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課型 複習課 教法 講練結合
教學目標(知識、能力、教育)
1.瞭解分解因式的意義，會用提公因式法、平方差公式和完全平方公式(直接用公式不超過兩次)分解因式(指數是正整數).
2.通過乘法公式 ， 的逆向變形，進一步發展學生觀察、歸納、類比、概括等能力，發展有條理的思考及語言表達能力
教學重點掌握用提取公因式法、公式法分解因式
教學難點根據題目的形式和特徵 恰當選擇方法進行分解，以提高綜合解題能力。
教學媒體學案
教學過程
一：【 課前預習】
(一)：【知識梳理】
1.分解因式：把一個多項式化成 的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式.
2.分解困式的方法：
⑴提公團式法：如果一個多項式的各項含有公因式，那麼就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.
⑵運用公式法：平方差公式: ;
完全平方公式: ;
3.分解因式的步驟：
(1)分解 因式時，首先考慮是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公團式，然後再考慮是否能用公式法 分解.
(2)在用公式時，若是兩項，可考慮用平方差公式;若是三項，可考慮用完全平方公式;若是三項以上，可先進行適當的分組，然後分解因式。
4.分解因式時常見的思維誤區：
提公因式時，其公因式應找字母指數最低的，而不是以首項為準.若有一項被全部提出，括號內的項 1易漏掉.分解不徹底，如保留中括號形式，還能繼續分解等
(二)：【課前練習】
1.下列各組多項式中沒有公因式的是( )
A.3x-2與 6x2-4x B.3(a-b)2與11(b-a)3
與 nynx c與 abbc
2. 下列各題中，分解因式錯誤的是( )
3. 列多項式能用平方差公式分解因式的是()
4. 分解因式：x2+2xy+y2-4 =_____
5. 分解因式：(1) ;
(2) ;(3) ;
(4) ;(5)以上三題用了 公式
二：【經典考題剖析】
1. 分解因式：
(1) ;(2) ;(3) ;(4)
分析：①因式分解時，無論有幾項，首先考慮提取公因式。提公因式時，不僅注意數，也要 注意字母，字母可能是單項式也可能是多項式，一次提盡。
②當某項完全提出後，該項應為1
③注意 ，
④分解結果(1)不帶中括號;(2)數字因數在前，字母因數在後;單項式在前，多項式在後;(3)相同因式寫成冪的形式;(4 )分解結果應在指定範圍內不能再分解為止;若無指定範圍，一般在有理數範圍內分解。
2. 分解因式：(1) ;(2) ;(3)
分析：對於二次三項齊次式，將其中一個字母看作末知數，另一個字母視為常數。首先考慮提公因式後，由余下因式的項數為3項，可考慮完全平方式或十字相乘法繼續分解;如果項數為2，可考慮平方差、立方差、立方和公式。(3)題無公因式，項數為2項，可考慮平方差公式先分解開，再由項數考慮選擇方法繼續分解。
3. 計算：(1)
(2)
分析：(1)此題先分解因式後約分，則餘下首尾兩數。
(2)分解後，便有規可循，再求1到20xx的和。
4. 分解因式：(1) ;(2)
分析：對於四項或四項以上的多項式的因式分解，一般採用分組分解法，
5. (1)在實數範圍內分解因式： ;
(2)已知 、、是△ABC的三邊，且滿足 ，
求證：△ABC為等邊三角形。
分析：此題給出的是三邊之間的關係，而要證等邊三角形，則須考慮證 ，
從已知給出的等式結構看出，應構造出三個完全平方式 ，
即可得證，將原式兩邊同乘以2即可。略證：
即△ABC為等邊三角形。
三：【課後訓練】
1. 若 是一個完全平方式，那麼 的值是( )
A.24 B.12 C.12 D.24
2. 把多項式 因式分解的結果是( )
A. B. C. D.
3. 如果二次三項式 可分解為 ，則 的 值為( )
A .-1 B.1 C. -2 D.2
4. 已知 可以被在60～70之間的兩個整數整除，則這兩個數是( )
A.61、63 B.61、65 C.61、67 D.63、65
5. 計算：19982002= ， = 。
6. 若 ，那麼 = 。
7. 、滿足 ，分解因式 = 。
8. 因式分解：
(1) ;(2)
(3) ;(4)
9. 觀察下列等式：
想一想，等式左邊各項冪的底數與右邊冪的底數有何關 系?猜一猜可引出什麼規律?用等式將其規律表示出來： 。
10. 已知 是△ABC的三邊，且滿足 ，試判斷△ABC的形狀。閲讀下面解題過程：
解：由 得：
①
②
即 ③
△ABC為Rt△。 ④
試問：以上解題過程是否正確： ;若不正確，請指出錯在哪一步?(填代號) ;錯誤原因是 ;本題結論應為 。
四：【課後小結】
佈置作業 地綱
第十五章 整式的乘除與因式分解
根據定義，我們不難得出a+b+c、t-5、3x+5+2z、ab-3.12r2、x2+2x+18都是多項式．請分別指出它們的項和次數．
15．1．2 整式的加減
（3）x－（1－2x＋x2）+（－1－x2） （4）（8x－3x2）－5x－2（3x－2x2）
四、提高練習：
1、已知A＝a2＋b2－c2，B＝－4a2＋2b2＋3c2，並且A＋B＋C＝0，問C是什麼樣的多項式？
2、設A＝2x2－3x＋2－x＋2，B＝4x2－6x＋22－3x－，若│x－2a│＋（＋3）2＝0，且B－2A＝a，求A的值。
3、已知有理數a、b、c在數軸上（0為數軸原點）的對應點如圖：
試化簡：│a│－│a＋b│＋│c－a│＋│b＋c│
小 結：要善於在圖形變化中發現規律，能熟練的對整式加減進行運算。
作 業：課本P14習題1.3：1（2）、（3）、（6），2。
《課堂感悟與探究》
15．1．1 整式
教學目標
1．單項式、單項式的定義．
2．多項式、多項式的次數．
3、理解整式概念．
教學重點
單項式及多項式的有關概念．
教學難點
單項式及多項式的有關概念．
教學過程
Ⅰ．提出問題，創設情境
在七年級，我們已經學習了用字母可以表示數，思考下列問題
1．要表示△ABC的周長需要什麼條件？要表示它的面積呢？
2．小王用七小時行駛了Skm的路程，請問他的平均速度是多少？
結論：
1、要表示△ABC的周長，需要知道它的各邊邊長．要表示△ABC的面積需要知道一條邊長和這條邊上的高．如果設BC=a，AC=b，AB=c．AB邊上的高為h，那麼△ABC的周長可以表示為a+b+c；△ABC的面積可以表示為 ?c?h．
2．小王的平均速度是 ．
問題：這些式子有什麼特徵呢？
（1）有數字、有表示數字的字母．
（2）數字與字母、字母與字母之間還有運算符號連接．
歸納：用基本的運算符號（運算包括加、減、乘、除、乘方與開方）把數和表示數的字母連接起來的式子叫做代數式．
判斷上面得到的三個式子：a+b+c、ch、是不是代數式？（是）
代數式可以簡明地表示數量和數量的關係．今天我們就來學習和代數式有關的整式．
Ⅱ．明確和鞏固整式有關概念
（出示投影）
結論：（1）正方形的周長：4x．
（2）汽車走過的路程：vt．
（3）正方體有六個面，每個面都是正方形，這六個正方形全等，所以它的表面積為6a2；正方體的體積為長×寬×高，即a3．
（4）n的相反數是－n．
分析這四個數的特徵．
它們符合代數式的定義．這五個式子都是數與字母或字母與字母的積，而a+b+c、ch、中還有和與商的運算符號．還可以發現這五個代數式中字母指數各不相同，字母的個數也不盡相同．
請同學們閲讀課本P160～P161單項式有關概念．
根據這些定義判斷4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、ch、這些代數式中，哪些是單項式？是單項式的，寫出它的係數和次數．
結論:4x、vt、6a2、a3、-n、ch是單項式．它們的係數分別是4、1、6、1、-1、．它們的次數分別是1、2、2、3、1、2．所以4x、-n都是一次單項式；vt、6a2、ch都是二次單項式；a3是三次單項式．
問題:vt中v和t的指數都是1，它不是一次單項式嗎？
結論:不是．根據定義，單項式vt中含有兩個字母，所以它的次數應該是這兩個字母的指數的和，而不是單個字母的指數，所以vt是二次單項式而不是一次單項式．
生活中不僅僅有單項式，像a+b+c，它不是單項式，和單項式有什麼聯繫呢？
寫出下列式子（出示投影）
結論:（1）t-5．（2）3x+5y+2z．
（3）三角尺的面積應是直角三角形的面積減去圓的面積，即 ab-3.12r2．
（4）建築面積等於四個矩形的面積之和．而右邊兩個已知矩形面積分別為3×2、4×3，所以它們的面積和是18．於是得這所住宅的建築面積是x2+2x+18．
我們可以觀察下列代數式：
a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.12r2、x2+2x+18．發現它們都是由單項式的和組成的式子．是多個單項式的和，能不能叫多項式？
這樣推理合情合理．請看投影，熟悉下列概念．
根據定義，我們不難得出a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.12r2、x2+2x+18都是多項式．請分別指出它們的項和次數．
a+b+c的項分別是a、b、c．
t-5的項分別是t、-5，其中-5是常數項．
3x+5y+2z的項分別是3x、5y、2z．
ab-3.12r2的項分別是 ab、-3.12r2．
x2+2x+18的項分別是x2、2x、18． 找多項式的次數應抓住兩條，一是找準每個項的次數，二是取每個項次數的最大值．根據這兩條很容易得到這五個多項式中前三個是一次多項式，後兩個是二次多項式．
這節課，通過探究我們得到單項式和多項式的有關概念，它們可以反映變化的世界．同時，我們也到符號的魅力所在．我們把單項式與多項式統稱為整式．
Ⅲ．隨堂練習
1．課本P162練習
Ⅳ．課時小結
通過探究，我們瞭解了整式的概念．理解並掌握單項式、多項式的有關概念是本節的重點，特別是它們的次數．在現實情景中進一步理解了用字母表示數的意義，發展符號感．
Ⅴ．課後作業
1．課本P165～P166習題15．1─1、5、8、9題．
