一元一次方程知識點
知識點1：等式的概念：用等號表示相等關係的式子叫做等式。
知識點2：方程的概念：含有未知數的等式叫方程，方程中一定含有未知數，而且必須是等式，二者缺一不可。
説明：代數式不含等號，方程是用等號把代數式連接而成的式子，且其中一定要含有未知數。
知識點3：一元一次方程的概念：只含有一個未知數，並且未知數的次數是1的方程叫一元一次方程。任何形式的一元一次方程，經變形後，總能變成形為ax=b（a≠0，a、b為已知數）的形式，這種形式的方程叫一元一次方程的一般式。注意a≠0這個重要條件，它也是判斷方程是否是一元一次方程的重要依據。
例2：如果（a+1）+45=0是一元一次方程，則a________，b________。
分析：一元一次方程需要滿足的條件：未知數係數不等於0，次數為1。∴a+1≠0，2b—1=1。∴a≠—1，b=1。
知識點4：等式的基本性質（1）等式兩邊加上（或減去）同一個數或同一個代數式，所得的結果仍是等式。即若a=b，則a±m=b±m。
（2）等式兩邊乘以（或除以）同一個不為0的數或代數式，所得的結果仍是等式。
即若a=b，則am=bm。或。此外等式還有其它性質：若a=b，則b=a。若a=b，b=c，則a=c。
説明：等式的性質是解方程的重要依據。
例3：下列變形正確的是（）
A、如果ax=bx，那麼a=b
B、如果（a+1）x=a+1，那麼x=1
C、如果x=y，則x—5=5—y
D、如果則
分析：利用等式的性質解題。應選D。
説明：等式兩邊不可能同時除以為零的數或式，這一點務必要引起同學們的高度重視。
知識點5：方程的解與解方程：使方程兩邊相等的未知數的值叫做方程的解，求方程解的過程叫解方程。
知識點6：關於移項：⑴移項實質是等式的基本性質1的運用。
⑵移項時，一定記住要改變所移項的符號。
知識點7：解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合併同類項、將未知數的係數化為1。具體解題時，有些步驟可能用不上，有些步驟可以顛倒順序，有些步驟可以合寫，以簡化運算，要根據方程的特點靈活運用。
例4：解方程。
分析：靈活運用一元一次方程的步驟解答本題。
解答：去分母，得9x—6=2x，移項，得9x—2x=6，合併同類項，得7x=6，係數化為1，得x=。
説明：去分母時，易漏乘方程左、右兩邊代數式中的某些項，如本題易錯解為：去分母得9x—1=2x，漏乘了常數項。
知識點8：方程的檢驗
檢驗某數是否為原方程的解，應將該數分別代入原方程左邊和右邊，看兩邊的值是否相等。
注意：應代入原方程的左、右兩邊分別計算，不能代入變形後的方程的左邊和右邊。
三、一元一次方程的應用
一元一次方程在實際生活中的應用，是很多同學在學習一元一次方程過程中遇到的一個棘手問題。下面是對一元一次方程在實際生活中的應用的一個專題介紹，希望能為同學們的學習提供幫助。
一、行程問題
行程問題的基本關係：路程=速度×時間，
速度=，時間=。
1、相遇問題：速度和×相遇時間=路程和
例1甲、乙二人分別從A、B兩地相向而行，甲的速度是200米/分鐘，乙的速度是300米/分鐘，已知A、B兩地相距1000米，問甲、乙二人經過多長時間能相遇？
解：設甲、乙二人t分鐘後能相遇，則
（200+300）×t=1000，
t=2。
答：甲、乙二人2鍾後能相遇。
2、追趕問題：速度差×追趕時間=追趕距離
例2甲、乙二人分別從A、B兩地同向而行，甲的速度是200米/分鐘，乙的速度是300米/分鐘，已知A、B兩地相距1000米，問幾分鐘後乙能追上甲？解：設t分鐘後，乙能追上甲，則
（300—200）t=1000，
t=10。
答：10分鐘後乙能追上甲。
3、航行問題：順水速度=靜水速度+水流速度，逆水速度=靜水速度—水流速度。例3甲乘小船從A地順流到B地用了3小時，已知A、B兩地相距90千米。水流速度是20千米/小時，求小船在靜水中的速度。
解：設小船在靜水中的速度為v，則有
（v+20）×3=90，
v=10（千米/小時）。
答：小船在靜水中的速度是10千米/小時。
