第一篇：函數極限的證明
函數極限的證明
(一)時函數的極限：
以時和為例引入.
介紹符號:的意義,的直觀意義.
定義(和.)
幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數.然後用這些鄰域語言介紹幾何意義.
例1驗證例2驗證例3驗證證……
(二)時函數的極限：
由考慮時的極限引入.
定義函數極限的“”定義.
幾何意義.
用定義驗證函數極限的基本思路.
例4驗證例5驗證例6驗證證由=
為使需有為使需有於是,倘限制,就有
例7驗證例8驗證(類似有(三)單側極限:
1.定義：單側極限的定義及記法.
幾何意義:介紹半鄰域然後介紹等的幾何意義.
例9驗證證考慮使的2.單側極限與雙側極限的關係:
th類似有:例10證明:極限不存在.
例11設函數在點的某鄰域內單調.若存在,則有
=§2函數極限的性質(3學時)
教學目的：使學生掌握函數極限的基本性質。
教學要求：掌握函數極限的基本性質：唯一性、局部保號性、不等式性質以及有理運算性等。
教學重點：函數極限的性質及其計算。
教學難點：函數極限性質證明及其應用。
教學方法：講練結合。
一、組織教學：
我們引進了六種極限:,.以下以極限為例討論性質.均給出證明或簡證.
二、講授新課：
(一)函數極限的性質:以下性質均以定理形式給出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保號性:
4.單調性(不等式性質):
th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使，都有證設=(現證對有)
註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例説明.
5.迫斂性:
6.四則運算性質:(只證“+”和“”)
(二)利用極限性質求極限：已證明過以下幾個極限：
(注意前四個極限中極限就是函數值)
這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續證明這些公式.
利用極限性質，特別是運算性質求極限的原理是：通過有關性質,把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.
例1(利用極限和)
例2例3註:關於的有理分式當時的極限.
例4
例5例6例7
第二篇：函數極限證明
函數極限證明
記g(x)=lim^(1/n)，n趨於正無窮;
下面證明limg(x)=max{a1,},x趨於正無窮。把max{a1,}記作a。
不妨設f1(x)趨於a;作b>a>=0,m>1;
那麼存在n1,當x>n1,有a/m<=f1(x)注意到f2的極限小於等於a，那麼存在n2，當x>n2時，0<=f2(x)同理，存在ni，當x>ni時，0<=fi(x)取n=max{n1,};
那麼當x>n,有
(a/m)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+(x)^n所以a/m<=^(1/n)
第三篇：二元函數極限證明
二元函數極限證明
設p=f(x,y),p0=(a,b)，當p→p0時f(x,y)的極限是x,y同時趨向於a,b時所得到的稱為二重極限。
此外，我們還要討論x,y先後相繼地趨於a,b時的極限,稱為二次極限。
我們必須(轉載需註明來源：)注意有以下幾種情形：’
(1)兩個二次極限都不存在而二重極限仍有可能存在
(2)兩個二次極限存在而不相等
(3)兩個二次極限存在且相等，但二重極限仍可能不存在
2
函數f(x)當x→x0時極限存在，不妨設：limf(x)=a(x→x0)
根據定義:對任意ε>0,存在δ>0,使當|x-x0|<δ時,有|f(x)-a|<ε
而|x-x0|<δ即為x屬於x0的某個鄰域u(x0;δ)
又因為ε有任意性,故可取ε=1,則有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1
再取m=max{|a-1|,|a+1|},則有:存在δ>0,當任意x屬於x0的某個鄰域u(x0;δ)時,有|f(x)|
證畢
3首先，我的方法不正規，其次，正確不正確有待考察。
1，y以y=x^2-x的路徑趨於0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路徑趨於0結果是無窮大。
2，3可以用類似的方法，貌似同濟書上是這麼説的，二元函數在該點極限存在，是p(x,y)以任何方式趨向於該點。
4
f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)
顯然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在
當x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0處是波動的所以不存在
而當x->0,y->0時
由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)
而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2
所以|f|<=|x|+|y|
所以顯然當x->0,y->0時，f的極限就為0
這個就是你説的，唯一不一樣就是非正常極限是不存在而不是你説的
正無窮或負無窮或無窮，我想這個就可以了
就我這個我就線了好久了
5
(一)時函數的極限：
以時和為例引入.
介紹符號:的意義,的直觀意義.
定義(和.)
幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數.然後用這些鄰域語言介紹幾何意義.