2．預習“整式的加減”．
課後作業：《課堂感悟與探究》
15．1．2 整式的加減（1）
教學目的：
1、解字母表示數量關係的過程，發展符號感。
2、會進行整式加減的運算，並能説明其中的算理，發展有條理的思考及語言表達能力。
教學重點：
會進行整式加減的運算，並能説明其中的算理。
教學難點：
正確地去括號、合併同類項，及符號的正確處理。
教學過程：
一、課前練習：
1、填空：整式包括 和
2、單項式 的係數是 、次數是
3、多項式 是 次 項式，其中二次項
係數是 一次項是 ，常數項是
4、下列各式，是同類項的一組是（ ）
（A） 與 （B） 與 （C） 與
5、去括號後合併同類項：
二、探索練習：
1、如果用a 、b分別表示一個兩位數的十位數字和個位數字，那麼這個兩位數可以表示為 交換這個兩位數的.十位數字和個位數字後得到的兩位數為
這兩個兩位數的和為
2、如果用a 、b、c分別表示一個三位數的百位數字、十位數字和個位數字，那麼這個三位數可以表示為 交換這個三位數的百位數字和個位數字後得到的三位數為
這兩個三位數的差為
●議一議：在上面的兩個問題中，分別涉及到了整式的什麼運算？
説説你是如何運算的？
▲整式的加減運算實質就是
運算的結果是一個多項式或單項式。
三、鞏固練習：
1、填空：（1） 與 的差是
（2）、單項式 、、、的和為
（3）如圖所示，下面為由棋子所組成的三角形，
一個三角形需六個棋子，三個三角形需
（ ）個棋子，n個三角形需 個棋子
2、計算：
（1）
（2）
（3）
3、（1）求 與 的和
(2)求 與 的差
4、先化簡，再求值： 其中
四、提高練習：
1、若A是五次多項式，B是三次多項式，則A+B一定是
（A）五次整式 （B）八次多項式
（C）三次多項式 （D）次數不能確定
2、足球比賽中，如果勝一場記3a分，平一場記a分，負一場
記0分，那麼某隊在比賽勝5場，平3場，負2場，共積多
少分？
3、一個兩位數與把它的數字對調所成的數的和，一定能被14
整除，請證明這個結論。
4、如果關於字母x的二次多項式 的值與x的取值無關，
試求m、n的值。
五、小結：整式的加減運算實質就是去括號和合並同類項。
六、作業：第8頁習題1、2、3
15．1．2整式的加減（2）
教學目標：1.會進行整式加減的運算，並能説明其中的算理，發展有條理的思考及其語言表達能力。
2.通過探索規律的問題，進一步符號表示的意義，發展符號感，發展推理能力。
教學重點：整式加減的運算。
教學難點：探索規律的猜想。
教學方法：嘗試練習法，討論法，歸納法。
教學用具：投影儀
教學過程：
I探索練習：
擺第1個“小屋子”需要5枚棋子，擺第2個需要 枚棋子，擺第3個需要 枚棋子。按照這樣的方式繼續擺下去。
（1）擺第10個這樣的“小屋子”需要 枚棋子
（2）擺第n個這樣的“小屋子”需要多少枚棋子？你是如何得到的？你能用不同的方法解決這個問題嗎？小組討論。
二、例題講解：
三、鞏固練習：
1、計算：
（1）（14x3－2x2）＋2（x3－x2） （2）（3a2＋2a－6）－3（a2－1）
（3）x－（1－2x＋x2）+（－1－x2） （4）（8xy－3x2）－5xy－2（3xy－2x2）
2、已知：A=x3－x2－1，B=x2－2，計算：（1）B－A （2）A－3B
3、列方程解應用題：三角形三個內角的和等於180°，如果三角形中第一個角等於第二個角的3倍，而第三個角比第二個角大15°，那麼
（1）第一個角是多少度？
（2）其他兩個角各是多少度？
四、提高練習：
1、已知A＝a2＋b2－c2，B＝－4a2＋2b2＋3c2，並且A＋B＋C＝0，問C是什麼樣的多項式？
2、設A＝2x2－3xy＋y2－x＋2y，B＝4x2－6xy＋2y2－3x－y，若│x－2a│＋
（y＋3）2＝0，且B－2A＝a，求A的值。
3、已知有理數a、b、c在數軸上（0為數軸原點）的對應點如圖：
試化簡：│a│－│a＋b│＋│c－a│＋│b＋c│
小 結：要善於在圖形變化中發現規律，能熟練的對整式加減進行運算。
作 業：課本P14習題1.3：1（2）、（3）、（6），2。
【精選因式分解教案三篇】
第1課時
1.使學生了解因式分解的意義,瞭解因式分解和整式乘法是整式的兩種相反方向的變形.
2.讓學生會確定多項式中各項的公因式,會用提公因式法進行因式分解.
自主探索,合作交流.
1.通過與因數分解的類比,讓學生感悟數學中數與式的共同點,體驗數學的類比思想.
2.通過對因式分解的教學,培養學生“換元”的意識.
【重點】 因式分解的概念及提公因式法的應用.
【難點】 正確找出多項式中各項的公因式.
【教師準備】 多媒體.
【學生準備】 複習有關乘法分配律的知識.
導入一:
【問題】 一塊場地由三個長方形組成,這些長方形的長分別為,,,寬都是,求這塊場地的面積.
解法1:這塊場地的面積=×+×+×=++==2.
解法2:這塊場地的面積=×+×+×=×=×4=2.
從上面的解答過程看,解法1是按運算順序:先算乘法,再算加減法進行計算的,解法2是先逆用乘法分配律,再進行計算的,由此可知解法2要簡單一些.這個事實説明,有時我們需要將多項式化為幾個整式的積的形式,而提公因式法就是將多項式化為幾個整式的積的形式的一種方法.
[設計意圖] 讓學生通過利用乘法分配律的逆運算這一特殊算法,運用類比思想自然地過渡到提公因式法的概念上,從而為提公因式法的掌握打下基礎.
導入二:
【問題】 計算×15-×9+×2採用什麼方法?依據是什麼?
解法1:原式=-+==5.
解法2:原式=×(15-9+2)=×8=5.
解法1是按運算順序:先算乘法,再算加減法進行計算的,解法2是先逆用乘法分配律,再進行計算的,由此可知解法2要簡單一些.這個事實説明,有時我們需要將多項式化為幾個整式的積的形式,而提公因式法就是把多項式化為幾個整式的積的形式的一種方法.
[設計意圖] 讓學生通過利用乘法分配律的逆運算這一特殊算法,運用類比思想自然地過渡到提公因式法的概念上,從而為提公因式法的掌握打下基礎.
一、提公因式法分解因式的概念
思路一
[過渡語] 上一節我們學習了什麼是因式分解,那麼怎樣進行因式分解呢?我們來看下面的問題.
如果一塊場地由三個長方形組成,這三個長方形的長分別為a,b,c,寬都是,那麼這塊場地的面積為a+b+c或(a+b+c),可以用等號來連接,即:a+b+c=(a+b+c).
大家注意觀察這個等式,等式左邊的每一項有什麼特點?各項之間有什麼聯繫?等式右邊的項有什麼特點?
分析:等式左邊的每一項都含有因式,等式右邊是與多項式a+b+c的乘積,從左邊到右邊的過程是因式分解.
由於是左邊多項式a+b+c中的各項a,b,c都含有的一個相同因式,因此叫做這個多項式各項的公因式.
由上式可知,把多項式a+b+c寫成與多項式a+b+c的乘積的形式,相當於把公因式從各項中提出來,作為多項式a+b+c的一個因式,把從多項式a+b+c的各項中提出後形成的多項式a+b+c,作為多項式a+b+c的另一個因式.
總結:如果一個多項式的各項含有公因式,那麼就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式,這種因式分解的方法叫做提公因式法.
[設計意圖] 通過實例的教學,使學生明白什麼是公因式和用提公因式法分解因式.
思路二
[過渡語] 同學們,我們來看下面的問題,看看同學們誰先做出來.
多項式 ab+ac中,各項都含有相同的因式嗎?多項式 3x2+x呢?多項式b2+nb-b呢?
結論:多項式中各項都含有的相同因式,叫做這個多項式各項的公因式.
多項式2x2+6x3中各項的公因式是什麼?你能嘗試將多項式2x2+6x3因式分解嗎?
結論:如果一個多項式的各項含有公因式,那麼就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式,這種因式分解的方法叫做提公因式法.
[設計意圖] 從讓學生找出幾個簡單多項式的公因式,再到讓學生嘗試將多項式分解因式,使學生理解公因式以及提公因式法分解因式的概念.
二、例題講解
[過渡語] 剛剛我們學習了因式分解的一種方法,現在我們嘗試下利用這種方法進行因式分解吧.
(教材例1)把下列各式因式分解:
(1)3x+x3;
(2)7x3-21x2;
(3)8a3b2-12ab3c+ab;
(4)-24x3+12x2-28x.
〔解析〕 首先要找出各項的公因式,然後再提取出來.要避免提取公因式後,各項中還有公因式,即“沒提徹底”的現象.
解:(1)3x+x3=x3+xx2=x(3+x2).
(2)7x3-21x2=7x2x-7x23=7x2(x-3).
(3)8a3b2-12ab3c+ab
=ab8a2b-ab12b2c+ab1
=ab(8a2b-12b2c+1).
(4)-24x3+12x2-28x
=-(24x3-12x2+28x)
=-(4x6x2-4x3x+4x7)
=-4x(6x2-3x+7).
【學生活動】 通過剛才的練習,大家互相交流,總結出提取公因式的一般步驟和容易出現的問題.
總結:提取公因式的步驟:(1)找公因式;(2)提公因式.
容易出現的問題(以本題為例):(1)第(2)題中只提出7x作為公因式;(2)第(3)題中最後一項提出ab後,漏掉了“+1”;(3)第(4)題提出“-”號時,沒有把後面的因式中的每一項都變號.
教師提醒:
(1)各項都含有的字母的最低次冪的積是公因式的字母部分;
(2)因式分解後括號內的多項式的項數與原多項式的項數相同;
(3)若多項式的首項為“-”,則先提取“-”號,然後再提取其他公因式;
(4)將分解因式後的式子再進行整式的乘法運算,其積應與原式相等.
[設計意圖] 經歷用提公因式法進行因式分解的過程,在教師的啟發與指導下,學生自己歸納出提公因式的步驟及提取公因式時容易出現的類似問題,為提取公因式積累經驗.
1.提公因式法分解因式的一般形式,如:
a+b+c=(a+b+c).
這裏的字母a,b,c,可以是一個係數不為1的、多字母的、冪指數大於1的單項式.
2.提公因式法分解因式的關鍵在於發現多項式的公因式.
3.找公因式的一般步驟:
(1)若各項係數是整係數,則取係數的最大公約數;
(2)取各項中相同的字母,字母的指數取最低的;
(3)所有這些因式的乘積即為公因式.
