天津的距離，t（小時）表示汽車行駛的時間。如圖所示
1.汽車用幾小時可到達北京？速度是多少？
2.汽車行駛1小時，離開天津有多遠？
3.當汽車距北京20千米時，汽車出發了多長時間？
解法一：用圖象解答：
從圖上可以看出4個小時可到達。
速度＝ =30（千米/時）.
行駛1小時離開天津約為30千米。
當汽車距北京20千米時汽車出發了約3.3個小時。
解法二：用解析式來解答：
由圖象可知：s與t是正比例關係，設s=kt，當t=4時s=120
即120=k×4 k=30
∴s=30t.
當t=1時 s=30×1=30（千米）.
當s=100時 100=30t t= （小時）.
以上兩種方法比較，用圖象法解題直觀，用解析式解題準確，各有優特點。
九江市永修縣城豐中學 楊經文教學目標 1、經歷一般規律的探索過程，發展學生的抽象思維能力。 2、理解一次函數和正比例函數的概念，能根據所給條件寫出簡單的一次函數表達式，發展學生的數學應用能力。教學重點 1、 一次函數、正比例函數的概念及兩者之間的關係。 2、 會根據已知信息寫出一次函數的表達式。教學難點一次函數知識的運用教學方法教師引導學生自學法教具準備彈簧一根、課件教學過程一、創設問題情境，引入新課 1、 簡單複習函數的概念（設在某一變化過程中有兩個變量x和y，如果 ，那麼我們稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量） 2、 演示彈簧在力的作用下發生形變現象，提出問題：在彈簧長度發生變化過程中，彈簧的長度是哪個變量的函數？為什麼？ 3、 汽車勻速行駛途中，油箱中的剩餘油量與什麼有關係？這其中有函數嗎？二、新課學習1、 做一做。讓學生做書上157頁上面兩個題目，使學生在探索一般規律的過程中，發展抽象思維能力。 2、 一次函數、正比例函數的概念學習討論：剛才寫出的兩個關係式y=3＋0.5x、y=100－0.18x在形式上有什麼相同之處？讓學生分析出他們的共同點：①左邊都是因變量，右邊都是含自變量的代數式；②自變量x與因變量y的次數都是1；③從形式上看，形式都為y=kx＋b，k，b為常數。問：從自變量的次數上看，這樣的函數大家認為可以取個什麼名字？引導學生歸納出一次函數的概念：若兩個變量x，y間的關係可以表示成y=kx＋b(k，b為常數，k≠0)的形式，則稱y是x的一次函數（x是自變量，y是因變量）。問：一次函數y=kx+b中，k可以為0嗎？b可以為0嗎？引導學生得出正比例函數的概念。並接着引導學生比較一次函數與正比例函數的關係（用集合的方法比較）：一次函包括正比例函數，正比例函數是一次函數的特殊情況。 3、 例題學習例題1是考察學生對一次函數與正比例函數概念的理解，學生直接進行口答。例題2是培養學生根據題意列出簡單一次函數關係式及利用一次函數解決實際問題的能力。其中第三問嚴格地講應先判斷出工資的範圍是800 課題 一次函數的應用 教學內容： 知識與技能：鞏固所學的一次函數的定義、圖象和性質。能夠用一次函數的知識解決實際問題。 過程與方法：掌握用待定係數法求函數解析式的一般方法。 情感態度與價值觀：繼續滲透數形結合的數學思想。 教學重點和難點： 重點：用待定係數法求一次函數的解析式是本節課的重點。 難點：根據解析式中待定字母的取值研究函數圖象在座標系中的位置，要進行討論，要運用數形結合的思想，是本節課的難點。 方法：探索式 教學過程 一、複習提問 1.什麼是一次函數？確定一個一次函數需要幾個因素？是哪幾個？ y＝kx＋b(k≠0)叫做關於x的一次函數，其中k和b為常數。這樣在一次函數中，只要確定了k和b的值，那麼這個一次函數也就隨之確定了。可以説k和b是確定一次函數的兩個因素。 提這個問題是為使用待定係數法確定k和b的值做準備。 2.已知一次函數y＝2x＋1，x取何值時，函數值y＝3？ 令y＝3，代入解析式，得3＝2x＋1，解得x＝1. 3.從“形”的角度説“直線y＝3x＋4經過點(－1，1)”，把它改為從“數”的角度來敍述。 提這個問題的意義在於使同學們搞清“點在圖象上”與“座標滿足解析式”是從“形”與“數”兩個不同角度敍述的同一內容，是“數”與“形”的相互轉化，是數形結合思想的體現。 二、例題講解 例1已知ab兩地相距90千米。某人騎自行車由a地去b地，他平均時速為15千米。 (1)求騎車人與終點b之間的距離y(千米)與出發時間x(小時)之間的函數關係； (2)畫出函數圖象： 分析：在這個問題中有兩個已知量。一個是兩地之間的距離90千米，一個是騎車人的速度。而騎車人與終點的距離y及出發時間x則都是未知量。我們能否找到這兩個已知量與兩個未知量之間的等量關係呢？找到後還要把它寫成函數的形式，即把y寫在等號的左邊，其他的量則寫到等號的右邊。 解：y與x之間的函數關係式為y＝90－15x. 分析：寫到這裏是否就寫完了呢？還沒有。我們知道一次函數的自變量取值範圍是全體實數，而這個問題是實際問題，時間、距離都不會取負值，因此，有一個x的取值範圍問題，請同學們想，x應在什麼範圍內取值？ 得出x的取值範圍是 0≤x≤6 然後取點畫函數的圖象。 取x＝0，得y＝90， 取x＝6，得y＝0. 畫點a(0，90)，b(6，0)，然後連線段ab即為所求。 説明：由於函數圖象是函數關係的反映，因此所畫函數圖象要與自變量取值範圍相一致。本例中自變量x的取值範圍是0≤x≤6，因此它的圖象只是直線y＝90－15x上的一條線段。 