一、高中數學函數的有關概念
1、高中數學函數函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於函數A中的任意一個數x，在函數B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：A→B為從函數A到函數B的一個函數。記作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值範圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的函數{f(x)|x∈A}叫做函數的值域。
注意：
函數定義域：能使函數式有意義的實數x的函數稱為函數的定義域。
求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：
（1）分式的分母不等於零；
（2）偶次方根的被開方數不小於零；
（3）對數式的真數必須大於零；
（4）指數、對數式的底必須大於零且不等於1.
（5）如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的。那麼，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的函數。
（6）指數為零底不可以等於零，
（7）實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義。
相同函數的判斷方法：①表達式相同（與表示自變量和函數值的字母無關）；②定義域一致（兩點必須同時具備）
2、高中數學函數值域:先考慮其定義域
（1）觀察法
（2）配方法
（3）代換法
3、函數圖象知識歸納
（1）定義：在平面直角座標系中，以函數y=f(x)，(x∈A)中的x為橫座標，函數值y為縱座標的點P(x，y)的函數C，叫做函數y=f(x)，(x∈A)的圖象。C上每一點的座標(x，y)均滿足函數關係y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為座標的點(x，y)，均在C上。
（2）畫法
A、描點法：
B、圖象變換法
常用變換方法有三種
1)平移變換
2)伸縮變換
3)對稱變換
4、高中數學函數區間的概念
（1）函數區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間
（2）無窮區間
5、映射
一般地，設A、B是兩個非空的函數，如果按某一個確定的對應法則f，使對於函數A中的任意一個元素x，在函數B中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：AB為從函數A到函數B的一個映射。記作“f（對應關係）：A（原象）B(象)”
對於映射f：A→B來説，則應滿足：
（1）函數A中的每一個元素，在函數B中都有象，並且象是唯一的；
（2）函數A中不同的元素，在函數B中對應的象可以是同一個；
（3）不要求函數B中的每一個元素在函數A中都有原象。
6、高中數學函數之分段函數
（1）在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。
（2）各部分的自變量的取值情況。
（3）分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的並集。
補充：複合函數
如果y=f(u)(u∈M)，u=g(x)(x∈A)，則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的複合函數。
掌握冪函數的內部規律及本質是學好冪函數的關鍵所在，下面是整理的冪函數公式大全，希望對廣大朋友有所幫助。
定義：
形如y=x^a(a為常數)的函數，即以底數為自變量冪為因變量，指數為常量的函數稱為冪函數。
定義域和值域：
當a為不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下：如果a為任意實數，則函數的定義域為大於0的所有實數；如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函數的定義域還必須根[據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小於0，這時函數的定義域為大於0的所有實數；如果同時q為奇數，則函數的定義域為不等於0的所有實數。當x為不同的數值時，冪函數的值域的不同情況如下：在x大於0時，函數的值域總是大於0的實數。在x小於0時，則只有同時q為奇數，函數的值域為非零的實數。而只有a為正數，0才進入函數的值域
可以看到：
(1)所有的圖形都通過(1，1)這點。
(2)當a大於0時，冪函數為單調遞增的，而a小於0時，冪函數為單調遞減函數。
(3)當a大於1時，冪函數圖形下凹；當a小於1大於0時，冪函數圖形上凸。
(4)當a小於0時，a越小，圖形傾斜程度越大。
(5)a大於0，函數過(0，0);a小於0，函數不過(0，0)點。
(6)顯然冪函數無界。
1、函數的單調性（局部性質）
（1）增函數
設函數y=f(x)的定義域為I，如果對於定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1
如果對於區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1f(x2)，那麼就説f(x)在這個區間上是減函數。區間D稱為y=f(x)的單調減區間。
注意：函數的單調性是函數的局部性質；
（2）圖象的特點
如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那麼説函數y=f(x)在這一區間上具有（嚴格的）單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的。
（3）函數單調區間與單調性的判定方法
(A)定義法：
a.任取x1，x2∈D，且x1
b.作差f(x1)-f(x2)；
c.變形（通常是因式分解和配方）；
d.定號（即判斷差f（x1）-f( ww x2)的正負）；
e.下結論（指出函數f（x）在給定的區間D上的單調性）。
(B)圖象法（從圖象上看升降）
(C)複合函數的單調性
複合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”
注意：函數的單調區間只能是其定義域的子區間，不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集。
8、函數的奇偶性（整體性質）
（1）偶函數
一般地，對於函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那麼f(x)就叫做偶函數。
（2）奇函數
一般地，對於函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=—f(x)，那麼f(x)就叫做奇函數。
（3）具有奇偶性的函數的圖象的特徵
偶函數的圖象關於y軸對稱；奇函數的圖象關於原點對稱。
利用定義判斷函數奇偶性的步驟：
a.首先確定函數的定義域，並判斷其是否關於原點對稱；
b.確定f(-x)與f(x)的關係；
c.作出相應結論：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，則f(x)是偶函數；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，則f(x)是奇函數。
注意：函數定義域關於原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件。首先看函數的定義域是否關於原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數。若對稱，(1)再根據定義判定；(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定；(3)利用定理，或藉助函數的圖象判定。
9、函數的解析表達式
（1）。函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關係時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域。
（2）求函數的解析式的主要方法有：
1)湊配法
2)待定係數法
3)換元法
4)消參法
10、函數最大（小)值(定義見課本p36頁）
a.利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大(小)值
b.利用圖象求函數的最大(小)值
c.利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值：
如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；
如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；
1、冪函數解析式的右端是個冪的形式。冪的底數是自變量，指數是常數，可以為任何實數；與指數函數的`形式正好相反。
2、冪函數的圖像和性質比較複雜，大學聯考只要求掌握指數為1、2、3、-1、時冪函數的圖像和性質。
3、瞭解其它冪函數的圖像和性質，主要有：
①當自變量為正數時，冪函數的圖像都在第一象限。指數為負數的冪函數都是過點(1，1)的減函數，以座標軸為漸近線，指數越小越靠近
x軸。指數為正數的冪函數都是過原點和(1，1)的增函數；在 x=1的右側指數越大越遠離 x 軸。
②冪函數的定義域可以根據冪的意義去求出：要麼是x≥0，要麼是關於原點對稱。前者只在第一象限有圖像；後者一定具有奇偶性，利用對稱性可以畫出二或三象限的圖像。注意第四象限絕對不會有圖像。
③定義域關於原點對稱的冪函數一定具有奇偶性。當指數是偶數或分子是偶數的分數時是偶函數；否則是奇函數。
4、冪函數奇偶性的一般規律：
⑴指數是偶數的冪函數是偶函數。
⑵指數是奇數的冪函數是奇函數。
⑶指數是分母為偶數的分數時，定義域 x>0或 x≥0，沒有奇偶性。
⑷指數是分子為偶數的分數時，冪函數是偶函數。
⑸指數是分子分母為奇數的分數時，冪函數是奇數函數。
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