1.多項式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是( )
A.-6ab2cB.-ab2
C.-6ab2D.-6a3b2c
解析:根據確定多項式各項的公因式的方法,可知公因式為-6ab2.故選C.
2.下列用提公因式法分解因式正確的是( )
A.12abc-9a2b2=3abc(4-3ab)
B.3x2-3x+6=3(x2-x+2)
C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c)
D.x2+5x-=(x2+5x)
解析:A.12abc-9a2b2=3ab(4c-3ab),錯誤;B.3x2-3x+6=3(x2-x+2),錯誤;D.x2+5x-=(x2+5x-1),錯誤.故選C.
3.下列多項式中應提取的公因式為5a2b的是( )
A.15a2b-20a2b2
B.30a2b3-15ab4-10a3b2
C.10a2b-20a2b3+50a4b
D.5a2b4-10a3b3+15a4b2
解析:B.應提取公因式5ab2,錯誤;C.應提取公因式10a2b,錯誤;D.應提取公因式5a2b2,錯誤.故選A.
4.填空.
(1)5a3+4a2b-12abc=a( );
(2)多項式32p2q3-8pq4的公因式是 ;
(3)3a2-6ab+a= (3a-6b+1);
(4)因式分解:+n= ;
(5)-15a2+5a= (3a-1);
(6)計算:21×3.14-31×3.14= .
答案:(1)5a2+4ab-12bc (2)8pq3 (3)a (4)(+n) (5)-5a (6)-31.4
5.用提公因式法分解因式.
(1)8ab2-16a3b3;
(2)-15x-5x2;
(3)a3b3+a2b2-ab;
(4)-3a3-6a2+12a.
解:(1)8ab2(1-2a2b).
(2)-5x(3+x).
(3)ab(a2b2+ab-1).
(4)-3a(a2+2a-4).
第1課時
一、教材作業
【必做題】
教材第96頁隨堂練習.
【選做題】
教材第96頁習題4.2.
二、課後作業
【基礎鞏固】
1.把多項式4a2b+10ab2分解因式時,應提取的公因式是 .
2.(20xx淮安會考)因式分解:x2-3x= .
3.分解因式:12x3-18x22+24x3=6x .
【能力提升】
4.把下列各式因式分解.
(1)3x2-6x;
(2)5x23-25x32;
(3)-43+162-26;
(4)15x32+5x2-20x23.
【拓展探究】
5.分解因式:an+an+2+a2n.
6.觀察下列各式:12+1=1×2;22+2=2×3;32+3=3×4;….這列式子有什麼規律?請你將猜想到的規律用含有字母n(n為自然數)的式子表示出來.
【答案與解析】
1.2ab
2.x(x-3)
3.(2x2-3x+42)
4.解:(1)3x(x-2). (2)5x22(-5x). (3)-2(22-8+13). (4)5x2(3x+1-42).
5.解:原式=an1+ana2+anan=an(1+a2+an).
6.解:由題中給出的幾個式子可得出規律:n2+n=n(n+1).
本節運用類比的思想方法,在新概念的提出、新知識點的講授過程中,使學生易於理解和掌握.如學生在接受提公因式法時,由提公因數到提公因式,由整式乘法的逆運算到提公因式法的概念,都是利用了類比的數學思想,從而使得學生接受新的概念時顯得輕鬆自然,容易理解.
在小組討論之前,應該留給學生充分的獨立思考的時間,不要讓一些思維活躍的學生的回答代替了其他學生的思考,掩蓋了其他學生的疑問.
由於因式分解的主要目的是對多項式進行恆等變形,它的作用更多的是應用於多項式的計算和化簡,比如在以後將要學習的分式運算、解分式方程等中都要用到因式分解的知識,因此應該注重因式分解的概念和方法的教學.
隨堂練習(教材第96頁)
解:(1)(a+b). (2)52(+4). (3)3x(2-3). (4)ab(a-5). (5)22(2-3). (6)b(a2-5a+9). (7)-a(a-b+c). (8)-2x(x2-2x+3).
習題4.2(教材第96頁)
1.解:(1)2x2-4x=2x(x-2). (2)82n+2n=2n4+2n1=2n(4+1). (3)a2x2-ax2=axax-ax=ax(ax-). (4)3x3-3x2+9x=3x(x2-x+3). (5)-24x2-12x2-283=-(24x2+12x2+283)=-4(6x2+3x+72). (6)-4a3b3+6a2b-2ab=-(4a3b3-6a2b+2ab)=-2ab(2a2b2-3a+1). (7)-2x2-12x2+8x3=-(2x2+12x2-8x3)=-2x(x+62-43). (8)-3a3+6a2-12a=-(3a3-6a2+12a)=-3a(a2-2a+4).
2.解:(1)++=(++)=3.14×(202+162+122)=2512. (2)∵xz-z=z(x-),∴原式=×(17.8-28.8)=×(-11)=-7. (3)∵ab=7,a+b=6,∴a2b+ab2=ab(a+b)=7×6=42.
3.解:(1)不正確,因為提取的公因式不對,應為n(2n--1). (2)不正確,因為提取公因式-b後,第三項沒有變號,應為-b(ab-2a+3). (3)正確. (4)不正確,因為最後的結果不是乘積的形式,應為(a-2)(a+1).
提公因式法是本章的第2小節,佔兩個課時,這是第一課時,它主要讓學生經歷從乘法分配律的逆運算到提公因式的過程,讓學生體會數學中的一種主要思想――類比思想.運用類比的思想方法,在新概念的提出、新知識點的講授過程中,可以使學生易於理解和掌握.如學生在接受提公因式法時,由整式乘法的逆運算到提公因式法的概念,就利用了類比的數學思想,從而使得學生接受新的概念時顯得輕鬆自然,容易理解,進而使學生進一步理解因式分解與整式乘法運算之間的互逆關係.
已知方程組求7(x-3)2-2(3-x)3的值.
〔解析〕 將代數式分解因式,產生x-3與2x+兩個因式,再根據方程組整體代入,使計算簡便.
解:7(x-3)2-2(3-x)3
=(x-3)2[7+2(x-3)]
=(x-3)2(7+2x-6)
=(x-3)2(2x+).
由方程組可得原式=12×6=6.
【教學目標】
1、瞭解因式分解的概念和意義;
2、認識因式分解與整式乘法的相互關係――相反變形，並會運用它們之間的相互關係尋求因式分解的方法。
【教學重點、難點】
重點是因式分解的概念，難點是理解因式分解與整式乘法的.相互關係，並運用它們之間的相互關係尋求因式分解的方法。
【教學過程】
㈠、情境導入
看誰算得快：（搶答）
(1)若a=101,b=99,則a2-b2=___________；
(2)若a=99,b=-1,則a2-2ab+b2=____________；
(3)若x=-3,則20x2+60x=____________。
㈡、探究新知
1、請每題答得最快的同學談思路，得出最佳解題方法。（多媒體出示答案）(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400；
(2)a2-2ab+b2=(a-b) 2=(99+1)2 =10000；
(3)20x2+60x=20x（x+3）=20x(-3)(-3+3)=0。
2、觀察：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2-2ab+b2 = (a-b)2， 20x2+60x=20x(x+3)，找出它們的特點。(等式的左邊是一個什麼式子，右邊又是什麼形式？)
3、類比國小學過的因數分解概念，得出因式分解概念。（學生概括，老師補充。）
板書課題：§6.1 因式分解
因式分解概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式叫做因式分解，也叫分解因式。
㈢、前進一步
1、讓學生繼續觀察：(a+b)(a-b)= a2-b2, (a-b)2= a2-2ab+b2， 20x(x+3)= 20x2+60x,它們是什麼運算？與因式分解有何關係？它們有何聯繫與區別？
2、因式分解與整式乘法的關係：
因式分解
結合：a2-b2 （a+b）（a-b）
整式乘法
説明：從左到右是因式分解其特點是：由和差形式（多項式）轉化成整式的積的形式；從右到左是整式乘法其特點是：由整式積的形式轉化成和差形式（多項式）。
結論：因式分解與整式乘法的相互關係――相反變形。
㈣、鞏固新知
1、下列代數式變形中，哪些是因式分解？哪些不是？為什麼？
(1)x2-3x+1=x(x-3)+1 ；(2)(m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)；
(3)2m(m-n)=2m2-2mn； (4)4x2-4x+1=(2x-1)2；(5)3a2+6a=3a（a+2）；
(6)x2-4+3x=（x-2）（x+2）+3x； (7)k2++2=（k+）2；(8)18a3bc=3a2b・6ac。
2、你能寫出整式相乘（其中至少一個是多項式）的兩個例子，並由此得到相應的兩個多項式的因式分解嗎？把結果與你的同伴交流。
㈤、應用解釋
例 檢驗下列因式分解是否正確：
(1)x2y-xy2=xy(x-y)；(2)2x2-1=(2x+1)(2x-1)；(3)x2+3x+2=(x+1)(x+2).
分析：檢驗因式分解是否正確，只要看等式右邊幾個整式相乘的積與右邊的多項式是否相等。
練習計算下列各題，並説明你的算法：(請學生板演)
(1)872+87×13
(2)1012-992
㈥、思維拓展
1.若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),則m= ,n=
2．機動題：（填空）x2-8x+m=(x-4)( ),且m=
㈦、課堂回顧
今天這節課，你學到了哪些知識？有哪些收穫與感受？説出來大家分享。
㈧、佈置作業
作業本（1） ,一課一練
（九）教學反思：
一、教材分析
1、教材的地位與作用
“整式的乘法”是整式的加減的後續學習從冪的運算到各種整式的乘法，整章教材都突出了學生的自主探索過程，依據原有的知識基礎，或運用乘法的各種運算規律，或藉助直觀而又形象的圖形面積，得到各種運算的基本法則、兩個主要的乘法公式及因式分解的基本方法學生自己對知識內容的探索、認識與體驗，完全有利於學生形成合理的知識結構，提高數學思維能力．利用公式法進行因式分解時，注意把握多項式的特點，對比乘法公式乘積結果的形式，選擇正確的分解方法。
因式分解是一種常用的代數式的恆等變形，因式分解是多項式乘法公式的逆向變形，它是將一個多項式變形為多項式與多項式的乘積。
2、教學目標
（1）會推導乘法公式
（2）在應用乘法公式進行計算的基礎上，感受乘法公式的作用和價值。
（3）會用提公因式法、公式法進行因式分解。
（4）瞭解因式分解的一般步驟。
（5）在因式分解中，經歷觀察、探索和做出推斷的過程，提高分析問題和解決問題的能力。
3、重點、難點和關鍵
重點：乘法公式的意義、分式的由來和正確運用；用提公因式法和公式法進行因式分解。
難點：正確運用乘法公式；正確分解因式。
關鍵：正確理解乘法公式和因式分解的意義。
二、本單元教學的方法和策略：
1．注重知識形成的探索過程，讓學生在探索過程中領悟知識，在領悟過程中建構體系，從而更好地實現知識體系的更新和知識的正向遷移．
2．知識內容的呈現方式力求與學生已有的知識結構相聯繫，同時兼顧學生的思維水平和心理特徵．
3．讓學生掌握基本的數學事實與數學活動經驗，減輕不必要的記憶負擔．
4．注意從生活中選取素材，給學生提供一些交流、討論的空間，讓學生從中體會數學的應用價值，逐步養成談數學、想數學、做數學的良好習慣．
三、課時安排：
2.1平方差公式 1課時
2.2完全平方公式 2課時
2.3用提公因式法進行因式分解 1課時
2.4用公式法進行因式分解 2課時
學習目標
1、學會用公式法因式法分解
2、綜合運用提取公式法、公式法分解因式
學習重難點 重點：
完全平方公式分解因式.
