八年級下數學教案-變量與函數(2)
一、教學目的
1.使學生理解自變量的取值範圍和函數值的意義。
2.使學生理解求自變量的取值範圍的兩個依據。
3.使學生掌握關於解析式為只含有一個自變量的簡單的整式、分式、二次根式的函數的自變量取值範圍的求法，並會求其函數值。
4.通過求函數中自變量的取值範圍使學生進一步理解函數概念。
二、教學重點、難點
重點：函數自變量取值的求法。
難點：函靈敏處變量取值的確定。
三、教學過程
複習提問
1.函數的定義是什麼？函數概念包含哪三個方面的內容？
2.什麼叫分式？當x取什麼數時，分式x+2/2x+3有意義？
(答：分母裏含有字母的有理式叫分式，分母≠0，即x≠3/2。)
3.什麼叫二次根式？使二次根式成立的條件是什麼？
(答：根指數是2的根式叫二次根式，使二次根式成立的條件是被開方數≥0。)
4.舉出一個函數的實例，並指出式中的變量與常量、自變量與函數。
新課
1.結合同學舉出的實例説明解析法的意義：用教學式子表示函數方法叫解析法。並指出，函數表示法除了解析法外，還有圖象法和列表法。
2.結合同學舉出的實例，説明函數的自變量取值範圍有時要受到限制這就可以引出自變量取值範圍的意義，並説明求自變量的取值範圍的兩個依據是：
(1)自變量取值範圍是使函數解析式(即是函數表達式)有意義。
(2)自變量取值範圍要使實際問題有意義。
3.講解P93中例2。並指出例2四個小題代表三類題型：(1)，(2)題給出的是隻含有一個自變量的整式；(3)題給出的是隻含有一個自變量的分式；(4)題給出的是隻含有一個自變量的二次根式。
推廣與聯想：請同學按上述三類題型自編3個題，並寫出解答，同桌互對答案，老師評講。
4.講解P93中例3。結合例3引出函數值的意義。並指出兩點：
(1)例3中的4個小題歸納起來仍是三類題型。
(2)求函數值的問題實際是求代數式值的問題。
補充例題
求下列函數當x=3時的函數值：
(1)y=6x-4; (2)y=--5x2; (3)y=3/7x-1; (4)。
(答：(1)y=14;(2)y=-45;(3)y=3/20;(4)y=0。)
小結
1.解析法的意義：用數學式子表示函數的方法叫解析法。
2.求函數自變量取值範圍的兩個方法(依據)：
(1)要使函數的解析式有意義。
①函數的解析式是整式時，自變量可取全體實數；
②函數的解析式是分式時，自變量的取值應使分母≠0;
③函數的解析式是二次根式時，自變量的取值應使被開方數≥0。
(2)對於反映實際問題的函數關係，應使實際問題有意義。
3.求函數值的方法：把所給出的自變量的值代入函數解析式中，即可求出相慶原函數值。
練習：P94中1，2，3。
作業：P95~P96中A組3，4，5，6，7。B組1，2。
四、教學注意問題
1.注意滲透與訓練學生的歸納思維。比如例2、例3中各是4個小題，對每一個例題均可歸納為三類題型。而對於例2、例3這兩道例題，雖然要求各異，但題目結構仍是三類題型：整式、分式、二次根式。
2.注意訓練與培養學生的優質聯想能力。要求學生仿照例題自編題目是有效手段。
3.注意培養學生對於“具體問題要具體分析”的良好學習方法。比如對於有實際意義來確定，由於實際問題千差萬別，所以我們就要具體分析，靈活處置。
教學內容分析：
⑴ 學習特殊的平行四邊形—正方形，它的特殊的性質和判定。
⑵前面學習了平行四邊形、矩形菱形，類比他們的性質與判斷，有利於對正方形的研究。
⑶ 對本節的學習，繼續培養學生分類研究的思想，並且建立新舊知識的聯繫，類比的基礎上進行歸納，梳理知識，進一步發展學生的推理能力。
學生分析：
⑴學生在國小初步認識了正方形，並且本節課之前，學生又學習了幾種平行四邊形，已經具備了觀察研究平行四邊形的經驗與知識基礎。
