一、指數函數
（一）指數與指數冪的運算
1、根式的概念：一般地，如果，那麼叫做的次方根(nthroot)，其中>1，且∈*。
當是奇數時，正數的次方根是一個正數，負數的次方根是一個負數。此時，的次方根用符號表示。式子叫做根式(radical)，這裏叫做根指數(radicalexponent)，叫做被開方數(radicand)。
當是偶數時，正數的次方根有兩個，這兩個數互為相反數。此時，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號-表示。正的次方根與負的次方根可以合併成±（>0）。由此可得：負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。
注意：當是奇數時，當是偶數時，
2、分數指數冪
正數的分數指數冪的意義，規定：
0的正分數指數冪等於0，0的負分數指數冪沒有意義
指出：規定了分數指數冪的意義後，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那麼整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪。
3、實數指數冪的運算性質
（二）指數函數及其性質
1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數(exponential)，其中x是自變量，函數的定義域為R.
注意：指數函數的底數的取值範圍，底數不能是負數、零和1.
2、指數函數的圖象和性質
函數的應用1、函數零點的概念：對於函數，把使成立的實數叫做函數的零點。
2、函數零點的意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫座標。即：
方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點。
3、函數零點的求法：
求函數的零點：
1（代數法）求方程的實數根；
2（幾何法）對於不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯繫起來，並利用函數的性質找出零點。
4、二次函數的零點：
二次函數。
1)△>0，方程有兩不等實根，二次函數的圖象與軸有兩個交點，二次函數有兩個零點。
2)△=0，方程有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點。
3)△<0，方程無實根，二次函數的圖象與軸無交點，二次函數無零點。
2必修一函數重點知識整理1. 函數的奇偶性
（1）若f(x)是偶函數，那麼f(x)=f(-x) ；
（2）若f(x)是奇函數，0在其定義域內，則 f(0)=0（可用於求參數）；
（3）判斷函數奇偶性可用定義的等價形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0)；
（4）若所給函數的解析式較為複雜，應先化簡，再判斷其奇偶性；
（5）奇函數在對稱的單調區間內有相同的單調性；偶函數在對稱的單調區間內有相反的單調性；
2、複合函數的有關問題
（1)複合函數定義域求法：若已知 的定義域為[a，b]，其複合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可；若已知f[g(x)]的定義域為[a,b]，求 f(x)的定義域，相當於x∈[a,b]時，求g(x)的值域（即 f(x）的定義域）；研究函數的問題一定要注意定義域優先的原則。
（2）複合函數的單調性由“同增異減”判定；
3、函數圖像（或方程曲線的對稱性）
（1）證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關於對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；
（2）證明圖像C1與C2的對稱性，即證明C1上任意點關於對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在C2上，反之亦然；
（3）曲線C1：f(x,y)=0,關於y=x+a(y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0（或f(-y+a,-x+a）=0)；
（4）曲線C1:f(x,y)=0關於點(a,b)的對稱曲線C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;
（5）若函數y=f(x)對x∈R時，f(a+x)=f(a-x)恆成立，則y=f(x)圖像關於直線x=a對稱；
（6）函數y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關於直線x= 對稱；
4、函數的週期性
（1)y=f(x)對x∈R時，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a ）=f(x) (a>0)恆成立，則y=f(x)是週期為2a的周期函數；
（2）若y=f(x)是偶函數，其圖像又關於直線x=a對稱，則f(x)是週期為2︱a︱的周期函數；