難點：綜合運用兩種公式法因式分解
自學過程設計
完全平方公式：
完全平方公式的逆運用：
做一做：
1.(1)16x2-8x+_______=(4x-1)2;
(2)_______+6x+9=(x+3)2;
(3)16x2+_______+9y2=(4x+3y)2;
(4)(a-b)2-2(a-b)+1=(______-1)2.
2.在代數式(1)a2+ab+b2;(2)4a2+4a+1;(3)a2-b2+2ab;(4)-4a2+12ab-9b2中，可用完全平方公式因式分解的是_________(填序號)
3.下列因式分解正確的是( )
A.x2+y2=(x+y)2 B.x2-xy+x2=(x-y)2
C.1+4x-4x2=(1-2x)2 D.4-4x+x2=(x-2)2
4.分解因式：(1)x2-22x+121 (2)-y2-14y-49 (3)(a+b)2+2(a+b)+1
5.計算：20062-40102006+20052=___________________.
6.若x+y=1，則 x2+xy+ y2的值是_________________.
想一想
你還有哪些地方不是很懂?請寫出來。
____________________________________________________________________________________ 預習展示一：
1.判別下列各式是不是完全平方式.
2、把下列各式因式分解：
(1)-x2+4xy-4y2
(2)3ax2+6axy+3ay2
(3)(2x+y)2-6(2x+y)+9
應用探究：
1、用簡便方法計算
49.92+9.98 +0.12
拓展提高：
(1)( a2+b2)( a2+b2 10)+25=0 求a2+b2
(2)4x2+y2-4xy-12x+6y+9=0
求x、y關係
(3)分解因式：m4+4
教後反思考察利用公式法因式分解的題目不會很難，但是需要學生記住公式的形式，之後利用公式把式子進行變形，從而達到進行因式分解的目的，但是這裏有用到實際中去的例子，對學生來説會難一些。
教學目標：
1、進一步鞏固因式分解的概念;
2、鞏固因式分解常用的三種方法
3、選擇恰當的方法進行因式分解4、應用因式分解來解決一些實際問題
5、體驗應用知識解決問題的樂趣
教學重點：靈活運用因式分解解決問題
教學難點：靈活運用恰當的因式分解的方法，拓展練習2、3
教學過程：
一、創設情景：若a=101，b=99，求a2—b2的值
利用因式分解往往能將一些複雜的運算簡單化，那麼我們先來回顧一下什麼是因式分解和怎樣來因式分解。
二、知識回顧
1、因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式。
判斷下列各式哪些是因式分解？（讓學生先思考，教師提問講解，讓學生明確因式分解的概念以及與乘法的關係）
（1）、x2—4y2=（x+2y）（x—2y）因式分解（2）。2x（x—3y）=2x2—6xy整式乘法
（3）、（5a—1）2=25a2—10a+1整式乘法（4）。x2+4x+4=（x+2）2因式分解
（5）、（a—3）（a+3）=a2—9整式乘法（6）。m2—4=（m+4）（m—4）因式分解
（7）、2πR+2πr=2π（R+r）因式分解
2、規律總結（教師講解）：分解因式與整式乘法是互逆過程。
分解因式要注意以下幾點：
（1）。分解的對象必須是多項式。
（2）。分解的結果一定是幾個整式的乘積的形式。
（3）。要分解到不能分解為止。
3、因式分解的方法
提取公因式法：—6x2+6xy+3x=—3x（2x—2y—1）公因式的概念;公因式的求法
公式法：平方差公式：a2—b2=（a+b）（a—b）完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2
4、強化訓練
教學引入
師：教材在《四邊形》這一章《引言》裏有這樣一句話：把一個長方形摺疊就可以得到一個正方形。現在請同學們拿出一個長方形紙條，按動畫所示進行摺疊處理。
動畫演示：
場景一：正方形摺疊演示
師：這就是我們得到的正方形。下面請同學們拿出三角板（刻度尺）和圓規，我們來研究正方形的幾何性質—邊、角以及對角線之間的關係。請大家測量各邊的長度、各角的大小、對角線的長度以及對角線交點到各頂點的長度。
[學生活動：各自測量。]
鼓勵學生將測量結果與鄰近同學進行比較，找出共同點。
講授新課
找一兩個學生表述其結論，表述是要注意糾正其語言的規範性。
動畫演示：
場景二：正方形的性質
師：這些性質裏那些是矩形的性質？
[學生活動：尋找矩形性質。]
動畫演示：
場景三：矩形的性質
師：同樣在這些性質裏尋找屬於菱形的性質。
[學生活動;尋找菱形性質。]
動畫演示：
場景四：菱形的性質
師：這説明正方形具有矩形和菱形的全部性質。
及時提出問題，引導學生進行思考。
師：根據這些性質，我們能不能給正方形下一個定義？怎麼樣給正方形下一個準確的定義？
[學生活動：積極思考，有同學做躍躍欲試狀。]
師：請同學們回想矩形與菱形的定義，可以根據矩形與菱形的定義類似的給出正方形的定義。
學生應能夠向出十種左右的定義方式，其餘作相應鼓勵，把以下三種板書：
“有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。”
“有一個角是直角的菱形叫做正方形。”
“有一個角是直角且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形。”
[學生活動：討論這三個定義正確不正確？三個定義之間有什麼共同和不同的地方？這出教材中採用的是第三種定義方式。]
師：根據定義，我們把平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關係梳理一下。
試一試把下列各式因式分解：
（1）。1—x2=（1+x）（1—x）（2）。4a2+4a+1=（2a+1）2
（3）。4x2—8x=4x（x—2）（4）。2x2y—6xy2=2xy（x—3y）
三、例題講解
例1、分解因式
（1）—x3y3+x2y+xy（2）6（x—2）+2x（2—x）
（3）（4）y2+y+
例2、分解因式
1、a3—ab2=2、（a—b）（x—y）—（b—a）（x+y）=3、（a+b）2+2（a+b）—15=
4、—1—2a—a2=5、x2—6x+9—y26、x2—4y2+x+2y=
例3、分解因式
1、72—2（13x—7）22、8a2b2—2a4b—8b3
四、知識應用
1、（4x2—9y2）÷（2x+3y）2、（a2b—ab2）÷（b—a）
3、解方程：（1）x2=5x（2）（x—2）2=（2x+1）2
4、。若x=—3，求20x2—60x的值。5、1993—199能被200整除嗎？還能被哪些整數整除？
五、拓展應用
1。計算：7652×17—2352×17解：7652×17—2352×17=17（7652—2352）=17（765+235）（765—235）
2、20042+20xx被20xx整除嗎？
3、若n是整數，證明（2n+1）2—（2n—1）2是8的倍數。
五、課堂小結
今天你對因式分解又有哪些新的認識？
整式乘除與因式分解
一.回顧知識點
1、主要知識回顧：
冪的運算性質：
aman=am+n(m、n為正整數)
同底數冪相乘，底數不變，指數相加.
=amn(m、n為正整數)
冪的乘方，底數不變，指數相乘.
(n為正整數)
積的乘方等於各因式乘方的積.
=am-n(a≠0，m、n都是正整數，且m>n)
同底數冪相除，底數不變，指數相減.
零指數冪的概念：
a0=1(a≠0)
任何一個不等於零的數的零指數冪都等於l.
負指數冪的概念：
a-p=(a≠0，p是正整數)
任何一個不等於零的數的-p(p是正整數)指數冪，等於這個數的p指數冪的倒數.
也可表示為：(m≠0，n≠0，p為正整數)
單項式的乘法法則：
單項式相乘，把係數、同底數冪分別相乘，作為積的因式;對於只在一個單項式裏含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式.
單項式與多項式的乘法法則：
單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加.
多項式與多項式的乘法法則：
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加.
單項式的除法法則：
單項式相除，把係數、同底數冪分別相除，作為商的因式：對於只在被除式裏含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式.
多項式除以單項式的法則：
多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.
2、乘法公式：
①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
文字語言敍述：兩個數的和與這兩個數的差相乘，等於這兩個數的平方差.
②完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
文字語言敍述：兩個數的和(或差)的平方等於這兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的2倍.
3、因式分解：
因式分解的定義.
把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解.
掌握其定義應注意以下幾點：
(1)分解對象是多項式，分解結果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可;
(2)因式分解必須是恆等變形;
(3)因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止.
弄清因式分解與整式乘法的內在的關係.
因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式.
二、熟練掌握因式分解的常用方法.
1、提公因式法
(1)掌握提公因式法的概念;
(2)提公因式法的關鍵是找出公因式，公因式的構成一般情況下有三部分：①係數一各項係數的最大公約數;②字母——各項含有的相同字母;③指數——相同字母的最低次數;
(3)提公因式法的步驟：第一步是找出公因式;第二步是提取公因式並確定另一因式.需注意的是，提取完公因式後，另一個因式的項數與原多項式的項數一致，這一點可用來檢驗是否漏項.
(4)注意點：①提取公因式後各因式應該是最簡形式，即分解到“底”;②如果多項式的第一項的係數是負的，一般要提出“-”號，使括號內的第一項的係數是正的.