⑵學生在上幾節已有了推理的經歷，但是對於證明，學生的思維能力還不成熟，有待於提高。
教學目標：
⑴知識與技能：瞭解正方形是特殊的平行四邊形，掌握它的性質和判定，會利用性質與判定進行簡單的説理。
⑵過程與方法：通過類比前邊的四邊形的研究，探索並歸納正方形的性質與判定。通過運用提高學生的推理能力。
⑶情感態度與價值觀：在學習中體會正方形的完美性，通過活動獲得成功的喜悦與自信。
重點：
掌握正方形的性質與判定，並進行簡單的推理。
難點：
探索正方形的判定，發展學生的推理能
教學方法：
類比與探究
教具準備：
可以活動的四邊形模型。
教學過程：
一：複習鞏固，建立聯繫。
【教師活動】
問題設置：①平行四邊形、矩形，菱形各有哪些性質？
②( ) 的四邊形是平行四邊形。( )的平行四邊形是矩形。( )的平行四邊形是菱形。( )的四邊形是矩形。( )的四邊形是菱形。
【學生活動】
學生回憶，並舉手回答，對於填空題，讓更多的學生參與，説出更多的答案。
【教師活動】
評析學生的結果，給予表揚。
總結性質從邊角對角線考慮，在填空時也考慮這幾方面之外，還應該考慮三者之間的聯繫與區別。
演示平行四邊形變為矩形菱形的過程。
二：動手操作，探索發現。
活動一：拿出一張矩形紙片，拉起一角，使其寬AB落在長AD邊上，如下圖所示，沿着B′E剪下，能得到什麼圖形？
【學生活動】
學生拿出自備矩形紙片，動手操作，不難發現它是正方形。
設置問題：①什麼是正方形？
觀察發現，從活動中體會。
【教師活動】：演示矩形變為正方形的過程，菱形變為正方形的過程。
【學生活動】認真觀察變化過程，思考之間的聯繫，舉手回答設置問題。
設置問題②正方形是矩形嗎，是菱形嗎？是平行四邊形嗎？為什麼？
【學生活動】
小組討論，分組回答。
【教師活動】
總結板書：
㈠(一組鄰邊相等)的矩形是正方形，(一個角是直角)的菱形是正方形。
設置問題③正方形有那些性質？
【學生活動】
小組討論，舉手搶答。
【教師活動】
表揚學生髮言，板書學生髮現，㈡正方形 每一條對角線平分一組對角
活動二：拿出活動一得到的正方形折一折，正方形是軸對稱圖形嗎？有幾條對稱軸？
學生活動
摺紙發現，説出自己的發現。得到正方形的又一性質。正方形是軸對稱圖形。
教師活動
演示從平行四邊形變為正方形的過程，擦去板書㈠中的括號內容，出示一下問題：你還可以怎樣填空？
( )的菱形是正方形，( )的矩形是正方形，( )的平行四邊形是正方形，( )的四邊形是正方形。
學生活動
小組充分交流，表達不同的意見。
教師活動
評析活動，總結髮現：
一組鄰邊相等的矩形是正方形，對角線互相平分的矩形是正方形；
有一個角是直角的菱形是正方形，對角線相等的菱形是正方形，;
有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形，對角線相等且互相平分的平行四邊形是正方形；
四邊相等且有一角是直角的四邊形是正方形，對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形。
以上是正方形的`判定方法。
正方形是一個多麼完美的平行四邊形呀？大家互相説一説，它的完美體現在哪裏？生活中有哪些利用正方形的例子？
學生交流，感受正方形
三，應用體驗，推理證明。
出示例一：正方形ABCD的兩條對角線AC,BD交與O，AB長4cm,求AC,AO長，及 的度數。
方法一解：∵四邊形ABCD是正方形
∴∠ABC=90°(正方形的四個角是直角)。
BC=AB=4cm(正方形的四條邊相等)
∴ =45°(等腰直角三角形的底角是45°)
∴利用勾股定理可知，AC= = =4 cm
∵AO= AC(正方形的對角線互相平分)