二、工程問題
工程問題的基本關係：①工作量=工作效率×工作時間，工作效率=，工作時間=；②常把工作量看作單位1。
例4已知甲、乙二人合作一項工程，甲25天獨立完成，乙20天獨立完成，甲、乙二人合作5天后，甲另有事，乙再單獨做幾天才能完成？
解：設甲再單獨做x天才能完成，有
（+）×5+=1，
x=11。
答：乙再單獨做11天才能完成。
三、環行問題
環行問題的基本關係：同時同地同向而行，第一次相遇：快者路程—慢者路程=環行周長。同時同地背向而行，第一次相遇：甲路程+乙路程=環形周長。
例5王叢和張蘭繞環行跑道行走，跑道長400米，王叢的速度是200米/分鐘，張蘭的速度是300米/分鐘，二人如從同地同時同向而行，經過幾分鐘二人相遇？
解：設經過t分鐘二人相遇，則
（300—200）t=400，
t=4。
答：經過4分鐘二人相遇。
四、數字問題
數字問題的基本關係：數字和數是不同的，同一個數字在不同數位上，表示的數值不同。
例6一個兩位數，個位數字比十位數字小1，這個兩位數的個位十位互換後，它們的和是33，求這個兩位數。
解：設原兩位數的個位數字是x，則十位數字為x+1，根據題意，得
[10（x—1）+x]+[10x+（x+1）]=33，
x=1，則x+1=2。
∴這個數是21。
答：這個兩位數是21。
五、利潤問題
利潤問題的基本關係：①獲利=售價—進價②打幾折就是原價的十分之幾例7某商場按定價銷售某種電器時，每台獲利48元，按定價的9折銷售該電器6台與將定價降低30元銷售該電器9台所獲得的利潤相等，該電器每台進價、定價各是多少元？
解：設該電器每台的進價為x元，則定價為（48+x）元，根據題意，得6[0。9（48+x）—x]=9[（48+x）—30—x]，
x=162。
48+x=48+162=210。
答：該電器每台進價、定價各分別是162元、210元。
六、濃度問題
濃度問題的基本關係：溶液濃度=，溶液質量=溶質質量+溶劑質量，溶質質量=溶液質量×溶液濃度
例8用“84”消毒液配製藥液對白色衣物進行消毒，要求按1∶200的比例進行稀釋。現要配製此種藥液4020克，則需要“84”消毒液多少克？
解：設需要“84”消毒液x克，根據題意得
=，
x=20。
答：需要“84”消毒液20克。
七、等積變形問題
例1用直徑為90mm的圓柱形玻璃杯（已裝滿水，且水足夠多）向一個內底面積為131×131mm2，內高為81mm的長方體鐵盒倒水，當鐵盒裝滿水時，玻璃杯中水的高度下降了多少？（結果保留π）
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分析：玻璃杯裏倒掉的水的體積和長方體鐵盒裏所裝的水的體積相等，所以等量關係為：
玻璃杯裏倒掉的水的體積=長方體鐵盒的容積。
解：設玻璃杯中水的高度下降了xmm，根據題意，得
經檢驗，它符合題意。
八、利息問題
例2儲户到銀行存款，一段時間後，銀行要向儲户支付存款利息，同時銀行還將代扣由儲户向國家繳納的利息税，税率為利息的20%。
（1）將8500元錢以一年期的定期儲蓄存入銀行，年利率為2。2%，到期支取時可得到利息________元。扣除利息税後實得________元。
（2）小明的父親將一筆資金按一年期的定期儲蓄存入銀行，年利率為2。2%，到期支取時，扣除所得税後得本金和利息共計71232元，問這筆資金是多少元？
（3）王紅的爸爸把一筆錢按三年期的定期儲蓄存入銀行，假設年利率為3%，到期支取時扣除所得税後實得利息為432元，問王紅的爸爸存入銀行的本金是多少？
分析：利息=本金×利率×期數，存幾年，期數就是幾，另外，還要注意，實得利息=利息—利息税。
解：（1）利息=本金×利率×期數=8500×2.2%×1=187元。
實得利息=利息×（1—20%）=187×0.8=149.6元。
（2）設這筆資金為x元，依題意，有x（1+2.2%×0.8）=71232。
解方程，得x=70000。
經檢驗，符合題意。
答：這筆資金為70000元。
（3）設這筆資金為x元，依題意，得x×3×3%×（1—20%）=432。