2、公式法
運用公式法分解因式的實質是把整式中的乘法公式反過來使用;
常用的公式：
①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
教學設計思想：
本小節依次介紹了平方差公式和完全平方公式，並結合公式講授如何運用公式進行多項式的因式分解。第一課時的內容是用平方差公式對多項式進行因式分解，首先提出新問題：x2-4與y2-25怎樣進行因式分解，讓學生自主探索，通過整式乘法的平方差公式，逆向得出用公式法分解因式的方法，發展學生的逆向思維和推理能力，然後讓學生獨立去做例題、練習中的題目，並對結果通過展示、解釋、相互點評，達到能較好的運用平方差公式進行因式分解的目的。第二課時利用完全平方公式進行多項式的因式分解是在學生已經學習了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基礎上進行的，因此在教學設計中，重點放在判斷一個多項式是否為完全平方式上，採取啟發式的教學方法，引導學生積極思考問題，從中培養學生的思維品質。
教學目標
知識與技能：
會用平方差公式對多項式進行因式分解;
會用完全平方公式對多項式進行因式分解;
能夠綜合運用提公因式法、平方差公式、完全平方公式對多項式進行因式分解;
提高全面地觀察問題、分析問題和逆向思維的能力。
過程與方法：
經歷用公式法分解因式的探索過程，進一步體會這兩個公式在因式分解和整式乘法中的不同方向，加深對整式乘法和因式分解這兩個相反變形的認識，體會從正逆兩方面認識和研究事物的方法。
情感態度價值觀：
通過學習進一步理解數學知識間有着密切的聯繫。
教學重點和難點
重點：①運用平方差公式分解因式;②運用完全平方式分解因式。
難點：①靈活運用平方差公式分解因式，正確判斷因式分解的徹底性;②靈活運用完全平方公式分解因式
關鍵：把握住因式分解的基本思路，觀察多項式的特徵，靈活地運用換元和劃歸思想。
學習目標
1、學會用平方差公式進行因式法分解
2、學會因式分解的而基本步驟.
學習重難點重點：
用平方差公式進行因式法分解.
難點：
因式分解化簡的`過程
自學過程設計教學過程設計
看一看
平方差公式：
平方差公式的逆運用：
做一做：
1.填空題.
(1)25a2-_______=(5a+2b)(5a-2b);(2)x2-=(x-)(________).
(3)-a2+b2=(b+a)(________);(4)36x2-81y2=9(_______)(_______).
2.把下列各式分解因式結果為-(x-2y)(x+2y)的多項式是()
A.x2-4yB.x2+4y2C.-x2+4y2D.-x2-4y2
3.多項式-1+0.04a2分解因式的結果是()
A.(-1+0.2a)2B.(1+0.2a)(1-0.2a)
C.(0.2a+1)(0.2a-1)D.(0.04a+1)(0.04a-1)
4.把下列各式分解因式：
(1)4x2-25y2;(2)0.81m2-n2;
(3)a3-9a;(4)8x3y3-2xy.
5.把下列各式分解因式：
(1)(3a+2b)2-(a-b)2;(2)4(x+2y)2-25(x-y)2.
6.用簡便方法計算：3492-2512.
想一想
你還有哪些地方不是很懂?請寫出來。
____________________________________________________________________________________
預習展示一：
1、下列多項式能否用平方差公式分解因式?
説説你的理由。
4x2+y2
4x2-(-y)2
-4x2-y2-4x2+y2
a2-4a2+3
2.把下列各式分解因式：
(1)16-a2
(2)0.01s2-t2
(4)-1+9x2
(5)(a-b)2-(c-b)2
(6)-(x+y)2+(x-2y)2
應用探究：
1、分解因式
4x3y-9xy3
變式：把下列各式分解因式
①x4-81y4
②2a-8a
2、從前有一位張老漢向地主租了一塊“十字型”土地(尺寸如圖)。為便於種植，他想換一塊相同面積的長方形土地。同學們，你能幫助張老漢算出這塊長方形土地的長和寬嗎?w
3、在日常生活中如上網等都需要密碼.有一種因式分解法產生的密碼方便記憶又不易破譯.
例如用多項式x4-y4因式分解的結果來設置密碼,當取x=9,y=9時,可得一個六位數的密碼“018162”.你想知道這是怎麼來的嗎?
小明選用多項式4x3-xy2，取x=10,y=10時。用上述方法產生的密碼是什麼?(寫出一個即可)
拓展提高：
若n為整數，則(2n+1)2-(2n-1)2能被8整除嗎?請説明理由.
教後反思考察利用公式法因式分解的題目不會很難，但是需要學生記住公式的形式，之後利用公式把式子進行變形，從而達到進行因式分解的目的。
學習目標：經歷探索同底數冪的乘法運算性質的.過程，能用代數式和文字正確地表述，並會熟練地進行計算。通過由特殊到一般的猜想與説理、驗證，發展推理能力和有條理的表達能力.
學習重點：同底數冪乘法運算性質的推導和應用.
學習過程：
一、創設情境引入新課
複習乘方an的意義：an表示個相乘，即an=.
乘方的結果叫a叫做，n是
問題：一種電子計算機每秒可進行1012次運算，它工作103秒可進行多少次運算?
列式為，你能利用乘方的意義進行計算嗎?
二、探究新知：
探一探：
1根據乘方的意義填空
(1)23×24=(2×2×2)×(2×2×2×2)=2();
(2)55×54=_________=5();
(3)(-3)3×(-3)2=_________________=(-3)();
(4)a6a7=________________=a().
(5)5m5n
猜一猜：aman=(m、n都是正整數)你能證明你的猜想嗎?
説一説：你能用語言敍述同底數冪的乘法法則嗎?
同理可得：amanap=(m、n、p都是正整數)
三、範例學習：
【例1】計算：(1)103×104;(2)aa3;(3)mm3m5;(4)xmx3m+1(5)xx2+x2x
1.填空：⑴10×109=;⑵b2×b5=;⑶x4x=;⑷x3x3=.
2.計算：
(1)a2a6;(2)(-x)(-x)3;(3)8m(-8)38n;(4)b3(-b2)(-b)4.
【例2】：把下列各式化成(x+y)n或(x-y)n的形式.
(1)(x+y)4(x+y)3(2)(x-y)3(x-y)(y-x)
(3)-8(x-y)2(x-y)(4)(x+y)2m(x+y)m+1
四、學以致用：
1.計算：⑴10n10m+1=⑵x7x5=⑶mm7m9=
⑷-4444=⑸22n22n+1=⑹y5y2y4y=
2.判斷題：判斷下列計算是否正確?並説明理由
⑴a2a3=a6();⑵a2a3=a5();⑶a2+a3=a5();
⑷aa7=a0+7=a7();⑸a5a5=2a10();⑹25×32=67()。
3.計算：
(1)xx2+x2x(2)x2xn+1+xn-2x4-xn-1x4
(3)-(-a)3(-a)2a5;(4)(a-b)3(b-a)2
(5)(x+y)(x+y)(x+y)2+(x+y)2(x+y)2
4.解答題：
(1)已知xm+nxm-n=x9，求m的值.
(2)據不完全統計，每個人每年最少要用去106立方米的水，1立方米的水中約含有3.34×1019個水分子，那麼，每個人每年要用去多少個水分子?
學習目標
1、瞭解因式分解的意義以及它與正式乘法的關係。
2、能確定多項式各項的公因式，會用提公因式法分解因式。
學習重點：能用提公因式法分解因式。
學習難點：確定因式的公因式。
學習關鍵，在確定多項式各項公因式時，應抓住各項的公因式來提公因式。
學習過程
一.知識回顧
1、計算
(1)、n(n+1)(n-1)(2)、(a+1)(a-2)
(3)、m(a+b)(4)、2ab(x-2y+1)
二、自主學習
1、閲讀課文P72-73的內容，並回答問題：
(1)知識點一：把一個多項式化為幾個整式的__________的形式叫做____________，也叫做把這個多項式__________。
(2)、知識點二：由m(a+b+c)=ma+mb+mc可得
ma+mb+mc=m(a+b+c)
我們來分析一下多項式ma+mb+mc的特點;它的每一項都含有一個相同的因式m，m叫做各項的_________。如果把這個_________提到括號外面，這樣
ma+mb+mc就分解成兩個因式的積m(a+b+c)，即ma+mb+mc=m(a+b+c)。這種________的方法叫做________。
2、練一練。P73練習第1題。
三、合作探究
1、(1)m(a-b)=ma-mb(2)a(x-y+2)=ax-ay+2a，由上可知，整式乘法是一種變形，左邊是幾個整式乘積形式，右邊是一個多項式。、
2、(1)ma-mb=m(a-b)(2)ax-ay+2a=a(x-y+2),由此可知，因式分解也是一種變形，左邊是_____________，右邊是_____________。
3、下列是由左到右的變形，哪些屬於整式乘法，哪些屬於因式分解?
(1)(a+b)(a-b)=a-b(2)a+2ab+b=(a+b)
(3)-6x3+18x2-12x=-16(x2-3x+2)(4)(x-1)(x+1)=x2-1
4、準確地確定公因式時提公因式法分解因式的關鍵，確定公因式可分兩步進行：
(1)確定公因式的數字因數，當各項係數都是整數時，他們的最大公約數就是公因式的數字因數。
例如：8a2b-72abc公因式的數字因數為8。
(2)確定公因式的字母及其指數，公因式的字母應是多項式各項都含有的字母，其指數取最低的。故8a2b-72abc的公因式是8ab
四、展示提升
1、填空(1)a2b-ab2=ab(________)
(2)-4a2b+8ab-4b分解因式為__________________
(3)分解因式4x2+12x3+4x=__________________
(4)__________________=-2a(a-2b+3c)
2、P73練習第2題和第3題
五、達標測試。
1、下列各式從左到右的變形中，哪些是整式乘法?哪些是因式分解?哪些兩者都不是?