∴AO= ×4 =2 cm
方法二：證明△AOB是等腰直角三角形，即可得證。
學生活動
獨立思考，寫出推理過程，再進行小組討論，並且各小組指派代表寫在黑板上，共同交流。
教師活動
總結解題方法，從正方形的性質全面考慮，準確利用條件，減少麻煩。評析解題步驟，表揚突出學生。
出示例二：在正方形ABCD中，E、F、G、H 分別在它的四條邊上，且AE=BF=CG=DH,四邊形EFGH是什麼特殊的四邊形，你是如何判斷的？
學生活動
小組交流，分析題意，整理思路，指名口答。
教師活動
説明思路，從已知出發或者從已有的判定加以選擇。
四，歸納新知，梳理知識。
這一節課你有什麼收穫？
學生舉手談論自己的收穫。
請把平行四邊形，矩形，菱形，正方形分別填寫在下圖的ABCDC處，説明它們的關係。
發表評論
1、教材分析
(1)知識結構
(2)重點、難點分析
本節內容的重點是線段垂直平分線定理及其逆定理。定理反映了線段垂直平分線的性質，是證明兩條線段相等的依據；逆定理反映了線段垂直平分線的判定，是證明某點在某條直線上及一條直線是已知線段的垂直平分線的依據。
本節內容的難點是定理及逆定理的關係。垂直平分線定理和其逆定理，題設與結論正好相反。學生在應用它們的時候，容易混淆，幫助學生認識定理及其逆定理的區別，這是本節的難點。
2、教法建議
本節課教學模式主要採用“學生主體性學習”的教學模式。提出問題讓學生想，設計問題讓學生做，錯誤原因讓學生説，方法與規律讓學生歸納。教師的作用在於組織、點撥、引導，促進學生主動探索，積極思考，大膽想象，總結規律，充分發揮學生的主體作用，讓學生真正成為教學活動的主人。具體説明如下：
(1)參與探索發現，領略知識形成過程
學生前面，學習過線段垂直平分線的概念，這樣由複習概念入手，順其自然提出問題：在垂直平分線上任取一點P，它到線段兩端的距離有何關係？學生會很容易得出“相等”。然後學生完成證明，找一名學生的證明過程，進行投影總結。最後，由學生將上述問題，用文字的形式進行歸納，即得線段垂直平分線定理。這樣讓學生親自動手實踐，積極參與發現，激發了學生的認識衝突，使學生克服思維和探求的惰性，獲得鍛鍊機會，對定理的產生過程，真正做到心領神會。
(2)採用“類比”的學習方法，獲取逆定理
線段垂直平分線的定理及逆定理的證明都比較簡單，學生學習一般沒有什麼困難，這一節的難點仍然的定理及逆定理的關係，為了很好的突破這一難點，教學時採用與角的平分線的性質定理和逆定理對照，類比的方法進行教學，使學生進一步認識這兩個定理的區別和聯繫。
(3) 通過問題的解決，讓學生學會從不同角度分析問題、解決問題；讓學生學會引申、變更問題，以培養學生髮現問題、提出問題的創造性能力。
教學目標：
一、知識與技能
1、從現實情境和已有的知識、經驗出發、討論兩個變量之間的相依關係，加深對函數、函數概念的理解。
2、經歷抽象反比例函數概念的過程，領會反比例函數的意義，理解反比例函數的概念。
二、過程與方法
1、經歷對兩個變量之間相依關係的討論，培養學生的辨別唯物主義觀點。
2、經歷抽象反比例函數概念的過程，發展學生的抽象思維能力，提高數學化意識。
三、情感態度與價值觀
1、經歷抽象反比例函數概念的過程，體會數學學習的重要性，提高學生的學習數學的興趣。
2、通過分組討論，培養學生合作交流意識和探索精神。
教學重點：理解和領會反比例函數的概念。
教學難點：領悟反比例的概念。
教學過程：
一、創設情境，導入新課
活動1
問題：下列問題中，變量間的對應關係可用怎樣的函數關係式表示？這些函數有什麼共同特點？
(1)京滬線鐵路全程為1463km，乘坐某次列車所用時間t(單位：h)隨該列車平均速度v(單位：km/h)的變化而變化；