例1驗證例2驗證例3驗證證……
(二)時函數的極限：
由考慮時的極限引入.
定義函數極限的“”定義.
幾何意義.
用定義驗證函數極限的基本思路.
例4驗證例5驗證例6驗證證由=
為使需有為使需有於是,倘限制,就有
例7驗證例8驗證(類似有(三)單側極限:
1.定義：單側極限的定義及記法.
幾何意義:介紹半鄰域然後介紹等的幾何意義.
例9驗證證考慮使的2.單側極限與雙側極限的關係:
th類似有:例10證明:極限不存在.
例11設函數在點的某鄰域內單調.若存在,則有
=§2函數極限的性質(3學時)
教學目的：使學生掌握函數極限的基本性質。
教學要求：掌握函數極限的基本性質：唯一性、局部保號性、不等式性質以及有理運算性等。
教學重點：函數極限的性質及其計算。
教學難點：函數極限性質證明及其應用。
教學方法：講練結合。
一、組織教學：
我們引進了六種極限:,.以下以極限為例討論性質.均給出證明或簡證.
二、講授新課：
(一)函數極限的性質:以下性質均以定理形式給出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保號性:
4.單調性(不等式性質):
th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使，都有證設=(現證對有)
註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例説明.
5.迫斂性:
6.四則運算性質:(只證“+”和“”)
(二)利用極限性質求極限：已證明過以下幾個極限：
(注意前四個極限中極限就是函數值)
這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續證明這些公式.
利用極限性質，特別是運算性質求極限的原理是：通過有關性質,把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.
例1(利用極限和)
例2例3註:關於的有理分式當時的極限.
例4
例5例6例7
第四篇：函數極限的性質證明
函數極限的性質證明
x1=2,xn+1=2+1/xn,證明xn的極限存在，並求該極限
求極限我會
|xn+1-a|<|xn-a|/a
以此類推，改變數列下標可得|xn-a|<|xn-1-a|/a;
|xn-1-a|<|xn-2-a|/a;
……
|x2-a|<|x1-a|/a;
向上迭代，可以得到|xn+1-a|<|xn-a|/(a^n)
2
只要證明{x(n)}單調增加有上界就可以了。
用數學歸納法：
①證明{x(n)}單調增加。
x(2)=√=√5>x(1);
設x(k+1)>x(k)，則
x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)
=/【√+√】>0。
②證明{x(n)}有上界。
x(1)=1<4，
設x(k)<4，則
x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。
3
當0
當0
構造函數f(x)=x*a^x(0
令t=1/a，則：t>1、a=1/t
且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)
則：
lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x
=lim(x→+∞)(分子分母分別求導)
=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)
=1/(+∞)
=0
所以，對於數列n*a^n，其極限為0
4
用數列極限的定義證明
3.根據數列極限的定義證明：
(1)lim=0
n→∞
(2)lim=3/2
n→∞
(3)lim=0
n→∞
(4)lim0.999…9=1
n→∞n個9
5幾道數列極限的證明題，幫個忙。。。lim就省略不打了。。。
n/(n^2+1)=0
√(n^2+4)/n=1
sin(1/n)=0
實質就是計算題，只不過題目把答案告訴你了，你把過程寫出來就好了
第一題，分子分母都除以n，把n等於無窮帶進去就行
第二題，利用海涅定理，把n換成x，原題由數列極限變成函數極限，用羅比達法則(不知樓主學了沒，沒學的話以後會學的)
第三題，n趨於無窮時1/n=0，sin(1/n)=0
不知樓主覺得我的解法對不對呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0
lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1
limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0
第五篇：函數極限的定義證明
習題1?3
1. 根據函數極限的定義證明:
(1)lim(3x?1)?8;x?3
(2)lim(5x?2)?12;x?2
x2?4??4;(3)limx??2x?2
1?4x3
(4)lim?2.
x??2x?12
1證明 (1)分析 |(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使|(3x?1)?8|?? , 只須|x?3|??.3
1證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?3|??時, 有|(3x?1)?8|?? , 所以lim(3x?1)?8.x?33
1(2)分析 |(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|(5x?2)?12|?? , 只須|x?2|??.5
1證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?2|??時, 有|(5x?2)?12|?? , 所以lim(5x?2)?12.x?25
(3)分析
|x?(?2)|??.x2?4x2?4x?4x2?4?(?4)??|x?2|?|x?(?2)|, 要使?(?4)??, 只須x?2x?2x?2
x2?4x2?4?(?4)??, 所以lim??4.證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?(?2)|??時, 有x??2x?2x?2
(4)分析 1?4x3111?4x31?2??, 只須|x?(?)|??.?2?|1?2x?2|?2|x?(?)|, 要使2x?12x?1222
1?4x3111?4x3
?2??, 所以lim證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?(?)|??時, 有?2.12x?12x?122x??2. 根據函數極限的定義證明:
(1)lim1?x3
2x3
sinxx???1;2(2)limx???x?0.