(1)ax+bx+cx+m=x(a+b+c)+m(2)mx-2m=m(x-2)
(3)2a(b+c)=2ab+2ac(4)(x-3)(x+3)=(x+3)(x-3)
(5)x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1(6)(x-2)(x+2)=x2-4
2.課本P77習題8.5第1題
學習反思
一、知識點
二、易錯題
三、你的困惑
教學目標
1、會運用因式分解進行簡單的多項式除法。
2、會運用因式分解解簡單的方程。
二、教學重點與難點教學重點：
教學重點
因式分解在多項式除法和解方程兩方面的應用。
教學難點：
應用因式分解解方程涉及較多的推理過程。
三、教學過程
（一）引入新課
1、知識回顧（1） 因式分解的幾種方法： ①提取公因式法： ma+mb=m（a+b） ②應用平方差公式： = （a+b） （a—b）③應用完全平方公式：a 2ab+b =（ab） （2） 課前熱身： ①分解因式：（x +4） y — 16x y
（二）師生互動，講授新課
1、運用因式分解進行多項式除法例1 計算： （1） （2ab —8a b） （4a—b）（2）（4x —9） （3—2x）解：（1） （2ab —8a b）（4a—b） =—2ab（4a—b） （4a—b） =—2ab （2） （4x —9） （3—2x） =（2x+3）（2x—3） [—（2x—3）] =—（2x+3） =—2x—3
一個小問題 ：這裏的x能等於3/2嗎 ？為什麼？
想一想：那麼（4x —9） （3—2x） 呢？練習：課本P162課內練習
合作學習
想一想：如果已知 （ ）（ ）=0 ，那麼這兩個括號內應填入怎樣的數或代數式子才能夠滿足條件呢？ （讓學生自己思考、相互之間討論！）事實上，若AB=0 ，則有下面的結論：（1）A和B同時都為零，即A=0，且B=0（2）A和B中有一個為零，即A=0，或B=0
試一試：你能運用上面的結論解方程（2x+1）（3x—2）=0 嗎？3、運用因式分解解簡單的方程例2 解下列方程： （1） 2x +x=0 （2） （2x—1） =（x+2） 解：x（x+1）=0 解：（2x—1） —（x+2） =0則x=0，或2x+1=0 （3x+1）（x—3）=0原方程的根是x1=0，x2= 則3x+1=0，或x—3=0 原方程的根是x1= ，x2=3注：只含有一個未知數的方程的解也叫做根，當方程的根多於一個時，常用帶足標的字母表示，比如：x1 ，x2
等練習：課本P162課內練習2
做一做！對於方程：x+2=（x+2） ，你是如何解該方程的，方程左右兩邊能同時除以（x+2）嗎？為什麼？
教師總結：運用因式分解解方程的基本步驟（1）如果方程的右邊是零，那麼把左邊分解因式，轉化為解若干個一元一次方程；（2）如果方程的兩邊都不是零，那麼應該先移項，把方程的右邊化為零以後再進行解方程；遇到方程兩邊有公因式，同樣需要先進行移項使右邊化為零，切忌兩邊同時除以公因式！4、知識延伸解方程：（x +4） —16x =0解：將原方程左邊分解因式，得 （x +4） —（4x） =0（x +4+4x）（x +4—4x）=0（x +4x+4）（x —4x+4）=0 （x+2） （x—2） =0接着繼續解方程，5、練一練 ①已知 a、b、c為三角形的三邊，試判斷 a —2ab+b —c 大於零？小於零？等於零？解： a —2ab+b —c =（a—b） —c =（a—b+c）（a—b—c）∵ a、b、c為三角形的三邊 a+c ﹥b a﹤b+c a—b+c﹥0 a—b—c ﹤0即：（a—b+c）（a—b—c） ﹤0 ，因此 a —2ab+b —c 小於零。6、挑戰極限①已知：x=20xx，求∣4x —4x+3 ∣ —4 ∣ x +2x+2 ∣ +13x+6的值。解： ∵4x — 4x+3= （4x —4x+1）+2 = （2x—1） +2 0x +2x+2 = （x +2x+1）+1 = （x+1） +10 ∣4x —4x+3 ∣ —4 ∣ x +2x+2 ∣ +13x+6= 4x — 4x+3 —4（x +2x+2 ） +13x+6= 4x — 4x+3 —4x —8x —8+13x+6= x+1即：原式= x+1=20xx+1=20xx
（三）梳理知識，總結收穫因式分解的兩種應用：
（1）運用因式分解進行多項式除法
（2）運用因式分解解簡單的方程
（四）佈置課後作業
作業本6、42、課本P163作業題（選做）
因式分解
教材分析
因式分解是進行代數式恆等變形的重要手段之一，因式分解是在學習整式四則運算的基礎上進行的，它不僅僅在多項式的除法、簡便運算中等有直接的應用，也為以後學習分式的約分與通分、解方程（組）及三解函數式的恆等變形帶給了必要的基礎，因此學好因式分解對於代數知識的後續學習，具有相當重要的好處。由於本節課後學習提取公因式法，運用公式法，分組分解法來進行因式分解，務必以理解因式分解的概念為前提，所以本節資料的重點是因式分解的概念。由整式乘法尋求因式分解的方法是一種逆向思維過程，而逆向思維對七年級學生還比較生疏，理解起來有必須難度，再者本節還沒涉及因式分解的具體方法，所以理解因式分解與整式乘法的相互關係，並運用它們之間的相互關係尋求因式分解的方法是教學中的難點。
教學目標
認知目標：（1）理解因式分解的概念和好處
（2）認識因式分解與整式乘法的相互關係——相反變形，並會運用它們之間的相互關係尋求因式分解的方法。
潛力目標：由學生自行探求解題途徑，培養學生觀察、分析、決定潛力和創新潛力，發展學生智能，深化學生逆向思維潛力和綜合運用潛力。
情感目標：培養學生理解矛盾的對立統一觀點，獨立思考，勇於探索的精神和實事求是的科學態度。
目標制定的思想
1．目標具體化、明確化，從學生實際出發，具有針對性和可行性，同時便於上課操作，便於檢測和及時反饋。
2．課堂教學體現潛力立意。
3．寓德育教育於教學之中。
教學方法
1．採用以設疑探究的引課方式，激發學生的求知慾望，提高學生的學習興趣和學習用心性。
2．把因式分解概念及其與整式乘法的關係作為主線，訓練學生思維，以設疑——感知——概括——運用為教學程序，充分遵循學生的認知規律，使學生能順利地掌握重點，突破難點，提高潛力。
3．在課堂教學中，引導學生體會知識的發生發展過程，堅持啟發式，鼓勵學生充分地動腦、動口、動手，用心參與到教學中來，充分體現了學生的主動性原則。
4．在充分尊重教材的前提下，融教材練習、想一想於教學過程中，增設了由淺入深、各不相同卻又緊密相關的訓練題目，為學生順利掌握因式分解概念及其與整式乘法關係創造了有利條件。
5．改變傳統言傳身教的方式，利用計算機輔助教學手段進行教學，增大教學的容量和直觀性，提高教學效率和教學質量。
教學過程安排
一、提出問題，創設情境
問題：看誰算得快？（計算機出示問題）
（1）若a=101，b=99，則a2—b2=（a+b）（a—b）=（101+99）（101—99）=400
（2）若a=99，b=—1，則a2—2ab+b2=（a—b）2=（99+1）2=10000
（3）若x=—3，則20x2+60x=20x（x+3）=20x（—3）（—3+3）=0
二、觀察分析，探究新知
（1）請每題想得最快的同學談思路，得出最佳解題方法（同時計算機出示答案）
（2）觀察：a2—b2=（a+b）（a—b）①的左邊是一個什麼式子？右邊又是什麼形式？
a2—2ab+b2=（a—b）2②
20x2+60x=20x（x+3）③
（3）類比國小學過的因數分解概念，（例42=2×3×7④）得出因式分解概念。
板書課題：§7。1因式分解
1．因式分解概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式叫做因式分解，也叫分解因式。
三、獨立練習，鞏固新知
練習
1．下列由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解？哪些不是？為什麼？（計算機演示）
①（x+2）（x—2）=x2—4
②x2—4=（x+2）（x—2）
③a2—2ab+b2=（a—b）2
④3a（a+2）=3a2+6a
⑤3a2+6a=3a（a+2）
⑥x2—4+3x=（x—2）（x+2）+3x
⑦k2++2=（k+）2
⑧x—2—1=（x—1+1）（x—1—1）
⑨18a3bc=3a2b·6ac
2．因式分解與整式乘法的關係：
因式分解
結合：a2—b2=========（a+b）（a—b）
整式乘法
説明：從左到右是因式分解其特點是：由和差形式（多項式）轉化成整式的積的形式；從右到左是整式乘法其特點是：由整式積的形式轉化成和差形式（多項式）。
結論：因式分解與整式乘法正好相反。
問題：你能利用因式分解與整式乘法正好相反這一關係，舉出幾個因式分解的例子嗎？
（如：由（x+1）（x—1）=x2—1得x2—1=（x+1）（x—1）
由（x+2）（x—1）=x2+x—2得x2+x—2=（x+2）（x—1）等等）
四、例題教學，運用新知：
例：把下列各式分解因式：（計算機演示）
（1）am+bm（2）a2—9（3）a2+2ab+b2
（4）2ab—a2—b2（5）8a3+b6
練習2：填空：（計算機演示）
（1）∵2xy=2x2y—6xy2
∴2x2y—6xy2=2xy
（2）∵xy=2x2y—6xy2
∴2x2y—6xy2=xy
（3）∵2x=2x2y—6xy2
∴2x2y—6xy2=2x
五、強化訓練，掌握新知：
練習3：把下列各式分解因式：（計算機演示）
（1）2ax+2ay（2）3mx—6nx（3）x2y+xy2
（4）x2+—x（5）x2—0。01（6）a3—1
（讓學生上來板演）
六、變式訓練，擴展新知（計算機演示）
1。若x2+mx—n能分解成（x—2）（x—5），則m=，n=
2．機動題：（填空）x2—8x+m=（x—4），且m=
七、整理知識，構成結構（即課堂小結）
1．因式分解的概念因式分解是整式中的一種恆等變形
2．因式分解與整式乘法是兩種相反的恆等變形，也是思維方向相反的兩種思維方式，因此，因式分解的思維過程實際也是整式乘法的逆向思維的過程。
3．利用2中關係，能夠從整式乘法探求因式分解的結果。
4．教學中滲透對立統一，以不變應萬變的辯證唯物主義的思想方法。
八、佈置作業
1．作業本（一）中§7。1節
2．選做題：①x2+x—m=（x+3），且m=。
②x2—3x+k=（x—5），且k=。
評價與反饋
1．透過由學生自己得出因式分解概念及其與整式乘法的關係的結論，瞭解學生觀察、分析問題的潛力和逆向思維潛力及創新潛力。發現問題，及時反饋。
2．透過例題及練習，瞭解學生對概念的理解程度和實際運用潛力，最大限度地讓學生暴露問題和認知誤差，及時發現和彌補教與學中的遺漏和不足，從而及時調控教與學。
3．透過機動題，瞭解學生對概念的熟練程度和思維的靈敏性、深刻性、廣闊性及探研創造潛力，及時評價，及時矯正。
4．透過課後作業，瞭解學生對知識的掌握狀況與綜合運用知識及靈活運用知識的潛力，教師及時批閲，及時反饋講評，同時對個別學生面批作業，能夠更及時、更準確地瞭解學生思維發展的狀況，矯正的針對性更強。
5．透過課堂小結，瞭解學生對概念的熟悉程度和歸納概括潛力、語言表達潛力、知識運用潛力，教師恰當地給予引導和啟迪。
6．課堂上反饋信息除了語言和練習外，學生神情也是信息來源，而且這些信息更真實。學生神態、表情、坐姿都反映出學生對教師教學資料的理解和理解程度。教師應用心捕捉學生在知識掌握、思維發展、潛力培養等各方面全方位的反饋信息，隨時評價，及時矯正，隨時調節教學。
教學目標