（3）若y=f(x)奇函數，其圖像又關於直線x=a對稱，則f(x)是週期為4︱a︱的周期函數；
（4）若y=f(x)關於點(a,0)，(b,0)對稱，則f(x)是週期為2 的周期函數；
(5)y=f(x)的圖象關於直線x=a,x=b(a≠b)對稱，則函數y=f(x)是週期為2 的周期函數；
(6)y=f(x)對x∈R時，f(x+a)=-f(x)（或f(x+a）= ，則y=f(x)是週期為2 的周期函數；
5、方程k=f（x)有解 k∈D(D為f(x)的值域）；
6.a≥f(x) 恆成立 a≥[f(x)]max,； a≤f(x) 恆成立 a≤[f(x)]min;
7、（1) (a>0,a≠1,b>0,n∈R+）；
（2） l og a N= （ a>0,a≠1,b>0,b≠1）；
（3） l og a b的符號由口訣“同正異負”記憶；
（4） a log a N= N （ a>0,a≠1,N>0 ）；
8、判斷對應是否為映射時，抓住兩點：
(1)A中元素必須都有象且唯一；(2)B中元素不一定都有原象，並且A中不同元素在B中可以有相同的象；
9、能熟練地用定義證明函數的單調性，求反函數，判斷函數的奇偶性。
10、對於反函數，應掌握以下一些結論：(1)定義域上的單調函數必有反函數；(2)奇函數的反函數也是奇函數；(3)定義域為非單元素集的偶函數不存在反函數；(4)周期函數不存在反函數；(5)互為反函數的兩個函數具有相同的單調性；(5) y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數，設f(x)的定義域為A，值域為B，則有f[f--1(x)]=x(x∈B)，f--1[f(x)]=x(x∈A)。
11、處理二次函數的問題勿忘數形結合；二次函數在閉區間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區間的相對位置關係；
12、依據單調性，利用一次函數在區間上的保號性可解決求一類參數的範圍問題
13、恆成立問題的處理方法：（1)分離參數法；(2)轉化為一元二次方程的根的分佈列不等式(組）求解；
【一】
集合具有某種特定性質的事物的總體。這裏的“事物”可以是人，物品，也可以是數學元素。
例如：1、分散的人或事物聚集到一起；使聚集：緊急～。
2、數學名詞。一組具有某種共同性質的數學元素：有理數的～。
3、口號等等。集合在數學概念中有好多概念，如集合論：集合是現代數學的基本概念，專門研究集合的理論叫做集合論。康託(Cantor，G.F.P.，1845年—1918年，德國數學家先驅，是集合論的，目前集合論的基本思想已經滲透到現代數學的所有領域。
集合，在數學上是一個基礎概念。什麼叫基礎概念？基礎概念是不能用其他概念加以定義的概念。集合的概念，可通過直觀、公理的方法來下“定義”。集合
集合是把人們的直觀的或思維中的某些確定的能夠區分的對象匯合在一起，使之成為一個整體（或稱為單體），這一整體就是集合。組成一集合的那些對象稱為這一集合的元素（或簡稱為元）。
【二】
元素與集合的關係有“屬於”與“不屬於”兩種。
集合與集合之間的關係
某些指定的對象集在一起就成為一個集合集合符號，含有有限個元素叫有限集，含有無限個元素叫無限集，空集是不含任何元素的集，記做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有傳遞性。『説明一下：如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則A稱作是B的子集，寫作A?B。若A是B的子集，且A不等於B，則A稱作是B的真子集，一般寫作A?B。中學教材課本里將？符號下加了一個≠符號，不要混淆，考試時還是要以課本為準。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』
【三】
並集：以屬於A或屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的並（集)，記作A∪B(或B∪A），讀作“A並B”（或“B並A”），即A∪B={x|x∈A，或x∈B}交集：以屬於A且屬於B的元差集表示
素為元素的集合稱為A與B的交（集)，記作A∩B(或B∩A），讀作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A，且x∈B}例如，全集U={1，2，3，4，5}A={1，3，5}B={1，2，5}。那麼因為A和B中都有1，5，所以A∩B={1，5}。再來看看，他們兩個中含有1，2，3，5這些個元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那麼説A∪B={1，2，3，5}。圖中的陰影部分就是A∩B。有趣的是；例如在1到105中不是3，5，7的整倍數的數有多少個。結果是3，5，7每項減集合