證明 (1)分析
|x|?1
1?x32x311?x3?x3??22x3?12|x|3, 要使1?x32x3?11??, 只須??, 即322|x|2?.
證明 因為?? ?0, ?x?(2)分析
sinxx?0?
12?
, 當|x|?x時, 有1x
1?x32x311?x31???, 所以lim?.
x??2x322
1x
??, 即x?
sinxx
|sinx|x
?, 要使
sinx
證明 因為???0, ?x?
?2
, 當x?x時, 有
xsinxx
?0??, 只須
?
.
?0??, 所以lim
x???
?0.
3. 當x?2時,y?x2?4. 問?等於多少, 使當|x?2|<?時, |y?4|<0. 001？
解 由於x?2, |x?2|?0, 不妨設|x?2|?1, 即1?x?3. 要使|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0. 001, 只要
|x?2|?
0.001
?0.0002, 取??0. 0002, 則當0?|x?2|??時, 就有|x2?4|?0. 001.5
x2?1x?3
4. 當x??時, y?
x2?1x2?3
?1, 問x等於多少, 使當|x|>x時, |y?1|<0.01?
解 要使?1?
4x2?3
?0.01, 只|x|?
?3?397, x?.0.01
5. 證明函數f(x)?|x| 當x?0時極限為零.
x|x|
6. 求f(x)?, ?(x)?當x?0時的左﹑右極限, 並説明它們在x?0時的極限是否存在.
xx
證明 因為
x
limf(x)?lim?lim1?1,
x?0?x?0?xx?0?x
limf(x)?lim?lim1?1,
x?0?x?0?xx?0?limf(x)?limf(x),??
x?0
x?0
所以極限limf(x)存在.
x?0
因為
lim?(x)?lim??
x?0
x?0
|x|?x
?lim??1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?x
lim?(x)?lim??
x?0
x?0
lim?(x)?lim?(x),??
x?0
x?0
所以極限lim?(x)不存在.
x?0
7. 證明: 若x???及x???時, 函數f(x)的極限都存在且都等於a, 則limf(x)?a.
x??
證明 因為limf(x)?a, limf(x)?a, 所以??>0,
x???
x???
?x1?0, 使當x??x1時, 有|f(x)?a|?? ;?x2?0, 使當x?x2時, 有|f(x)?a|?? .
取x?max{x1, x2}, 則當|x|?x時, 有|f(x)?a|?? , 即limf(x)?a.
x??
8. 根據極限的定義證明: 函數f(x)當x?x0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在並且相等.
證明 先證明必要性. 設f(x)?a(x?x0), 則??>0, ???0, 使當0<|x?x0|<? 時, 有
|f(x)?a|<? .
因此當x0??<x<x0和x0<x<x0?? 時都有
|f(x)?a|<? .
這説明f(x)當x?x0時左右極限都存在並且都等於a .再證明充分性. 設f(x0?0)?f(x0?0)?a, 則??>0,??1>0, 使當x0??1<x<x0時, 有| f(x)?a<? ;??2>0, 使當x0<x<x0+?2時, 有| f(x)?a|<? .
取??min{?1, ?2}, 則當0<|x?x0|<? 時, 有x0??1<x<x0及x0<x<x0+?2 , 從而有
| f(x)?a|<? ,
即f(x)?a(x?x0).
9. 試給出x??時函數極限的局部有界性的定理, 並加以證明.
解 x??時函數極限的局部有界性的定理? 如果f(x)當x??時的極限存在? 則存在x?0及m?0? 使當|x|?x時? |f(x)|?m?
證明 設f(x)?a(x??)? 則對於? ?1? ?x?0? 當|x|?x時? 有|f(x)?a|?? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?a?a|?|f(x)?a|?|a|?1?|a|?
這就是説存在x?0及m?0? 使當|x|?x時? |f(x)|?m? 其中m?1?|a|?
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