教學知識點
使學生了解因式分解的好處，明白它與整式乘法在整式變形過程中的相反關係。
潛力訓練要求。
透過觀察，發現分解因式與整式乘法的關係，培養學生觀察潛力和語言概括潛力。
情感與價值觀要求。
透過觀察，推導分解因式與整式乘法的關係，讓學生了解事物間的因果聯繫。
教學重點
1、理解因式分解的好處。
2、識別分解因式與整式乘法的關係。
教學難點透過觀察，歸納分解因式與整式乘法的關係。
教學方法觀察討論法
教學過程
Ⅰ、創設問題情境，引入新課
導入：由（a+b）（a－b）=a2－b2逆推a2－b2=（a+b）（a－b）
Ⅱ、講授新課
1、討論993－99能被100整除嗎？你是怎樣想的？與同伴交流。
993－99=99×98×100
2、議一議
你能嘗試把a3－a化成n個整式的乘積的形式嗎？與同伴交流。
3、做一做
（1）計算下列各式：①（m+4）（m－4）=_________;②（y－3）2=__________;
③3x（x－1）=_______;④m（a+b+c）=_______;⑤a（a+1）（a－1）=________
（2）根據上面的算式填空：
①3x2－3x=（）（）;②m2－16=（）（）;③ma+mb+mc=（）（）;
④y2－6y+9=（）2。⑤a3－a=（）（）。
定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式分解因式。
4。想一想
由a（a+1）（a－1）得到a3－a的變形是什麼運算？由a3－a得到a（a+1）（a－1）的變形與這種運算有什麼不同？你還能舉一些類似的例子加以説明嗎？
下面我們一齊來總結一下。
如：m（a+b+c）=ma+mb+mc（1）
ma+mb+mc=m（a+b+c）（2）
5、整式乘法與分解因式的聯繫和區別
ma+mb+mcm（a+b+c）。因式分解與整式乘法是相反方向的變形。
6。例題下列各式從左到右的變形，哪些是因式分解？
（1）4a（a+2b）=4a2+8ab;（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）;
（3）a2－4=（a+2）（a－2）;（4）x2－3x+2=x（x－3）+2。
Ⅲ、課堂練習
P40隨堂練習
Ⅳ、課時小結
本節課學習了因式分解的好處，即把一個多項式化成幾個整式的積的形式；還學習了整式乘法與分解因式的關係是相反方向的變形。
國中因式分解教案
一、案例背景
現代教育理論認為，教師為主導，學生為主體，教師應當充分調動學生的學習用心性，使之主動地探索、研究，讓學生都參與到課堂活動中，透過學生自我感受，培養學生觀察、分析、歸納的潛力，逐步提高自學潛力，獨立思考的潛力，發現問題和解決問題的潛力，逐漸養成良好的個性品質。
因式分解是代數式的一種重要恆等變形。它是學習分式的基礎，又在恆等變形、代數式的運算、解方程、函數中有廣泛的應用。
二、案例分析
教學過程設計
（一）『情境引入』
情境一：如何計算375×2。8+375×4。9+375×2。3你是怎樣想的
問題：為什麼375×2。8+375×4。9+375×2。3能夠寫成375×（2。4+4。9+2。3）依據是什麼
【評析】：（1）、複習舊知，加深記憶，同時為下面的學習作鋪墊。
（2）、學生對這樣的問題有興趣，能迅速找出一些不同的速算方法，很快想出乘法分配律的逆向變形，設置這樣的情境，由數推廣到式，效率較高。還為新課資料的學習創設了良好的情緒和氛圍。
情境二：分析比較
把單項式乘多項式的乘法法則
a（b+c+d）=ab+ac+ad①
反過來，就得到
ab+ac+ad=a（b+c+d）②
思考（1）你是怎樣認識①式和②式之間的關係的
（2）②式左邊的多項式的每一項有相同的因式嗎你能説出這個因式嗎
【評析】：（1）、探索因式分解的方法，事實上是對整式乘法的再認識，因此，在教學過程中，教師要藉助學生已有的整式乘法運算的基礎，給他們留下充分探索與交流的時間和空間，讓他們經歷從整式乘法到因式分解的這種互逆變形的過程。
（2）、本題注重培養學生觀察、分析、歸納的潛力，並向學生滲透比較、類比的數學思想方法。
（二）『探究因式分解』
1、認識公因式
（1）、【概念1】：多項式ab+ac+ad的各項ab、ac、ad都內含相同的因式a，稱為多項式各項的公因式。
（2）、議一議
下列多項式的各項是否有公因式如果有，試找出公因式。
①多項式a2b+ab2的公因式是ab，……公因式是字母;
②多項式3x2—3y的公因式是3，……公因式是數字係數;
③多項式3x2—6x3的公因式是3x2，……公因式是數學系數與字母的乘積。
分析並猜想
確定一個多項式的公因式時，要從和兩方面，分別進行思考。
①如何確定公因式的數字係數
②如何確定公因式的字母字母的指數怎樣定
練一練：寫出下列多項式各項的公因式
（1）8x—16（2）2a2b—ab2
（3）4x2—2x（4）6m2n—4m3n3—2mn
【評析】：（1）、教師不要直接給出找多項式公因式的方法和解釋，而是鼓勵學生自主探索，根據自己的體驗來積累找公因式的方法和經驗，並能透過相互間的交流來糾正解題中的常見錯誤。
（2）、對公因式的理解是因式分解的基礎，所以在解決這個問題時要注意配以練習，個性是多次方及係數的公因式，要讓學生注意。
（3）、找公因式的一般步驟可歸納為：一看係數二看字母三看指數。
2、認識因式分解
【概念2】：把一個多項式化成幾個整式積的形式的叫做把這個多項式因式分解。
（課本）P71練一練第1題
（1）、下列各式由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解，哪些不是
①。ab+ac+d=a（b+c）+d
②。a2—1=（a+1）（a—1）
③。（a+1）（a—1）=a2—1
（2）、你認為提公因式法分解因式和單項式乘多項式這兩種變形是怎樣的關係從中你得到什麼啟發
【評析】：（1）、本題主要是為了加深學生對因式分解概念的理解，使學生清楚因式分解的結果應是整式乘積的形式。
（2）、教師安排本題意圖就是引導學生進行分析討論，鼓勵學生勤于思考，各抒己見，培養學生的邏輯思維潛力和表達、交流潛力。讓學生在主動學習中掌握了因式分解是整式乘法的互逆的過程，以及理解利用它們之間的關係進行因式分解的這種思想，從而降低了本節課的難點。
（三）『例題研究』
例1：把下列各式分解因式
（1）6a3b—9a2b2c（2）—2m3+8m2—12m
解：（1）6a3b—9a2b2c
=3a2b·2a—3a2b·3bc（找公因式，把各項分成公因式與一個單項式的乘積的形式）
=3a2b（2a—3bc）（提取公因式）
（2）—2m3+8m2—12m
=—（2m·m2—2m·4m+2m·6）（首項符號為負，先將多項式放在帶負號的括號內，注意放入括號中各項符號的'變化。）
=—2m（m2—4m+6）（提取公因式）
【評析】：（1）、因式分解的概念和好處需要學生多層次的感受，教師不要期望一次透徹的講解和分析就能讓學生完全掌握。這時先讓學生進行初步的感受，再透過不同形式的練習增強對概念的理解例。
（2）、教師在講解例題時，應鼓勵學生自己動手找公因式，讓學生透過動手動腦、實際操作，教師可在下面收集錯誤，再加以點評，加深對因式分解方法的理解。
（3）、教學中教師不能簡單地要求學生記憶運算法則，更要重視學生對算理的理解，讓學生嘗試説出每一步運算的道理，有意識地培養學生有條理地思考和語言表達潛力。
本題的易錯點：
（1）、漏項：提公因式後括號中的項數應與原多項式的項數一樣，這樣可檢查是否漏項。
（2）、符號：由於添括號法則在上學期沒有涉及，所以有必要在此處強調，添括號法則：括號前面是“+”號，括到括號裏的各項都不變號;括號前面是“—”號，括到括號裏的各項都要變號。
（四）『鞏固練習』
練一練：辨別下列因式分解的正誤
（1）8a3b2—12ab4+4ab=4ab（2a2b—3b3）
（2）4x2—12x3=2x2（2—6x）
（3）a3—a2=a2（a—1）=a3—a2
解（1）錯誤，分解因式後，括號內的多項式的項數漏掉了一項。
（2）錯誤，分解因式後，括號內的多項式中仍有公因式。
（3）錯誤，分解因式後，又回到到了整式的乘法。
【評析】：（1）、這些多是學生易錯的，本題設置的目的是讓學生運用例1的成果準確辨別因式分解中的常見錯誤，對因式分解的認識更加清晰。本例仍採用小組討論、交流的方式，讓學生都參與到課堂活動中。
（2）、當多項式的某一項恰好是公因式時，這一項應看成它與1的乘積，提公因式後剩下的應是1。1作為項的係數通常可省略，但如果單獨成一項時，它在因式分解時不能漏項。
（3）、進行多項式分解因式時，務必把每一個因式都分解到不能分解為止。
（4）、教師安排這一過程，完全放手讓學生自主進行，充分暴露學生的思維過程，展現學生生動活潑、主動求知和富有的個性，使學生真正成為學習的主體，使因式分解與整式的乘法的關係得到真正強化，也分散了本節課的難點。
（五）『想一想』：
如何把多項式3a（x+y）—2b（x+y）分解因式
解：3a（x+y）—2b（x+y）=（x+y）（3a—2b）
評析：公因式（x+y）是多項式，屬較高要求，當多項式中有相同的整體（多項式）時，不要把它拆開，提取公因式時把它整體提出來，有時還需要做適當變形，如：（2—a）=—（a—2），教學時可初步滲透換元思想，將換元思想引入因式分解，可使問題化繁為簡。
【概念3】把多項式化成公因式與另一個多項式的積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。
國中因式分解教學反思
1、本節課根據學生的知識結構，採用的教學流程是：提出問題—實際操作—歸納方法—課堂練習—課堂小結—佈置作業六部分，這一流程體現了知識發生、構成和發展的過程，讓學生進一步發展觀察、歸納、類比、概括、逆向思考等潛力，發展有條理思考及語言表達潛力;
2、分解因式是一種變形，變形的結果應是整式的積的形式，分解因式與整式的乘法是互逆關係，即把分解因式看作是一個變形的過程，那麼整式乘法又是分解因式的逆過程，這種互逆關係一方面體現二者之間的密切聯繫，另一方面又説明了二者之間的根本區別。探索因式分解的方法，事實上是對整式乘法的再認識，因此，在教學過程中，教師要藉助學生已有的整式乘法運算的基礎，給學生帶給豐富搞笑的問題情境，並給他們留下充分探索與交流的時間和空間，讓他們經歷從整式乘法到因式分解的這種互逆變形的過程;
3、在提公因式方面，學生對公因式的認識不足，對提公因式的要求不清楚，造成了學生在做分解因式時出現了以下錯誤：
（1）公因式找錯;
（2）公因式找不完整（如：漏掉公因式的係數（或係數不是取各項係數的最大公約數）、公因式中內含多項式時，漏掉係數或字母因數），導致因式分解不徹底;
4、由於在七年級上冊教材中沒有涉及添括號法則，所以學生在分解第一項係數是負數的多項式時，出現了很多符號錯誤;
因式分解是一個重點，也是一個難點，以上存在問題在以後的教學中有待進一步加強。
教學目標：
1、掌握用平方差公式分解因式的方法；掌握提公因式法，平方差公式法分解因式綜合應用；能利用平方差公式法解決實際問題。
2、經歷探究分解因式方法的過程，體會整式乘法與分解因式之間的聯繫。
3、通過對公式的探究，深刻理解公式的應用，並會熟練應用公式解決問題。
4、通過探究平方差公式特點，學生根據公式自己取值設計問題，並根據公式自己解決問題的過程，讓學生獲得成功的體驗，培養合作交流意識。
教學重點：
應用平方差公式分解因式．
教學難點：
靈活應用公式和提公因式法分解因式，並理解因式分解的要求．
教學過程：
一、複習準備 導入新課