解方程，得x=6000。
經檢驗，符合題意。
答：這筆資金為6000元。
第一章有理數
1、大於0的數是正數。
2、有理數分類：正有理數、0、負有理數。
3、有理數分類：整數（正整數、0、負整數）、分數（正分數、負分數）
4、規定了原點，單位長度，正方向的直線稱為數軸。
5、數的大小比較：
①正數大於0，0大於負數，正數大於負數。
②兩個負數比較，絕對值大的反而小。
6、只有符號不同的兩個數稱互為相反數。
7、若a+b=0，則a，b互為相反數
8、表示數a的點到原點的距離稱為數a的絕對值
9、絕對值的三句：正數的絕對值是它本身，
負數的絕對值是它的相反數，
0的絕對值是0。
10、有理數的計算：先算符號、再算數值。
11、加減：①正+正②大—小③小—大=—（大—小）④—☆—О=—（☆+О）
12、乘除：同號得正，異號的負
13、乘方：表示n個相同因數的乘積。
14、負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。
15、混合運算：先乘方，再乘除，後加減，同級運算從左到右，有括號的先算括號。
16、科學計數法：用ax10n表示一個數。（其中a是整數數位只有一位的數）
17、左邊第一個非零的數字起，所有的數字都是有效數字。
【知識梳理】
1、數軸：數軸三要素：原點，正方向和單位長度；數軸上的點與實數是一一對應的。
2、相反數實數a的相反數是-a;若a與b互為相反數，則有a+b=0，反之亦然；幾何意義：在數軸上，表示相反數的兩個點位於原點的兩側，並且到原點的距離相等。
3、倒數：若兩個數的積等於1，則這兩個數互為倒數。
4、絕對值：代數意義：正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0;
幾何意義：一個數的絕對值，就是在數軸上表示這個數的點到原點的距離、
5、科學記數法：，其中。
6、實數大小的比較：利用法則比較大小；利用數軸比較大小。
7、在實數範圍內，加、減、乘、除、乘方運算都可以進行，但開方運算不一定能行，如負數不能開偶次方。實數的運算基礎是有理數運算，有理數的一切運算性質和運算律都適用於實數運算。正確的確定運算結果的符號和靈活的`使用運算律是掌握好實數運算的關鍵。
整式的加減
一、代數式
1、用運算符號把數或表示數的字母連結而成的式子，叫做代數式。單獨的一個數或字母也是代數式。
2、用數值代替代數式裏的字母，按照代數式裏的運算關係計算得出的結果，叫做代數式的值。
二、整式
1、單項式：
（1）由數和字母的乘積組成的代數式叫做單項式。
（2）單項式中的數字因數叫做這個單項式的係數。
（3）一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數。
2、多項式
（1）幾個單項式的和，叫做多項式。
（2）每個單項式叫做多項式的項。
（3）不含字母的項叫做常數項。
3、升冪排列與降冪排列
（1）把多項式按x的指數從大到小的順序排列，叫做降冪排列。
（2）把多項式按x的指數從小到大的順序排列，叫做升冪排列。
三、整式的加減
1、整式加減的理論根據是：去括號法則，合併同類項法則，以及乘法分配率。
去括號法則：如果括號前是“十”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號裏各項都不變符號；如果括號前是“一”號，把括號和它前面的“一”號去掉，括號裏各項都改變符號。
2、同類項：所含字母相同，並且相同字母的指數也相同的項叫做同類項。
合併同類項：
（1）合併同類項的概念：把多項式中的同類項合併成一項叫做合併同類項。
（2）合併同類項的法則：同類項的係數相加，所得結果作為係數，字母和字母的指數不變。
（3）合併同類項步驟：
a.準確的找出同類項。
b.逆用分配律，把同類項的係數加在一起（用小括號），字母和字母的指數不變。
c.寫出合併後的結果。
（4）在掌握合併同類項時注意：
a.如果兩個同類項的係數互為相反數，合併同類項後，結果為0.