1再相乘。48個。對稱差集：設A，B為集合，A與B的對稱差集A?B定義為：A?B=（A-B)∪(B-A)例如：A={a，b，c}，B={b，d}，則A?B={a，c，d}對稱差運算的另一種定義是：A?B=(A∪B)-(A∩B)無限集：定義：集合裏含有無限個元素的集合叫做無限集有限集：令N_是正整數的全體，且N_n={1，2，3，……，n}，如果存在一個正整數n，使得集合A與N_n一一對應，那麼A叫做有限集合。差：以屬於A而不屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的差(集）。記作：AB={x│x∈A，x不屬於B}。注：空集包含於任何集合，但不能説“空集屬於任何集合”。補集：是從差集中引出的概念，指屬於全集U不屬於集合A的元素組成的集合稱為集合A的補集，記作CuA，即CuA={x|x∈U，且x不屬於A}空集也被認為是有限集合。例如，全集U={1，2，3，4，5}而A={1，2，5}那麼全集有而A中沒有的3，4就是CuA，是A的補集。CuA={3，4}。在信息技術當中，常常把CuA寫成~A。
1、確定性:每一個對象都能確定是不是某一集合的元素，沒有確定性就不能成為集合，例如“個子高的同學”“很小的數”都不能構成集合。這個性質主要用於判斷一個集合是否能形成集合。2.獨立性:集合中的元素的個數、集合本身的個數必須為自然數。3.互異性:集合中任意兩個元素都是不同的對象。如寫成{1，1，2}，等同於{1，2}。互異性使集合中的元素是沒有重複，兩個相同的對象在同一個集合中時，只能算作這個集合的一個元素。4.無序性:{a，b，c}{c，b，a}是同一個集合。5.純粹性:所謂集合的純粹性，用個例子來表示。集合A={x|x
集合有以下性質
若A包含於B，則A∩B=A，A∪B=B
集合的表示方法
集合常用大寫拉丁字母來表示，如:A，B，C…而對於集合中的元素則用小寫的拉丁字母來表示，如:a，b，c…拉丁字母只是相當於集合的名字，沒有任何實際的意義。將拉丁字母賦給集合的方法是用一個等式來表示的，例如:A={…}的形式。等號左邊是大寫的拉丁字母，右邊花括號括起來的，括號內部是具有某種共同性質的數學元素。
常用的有列舉法和描述法。1.列舉法﹕常用於表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來﹐寫在大括號內﹐這種表示集合的方法叫做列舉法。{1，2，3，……}2.描述法﹕常用於表示無限集合，把集合中元素的公共屬性用文字﹐符號或式子等描述出來﹐寫在大括號內﹐這種表示集合的方法叫做描述法。{x|P}（x為該集合的元素的一般形式，P為這個集合的元素的共同屬性）如:小於π的正實數組成的集合表示為:{x|0
4、自然語言常用數集的符號:(1)全體非負整數的集合通常簡稱非負整數集（或自然數集），記作N;不包括0的自然數集合，記作N*(2)非負整數集內排除0的集，也稱正整數集，記作Z+；負整數集內也排除0的集，稱負整數集，記作Z-(3)全體整數的集合通常稱作整數集，記作Z(4)全體有理數的集合通常簡稱有理數集，記作Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N，且p，q互質}（正負有理數集合分別記作Q+Q-）(5)全體實數的集合通常簡稱實數集，記作R（正實數集合記作R+；負實數記作R-）(6)複數集合計作C集合的運算:集合交換律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合結合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德。摩根律集合
Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理”在研究集合時，會遇到有關集合中的元素個數問題，我們把有限集合A的元素個數記為card(A)。例如A={a，b，c}，則card(A)=3card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)1885年德國數學家，集合論創始人康托爾談到集合一詞，列舉法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A集合求補律A∪CuA=UA∩CuA=Φ設A為集合，把A的全部子集構成的集合叫做A的冪集德摩根律A-(BUC)=(A-B)∩(A-C)A-(B∩C)=(A-B)U(A-C)~(BUC)=~B∩~C~(B∩C)=~BU~C~Φ=E~E=Φ特殊集合的表示複數集C實數集R正實數集R+負實數集R-整數集Z正整數集Z+負整數集Z-有理數集Q正有理數集Q+負有理數集Q-不含0的有理數集Q*
一、集合有關概念
1、集合的含義
2、集合的中元素的三個特性：
（1）元素的確定性如：世界上的山
（2）元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}
（3）元素的無序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合
3、集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}
（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員}，B={1,2,3,4,5}
（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。