1、什麼是因式分解？判斷下列變形過程，哪個是因式分解？
2、我們已經學過的因式分解的方法有什麼？將下列多項式分解因式。
x2+2x
a2b-ab
3、根據乘法公式進行計算：
(1)（x＋3）(x－3)= (2)(2y＋1)(2y－1)= (3)(a＋b)(a－b)=
二、合作探究 學習新知
(一) 猜一猜：你能將下面的多項式分解因式嗎？
（1）= (2)= (3)=
(二)想一想，議一議: 觀察下面的公式:
＝（a＋b）（a—b）（
這個公式左邊的多項式有什麼特徵：_____________________________________
公式右邊是__________________________________________________________
這個公式你能用語言來描述嗎？ _______________________________________
(三)練一練：
1、下列多項式能否用平方差公式來分解因式？為什麼？
① ② ③ ④
2、你能把下列的數或式寫成冪的形式嗎？
(1)( ) (2)( ) (3)( ) (4)= ( ) (5) 36a4=( )2 (6) 0.49b2=( )2 (7) 81n6=( )2 (8) 100p4q2=( )2
（四）做一做：
例3 分解因式：
(1) 4x2- 9 (2) (x+p)2- (x+q)2
（五）試一試：
例4 下面的式子你能用什麼方法來分解因式呢？請你試一試。
(1) x4- y4 (2) a3b- ab
（六）想一想：
某學校有一個邊長為85米的正方形場地，現在場地的四個角分別建一個邊長為5米的正方形花壇，問場地還剩餘多大面積供學生課間活動使用？
教學目標:
1.知識與技能:掌握運用提公因式法、公式法分解因式,培養學生應用因式分解解決問題的能力.
2.過程與方法:經歷探索因式分解方法的過程,培養學生研討問題的方法,通過猜測、推理、驗證、歸納等步驟,得出因式分解的方法.
3.情感態度與價值觀:通過因式分解的學習,使學生體會數學美,體會成功的自信和團結合作精神,並體會整體數學思想和轉化的數學思想.
教學重、難點:
用提公因式法和公式法分解因式.
教具準備:
多媒體課件(小黑板)
教學方法:
活動探究法
教學過程:
引入:在整式的變形中,有時需要將一個多項式寫成幾個整式的乘積的形式,這種變形就是因式分解.什麼叫因式分解?
知識詳解
知識點1 因式分解的定義
把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式因式分解,也叫做把這個多項式分解因式.
【説明】 (1)因式分解與整式乘法是相反方向的變形.
例如:
(2)因式分解是恆等變形,因此可以用整式乘法來檢驗.
怎樣把一個多項式分解因式?
知識點2 提公因式法
多項式ma+mb+mc中的各項都有一個公共的`因式m,我們把因式m叫做這個多項式的公因式+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成兩個因式乘積的形式,其中一個因式是各項的公因式m,另一個因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商,像這種分解因式的方法叫做提公因式法.例如:x2-x=x(x-1),8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1).
探究交流
下列變形是否是因式分解?為什麼?
(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x); (2)x2-2x+3=(x-1)2+2;
(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1); (4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.
典例剖析 師生互動
例1 用提公因式法將下列各式因式分解.
(1) -x3z+x4y; (2) 3x(a-b)+2y(b-a);
分析:(1)題直接提取公因式分解即可,(2)題首先要適當的變形, 再把b-a化成-(a-b),然後再提取公因式.
小結 運用提公因式法分解因式時,要注意下列問題:
(1)因式分解的結果每個括號內如有同類項要合併,而且每個括號內不能再分解.
(2)如果出現像(2)小題需統一時,首先統一,儘可能使統一的個數少。這時注意到(a-b)n=(b-a)n(n為偶數).
(3)因式分解最後如果有同底數冪,要寫成冪的形式.
學生做一做 把下列各式分解因式.
(1) (2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b) ;(2) 4p(1-q)3+2(q-1)2
知識點3 公式法
(1)平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).即兩個數的平方差,等於這兩個數的和與這個數的差的積.例如:4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).
(2)完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2.其中,a2±2ab+b2叫做完全平方式.即兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的2倍,等於這兩個數的和(或差)的平方.例如:4x2-12xy+9y2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.
探究交流
下列變形是否正確?為什麼?
(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y);(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2;(3)x2-2x-1=(x-1)2.
例2 把下列各式分解因式.
(1) (a+b)2-4a2;(2)1-10x+25x2;(3)(m+n)2-6(m+n)+9.
分析:本題旨在考查用完全平方公式分解因式.
學生做一做 把下列各式分解因式.
(1)(x2+4)2-2(x2+4)+1; (2)(x+y)2-4(x+y-1).
綜合運用
例3 分解因式.
(1)x3-2x2+x; (2) x2(x-y)+y2(y-x);
分析:本題旨在考查綜合運用提公因式法和公式法分解因式.
小結 解因式分解題時,首先考慮是否有公因式,如果有,先提公因式;如果沒有公因式是兩項,則考慮能否用平方差公式分解因式. 是三項式考慮用完全平方式,最後,直到每一個因式都不能再分解為止.
探索與創新題
例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式,則k= .
分析:完全平方式是形如:a2±2ab+b2即兩數的平方和與這兩個數乘積的2倍的和(或差).
學生做一做 若x2+(k+3)x+9是完全平方式,則k= .
課堂小結
用提公因式法和公式法分解因式,會運用因式分解解決計算問題.
各項有“公”先提“公”,首項有負常提負,某項提出莫漏“1”,括號裏面分到“底”。
自我評價 知識鞏固
1.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式,則m的值等於( )
A.3 B.-5 C.7. D.7或-1
2.若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3),則n的值是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
3.分解因式:4x2-9y2= .
4.已知x-y=1,xy=2,求x3y-2x2y2+xy3的值.
5.把多項式1-x2+2xy-y2分解因式
思考題 分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10.
知識點：
因式分解定義，提取公因式、應用公式法、分組分解法、二次三項式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步驟。
教學目標：
理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分組分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二項式的方法，能把簡單多項式分解因式。
考查重難點與常見題型：
考查因式分解能力，在會考試題中，因式分解出現的頻率很高。重點考查的分式提取公因式、應用公式法、分組分解法及它們的綜合運用。習題類型以填空題為多，也有選擇題和解答題。
教學過程：
因式分解知識點
多項式的因式分解，就是把一個多項式化為幾個整式的積。分解因式要進行到每一個因式都不能再分解為止。分解因式的常用方法有：
（1）提公因式法
如多項式
其中m叫做這個多項式各項的公因式， m既可以是一個單項式，也可以是一個多項式。
（2）運用公式法，即用寫出結果。
（3）十字相乘法
對於二次項係數為l的二次三項式 尋找滿足ab=q，a+b=p的a，b，如有，則對於一般的二次三項式尋找滿足
a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，則
（4）分組分解法：把各項適當分組，先使分解因式能分組進行，再使分解因式在各組之間進行。
分組時要用到添括號：括號前面是“+”號，括到括號裏的各項都不變符號；括號前面是“-”號，括到括號裏的各項都改變符號。
（5）求根公式法：如果有兩個根X1，X2，那麼
2、教學實例：學案示例
3、課堂練習：學案作業
4、課堂：
5、板書：
6、課堂作業：學案作業
7、教學反思：
教材分析
因式分解是代數式的一種重要恆等變形。《數學課程標準》雖然降低了因式分解的特殊技巧的要求,也對因式分解常用的四種方法減少為兩種,且公式法的應用中,也減少為兩個公式,但絲毫沒有否定因式分解的教育價值及其在代數運算中的重要作用。本章教材是在學生學習了整式運算的基礎上提出來的,事實上,它是整式乘法的逆向運用,與整式乘法運算有密切的聯繫。分解因式的變形不僅體現了一種“化歸”的思想,而且也是解決後續—分式的化簡、解方程等—恆等變形的基礎,為數學交流提供了有效的途徑。分解因式這一章在整個教材中起到了承上啟下的作用。本章的教育價值還體現在使學生接受對立統一的觀點,培養學生善於觀察、善於分析、正確預見、解決問題的能力。
學情分析
通過探究平方差公式和運用平方差公式分解因式的活動中，讓學生髮表自己的觀點，從交流中獲益，讓學生獲得成功的體驗，鍛鍊克服困難的意志建立自信心。
教學目標
1、在分解因式的過程中體會整式乘法與因式分解之間的聯繫。
2、通過公式a -b =(a+b)(a-b)的逆向變形，進一步發展觀察、歸納、類比、等能力，發展有條理地思考及語言表達能力。
3、能運用提公因式法、公式法進行綜合運用。
4、通過活動4，能將高偶指數冪轉化為2次指數冪，培養學生的化歸思想。
教學重點和難點
重點：靈活運用平方差公式進行分解因式。
難點：平方差公式的推導及其運用，兩種因式分解方法（提公因式法、平方差公式）的綜合運用。
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