(2)某住宅小區要種植一個面積為1000m2的矩形草坪，草坪的長為y隨寬x的變化；
(3)已知北京市的總面積為1、68×104平方千米，人均佔有土地面積S(單位：平方千米/人)隨全市人口n(單位：人)的變化而變化。
師生行為：
先讓學生進行小組合作交流，再進行全班性的問答或交流。學生用自己的語言説明兩個變量間的關係為什麼可以看着函數，瞭解所討論的函數的表達形式。
教師組織學生討論，提問學生，師生互動。
在此活動中老師應重點關注學生：
①能否積極主動地合作交流。
②能否用語言説明兩個變量間的關係。
③能否瞭解所討論的函數表達形式，形成反比例函數概念的具體形象。
分析及解答：
其中v是自變量，t是v的函數；x是自變量，y是x的函數；n是自變量，s是n的函數；
上面的函數關係式，都具有
的形式，其中k是常數。
二、聯繫生活，豐富聯想
活動2
下列問題中，變量間的對應關係可用這樣的函數式表示？
(1)一個游泳池的容積為20__m3，注滿游泳池所用的時間隨注水速度u的變化而變化；
(2)某立方體的體積為1000cm3，立方體的高h隨底面積S的變化而變化；
(3)一個物體重100牛頓，物體對地面的壓力p隨物體與地面的接觸面積S的變化而變化。
師生行為
學生先獨立思考，在進行全班交流。
教師操作課件，提出問題，關注學生思考的過程，在此活動中，教師應重點關注學生：
(1)能否從現實情境中抽象出兩個變量的函數關係；
(2)能否積極主動地參與小組活動；
(3)能否比較深刻地領會函數、反比例函數的概念。
概念：如果兩個變量x，y之間的關係可以表示成
的形式，那麼y是x的反比例函數，反比例函數的自變量x不能為零。
活動3
做一做：
一個矩形的面積為20cm2， 相鄰的兩條邊長為xcm和ycm。那麼變量y是變量x的函數嗎？是反比例函數嗎？為什麼？
師生行為：
學生先進行獨立思考，再進行全班交流。教師提出問題，關注學生思考。此活動中教師應重點關注：
①生能否理解反比例函數的意義，理解反比例函數的概念；
②學生能否順利抽象反比例函數的模型；
③學生能否積極主動地合作、交流；
活動4
問題1：下列哪個等式中的y是x的反比例函數？
問題2：已知y是x的反比例函數，當x=2時，y=6
(1)寫出y與x的函數關係式：
(2)求當x=4時，y的值。
師生行為：
學生獨立思考，然後小組合作交流。教師巡視，查看學生完成的情況，並給予及時引導。在此活動中教師應重點關注：
①學生能否領會反比例函數的意義，理解反比例函數的概念；
②學生能否積極主動地參與小組活動。
分析及解答：
1、只有xy=123是反比例函數。
2、分析：因為y是x的反比例函數，所以，再把x=2和y=6代入上式就可求出常數k的值。
解：(1)設，因為x=2時，y=6，所以有
解得k=12
因此
(2)把x=4代入，得
三、鞏固提高
活動5
1、已知y是x的反比例函數，並且當x=3時，y=8。
(1)寫出y與x之間的函數關係式。
(2)求y=2時x的值。
2、y是x的反比例函數，下表給出了x與y的一些值：
(1)寫出這個反比例函數的表達式；
(2)根據函數表達式完成上表。
學生獨立練習，而後再與同桌交流，上講台演示，教師要重點關注“學困生”。
四、課時小結
反比例函數概念形成的過程中，大家充分利用已有的生活經驗和背景知識，注意挖掘問題中變量的相依關係及變化規律，逐步加深理解。在概念的形成過程中，從感性認識到理髮認識一旦建立概念，即已擺脱其原型成為數學對象。反比例函數具有豐富的數學含義，通過舉例、説理、討論等活動，感知數學眼光，審視某些實際現象。
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