例2為了保護學生視力，課桌椅的高度都是按一定的關係配套設計的。研究表明：假設課桌的高度為ycm，椅子的高度（不含靠背）為xcm，則y應是x的一次函數。下表列出兩套符合條件的課桌椅的高度： 第一套 第二套 椅子的高度x(cm) 40 37 桌子的高度y（cm） 75 70.2 (1) 寫出y與x之間的函數關係式。 (2) 現有一把高42cm 的椅子和一張高為78.2cm 的課桌，它們是否配套？通過計算説明。 例3某地長途汽車客運公司規定旅客可以隨身攜帶一定質量的行李，若超過規定，則需要購買行李票，行李票費用y(元)是行李質量x(kg)的一次函數，其圖象如圖所示。 （1）寫出y與x之間的函數解析式。 （2）旅客最多可以攜帶多少免費行李。 分析：（1）根據一次函數的圖象可以求出兩個交點的座標，進而可以列方程組，求出k、b的值，得出函數解析式。 （2）根據函數圖象與x軸的交點求出旅客可以攜帶免費行李質量。 例4如圖温度計上表示了攝氏温度與華氏温度之間的對應關係。 （1） 能否用函數解析式表示兩者之間的關係？ （2） 若今天的氣温是攝氏20度，那麼華氏是多少度？ 三、小結 這節課我們講了三個例題，重點是用待定係數法求一次函數的解析式，畫一次函數的圖象以及數形結合的思想。 待定係數法的主要步驟是： 1.把某些未知的係數用字母表示； 2.根據已知條件列出含有待定字母的方程或方程組。一般有幾個待定字母應列幾個方程； 3.解方程或方程組求出待定字母的值，使問題得解。 函數的解析式與它的圖象是對應的，解析式的特點會影響到圖象的位置，這種“數”與“形”的對應關係應該在函數的學習中逐漸加深理解。 四、佈置作業 1.畫出下列一次函數的圖象： 2.已知一個一次函數，當x＝－4時，y＝9，當x＝6時，y＝3.求x＝1時y的值。 3.已知一次函數的圖象經過(3，2)和(－3，0)兩點，求這個一次函數解析式並畫出在－1≤x≤3內的函數圖象。 4.某工人生產一種零件，完成定額，每天收入28元，若超額生產一個零件則增加收入1.5元 （1） 寫出該工人一天收入y(元)和超額生產零件x（個）之間的函數關係式 （2） 某日該工人超額生產了12個零件，這天他的實際收入是多少？ 5. 全國每年都有大量的土地被沙漠吞沒，改造沙漠保護土地資源已經成為一項十分重要和急迫的任務。某地區現在有土地面積100萬km2，沙漠面積200萬km2,土地沙漠化的變化情況如下圖所示。 （i）如果不採取任何措施，那麼到第5年底？該地區的沙漠面積將新增加多少萬km2? （ii）如果該地區沙漠面積繼續按此形式發展那麼從現在開始幾年底後，該地區將喪失土地資源？ （iii）如果從現在開始採取植樹造林措施，每年改造沙漠4萬km2那麼幾年底該地區的沙漠面積能減少到176萬km2？ 【目的要求】1、使學生初步理解與正比例函數的概念。2、使學生能夠根據實際問題中的條件，確定與正比例函數的解析式。【教學重點、難點】以及正比例函數的解析式【教學過程 】一、複習提問： 1、什麼是函數？ 2、函數有哪幾種表示方法？3、舉出幾個函數的例子。二、新課講解：可以選用提問時學生舉出的例子，也可以直接採用教科書中的四個函數的例子。然後讓學生觀察這些例子(實際上均是的解析式)，y=x，s=3t等。觀察時，可以按下列問題引導學生思考：(1)這些式子表示的是什麼關係？(在學生明確這些式子表示函數關係後，可指出，這是函數。) (2)這些函數中的自變量是什麼？函數是什麼？(在學生分清後，可指出，式子中等號左邊的y與s是函數，等號右邊是一個代數式，其中的字母x與t是自變量。) (3)在這些函數式中，表示函數的自變量的式子，分別是關於自變量的什麼式呢？(這題牽扯到有關整式的基本概念，表示函數的自變量的式子也就是等號右邊的式子，都是關於自變量的一次式。) (4)x的一次式的一般形式是什麼？(結合一元一次方程的有關知識，可以知道，x的一次式是kx+b(k≠0)的形式。) 由以上的層層設問，最後給出的定義。 一般地，如果y=kx+b(k,b是常數，k≠0)那麼，y叫做x的。 對這個定義，要注意： (1)x是變量，k，b是常數； (2)k≠0 (當k＝0時，式子變形成y=b的形式。b是x的0次式，y=b叫做常數函數，這點，不一定向學生講述。) 由出發，當常數b＝0時，kx+b(k≠0)就成為：y=kx(k是常數，k≠0)我們把這樣的函數叫正比例函數。 在講述正比例函數時，首先，要注意適當複習國小學過的正比例關係，國小數學是這樣陳述的： 兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨着變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值(也就是商)一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關係叫做正比例關係。 寫成式子是 (一定) 需指出，國小因為沒有學過負數，實際的例子都是k＞0的例子，對於正比例函數，k也為負數。 其次，要注意引導學生找出與正比例函數之間的關係：正比例函數是特殊的。三、課堂練習： 課本後練習第1題。四、答疑（老師在下面巡視，學生提問題）五、小結1） 什麼是？它的解析式是什麼？2） 正比例函數呢？六、課後作業 課本後習題1、2兩題一次函數 篇八
一次函數 篇九
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