？注意：常用數集及其記法：
非負整數集（即自然數集）記作：N
正整數集N_或N+整數集Z有理數集Q實數集R
1)列舉法：{a,b,c……}
2)描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大
括號內表示集合的方法。{x∈R|x-3>2}，{x|x-3>2}
3)語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4)Venn圖:
4、集合的分類：
（1）有限集含有有限個元素的集合
（2）無限集含有無限個元素的集合
（3）空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝
集合間的基本關係
1、“包含”關係—子集
注意：A?B有兩種可能(1)A是B的一部分；(2)A與B是同一集合。
反之:集合A不包含於集合B,或集合B不包含集合A,記作A?/B或B?/A
2、“相等”關係：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)
實例：設A={x|x2
-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”即：①任何一個集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A≠B那就説集合A是集合B的真子集，記作AB（或BA）
③如果A?B,B?C,那麼A?C
④如果A?B同時B?A那麼A=B
3、不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ
規定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集
二·一般我們把不含任何元素的集合叫做空集。
集合的分類
（1）按元素屬性分類，如點集，數集。(2)按元素的個數多少，分為有/無限集
關於集合的概念：
（1）確定性：作為一個集合的元素，必須是確定的，這就是説，不能確定的對象就不能構成集合，也就是説，給定一個集合，任何一個對象是不是這個集合的元素也就確定了。
（2）互異性：對於一個給定的集合，集合中的元素一定是不同的（或説是互異的），這就是説，集合中的任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入同一個集合時只能算作集合的一個元素。
（3）無序性：判斷一些對象時候構成集合，關鍵在於看這些對象是否有明確的標準。
集合可以根據它含有的元素的個數分為兩類：
含有有限個元素的集合叫做有限集，含有無限個元素的集合叫做無限集。
非負整數全體構成的集合，叫做自然數集，記作N;
在自然數集內排除0的集合叫做正整數集，記作N+或N_;
整數全體構成的集合，叫做整數集，記作Z;
有理數全體構成的集合，叫做有理數集，記作Q;（有理數是整數和分數的統稱，一切有理數都可以化成分數的形式。）
實數全體構成的集合，叫做實數集，記作R。（包括有理數和無理數。其中無理數就是無限不循環小數，有理數就包括整數和分數。數學上，實數直觀地定義為和數軸上的點一一對應的數。）
1、列舉法：如果一個集合是有限集，元素又不太多，常常把集合的所有元素都列舉出來，寫在花括號“{｝”內表示這個集合，例如，由兩個元素0，1構成的集合可表示為{0，1｝。
有些集合的元素較多，元素的排列又呈現一定的規律，在不致於發生誤解的情況下，也可以列出幾個元素作為代表，其他元素用省略號表示。
例如：不大於100的自然數的全體構成的集合，可表示為{0，1，2，3，…，100｝。
無限集有時也用上述的列舉法表示，例如，自然數集N可表示為{1，2，3，…，n，…｝。
2、描述法：一種更有效地描述集合的方法，是用集合中元素的特徵性質來描述。
例如：正偶數構成的集合，它的每一個元素都具有性質：“能被2整除，且大於0”
而這個集合外的其他元素都不具有這種性質，因此，我們可以用上述性質把正偶數集合表示為
{x∈R│x能被2整除，且大於0｝或{x∈R│x=2n，n∈N+｝，
大括號內豎線左邊的X表示這個集合的任意一個元素，元素X從實數集合中取值，在豎線右邊寫出只有集合內的元素x才具有的性質。
一般地，如果在集合I中，屬於集合A的任意一個元素x都具有性質p(x)，而不屬於集合A的元素都不具有的性質p(x)，則性質p(x)叫做集合A的一個特徵性質。於是，集合A可以用它的性質p(x)描述為{x∈I│p(x)｝
它表示集合A是由集合I中具有性質p(x)的所有元素構成的，這種表示集合的方法，叫做特徵性質描述法，簡稱描述法。
例如：集合A={x∈R│x2-1=0｝的特徵是X2-1=0
運算類型交集並集補集
定義由所有屬於A且屬於B的元素所組成的集合，叫做A,B的交集。記作AB（讀作‘A交B’），即AB={x|xA，且xB｝。
由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的並集。記作：AB（讀作‘A並B’），即AB={x|xA，或xB})。
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