b.不要漏掉不能合併的項。
c.只要不再有同類項，就是結果（可能是單項式，也可能是多項式）。
説明：合併同類項的關鍵是正確判斷同類項。
3、幾個整式相加減的一般步驟：
（1）列出代數式：用括號把每個整式括起來，再用加減號連接。
（2）按去括號法則去括號。
（3）合併同類項。
4、代數式求值的一般步驟：
（1）代數式化簡
（2）代入計算
（3）對於某些特殊的代數式，可採用“整體代入”進行計算。
圖形的初步認識
一、立體圖形與平面圖形
1、長方體、正方體、球、圓柱、圓錐等都是立體圖形。此外稜柱、稜錐也是常見的立體圖形。
2、長方形、正方形、三角形、圓等都是平面圖形。
3、許多立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們適當地剪開，就可以展開成平面圖形。
二、點和線
1、經過兩點有一條直線，並且只有一條直線。
2、兩點之間線段最短。
3、點C線段AB分成相等的兩條線段AM與MB，點M叫做線段AB的中點。類似的還有線段的三等分點、四等分點等。
4、把線段向一方無限延伸所形成的圖形叫做射線。
三、角
1、角是由兩條有公共端點的射線組成的圖形。
2、繞着端點旋轉到角的終邊和始邊成一條直線，所成的角叫做平角。
3、繞着端點旋轉到終邊和始邊再次重合，所成的角叫做周角。
4、度、分、秒是常用的角的度量單位。
把一個周角360等分，每一份就是一度的角，記作1°；把1度的角60等分，每份叫做1分的角，記作1′；把1分的角60等分，每份叫做1秒的角，記作1″。
四、角的比較
從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線。類似的，還有叫的三等分線。
五、餘角和補角
1、如果兩個角的和等於90（直角），就説這兩個角互為餘角。
2、如果兩個角的和等於180（平角），就説這兩個角互為補角。
3、等角的補角相等。
4、等角的餘角相等。
六、相交線
1、定義：兩條直線相交，所成的四個角中有一個角是直角，那麼這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。
2、注意：
⑴垂線是一條直線。
⑵具有垂直關係的兩條直線所成的4個角都是90。
⑶垂直是相交的特殊情況。
⑷垂直的記法：a⊥b，AB⊥CD。
3、畫已知直線的垂線有無數條。
4、過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。
5、連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。簡單説成：垂線段最短。
6、直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。
7、有一個公共的頂點，有一條公共的邊，另外一邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做鄰補角。
兩條直線相交有4對鄰補角。
8、有公共的頂點，角的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做對頂角。兩條直線相交，有2對對頂角。對頂角相等。
七、平行線
1、在同一平面內，兩條直線沒有交點，則這兩條直線互相平行，記作：a∥b。
2、平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。
3、如果兩條直線都與第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行。
4、判定兩條直線平行的方法：
（1）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那麼這兩條直線平行。簡單説成：同位角相等，兩直線平行。
（2）兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那麼這兩條直線平行。簡單説成：內錯角相等，兩直線平行。
（3）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那麼這兩條直線平行。簡單説成：同旁內角互補，兩直線平行。
5、平行線的性質
（1）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡單説成：兩直線平行，同位角相等。
（2）兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。簡單説成：兩直線平行，內錯角相等。
（3）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。簡單説成：兩直線平行，同旁內角互補。
二元一次方程組
1、二元一次方程:含有兩個未知數，並且含未知數項的次數是1，這樣的方程是二元一次方程。注意:一般説二元一次方程有無數個解。
2、二元一次方程組:兩個二元一次方程聯立在一起是二元一次方程組。
3、二元一次方程組的解:使二元一次方程組的兩個方程，左右兩邊都相等的兩個未知數的值，叫二元一次方程組的解。注意:一般説二元一次方程組只有解（即公共解）。
4、二元一次方程組的解法:
（1）代入消元法；(2)加減消元法；
（3）注意:判斷如何解簡單是關鍵。
※5.一次方程組的應用:
（1）對於一個應用題設出的未知數越多，列方程組可能容易一些，但解方程組可能比較麻煩，反之則難列易解
（2）對於方程組，若方程個數與未知數個數相等時，一般可求出未知數的值；
（3）對於方程組，若方程個數比未知數個數少一個時，一般求不出未知數的值，但總可以求出任何兩個未知數的關係。
一元一次不等式(組)
1、不等式:用不等號，把兩個代數式連接起來的式子叫不等式。
2、不等式的基本性質:
不等式的基本性質1:不等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變；
不等式的基本性質2:不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；
不等式的基本性質3:不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向要改變。
3、不等式的解集:能使不等式成立的未知數的值，叫做這個不等式的解；不等式所有解的集合，叫做這個不等式的解集。
4、一元一次不等式:只含有一個未知數，並且未知數的次數是1，係數不等於零的不等式，叫做一元一次不等式；它的標準形式是ax+b0或ax+b0，(a0)。
5、一元一次不等式的解法:一元一次不等式的解法與解一元一次方程的解法類似，但一定要注意不等式性質3的應用；注意:在數軸上表示不等式的解集時，要注意空圈和實點。
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